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國小數學教科書分數乘法教材問題類型與表徵之分析

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Academic year: 2021

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國立臺中教育大學數學教育學系

在職進修教學碩士學位班碩士論文

指導教授:游自達 博士

國小數學教科書分數乘法教材

問題類型與表徵之分析

研究生:蕭弘卿 撰

中華民國九十八年六月

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國立臺中教育大學數學教育學系

在職進修教學碩士學位班

碩士學位論文考試委員會審定書

蕭弘卿

君所撰論文

國小數學教科書分數乘法教材問題類型與表徵之分析

經本委員會審議,符合碩士論文標準,特此證明。

論文考試委員會

主 席:

委 員:

指導教授:

所 長:

中 華 民 國 九 十 八 年 六 月 十 九 日

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國小數學教科書分數乘法教材問題類型與表徵之分析

摘要 本研究進行國小數學教科書分數乘法教材問題類型與表徵之分析,旨在探討教 科書中分數乘法問題類型的安排情況,以及影響學童學習之書寫符號表徵與圖形表 徵之運用情況。 本研究以九年一貫暫行綱要版本國小數學教科書為研究對象,包括康軒、南一 與翰林三個版本的課本與習作。研究採用「內容分析法」,同時,利用 Atlas.ti 電腦 分析軟體協助進行多項表徵及其關係的資料分析與整合。研究類目依照相關文獻以 及研究者與指導教授反覆討論修正後制定,在書寫符號表徵部分包括詞彙、語意結 構、問題情境與算式符號,圖形表徵包括圖文關係、插圖形式與插圖示意清晰度。 本研究分析各版本之數學教科書分數乘法教材,幾點主要的發現分述於下。 壹、在問題類型方面,三個版本都從「被乘數分子與乘數分母互質類型」引入分數 乘以分數的學習,而分數乘法活動的順序安排相異。 貳、在書寫符號表徵部分,各版本詞彙在布題與解題內容的整體表現有高度相似 性,關係敘述與參照量代詞在出現次數、呈現種類與使用時機上也完全相同。 參、各版本圖形表徵在插圖形式與插圖示意清晰度的呈現有相當大的差異。在插圖 形式部分,康軒與南一以連續面積方形為主,而翰林則以連續面積圓形為主。 在插圖示意清晰度部份,康軒與南一在呈現模式上都先出現序列模式再使用結 果模式,而翰林只出現序列模式;在知覺結果部分,只有翰林進行結果量的整 併;在等分單位部分,只有康軒版出現部份等分的圖形表徵。 最後依據研究結果分別對教科書編寫與未來研究者提出相關建議以供參考。 關鍵詞:國小數學教科書,分數乘法,問題類型,書寫符號表徵,圖形表徵

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The Analysis toward the Question Types and Representations of the Fraction Multiplication Materials in Mathematics Textbook for our Elementary School

Abstract

The main purpose of the study was to discuss the question types, the written symbolic representations, and the diagram representations of the fraction multiplication materials. The study focused on the analysis of the mathematics textbooks and workbooks for our elementary school which compiled in accordance with general guidelines of grades 1-9 curriculum of 2000. Content analytic method and Atlas.ti were adopted for this study.

Three major findings of this study were as follows:

1. In the question types, the introductions of fraction-times-fraction materials were from the type which the multiplicand numerator and the multiplicator denominator were coprime. The fraction multiplication activities' arrangement were different. 2. In the written symbolic representations, the vocabulary was highly similar between

the problem contents and the problem-solving contents. The frequency, type, using time of andrelative-descriptions and the datum replacements were the same.

3. The diagram representations in different versions textbooks were different. In illustration form part, Kang-Xuan and Nan-E used continual area square shape primarily, but Han-Lin by used continual area circular primarily. In the illustration hint clarity part, Kang-Xuan and Nan-E were the same. In division unit part, only Kang-Xuan presented the partial division the diagram representations.

Finally, some observations made and implications were discussed, and suggestions were made to textbook editors and researchers.

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Keywords:mathematics textbook, fraction multiplication materials, question types, written symbolic representations, diagram representations

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目次 第一章 緒論... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的與待答問題... 3 第三節 名詞釋義 ... 4 第四節 研究範圍 ... 6 第二章 文獻探討... 7 第一節 教科書的功用與發展... 7 第二節 數學教科書之表徵類型 ... 9 第三節 分數乘法相關研究... 19 第三章 研究設計與實施 ... 25 第一節 研究設計 ... 25 第二節 研究資料處理 ... 33 第四章 研究結果與討論 ... 35 第一節 各版本教科書分數乘法問題類型... 35 第二節 各版本教科書分數乘法布題內容分析 ... 41 第三節 各版本教科書分數乘法解題內容分析 ... 52 第五章 結論與建議 ... 83 第一節 結論... 83 第二節 建議... 85 參考文獻 ... 89 【中文部分】... 89 【英文部分】... 93

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表目次 表 3-1-1 國中小實施數學課程之版本彙整表 ... 27 表 3-1-2 國小數學教科書分數乘法教材問題類型表... 28 表 3-1-3 國小數學教科書分數乘法教材分析類目定義表 ... 31 表 3-2-1 本研究研究者相互同意度... 34 表 4-1-1 各版本分數乘以分數類型例子 ... 36 表 4-1-2 各版本整數乘以分數類型例子 ... 36 表 4-1-3 各版本分數乘法問題類型題數統計表 ... 37 表 4-1-4 整數乘以分數的問題類型題數統計表 ... 38 表 4-2-1 各版本分數乘法教材各詞彙在布題內容呈現的次數統計表... 42 表 4-2-2 各版本布題內容在語意結構呈現序列類別的次數統計表... 45 表 4-2-3 各版本在連續情境與離散情境佔總題數的統計表 ... 47 表 4-2-4 各版本不同分數類型布題在問題情境佔該類型布題總題數百分比統計表 ... 48 表 4-2-5 各版本分數乘法布題教材中包含插圖的例子 ... 50 表 4-3-1 各版本解題的語意結構進行轉換次數統計表 ... 53 表 4-3-2 各版本分數乘法教材中解題語意結構舉例... 55 表 4-3-3 各版本解題的完整敘述與重點提示次數統計表 ... 56 表 4-3-4 各版本分數乘法解題教材中完整敘述與重點提示的例子... 57 表 4-3-5 各版本解題的等分割份數觀點與內容物觀點次數統計表... 59 表 4-3-6 各版本分數乘法解題教材中等分割份數觀點與內容物觀點的例子 ... 60 表 4-3-7 各版本解題中各算式符號出現次數統計表... 61 表 4-3-8 各版本解題中算式符號的舉例 ... 63 表 4-3-8(續) 各版本解題中算式符號的舉例 ... 64 表 4-3-9 各版本解題中插圖形式出現次數統計表... 65

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表 4-3-10 各版本解題中插圖形式的舉例... 67 表 4-3-11 各版本解題圖形表徵呈現模式的次數統計表 ... 68 表 4-3-12 各版本圖形表徵呈現模式解題教材舉例 ... 70 表 4-3-13 各版本各知覺結果在解題內容呈現的次數統計表 ... 71 表 4-3-14 各版本圖形表徵量的整併解題教材舉例 ... 72 表 4-3-14(續) 各版本圖形表徵量的整併解題教材舉例 ... 73 表 4-3-15 翰林版解題圖形表徵中未呈現整體量的舉例... 74 表 4-3-16 各版本各等分單位在解題內容呈現的次數統計表 ... 75 表 4-3-17 各版本解題圖形表徵的等分單位舉例 ... 76 表 4-3-17(續) 各版本解題圖形表徵的等分單位舉例... 77

