數學教科書之表徵類型

數學是一種高度複雜性的符號語言，同時，數學亦是一種高度社會化建構的產 物，具有語言表達與溝通的特性（Walkfield, 2000）。由於數學的語言特質，數學學 習和語言學習之間有其相似性，數學教科書的閱讀就和一般的閱讀有其相似之處，

數學詞彙、數學言談之樣式與文字敘述等各種表徵的掌握是學童熟悉數學語言同時 掌握教科書閱讀不可或缺的內涵。學童閱讀數學教科書時，書中的元素會影響學童 對題意與解題內容的閱讀理解，進而影響學童數學學習。當學童使用教科書進行學 習時，無論是自學或在教學者引導下學習，從布題中的文字、圖形表徵，到解題內 容的敘述、算式、解題步驟與輔佐解題的插圖，以及練習題的呈現，各元素與元素 間相互關係的掌握都會影響學童的學習。

在數學教科書內容的元素中，表徵占了很高的比例。表徵（representation）是 學習的認知研究中重要的概念，將現實世界的事物以另一種較為抽象化符號化的形 式來代表的歷程，便是表徵作用（張春興，1989）。

在數學活動中，表徵扮演著兩種角色：一是運思的材料，另一則是溝通的媒介。

Bruner（1966）由運思的觀點，區分三種被運思的表徵，動作的（enactive）表徵、

圖像的（iconic）表徵、符號的（symbolic）表徵。Lesh（1979）運用溝通的觀點描 述表徵的類別，包括真實情境（real-world situations）、操作具體物（manipulative

aids）、圖畫（pictures）、口語符號（spoken symbols）、書寫符號（written symbols）。

如果說，Bruner 是運用運思材料的觀點討論表徵的類別，Lesh 則是以溝通的觀點重 新描述了表徵的類別（蔣治邦，1994）。

因此，個人透過表徵作用得以理解外在世界、進行思考，並具有和他人溝通的 能力；換言之，表徵是學習的重要媒介，也是個人運思的材料與溝通的重要工具；

從知識表徵的觀點而言，數學理解即是獲得有力的表徵系統並具有運用多重表徵的 彈性，以有效的地進行數學思考、與他人溝通（游自達，1995）。教科書的閱讀與 書寫即是一種溝通的過程，在這溝通過程中，教科書編撰者要以有限的文字編碼，

即表徵的材料，來傳達所要溝通的概念；而閱讀者則以個人的先備知識、閱讀理解 策略、後設認知等心理活動來解讀教科書的內涵，產生內心的運思表徵系統，重整 其意義，進一步運用多重表徵來溝通運思的結果。在這概念傳達轉換過程中，教科 書所呈現的內涵、形式、結構將會對學童數學概念理解產生影響（Vacca & Vacca, 2002）。

具體而言，學童對數學教科書的閱讀一方面受個人心理活動的影響，另一方面 亦受到閱讀素材之用詞遣字、文章結構、內容連貫性、插圖附表運用等之影響。目 前，針對數學教科書內容進行的相關研究並不多，現階段我國開放各版本教科書，

本研究關心各版本在各元素的設計與安排情況，透過閱讀理解的概念建立本研究的 數學教科書內容分析之類目，以下分為書寫符號表徵與圖形表徵兩大主軸進行數學 教科書中各元素之討論。

壹、數學教科書中的書寫符號表徵

數學教科書中的書寫符號表徵包括詞彙、語意結構、問題情境與算式符號，以 下針對數學教科書中書寫符號表徵各元素加以討論。

一、教科書中的詞彙

教科書包含很多專門術語與新的概念，這些詞彙傳達數學的重要概念，是數學

詞彙（technical vocabulary）」、「特殊詞彙（special vocabulary）」、「代詞（anaphora）」， 以及「不熟悉的詞彙（unfamiliar words）」，分述於下。

(一) 專門詞彙

專門詞彙所指的是數學領域中獨有且重要的概念，例如：通分、約分、帶分數、

半徑、圓周率等。

(二) 特殊詞彙

指數學和其他領域、生活語言使用相同或相似的詞彙，但卻代表不同概念者，

如：分數。在數學領域裡，「分數」具有多重意義，全體區域中的部分區域；全部 集合中的子集合；數線上的一值；兩數相除的結果，以及兩個量相比的結果（林碧 珍，1990），這些「分數的多重的意義」與生活中分數代表「成績」有所差異。

(三) 代詞

指替代已經敘述過的名詞、動詞、或名詞的代稱，例如：這些，誰等。

(四) 不熟悉的詞彙

學童較不熟悉的詞彙，例如：切割、疊合等。秦麗花、邱上真在 2002 年曾對 學童進行角度單元的臨床晤談時，發現學童對於「疊合」的意思有問題，雖然學童 曾做過利用透明紙去比較角，也就是「疊合」的動作，但學童卻無法將其和文本中 的「疊合」產生連結（秦麗花、邱上真，2004）。

在分數乘法的部分，代詞的不同涉及整體參照量的轉變，例如：「剩下的五分 之三」，此時「剩下的」當成整體參照量；又如，「全部的三分之一」，此時「全部 的」當成整體參照量。整體參照量的掌握是分數乘法學習的關鍵之一，有研究指出，

學童常忽略整體參照量，例如：要求學童「圈出 28 顆糖果的 7

1」的題目中，學童 會圈出 7 個，顯示學童沒有掌握代詞「28 顆糖果的」的意義（林碧珍，1990；Figueras, Filloy & Volderuoros, 1987）。在分數乘法教材中，學童必須透過代詞清楚明白所指

涉隱含的整體參照量，也就是分數運作的對象，才能正確掌握教科書中代詞所代表 的意義。

此外，數學詞彙與日常生活詞彙有時會因其同音異義、一詞多義、不同情境下 的應用轉換而產生混淆，造成學童學習困難，學童在學習上就必須發展詞彙應用情 境的覺知加以區辨（Adams，2003）。在同音異義方面，例如：終點 vs.中點，合 vs.

