函數型式

1. 雙變量回歸模型估計

完整的雙變量函數內含有自變數 X 和應變數 Y，通常將 已取得的各種數據稱為自變數Ｘ，並將欲得到的數值稱為應

變數 Y，可稱為條件期望值(conditional expected values)，因為 他們取決於條件變量 X 的給定值。我們用符號表示為

E(Y∣Xⁱ)，

稱為”給定 X 下 Y 的期望值”(Gujarati, 1978.)。

若以 E(Y∣Xⁱ)=f(X_i)表示，稱為總體回歸函數(population regression function, PEF) 或 稱 條 件 期 望 函 數 (conditional expected function, CEF)或簡稱總體函數(PR)。函數中說明了 Y 的均值或平均對應質是如何隨 X 而變化的。

(1) 線性迴歸模型

同時具有 X 變量與隨機 Y 變量的函數，Ｙ的條件期望值 是對應不同的Ｘ_i出現，且變量Ｘ皆以一次方的型態出現，稱 為Ｙ是Ｘ的線性總體迴歸函數，可以下列形式表達：

E(Y︱Xⁱ) = β¹+β²X

其中β¹ 和β² 為未知但卻固定的參數，稱為回歸係數 (regression coefficients)，β¹稱為截距(intercept)，β²稱為斜率 係數(slope coefficients)。

(2) 函數隨機誤差項

個別的 Xi 值所對應的 Y_i值在函數圖形表示上，會圍繞 著 Xi 均值所對應出的 Y_i均值周圍，也就是圍繞著其條件均 值。因此，可以將個別的Yi值圍繞它的期望值的離差(deviation) 表述如下:

( )

i

E Y X

Y u = −

式 3.4-1

或

^{Y = E} ( ) ^{Y X}

^{+ u}

式 3.4-2

其中的離差 u_i項是一個可正可負的隨機變量，可稱為隨 機干擾(stochastic disturbance)或隨機誤差項(stochastic error)，

為非系統性成分，而 E(Y∣Xi)代表系統中系統性或確定性成 分。若回歸曲線通過式 3.4-2 之 Y 值為 E(Y∣Xi)，表示 u_i項 為零。

隨機干擾項是整個模型中被省略，但卻集體影響Ｙ變量 的因子，不將這些項目加入模式中討論的原因通常在於，這 些影響因子缺乏明確的數據、無法明確得知其在模式整體中 所具的影響性，或影響性太小而將這些因子統一以 u_i 項替代 不作討論。

2. Cobb-Douglas

Cobb-Douglas 生產函數是目前最常用的生產函數之一，

此函數是由數學家 Cobb 與經濟學家 Douglas 於 1928 年所提 出，由於此型態的生產函數使用起來非常方便，因此被廣泛 運用於各種研究之中。此函數最簡單的形式如下。

上式中的 Q 代表產量，K 表示資本使用量，Ｌ則表示勞 動的使用量，其餘為固定常數，此指數函數形式可以複迴歸 表示，再兩邊取對數後化成一次的函數型態。

β α

L

AK

Q =

此 一 函 數 上 可 代 表 生 產 因 素 的 產 量 彈 性 值(Output Elasticity)，即所謂的生產因素的產量弧彈性(Arc Elasticity) (周，2001)。 Cobb-Douglas 函數估計的成本函數相較於 Translog 函數與 Quadratic 函數而言是較為恰當的。

3. Translog

Translog 函數形式是由 Christen et al.(1971)所推導出的，

其優點除了可避免一些函數上的限制外，無論在間接效用函 數、成本函數或生產函數的估計形式為何，它可以盡量接近 真正的函數，使估計者不需使用建立在不合理假設限制下的 函數。但也因此產生使 Trainslog 函數擁有大量的參數估計，

增 加 運 算 上 的 困 難 。 其 函 數 形 式 表 現 如 下(Christen 與 Greene，1976):

 +   + +

其中，r_ij =r_ji。為了對應到合理的污染防治成本函數，此 Trainslog 函數必須是價格的一次齊次函數，亦即給定一污染 減量水準，防治成本必須隨價格的增加成同比例上升。

Goldar et al. (2001)嘗試修改一般的 Translog 函數，使其 估計的參數減少而簡化，並經由大型廠商與小型廠商的邊際 效應防治成本差異上明顯發現規模經濟的存在。李(2000)在針 對空氣污染的研究上，分別以三種函數形式推估污染防治成 本後發現，Translog 函數較適合描述台灣地區廠商之污染成本 函數，其結果並與規模經濟相符。

4. Semi-Log

半對數(Semi-Log)函數的形式如下式

μ β +

= X log( Y )

黃(1996)曾以修正後的半對數式之平均處理成本函數來 導出廢水量分析工業區廢水處理收費之問題，並加入了污染 物的處理濃度、容積利用率等變數，經過實證提出了多家污 水處理廠的收費費率修正建議。

5. Quadratic

一元二次方程(Quadratic)在過去許多文獻中常被用以跟 Cobb-Log、Trans-Log、Semi-Log 之應用結果比較，但分析過 後都顯示相較之下不適於解釋污染防治的成本分析。