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圖目次 圖 2-2-1 連結具體活動與形式的橋樑:圖形表徵 ... 15 圖 2-2-2 圖形表徵「位置」影響學童分數概念 ... 16 圖 2-2-3 等分線的多寡影響學童分數概念... 17 圖 2-2-4 數學表徵系統及其轉換關係 ... 18 圖 2-3-1 面積的乘積模式... 21 圖 2-3-2 部分-整體區域面積模式 ... 22 圖 2-3-3 部分-整體區域面積模式 ... 22 圖 3-1-1 研究類目架構圖 ... 32 圖 4-1-1 各版本分數乘以分數與整數乘以分數題數直方圖... 38 圖 4-1-2 各版本整數乘以分數題型題數百分比直方圖 ... 40 圖 4-2-1 各版本「分數乘以分數」類型問題情境佔布題總題數百分比直方圖 ... 48 圖 4-2-2 各版本「整數乘以分數」類型問題情境佔布題總題數百分比直方圖 ... 48 圖 4-3-1 各版本各類目的出現次數圖 ... 79

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第一章 緒論

本研究係以數學教科書為範圍,探討教科書中分數乘法教材問題類型以及書寫 符號表徵與圖形表徵的運用情況。本章就研究動機、研究目的與待答問題、名詞釋 義、研究範圍加以說明。 第一節 研究動機 一直以來,教科書的相關研究皆受到世界各國的重視,歐美國家透過教科書學 術研究機構進行各國教科書的學術交流,如德國的國際教科書研究所、法國巴黎國 家教育學院的教科書研究中心與聯合國教科文組織。近年來,我國對教科書的研究 也相當重視,從國立編譯館獎助教科書研究博碩士論文可看出。各國重視教科書研 究,而我國在教科書研究的數量於近年來有增加的趨勢,周珮儀(2005)進行我國 從 1979 到 2004 年的教科書研究分析,指出目前在數學學科上的教科書相關研究仍 缺乏。 目前數學教科書的相關研究很少,而國內現今數學教科書採取多個審定版本並 行的制度(歐用生,2006;蔡麗蓉,2003),面對不同版本如何進行選取是教學者 重要的課題。好的教科書研究有助於發展出品質優良的教科書,同時協助教學者進 行版本選取時,發揮教師專業素養進行專業的教科書選用,為教學帶來最大的效 益,本研究基於此理念,進行數學教科書之研究。 數學教科書是學童學習的重要閱讀教材,教科書編撰者要以有限的文字及圖形 編碼傳達所要溝通的概念,在這閱讀與書寫的溝通過程中,教科書中的用字遣詞、 文字敘述、算式符號、插圖附表等運用情況將會影響學童對數學概念的理解,從閱 讀活動影響數學理解進而緊扣學童的解題與學習(孔企平,1998;郭重吉,1992;

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游自達,1995;黃政傑,1989;蔡麗蓉,2003;歐用生,2006;Adams, 2003; Mckenna & Robinson, 2002; Vacca & Vacca, 2002)。

教科書中的表徵材料包括書寫符號表徵與圖形表徵。書寫符號表徵包括詞彙、 語意結構、問題情境與算式符號;詞彙是表達數學重要概念的基本單位,而具有運 算與組織功能的算式符號表徵簡化教科書中的文字描述,是數學教科書有別於其他 學科的特有表徵方式,而教科書中語意結構與問題情境的設計關係學童的解題表現 (甯自強,1994;謝佳伶,2009;Adams, 2003;Jacobson,1998)。對於這些與數 學學習息息相關的龐大的表徵訊息,各版本數學教科書如何呈現與編排成為本研究 的重點之一。 數學教科書中,除了書寫符號表徵為重要的表徵材料外,圖形表徵亦是教科書 中傳達與溝通重要的媒介之一。數學教科書常運用圖片提供相關資訊、表徵情境或 組織相關的訊息。數學教科書中的圖形表徵對於學習具有畫龍點睛之效,因為圖片 不僅擁有讓資訊透過文字的說明又加上圖片再次強調的雙重編碼功能,同時,圖片 具有引起注意、增進瞭解、保存記憶等功能,學習者在建構概念過程中,可藉由圖 形表徵強化理解,提升學習成效(張清濱,1982;單文經,1996)。插圖與文句敘 述之間的關係、圖形表徵形式的不同以及插圖示意清晰的程度都是影響數學學習的 因素,因此,必須謹慎選擇及設計適當的圖形表徵,才能對教科書中概念的傳達產 生加分的效果(呂玉琴,1991;林碧珍,1990;Anglin, & Stevens, 1987;Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983)。各版本數學教科書中圖形表徵的運用情況也成為本研究的重 點之一。

數學教科書中各表徵的呈現與設計是研究者關心的內容,當這個議題和學童學 習困難的分數乘法教材結合讓數學教科書研究更具價值。基於此,本研究進行數學 教科書中分數乘法教材的分析。

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的學習時更是一大挑戰(呂玉琴,1991;林碧珍,1990;甯自強,1993;劉秋木, 1996;Hunting, 1983)。學童在剛接觸分數概念時,分數代表一個量;進行加減運 算時,分數亦是量的概念;但進入分數乘法時,分數表徵時而代表量,時而表示關 係,當編者已賦予分數不同的意義時,學童是否察覺此一改變?在乘法多元結構與 分數多重意義及表徵多樣性的交互作用下,數學教科書如何透過書寫符號表徵與圖 形表徵呈現這些內容,成為本研究關注的焦點。 有鑒於數學教科書研究的重要性,而目前相關研究仍缺乏,本研究進行國小數 學教科書分數乘法教材之內容分析,探討各版本在分數乘法問題類型、書寫符號表 徵與圖形表徵呈現之情況。 第二節 研究目的與待答問題 基於上述之研究動機,本研究的主要目的是探討國小數學教科書中分數乘法教 材在問題類型、書寫符號表徵與圖形表徵的運用情況。具體研究目的臚列於下: 壹、分析國小三種版本數學教科書分數乘法教材中,其對於分數乘法問題類型的安 排情況。 貳、分析國小三種版本數學教科書分數乘法教材中,書寫符號表徵與圖形表徵在布 題與解題中的運用情況。 參、依研究結果,對九年一貫課程國小數學教科書設計編輯提出相關建議供參考。 根據上述研究目的,本研究待答問題如下: 壹、國小三種版本數學教科書分數乘法教材中,在分數乘法問題類型的安排情況為 何?

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貳、國小三種版本數學教科書分數乘法教材中,布題內容之書寫符號表徵與圖形表 徵的運用情況為何? 參、國小三種版本數學教科書分數乘法教材中,解題內容之書寫符號表徵與圖形表 徵的運用情況為何? 第三節 名詞釋義 為使研究更具體明確,以下針對本研究中重要名詞分別界定與說明。 壹、國小數學教科書 本研究所指的國小數學教科書為九十三學年度所使用之六年級數學教科書。九 十三學年度六年級數學教科書為第一年依照暫行綱要所編纂之版本,是八二年版教 材過渡到九年一貫暫行綱要的首批教材,同時,九十三學年度的數學教科書為一至 九年級同時使用依照暫行綱要所編纂之版本唯一的一年,是依照暫行綱要編纂之教 科書中較具代表性的一個版本。現行九十七學年度數學教科書在國小六年級部分仍 舊是依照九年一貫暫行綱要所編纂,除了融入正綱進行部份內容調整與修改外,整 體大架構與內容與九十三學年度數學教科書相近,因此,本研究針對九十三學年度 六年級數學教科書進行研究。 貳、分數乘法教材 從數學本質來看,「乘數為分數」的分數乘法涉及分數倍語言轉換,為本研究 關心的部分,因此,本研究所指的分數乘法教材是指「乘數為分數」的分數乘法, 包含「分數乘以分數」以及「整數乘以分數」兩部分,本研究所指的分數乘法不包 括分數的整數倍教材。在教科書內容中,「分數代表的整數相除意涵」與「分數乘 以分數中被乘數與乘積之間的關係」同樣安排在乘數為分數的分數乘法單元中,但