和。一詞多義方面，例如：分數、角、邊。不同情境下的應用轉換也有不少例子，

甯自強（1994）指出，同一數詞在不同的情境下可代表不同的意涵，隨著兒童數結 構的發展，其所認識的數詞意義也會有所不同。以數詞「ㄨ^ˇ」為例，依概念發展 可表示成「第五，5 個 1（以 1 為集聚單位），1 個 5（以 5 為集聚單位），可一再複 製的 5，可以重複的 5，可測量的單位，等比例的比值」等不同的意義。

在數學教科書中，獨有且重要的詞彙隱含數學概念，教科書中如何進行詞彙的 安排讓學童能夠正確掌握其意義進而理解教科書所欲傳達的內容，本研究透過對專 門詞彙、特殊詞彙與代詞的分析進行瞭解。

二、教科書中的語意結構

數學教科書中語意結構關係著學童的解題表現（謝佳伶，2009）。語意結構包 括敘述方式、文字敘述的完整性與敘述中隱含的解題策略。分數乘法教材中，狀態 敘述與關係敘述是主要的敘述方式，在狀態敘述中，分數代表一個量，在關係敘述 中，分數代表一個運算子，例如：「我吃了

4

1個披薩，也就是一個披薩的 4

1。」同樣

是「4

1」，意義卻不同，前者代表量，後者代表關係，不同的敘述方式透露著分數 數詞所代表的不同意義。

文字敘述完整性也屬於語意結構的一部分，完整敘述呈現完整訊息，重點提示 則隱藏部分訊息。在敘述中隱含的解題策略方面，分數乘法的解題策略包括等分割 份數觀點與內容物觀點（周筱亭、黃敏晃，2002），不同解題策略的使用透露出學

割份數觀點解題涉及一連串的歷程，包括「整體參照量的再等分割→倍的活動→合 併找出結果」，而內容物觀點則涉及分數原始意義與整數的乘法解題能力。

基於以上，本研究透過分析狀態敘述與關係敘述的內容、文句敘述的完整性與 解題策略來瞭解各版本教科書處理分數教材中語意結構的情況。

三、教科書中的問題情境

數學是一種高度複雜的符號語言，面對如此多元且抽象的數學語言，學童的學 習面臨挑戰，「適合的情境」成為拉近學童與抽象數學間距離的轉化劑，適當的布 題情境安排可以協助學生理解概念、強化認知（教育部，2003；Behr et al.，1983）。

一般而言，分數乘法問題情境分為連續量情境與離散量情境兩種，在不同的分數乘 法問題類型中，情境的安排會有所差異。

四、教科書中的算式符號

算式符號是數學教科書常用以作為溝通意義與組織資訊的媒介（Adams，

2003）。算式符號在數學教科書中具有相當多功能，符號具有溝通的功能，例：「＋」

是傳達運算的運算符號；同時，符號有具有組織的功能，例：（2＋3）×4 的式子中，

括號扮演著將不同的運算加以組織的功能。

符號也有其多變性，有時候不同的符號代表相同概念，例如：「4」顆蘋果與「四」

顆蘋果具有相同的概念；有時候，同一符號卻會代表不同的意義，例如：「=」在算 術上代表結果，「=」在代數上則隱含對稱性與交換性的特質。就分數的符號表徵來 看，其用兩獨立的自然數組合來表徵一個分數對國小學童產生許多學習上的困擾，

不論是對於分數概念的理解、分數大小的比較、等值分數的認識等，往往因為分數 這種獨特的符號表徵形式而產生諸多的錯誤類型（呂玉琴，1991；林福來、黃敏晃，

1991；Hart, 1981）。

上述分析顯示，數學符號雖然具有簡化表達的功能，但在概念上卻具有相當的 複雜性，同時，學童在分數學習上的錯誤與困擾和分數符號之間有密切的關聯。

在數學領域中，各式的符號被廣泛的使用，面對數學符號，學童必須能掌握其

特定的意義才能有效的進行數學教科書閱讀，當學童對於符號學習僅止於記憶時，

符號僅是抽象的記錄並且會造成學習焦慮（蔣宇立，2000）；當學童對於符號理解 時，符號成為有意義的記錄與運算工具。在運算紀錄上，呈現完整解題時為「示範」， 呈現部分解題時則是「提示」。使用於數學教科書中的符號是教科書編輯者從專家 的角度思維出發，在符號的運用上可能潛藏不同的意涵，學生若未能理解符號背後

符號僅是抽象的記錄並且會造成學習焦慮（蔣宇立，2000）；當學童對於符號理解 時，符號成為有意義的記錄與運算工具。在運算紀錄上，呈現完整解題時為「示範」， 呈現部分解題時則是「提示」。使用於數學教科書中的符號是教科書編輯者從專家 的角度思維出發，在符號的運用上可能潛藏不同的意涵，學生若未能理解符號背後