分數乘法相關研究

分數學習一直是國小學童數學學習的一大挑戰，造成分數學習困難的最大主因 在於分數的多重意義與表徵的多元形式，不僅是學童對於分數學習感到挫折，許多 教師對於分數教學也感到頭痛（呂玉琴，1991；甯自強，1993；劉秋木，1996；Hunting, 1983）。學童對於分數學習感到困難，當進入分數乘法的學習時更是一大挑戰。本 節先對分數的意義加以探討，再針對分數乘法相關內容進行探討。

壹、分數的意義

分數一詞來自拉丁文的「fangere」一字，是指破碎、分開，通常用來描述一個 被分開的全體之各部分；在英文中則使用「fraction」一字來表示分數，含有碎片之 意。許多學者都主張分數具有多重意義，Ohlsson（引自劉秋木，1996）認為從數 學建構的角度來看，分數有四種建構，包括商的函數、有理數、二元向量與合成函 數。Kieren（1988）提出分數的五種概念，包括部分全體關係、比、商、測量與運 算元等。林碧珍（1990）提出分數的意義，（一）全部區域的部分區域以連續量（長 度、面積、容積）為主的部分—整體模式。（二）集合中的部分集合，即為子集合—

集合模式。（三）數線上的一個數值，即為數線模式。（四）兩個整數相除的結果，

即為商模式。（五）兩個集合或兩個向度相比的結果，即為比值模式。

在分數乘法教材中，分數表徵時常代表不同的分數意義，有時代表數量，有時 表示關係，有時呈現比值的意義，教科書中不同意義分數表徵是本研究關心的重點 之一。

從學童分數概念的發展來看，分數概念是分數乘法概念的基礎。根據 NAEP

（National Assessment of Educational Progress，簡稱 NAEP）在 1976 及 1980 年的研 究結果顯示，強調分數計算規則程序或記誦並不一定能夠提升分數的計算表現，尤

其在概念模糊及計算規則遺忘的情況下，要學童重構分數計算的意義並完成解題顯 數×整數、整數×分數與分數×分數。依據 Kennedy and Tipps（2000）的研究進行這 三種類型的說明。

數×分數已經涉及基準量、再分割、單位分數與原基準量四種不同的概念。

而 Dickson, Brown, and Gibson（1984）將分數乘法的解題模式分成兩種類型，

包括「面積的乘積（product as area）」模式與「部分－整體區域面積（sub-area as part of a whole area)」模式，分別說明於下。

一、面積的乘積模式

所謂的「面積的乘積」模式是指將分數的乘法用具體圖像表徵成矩形的面積，

如圖 2-3-1 所示。

圖 2-3-1 面積的乘積模式

二、部分—整體區域面積模式

「部分－整體區域面積」模式是指利用圖形來表達參照量之不同的部分。在例 1（ 3

2 4 3 =

2

1）中，被乘數分子與乘數分母相等，透過分數意義概念進行解題時，可

以直接從原本分割份數中選取三份中的二份，不需要再進行切分。在例 2（

3 2 5 4 =

15 8 ） 中，被乘數分子與乘數分母互質，透過分數意義概念進行解題時，必須再進行等分 割。如圖 2-3-2 與圖 2-3-3。

圖 2-3-2 部分－整體區域面積模式

圖 2-3-3 部分－整體區域面積模式

分數乘法中最重要的概念包括基準量、子分割、單位分數與合成等概念。提供 離散量或連續量的圖形表徵，能增加學生對分數概念的認識，透過多元的表徵轉換 來處理分數乘法，將分數的概念以具體的表徵呈現，漸次引導學生進行抽象思維，

最後成功掌握分數的概念。此外，在進行分數乘法教學時，透過各種多元表徵的彈 性運用，如：摺紙（教具模型表徵）、學生繪圖（圖像表徵）、披薩（真實情境表徵）、

學習單（書寫符號）、問題討論與概念澄清（語言表徵）的呈現，讓學童理解分數 乘法的意義，同時連結算則，兼顧分數乘法法則與基本概念，讓分數乘法的學習有

綜合而言，數學教科書中分數乘法教材之詞彙、符號、語意結構、問題類型與 圖形表徵的圖文關係、插圖形式與插圖示意清晰度都是影響學童學習的重要因素，

好的教科書設計將會提高學童學習的成效，本研究針對不同版本之數學教科書進行 深入分析，了解不同版本教科書在上述各向度的安排與設計，以提供數學教科書編 輯之參考。