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此並非本研究關心之重點,因此,不包括在本研究之內容中。 參、分數乘法問題類型 本研究將分數乘法問題類型分為二部分進行說明,第一部份為「分數乘以分 數」,第二部分為「整數乘以分數」,說明於下。 一、分數乘以分數 從數學概念的觀點來看,「被乘數分子」與「乘數分母」之間的關係是影響分 數乘以分數難易程度的關鍵,本研究基於此,將分數乘以分數的問題類型定義為四 類:被乘數分子與乘數分母相等類型(如: 3 1 4 3  )、被乘數分子是乘數分母的整數 (大於 1)倍類型(如: 3 1 4 6  )、被乘數分子是乘數分母的非整數倍且有公因數類 型(如: 4 1 4 2  、 10 3 4 4  、 4 1 4 10  ),以及被乘數分子與乘數分母互質類型(如: 5 1 4 3  )。 二、整數乘以分數 定義為四類問題類型,包含整數×單分、整數×真分、整數×帶分、整數×假分。 每一類型又分為乘積為整數與乘積為分數二種,共八種問題類型。 肆、表徵 本研究所指之表徵包括書寫符號表徵與圖形表徵。 伍、書寫符號表徵 舉凡教科書中出現的詞彙、語意結構、問題情境以及算式符號皆屬於書寫符號 表徵。 陸、圖形表徵 舉凡教科書中出現由點、線、面集合成的圖樣,不管是用於裝飾、表達題意或 協助解題等都屬於圖形表徵的範圍。本研究對於圖形表徵所關心的包含圖文關係、 插圖形式與插圖示意清晰度。

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第四節 研究範圍 本研究探討國小數學教科書分數乘法教材之問題類型、書寫符號表徵與圖形表 徵的呈現,對國小數學教科書分數乘法教材進行內容分析,研究對象為九十三學年 度國小數學審定本教科書中之分數乘法教材。 在研究範圍部分,選取市場佔有率較高的三個版本,包括康軒版(康軒文教事 業)、南一版(南一書局企業公司)、翰林版(翰林出版事業股份有限公司),針對 每個版本的課本與習作進行分數乘法內容分析,包括問題類型、書寫符號表徵與圖 形表徵。在學習上,教科書扮演重要的中介角色,教科書透過布題的呈現與解題內 容的引導協助學童進行學習,因此,在教科書的內容部分,本研究將布題及解題兩 大部分的內容獨立出來進行研究。

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第二章 文獻探討

本研究的主要目的是探討數學教科書中分數乘法教材的問題類型安排情況,以 及書寫符號表徵與圖形表徵的運用情況,提供各版本教科書編輯與未來研究之參 考。本章的文獻探討共分成三節:第一節探討教科書的功用與發展,第二節進行數 學教科書內容之表徵類型探討,第三節探討分數乘法的重要概念。 第一節 教科書的功用與發展 從國內外許多研究可以看出教科書在教學情境中佔有重要的角色,教學者大量 依賴教科書進行教學,而學童在學習過程中也花了許多時間在教科書上(周祝瑛, 1995;柯華葳,1995;Pepin & Haggerty, 2004)。教科書為學生學習的利器,同時也 是協助教師進行教學的重要工具,其主要的功能有幾點(周珮儀,2002;黃政傑, 1989):(一)教科書將龐雜的人類知識、經驗和價值去蕪存菁,有系統地陳述學科 內容,以合乎邏輯和教育目的的次序安排教學內容與主題,能夠實現國民教育目 標、貫徹國家教育政策。(二)教科書和相關的教學指引與習作,提供教師發問的 問題、測驗題目、學生的活動與正確的解答,減輕教師的教學負擔,增進教師運用 教學時間的效率,節省教師編輯教材的時間。(三)由於課程內容具有各種不同的 學科,教師很難兼具這些專業,而教科書正可以提供各科的專門知識。(四)教科 書設定了教師和學生的學習歷程,使教師、學生、家長和行政人員都可以了解教學 進行的順序和目的與學生的學習狀況,作為輔導與改進的依據。(五)教科書可以 幫助學生學習,教科書的編輯依照學生學習心理,合理的選擇、組織並排列教材, 以生動的方式提供學生學習,而且,教科書除了文字說明外,尚有插圖、表、練習 與作業指導等,是學童學習的利器。

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教科書不只傳遞知識,教科書的內容更隱含了文化與社會價值,教科書不僅是 學術知識的媒介更是意識形態及文化的引導,品質優良的教科書促進和平、人權與 可持續發展的概念與技能(Georg Eckert Institute, 2005)。

教科書如此具有影響力,一直以來,教科書研究亦受到重視,可由幾個方面看 出:(一)以歐美等發達國家的研究所和大學為中心的教科書學術研究機構,如: 德國的國際教科書研究所與法國巴黎國家教育學院的教科書研究中心,這些機構透 過各種國際會議、出版專業刊物和其他資訊網路與世界各國進行廣泛的教科書研究

專業化與學術交流(課程與教材改革之路,2000)。(二)聯合國教科文組織(United

Nations Education, Scientific and Cultural Organization,簡稱 UNESCO)對組織內各

會員國進行教科書的相關研究。(三)國立編譯館於 2004 年頒布「國立編譯館獎助 教科書研究博碩士論文作業要點」,以鼓勵國內研究生對教科書相關主題進行深入 而有系統之研究,以提升國內教科書學術研究風氣與水準。 各國重視教科書研究,而我國在教科書研究的數量於近年來有增加的趨勢。周 珮儀(2005)進行我國從 1979 到 2004 年的教科書研究之分析,指出我國在教科書 研究著重教科書的發展與教科書內容分析,其中,教科書的內容分析是我國研究的 主流,約占全體的六成,主要的焦點為意識形態分析、學科概念分析與教科書運用 之研究。從周珮儀(2005)的研究中可以發現無論是在學科概念分析或教科書運用 之研究中,數學學科的相關研究非常少,可見目前在數學學科上的教科書研究仍缺 乏。 我國的數學教科書歷經許多變革。自民國以來,我國教科書採行「審定版」與 「統編版」並行;1968 年,教育部公佈「九年國民教育實施條例」,中小學教科書 進入國立編譯館統一編輯時代;隨著社會多元化、教育現代化的影響,為配合時代 的需求,教育部在 1996 年開放民間教科書審定本;直到 2005 年,數學教科書又恢 復「部編版」與「民間審定本」同時發行。這些重大的教育變革,反應國內課程自

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蓉,2003)。 目前國內數學教科書有多個審定版本,面對不同版本如何進行選取是教學者重 要的課題。好的教科書研究有助於發展出品質優良的教科書,同時協助教學者進行 版本選取時,透過研究的專業資訊,發揮教師專業素養進行教科書選用,為教學帶 來最大的效益。本研究基於此理念,進行數學教科書之研究。 第二節 數學教科書之表徵類型 數學是一種高度複雜性的符號語言,同時,數學亦是一種高度社會化建構的產 物,具有語言表達與溝通的特性(Walkfield, 2000)。由於數學的語言特質,數學學 習和語言學習之間有其相似性,數學教科書的閱讀就和一般的閱讀有其相似之處, 數學詞彙、數學言談之樣式與文字敘述等各種表徵的掌握是學童熟悉數學語言同時 掌握教科書閱讀不可或缺的內涵。學童閱讀數學教科書時,書中的元素會影響學童 對題意與解題內容的閱讀理解,進而影響學童數學學習。當學童使用教科書進行學 習時,無論是自學或在教學者引導下學習,從布題中的文字、圖形表徵,到解題內 容的敘述、算式、解題步驟與輔佐解題的插圖,以及練習題的呈現,各元素與元素 間相互關係的掌握都會影響學童的學習。 在數學教科書內容的元素中,表徵占了很高的比例。表徵(representation)是 學習的認知研究中重要的概念,將現實世界的事物以另一種較為抽象化符號化的形 式來代表的歷程,便是表徵作用(張春興,1989)。 在數學活動中,表徵扮演著兩種角色:一是運思的材料,另一則是溝通的媒介。 Bruner(1966)由運思的觀點,區分三種被運思的表徵,動作的(enactive)表徵、 圖像的(iconic)表徵、符號的(symbolic)表徵。Lesh(1979)運用溝通的觀點描 述表徵的類別,包括真實情境(real-world situations)、操作具體物(manipulative

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aids)、圖畫(pictures)、口語符號(spoken symbols)、書寫符號(written symbols)。 如果說,Bruner 是運用運思材料的觀點討論表徵的類別,Lesh 則是以溝通的觀點重 新描述了表徵的類別(蔣治邦,1994)。 因此,個人透過表徵作用得以理解外在世界、進行思考,並具有和他人溝通的 能力;換言之,表徵是學習的重要媒介,也是個人運思的材料與溝通的重要工具; 從知識表徵的觀點而言,數學理解即是獲得有力的表徵系統並具有運用多重表徵的 彈性,以有效的地進行數學思考、與他人溝通(游自達,1995)。教科書的閱讀與 書寫即是一種溝通的過程,在這溝通過程中,教科書編撰者要以有限的文字編碼, 即表徵的材料,來傳達所要溝通的概念;而閱讀者則以個人的先備知識、閱讀理解 策略、後設認知等心理活動來解讀教科書的內涵,產生內心的運思表徵系統,重整 其意義,進一步運用多重表徵來溝通運思的結果。在這概念傳達轉換過程中,教科 書所呈現的內涵、形式、結構將會對學童數學概念理解產生影響(Vacca & Vacca, 2002)。 具體而言,學童對數學教科書的閱讀一方面受個人心理活動的影響,另一方面 亦受到閱讀素材之用詞遣字、文章結構、內容連貫性、插圖附表運用等之影響。目 前,針對數學教科書內容進行的相關研究並不多,現階段我國開放各版本教科書, 本研究關心各版本在各元素的設計與安排情況,透過閱讀理解的概念建立本研究的 數學教科書內容分析之類目,以下分為書寫符號表徵與圖形表徵兩大主軸進行數學 教科書中各元素之討論。 壹、數學教科書中的書寫符號表徵 數學教科書中的書寫符號表徵包括詞彙、語意結構、問題情境與算式符號,以 下針對數學教科書中書寫符號表徵各元素加以討論。 一、教科書中的詞彙 教科書包含很多專門術語與新的概念,這些詞彙傳達數學的重要概念,是數學

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詞彙(technical vocabulary)」、「特殊詞彙(special vocabulary)」、「代詞(anaphora)」, 以及「不熟悉的詞彙(unfamiliar words)」,分述於下。 (一) 專門詞彙 專門詞彙所指的是數學領域中獨有且重要的概念,例如:通分、約分、帶分數、 半徑、圓周率等。 (二) 特殊詞彙 指數學和其他領域、生活語言使用相同或相似的詞彙,但卻代表不同概念者, 如:分數。在數學領域裡,「分數」具有多重意義,全體區域中的部分區域;全部 集合中的子集合;數線上的一值;兩數相除的結果,以及兩個量相比的結果(林碧 珍,1990),這些「分數的多重的意義」與生活中分數代表「成績」有所差異。 (三) 代詞 指替代已經敘述過的名詞、動詞、或名詞的代稱,例如:這些,誰等。 (四) 不熟悉的詞彙 學童較不熟悉的詞彙,例如:切割、疊合等。秦麗花、邱上真在 2002 年曾對 學童進行角度單元的臨床晤談時,發現學童對於「疊合」的意思有問題,雖然學童 曾做過利用透明紙去比較角,也就是「疊合」的動作,但學童卻無法將其和文本中 的「疊合」產生連結(秦麗花、邱上真,2004)。 在分數乘法的部分,代詞的不同涉及整體參照量的轉變,例如:「剩下的五分 之三」,此時「剩下的」當成整體參照量;又如,「全部的三分之一」,此時「全部 的」當成整體參照量。整體參照量的掌握是分數乘法學習的關鍵之一,有研究指出, 學童常忽略整體參照量,例如:要求學童「圈出 28 顆糖果的 7 1」的題目中,學童 會圈出 7 個,顯示學童沒有掌握代詞「28 顆糖果的」的意義(林碧珍,1990;Figueras, Filloy & Volderuoros, 1987)。在分數乘法教材中,學童必須透過代詞清楚明白所指

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涉隱含的整體參照量,也就是分數運作的對象,才能正確掌握教科書中代詞所代表 的意義。 此外,數學詞彙與日常生活詞彙有時會因其同音異義、一詞多義、不同情境下 的應用轉換而產生混淆,造成學童學習困難,學童在學習上就必須發展詞彙應用情 境的覺知加以區辨(Adams,2003)。在同音異義方面,例如:終點 vs.中點,合 vs. 和。一詞多義方面,例如:分數、角、邊。不同情境下的應用轉換也有不少例子, 甯自強(1994)指出,同一數詞在不同的情境下可代表不同的意涵,隨著兒童數結 構的發展,其所認識的數詞意義也會有所不同。以數詞「ㄨˇ 」為例,依概念發展 可表示成「第五,5 個 1(以 1 為集聚單位),1 個 5(以 5 為集聚單位),可一再複 製的 5,可以重複的 5,可測量的單位,等比例的比值」等不同的意義。 在數學教科書中,獨有且重要的詞彙隱含數學概念,教科書中如何進行詞彙的 安排讓學童能夠正確掌握其意義進而理解教科書所欲傳達的內容,本研究透過對專 門詞彙、特殊詞彙與代詞的分析進行瞭解。 二、教科書中的語意結構 數學教科書中語意結構關係著學童的解題表現(謝佳伶,2009)。語意結構包 括敘述方式、文字敘述的完整性與敘述中隱含的解題策略。分數乘法教材中,狀態 敘述與關係敘述是主要的敘述方式,在狀態敘述中,分數代表一個量,在關係敘述 中,分數代表一個運算子,例如:「我吃了 4 1個披薩,也就是一個披薩的 4 1。」同樣 是「 4 1」,意義卻不同,前者代表量,後者代表關係,不同的敘述方式透露著分數 數詞所代表的不同意義。 文字敘述完整性也屬於語意結構的一部分,完整敘述呈現完整訊息,重點提示 則隱藏部分訊息。在敘述中隱含的解題策略方面,分數乘法的解題策略包括等分割 份數觀點與內容物觀點(周筱亭、黃敏晃,2002),不同解題策略的使用透露出學

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割份數觀點解題涉及一連串的歷程,包括「整體參照量的再等分割→倍的活動→合 併找出結果」,而內容物觀點則涉及分數原始意義與整數的乘法解題能力。 基於以上,本研究透過分析狀態敘述與關係敘述的內容、文句敘述的完整性與 解題策略來瞭解各版本教科書處理分數教材中語意結構的情況。 三、教科書中的問題情境 數學是一種高度複雜的符號語言,面對如此多元且抽象的數學語言,學童的學 習面臨挑戰,「適合的情境」成為拉近學童與抽象數學間距離的轉化劑,適當的布 題情境安排可以協助學生理解概念、強化認知(教育部,2003;Behr et al.,1983)。 一般而言,分數乘法問題情境分為連續量情境與離散量情境兩種,在不同的分數乘 法問題類型中,情境的安排會有所差異。 四、教科書中的算式符號 算式符號是數學教科書常用以作為溝通意義與組織資訊的媒介(Adams, 2003)。算式符號在數學教科書中具有相當多功能,符號具有溝通的功能,例:「+」 是傳達運算的運算符號;同時,符號有具有組織的功能,例:(2+3)×4 的式子中, 括號扮演著將不同的運算加以組織的功能。 符號也有其多變性,有時候不同的符號代表相同概念,例如:「4」顆蘋果與「四」 顆蘋果具有相同的概念;有時候,同一符號卻會代表不同的意義,例如:「=」在算 術上代表結果,「=」在代數上則隱含對稱性與交換性的特質。就分數的符號表徵來 看,其用兩獨立的自然數組合來表徵一個分數對國小學童產生許多學習上的困擾, 不論是對於分數概念的理解、分數大小的比較、等值分數的認識等,往往因為分數 這種獨特的符號表徵形式而產生諸多的錯誤類型(呂玉琴,1991;林福來、黃敏晃, 1991;Hart, 1981)。 上述分析顯示,數學符號雖然具有簡化表達的功能,但在概念上卻具有相當的 複雜性,同時,學童在分數學習上的錯誤與困擾和分數符號之間有密切的關聯。 在數學領域中,各式的符號被廣泛的使用,面對數學符號,學童必須能掌握其

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特定的意義才能有效的進行數學教科書閱讀,當學童對於符號學習僅止於記憶時, 符號僅是抽象的記錄並且會造成學習焦慮(蔣宇立,2000);當學童對於符號理解 時,符號成為有意義的記錄與運算工具。在運算紀錄上,呈現完整解題時為「示範」, 呈現部分解題時則是「提示」。使用於數學教科書中的符號是教科書編輯者從專家 的角度思維出發,在符號的運用上可能潛藏不同的意涵,學生若未能理解符號背後 的不同意涵並加以區辨,可能會造成數學教科書閱讀與學習上的困難,各版本符號 的運用與運算紀錄的呈現模式是進行數學教科書內容分析之研究的重點之一。 貳、數學教科書中的圖形表徵 從圖形表徵對學習功能的相關討論可以看出圖形表徵在教科書元素中佔有重 要的地位。張清濱(1982)指出,教育家們一致認同圖片可以使觀念更有實際感, 同時可以刺激學童的創造力。雖然插圖可能會提高教科書的成本,但是,設計良好 的圖片可以引起學生的興趣並協助學生學習,教育上的價值遠高於物質的付出。在 美國,教科書封面莫不精心設計,其設計能夠吸引學童同時突顯該書的重點內容; 社會學科教科書也常利用圖片清楚表達內容,協助學童學習的成效。

Paivio 在 1971 及 1983 年曾提出圖片具有「雙重編碼(dual coding)」的功效, 「雙重編碼」是指呈現於圖片或是圖表的資料都經過了兩次的編碼過程:一次是圖 片或圖表的本身,另一次則是配合的文字說明。同時,Winn 在 1993 年提出插圖的 色彩主要可以發揮二項功能,(一)提高插圖真實感;(二)強調訊息的重點。Philippe Duchastel 認為插圖有三種功能:引起注意、增進了解及保存記憶(引自單文經, 1996)。 圖形表徵也具有協助兒童從具體過渡到形式化的功用。Hart 與 Sinkinson 在 1987 年的研究證實,許多兒童在具體的活動經驗與數學的形式化之間的連結會產生 困難,他們建議提供「搭橋」的過程,也就是「以圖形表徵作中介」以解決問題(引 自江秉叡,2005)。說明如圖 2-2-1。

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圖 2-2-1 連結具體活動與形式的橋樑:圖形表徵 總結來說,善用教科書中的圖形表徵有助於學童的學習,因為學習者在建構概 念過程中,可藉由圖形表徵強化概念的瞭解。不過水可載舟亦可覆舟,圖形表徵雖 可以促進學童的思考,但,不適切的圖形表徵也可能造成日後學習的困難,因此, 必須謹慎選擇及設計適當的表示法,才能對教科書中概念的傳達產生加分的效果 (Behr et al., 1983; Hart, 1981)。如此一來,教科書中圖形表徵的呈現方式成為重要 的研究對象。

圖形表徵影響教科書閱讀,進而對數學學習產生影響,以下針對數學教科書中 圖形表徵的圖文關係、插圖形式與插圖示意清晰度三方面分別加以分析討論。

一、圖文關係

在圖文關係部份,Anglin & Stevens(1987)指出大學學生閱讀圖文並呈的表現 優於只讀課文的表現;而 Hayes & Readence(1983)指出插圖和文章內容相關的程 度越高,則學童對於文章內容的理解與記憶程度越高。在數學教科書中,布題是否 包含插圖,插圖與布題內容的相關程度高低,圖形中含括布題訊息的多寡是本研究 在分析各版本圖形表徵呈現情形時的重點之一。 二、插圖形式 在插圖形式方面,由於本研究關心教科書中分數乘法教材,因此討論分數的表 徵系統。林碧珍(1990)與楊壬孝(1988)將分數乘法教材中圖形表示法分成面積、 離散量與數線三類。面積屬於連續量物體的分割;離散量是一種分離量的集合,由 可數的個數所成的集合;數線則具有單位長及等分段的特徵,同時賦予數字符號, 可用來表示分數與分數、分數與整數之間的關係。 三、插圖示意清晰度 以「圖形表徵」為中介 具體活動 數學形式化

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教科書中的圖形表徵所呈現的訊息不只是插圖的類型,圖形表徵的示意清晰度 也是數學教科書中的重要元素。插圖的呈現模式、插圖在知覺結果的安排與插圖在 等分單位上的設計屬於圖形表徵示意清晰度的範疇。 圖形表徵依照呈現模式可以分為二類,(一)以完整步驟依序呈現各階段,(二) 將所有的步驟整合至同一個圖形表徵中。Levin(1982)所提出的「插圖五類論」, 最常為教學領域所引用,五種分類中的組織(organization)類插圖,完整呈現時間 先後與空間位置的順序,包括地圖、結構圖及程序圖等,可以用來顯示物體或事件 的時間與空間的相關地位,或是用以說明某個過程中的各個步驟等,即是以完整步 驟呈現各階段的圖形表徵。本研究關心數學教科書中分數乘法教材,在分數乘法的 解題過程是序列性的思考,當教科書的圖形表徵完整呈現每個步驟時,即是 Levin 插圖五類論中的組織類插圖,學童容易清楚掌握每一個步驟;當教科書的圖形表徵 將多個步驟濃縮到同一個圖形中,呈現精簡與濃縮過後的完整模式,此時學童必須 透過一個圖形看出隱含的序列操作訊息,才能掌握序列的過程與步驟。因此,本研 究透過呈現模式的分析瞭解教科書中圖形表徵進行解題引導時的情況。 在圖形表徵中,是否對結果量進行整併會影響學童對於結果的知覺敏感度, Novillis(1976)指出學童在部分整體中,斜線區域如果不是連續時,學童會產生錯 誤。顯示圖形表徵「位置」可能影響學生的分數概念,如圖 2-2-2。從圖 2-2-2 中可 發現雖然三個灰色部分都占全部圖形的一半,但因圖形表徵「位置」不同,對學童 分數概念理解造成差異,如此一來,教科書中解題部分的圖形表徵是否將結果量移 動,放到同一個整體參照量中進行整併,會影響學童察覺結果量的敏感度。 圖 2-2-2 圖形表徵「位置」影響學童分數概念

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教科書中的圖形表徵是呈現全體等分或部分等分也會對學童的學習產生差 異。Bergeron and Herscovics(1987)指出在處理部份全體的分數問題時發現學童不 知道各部分均需等分。呂玉琴(1991)利用連續量與離散量的題目分別對四、五、 六年級的學童進行 2 1 4 2分數概念的訪談,驗證圖形表徵中「等分線的多寡」是影 響學童分數概念的因素,如圖 2-2-3。從圖 2-2-3 中可以發現雖然三個灰色部分都占 全部圖形的一半,但因為等分線不同,會對學童分數概念理解造成差異,亦即教科 書中解題部分的圖形表徵等分單位的差異會對學童分數概念理解產生差異。周筱亭 與黃敏晃(2002)提出當學童使用等分割份數觀點進行解題時,可能會忽略將全體 進行等分的過程,產生只對部分進行等分的錯誤,例如: 2 1 4 1倍,學童將「平分 成 2 份中的 1 份」再平分成 4 小份後的 1 小份時,可能會忽略掉分配性地將每一份 都平分成 4 小份,而產生答案是五分之一的錯誤。 圖 2-2-3 等分線的多寡影響學童分數概念 參、數學教科書中的表徵形式及其整合 文字、符號、圖形是數學教科書中最廣泛運用的表徵形式。要能夠充分掌握數 學語言,學童不僅需要對個別的表徵形式及其被表徵的概念之間有所認識外,不同 表徵間的關聯與關係的建立與整合更是數學溝通與理解不可或缺的能力。從知識表 徵觀點,數學理解即是獲得有力的表徵系統並具有運用多重表徵的彈性,以有效的 進行數學思考,與他人溝通(游自達,1995)。

有關數學表徵的模式方面,Behr, Lesh, & Post(1987)提出五種數學表徵,廣 泛受到學者的重視與引用,包括:真實情境(real scripts)表徵,由真實世界的事 件所組成;操作物(manipulative models)表徵,如花片、積木等的操作物;圖形 (static pictures)表徵,如靜態的圖或表等,可被內蘊化為心像;口語(spoken language)表徵:利用口語進行表達;書寫符號(written symbols)表徵,將概念轉

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化為書寫之形式,如符號、句子、算式或方程式。五種模式及其相互之間的關係如 圖 2-2-4。 圖 2-2-4 數學表徵系統及其轉換關係 資料來源:Behr et al.,1987,34 頁 在五種模式中,由於操作物表徵常被轉換為圖的形式,而真實情境表徵也常轉 換以書寫符號表徵形式呈現,因此,圖形、書寫符號、口語轉化的文字敘述成為教 科書的主要表徵模式。除了重視不同的個別表徵外,Behr et al.(1987)更強調不同 表徵之間的轉換,因為表徵間的轉換能力是影響學童數學學習、問題解決及產生有 意義學習的重要因素。 江秉叡(2005)對嘉義市某私立國中,學校考試數學成績較差的一年級學生進 行分數圖形表徵補救教學,發現低成就的國一學童過度依賴算則,對於分數詞的意 義不瞭解,更無法將分數的概念做有意義的連結。對他們而言,從操作具體物表徵 與圖形表徵,以及使用抽象符號表徵並不是那麼理所當然,在表徵間的連結產生困 難。可見,表徵間相互轉換的能力也是數學學習的重點,在學習上也應強調。 數學教科書中的文字敘述、書寫符號、插圖的應用及其整合可說是編寫者與閱 讀者溝通表徵的具體展現,教科書如何使用表徵系統來呈現數學概念,而各版本間 的差異情況又是如何成為本研究重要的分析課題。 manipulative models 操作物 written symbols 書寫符號 real scripts 真實情境 spoken language 口語 static pictures 圖形

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第三節 分數乘法相關研究 分數學習一直是國小學童數學學習的一大挑戰,造成分數學習困難的最大主因 在於分數的多重意義與表徵的多元形式,不僅是學童對於分數學習感到挫折,許多 教師對於分數教學也感到頭痛(呂玉琴,1991;甯自強,1993;劉秋木,1996;Hunting, 1983)。學童對於分數學習感到困難,當進入分數乘法的學習時更是一大挑戰。本 節先對分數的意義加以探討,再針對分數乘法相關內容進行探討。 壹、分數的意義 分數一詞來自拉丁文的「fangere」一字,是指破碎、分開,通常用來描述一個 被分開的全體之各部分;在英文中則使用「fraction」一字來表示分數,含有碎片之 意。許多學者都主張分數具有多重意義,Ohlsson(引自劉秋木,1996)認為從數 學建構的角度來看,分數有四種建構,包括商的函數、有理數、二元向量與合成函 數。Kieren(1988)提出分數的五種概念,包括部分全體關係、比、商、測量與運 算元等。林碧珍(1990)提出分數的意義,(一)全部區域的部分區域以連續量(長 度、面積、容積)為主的部分—整體模式。(二)集合中的部分集合,即為子集合— 集合模式。(三)數線上的一個數值,即為數線模式。(四)兩個整數相除的結果, 即為商模式。(五)兩個集合或兩個向度相比的結果,即為比值模式。 在分數乘法教材中,分數表徵時常代表不同的分數意義,有時代表數量,有時 表示關係,有時呈現比值的意義,教科書中不同意義分數表徵是本研究關心的重點 之一。 從學童分數概念的發展來看,分數概念是分數乘法概念的基礎。根據 NAEP (National Assessment of Educational Progress,簡稱 NAEP)在 1976 及 1980 年的研 究結果顯示,強調分數計算規則程序或記誦並不一定能夠提升分數的計算表現,尤

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其在概念模糊及計算規則遺忘的情況下,要學童重構分數計算的意義並完成解題顯 得困難重重。李秋華(1997)進行六年級學童對分數乘法意義的理解研究,發現六 年級學童對於利用乘法公式進行解題很熟練,正確性高;但對於分數乘法概念的意 義就無法明確的表達;對於「單位量」的指認停留在很形式、很僵化的層次,除了 題目本身有提到的數值之外,若要學童指認更大或更小的數值來當作「單位量」時, 有實質上的困難。李秋華推敲造成學童有如此表現的原因主要是因為教師在進行教 學時,直接引進分數乘法算則與公式的原因。可見學童必須建立好分數概念的基 礎,才能進行有意義的分數乘法學習。 貳、分數乘法的相關內容 在國小數學教科書分數乘法教材中,主要有三種不同的分數乘法類型,包括分 數×整數、整數×分數與分數×分數。依據 Kennedy and Tipps(2000)的研究進行這 三種類型的說明。 一、分數×整數類型 在分數×整數的類型中,先從累加的概念著手,喚起整數乘法的意義,可透過 算式、積木模型、數線圖解等方式,強調單位量(基準量)為基礎,多幾次連加與 乘法算式的連結與練習,例如:「 3 1 + 3 1 + 3 1 + 3 1 + 3 1 = 3 5 1 = 3 5 」,提供幾何模型板 搭配說明,探索並討論此類型乘法運算的規則,同時顯示出單位分數的重要。 二、整數×分數類型 此處複習分數的基本概念,強調基準量(誰代表 1)與單位分數的意義,提供 學生可操作的具體物或圖形表徵,以離散量為佳,引導學生探索與討論此類型分數 乘法的規則,並和前一類型進行比較,得出基準量、分割、單位分數的重要。 三、分數×分數類型 以連續量的情境為佳,從圖解的操作來強調再分割以及與原基準量的比較,分

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數×分數已經涉及基準量、再分割、單位分數與原基準量四種不同的概念。

而 Dickson, Brown, and Gibson(1984)將分數乘法的解題模式分成兩種類型, 包括「面積的乘積(product as area)」模式與「部分-整體區域面積(sub-area as part of a whole area)」模式,分別說明於下。 一、面積的乘積模式 所謂的「面積的乘積」模式是指將分數的乘法用具體圖像表徵成矩形的面積, 如圖 2-3-1 所示。 圖 2-3-1 面積的乘積模式 二、部分—整體區域面積模式 「部分-整體區域面積」模式是指利用圖形來表達參照量之不同的部分。在例 1( 3 2 4 3  = 2 1)中,被乘數分子與乘數分母相等,透過分數意義概念進行解題時,可 以直接從原本分割份數中選取三份中的二份,不需要再進行切分。在例 2( 3 2 5 4  = 15 8 中,被乘數分子與乘數分母互質,透過分數意義概念進行解題時,必須再進行等分 割。如圖 2-3-2 與圖 2-3-3。

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圖 2-3-2 部分-整體區域面積模式 圖 2-3-3 部分-整體區域面積模式 分數乘法中最重要的概念包括基準量、子分割、單位分數與合成等概念。提供 離散量或連續量的圖形表徵,能增加學生對分數概念的認識,透過多元的表徵轉換 來處理分數乘法,將分數的概念以具體的表徵呈現,漸次引導學生進行抽象思維, 最後成功掌握分數的概念。此外,在進行分數乘法教學時,透過各種多元表徵的彈 性運用,如:摺紙(教具模型表徵)、學生繪圖(圖像表徵)、披薩(真實情境表徵)、 學習單(書寫符號)、問題討論與概念澄清(語言表徵)的呈現,讓學童理解分數 乘法的意義,同時連結算則,兼顧分數乘法法則與基本概念,讓分數乘法的學習有

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綜合而言,數學教科書中分數乘法教材之詞彙、符號、語意結構、問題類型與 圖形表徵的圖文關係、插圖形式與插圖示意清晰度都是影響學童學習的重要因素, 好的教科書設計將會提高學童學習的成效,本研究針對不同版本之數學教科書進行 深入分析,了解不同版本教科書在上述各向度的安排與設計,以提供數學教科書編 輯之參考。

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第三章 研究設計與實施

本章說明本研究所採取的研究方法及其具體實施過程,共分為二節:第一節說 明研究設計,第二節說明研究資料處理。 第一節 研究設計 數學教科書中隱含著許多潛藏的訊息,問題類型的安排與表徵方式的呈現都隱 含著編輯者所欲傳達的數學概念與知識,這些平時隱而不顯的訊息會影響學童的閱 讀,進而影響數學學習,基於此,本研究藉由有系統的分析深入探究教科書的內容, 透過閱讀理解的概念建構本研究的類目,以探究各版本數學教科書在分數乘法教材 上的設計與安排,並據以提出相關建議供編輯參考。本研究進行教科書中分數乘法 問題類型以及書寫符號表徵與圖形表徵之探究,其中,書寫符號表徵包含詞彙、語 意結構、問題情境、算式符號等,圖形表徵包含圖文關係、插圖形式、插圖示意清 晰度等。由於目前數學教科書的相關研究很少,更凸顯本研究進行數學教科書分數 乘法教材分析的重要性,以下說明本研究的研究方法、研究對象與研究類目表。 壹、研究方法 為達到研究目的,本研究以內容分析法進行教科書的分析與探究,分析比較九 十三學年度三種版本數學教科書分數乘法教材之內容。所謂內容分析法是就文件的 內容及字面意義,進行有系統而且客觀的定量敘述性研究方式,是一種質與量並重 的研究方式(歐用生,1994)。內容分析透過傳播內容量的改變來推論其質的變化 (楊孝濚,1994)。

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此,利用 Atlas.ti 電腦分析軟體協助進行資料的分析與整合。Atlas.ti 是由德國人 Thomas Muhr 所開發,基於質性研究紮根理論所設計(林本炫,2004)。有別於傳 統的劃記方式呈現的結果是獨立的次數統計,Atlas.ti 是以資料為基準的分析方式, 除了可以呈現劃記的次數之外,資料本身不會被抽離原先的資料場景,在編碼與分 析過程中,隨時可以回到譯碼所在的具體例子中,看出整體脈絡,不會失去對整體 的關注。同時,Atlas.ti 軟體具有操作簡單、版面設計人性化的物理特性,最重要的 是,當研究編碼完成後,進行資料的分析時,譯碼與譯碼之間的關係可以藉由 Atlas.ti 的邏輯運算組合有效率的呈現,對於內容分析有非常大的助益。 貳、研究對象 本研究的研究對象為九十三學年度的數學教科書,包括課本與習作,版本的部 分選取市場佔有率較高的康軒版、南一版與翰林版,針對文本中分數乘法教材進行 分析。 近幾年,我國數學教科書處於變革的時代。民國八十九頒布九年一貫課程暫行 綱要,九十學年起實施;民國九十二年頒布九年一貫課程正式綱要,九十四學年起 逐年實施;目前九十七學年度,小一至小四採用正綱編輯的數學教科書,小五至小 六則採用以暫綱編寫同時因應正式綱要的實施而融入銜接補強內容的整編教材(鍾 靜,2005)。 教材年年更新,儘管一開始是選取研究當時的年度,卻也會因為研究時間跨越 兩個學年而導致研究的教材對象又更動,儘管研究者逐年追著新版本跑,一旦又到 了一個新的年度,教科書的年度版本又有所更動。因此,本研究回過頭來,著眼點 為教科書依據的綱要版本,目前九十七學年度六年級教科書依照暫行綱要編纂,追 溯源頭至九十三學年度為六年級數學教科書第一次依照暫行綱要編纂,同時,九十 三學年度為一到九年級數學教科書使用同一課程綱要(即暫行綱要)唯一的一年, 而九十三學年度六年級教科書為八二年版教材過渡到九年一貫暫行綱要的首批教

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材,是依據暫行綱要所編纂的教材中較具代表性的一個版本,因此,本研究以九十 三學年度之國小數學審定本教科書為研究對象,同時將銜接教材納入研究。茲將國 中小從 90 至 97 學年度數學課程採用的課程標準版本彙整於表 3-1-1。 表 3-1-1 國中小實施數學課程之版本彙整表 一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級 七年級 八年級 九年級 90 學年度 暫1 八二1 八二 八二 八二 八二 八三1 八三 八三 91 學年度 暫 暫 八二 暫 八二 八二 暫 八三 八三 92 學年度 暫 暫 暫 暫 暫 八二 暫 暫 八三 93 學年度 暫 暫 暫 暫 暫 暫 暫 暫 暫 94 學年度 正1 暫 暫 暫 暫 暫 正 暫 暫 95 學年度 正 正 暫 暫 暫 暫 正 正 暫 96 學年度 正 正 正 暫 暫 暫 正 正 正 97 學年度 正 正 正 正 暫 暫 正 正 正 (引自鍾靜,2005,124 頁) 註1 :「暫」代表九年一貫課程暫行綱要, 「正」代表九年一貫課程正式綱要, 「八二」表民國 82 年版國小課程標準, 「八三」表民國 83 年版國中課程標準。 參、研究類目表 本研究欲透過系統性的分析將各版本教科書分數乘法教材中重要卻隱而不顯 的訊息呈現出來,類目表是本研究分析數學教科書的媒介。 教科書中分數乘法問題類型分為分數乘以分數與整數乘以分數。在分數乘以分 數部分,「被乘數分子」與「乘數分母」之間的關係是影響分數乘以分數難易程度 的關鍵,本研究綜合文獻探討以及從學童學習數學概念的理論觀點來看分數乘法教 材之問題類型,將分數乘以分數部分的問題類型分為四類,包括:被乘數分子與乘

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數分母相等類型(如: 3 1 4 3  )、被乘數分子是乘數分母的整數(大於 1)倍類型(如: 3 1 4 6  )、被乘數分子是乘數分母的非整數倍且有公因數類型(如: 4 1 4 2  、 10 3 4 4  、 4 1 4 10  ),以及被乘數分子與乘數分母互質類型(如: 5 1 4 3  ),分別探討各版本教科 書分數乘法教材中對各類型的安排情況。而在整數乘以分數部分關心乘積為整數或 分數,乘積是否為整數牽涉情境設計與學童解題的難易程度。詳細類目列於表 3-1-2。 表 3-1-2 國小數學教科書分數乘法教材問題類型表 主類目 次類目 被乘數分子與乘數分母相等 被乘數分子是乘數分母的整數倍類型 被乘數分子是乘數分母的非整數倍且有公因數類型 分數乘以分數 被乘數分子與乘數分母互質類型 整數乘以單位分數(乘積整數) 整數乘以單位分數(乘積分數) 整數乘以真分數(乘積整數) 整數乘以真分數(乘積分數) 整數乘以假分數(乘積整數) 整數乘以假分數(乘積分數) 整數乘以帶分數(乘積整數) 整數乘以分數 整數乘以帶分數(乘積分數) 在數學教科書中,除了分數乘法問題類型的探討之外,布題與解題的書寫符號 表徵與圖形表徵皆潛藏著許多與數學學習重要的因素。教科書中的布題是啟發學童 思考的方向,而解題內容的引導扮演著「教學者」的角色,不管是布題或解題內容 都以書寫符號表徵與圖形表徵進行主要的傳達與引導。 在書寫符號表徵與圖形表徵的類目訂定過程中,研究者蒐集文獻資料發現,內 容分析法較常運用在意識型態的分析上,因此社會科或國語科的資料較多,應用在

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數學分數乘法教材上的分析卻很少,僅有的文獻在研究方向與本研究的目的也有很 大的落差,因此,本研究的分析類目利用閱讀理解的相關概念進行內容分析之類目 安排與設計,以探究數學教科書中分數乘法教材之內容。發展過程中,時常和指導 教授相互討論,研究者亦不斷測試、修改,讓分析類目表更完整周延。 在數學教科書的書寫符號表徵方面,本研究將其定義包括詞彙、語意結構、問 題情境與算式符號,以下針對數學教科書中書寫符號表徵各元素加以討論。詞彙傳 達數學的重要概念,是數學學習的基本單位,在本研究初期將詞彙細分為專門詞 彙、特殊詞彙與代詞,而專門詞彙又細分為概念、運算與單位專門詞彙,代詞部分 則細分為疑問、指示代詞與參照量代詞;經研究結果發現,數學教科書中專門詞彙 與特殊詞彙可以合併為專門詞彙一類,而代詞中的疑問代詞經分析結果發現並無顯 著的使用次數及功用,將其捨去;指示代詞與參照量涉及整體參照量的轉變,是分 數乘法教材中重要的訊息,因此,保留其類目。 本研究將教科書中的語意結構分為敘述形式、敘述完整性與敘述所隱含的解題 策略。在敘述形式中的狀態敘述與關係敘述為分數乘法教材中與學童學習息息相關 的內容,分數數詞在不同的敘述句中時而代表數量時而代表關係;在文字敘述完整 性部分包括完整敘述與重點提示,完整敘述包含完整的資料,而重點提示則隱藏部 分的訊息;在所隱含的解題策略類目中,不同解題策略的使用透露出學童背後不同 的思考與概念,各版本面對這些資料如何呈現是本研究的重點之一。研究結果發現 各版本在語意結構各細部類目皆有各自獨特的設計與編排,依照原先的類目設計, 將語意結構中的敘述形式分為狀態敘述與關係敘述,敘述完整性分為完整敘述與重 點提示,敘述所隱含的解題策略分為等分割份數觀點與內容物觀點進行細分。 本研究關心的書寫符號表徵類目還包括問題情境與算式符號。數學是一種高度 複雜的符號語言,情境設計成為拉近學童與抽象數學間距離的轉化劑,適當的布題 情境安排可以協助學生理解概念、強化認知,一般而言,分數乘法教材的問題情境

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研究從算式符號所代表的意義與是否完整呈現記錄過程將算式符號分為符號記 錄、完整運算與未完整解題三部分。 在數學教科書的圖形表徵方面,本研究將其定義包括圖文關係、插圖形式與插 圖示意清晰度,以下針對數學教科書中圖形表徵各元素加以討論。 在圖文關係部份,經文獻分析後發現,數學教科書中布題是否包含插圖、插圖 與布題內容的相關程度高低與圖形中含括布題訊息的多寡都會影響學習的成效,根 據文獻的研究,本研究將圖文關係細分為圖文完整分立、圖文互補與無插圖三個類 目。 在不同的情境下,教科書會使用不同的插圖形式以協助學童達到最佳的閱讀理 解,經文獻分析後將插圖形式分為連續長度模式、連續面積(圓形)模式、連續面 積(方形)模式與離散模式,研究發現各版本在插圖形式上的差異性高,因此,將 插圖形式的類目細分為四部份。 在插圖示意清晰度方面,插圖的呈現模式、插圖在知覺結果的安排與插圖在等 分單位上的設計都屬於圖形表徵示意清晰度的範疇。分數乘法的解題過程是序列性 的思考,教科書的圖形表徵完整呈現每個步驟,或者教科書的圖形表徵將多個步驟 濃縮到同一個圖形中僅呈現精簡內容的完整模式,各版本在插圖呈現模式上的安排 值得深入探究。經文獻探討分析後發現,教科書中解題部分的圖形表徵是否將結果 量移動,放到同一個整體參照量中進行整併,會影響學童察覺結果量的敏感度,而 全體等分或部分等分的圖形表徵也會影響學童對圖形表徵的理解。同時,本研究進 行各版本在插圖示意清晰度分析時,發現各版本在插圖示意清晰度的各類目結果呈 現很大的差異,基於上述,本研究將插圖示意清晰度的類目在呈現模式部分分為結 果模式與序列模式,在知覺結果部分分為量的整併與無整併,在等分單位部分分為 全體等分與部分等分。 為了讓本研究的類目更加清楚明確,茲針對本研究各類目進行明確的定義,將 定義內容以表格呈現,如表 3-1-3。

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表 3-1-3 國小數學教科書分數乘法教材分析類目定義表 主類目 次類目 分析單位 類目名稱 說明 詞彙 專門詞彙 指數學領域獨有且重要的數學概念。 詞彙 指示代詞 指替代先前敘述已經提過的名、動、副詞者。 詞彙 詞彙 參照量代詞 指替代先前敘述已經提過的名、動、副詞者。 句子 狀態敘述 分量的描述,例:二分之一個蛋糕。 句子 關係敘述 關係描述,例:一個蛋糕的二分之一。 句子 完整敘述 完整描述解題方式。 句子 重點提示 僅以重點提示,讓學生思考,自行建構完整的解 題過程。 句子 等分割份數觀點 以等分割份數觀點進行解題。 語意 結構 句子 內容物觀點 以內容物觀點進行解題。 題目 連續情境 以連續量的情境布題。 問題 情境 題目 離散情境 以離散量的情境布題。 算式符號 符號記錄 以數字、數詞的表徵方式呈現數量。 算式符號 完整運算 列出式子,並將詳細的計算過程呈現。 書 寫 符 號 表 徵 算式 符號 算式符號 未完整解題 將式子列一半,或計算過程未完整。 圖文 圖文完整分立 插圖和文字敘述獨立且完整呈現布題意思。 圖文 圖文互補 插圖和文字敘述相互補充以呈現完整的題目。 圖文 關係 圖文 無插圖 在布題中無插圖。 插圖 連續長度模式 指利用連通之物件為整體量,透過人為切分來呈 現部分/整體之關係者。以長度模式呈現。 插圖 連續面積模式 (方形) 指利用連通之物件為整體量,透過人為切分來呈 現部分/整體之關係者。以方形面積呈現。 插圖 連續面積模式 (圓形) 指利用連通之物件為整體量,透過人為切分來呈 現部分/整體之關係者。以圓形面積呈現。 插圖 形式 插圖 離散模式 指利用獨立分離之個別物件之集合作為整體量, 以表徵集合/子集合之關係者。 插圖 呈現模式 (結果模式) 以將原始量、運算及運算後的結果呈現於同一個 圖形中。 插圖 呈現模式 (序列模式) 以步驟性的圖像形式逐步呈現原始量、運算及運 算後的結果,包括二步驟或三步驟。 插圖 知覺結果 (量的整併) 將最終結果進行整併,協助學童發覺整體參照量 與結果量的關係。 插圖 知覺結果 (無整併) 直接呈現最終量的原貌,未將最終結果量進行整 併。 等分單位 (整體參照量等分) 利用等分線呈現等分結果時,將等分線擴及整體 參照量,對整體參照量等分。 圖 形 表 徵 插圖 示意 清晰 度 等分單位 利用等分線呈現等分結果時,未將等分線擴及整

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本研究整合文獻與研究的結果,將修正後的整體類目架構以圖呈現,如圖 3-1-1。 布題 解題 A11 專門詞彙 A11 專門詞彙 A132 指示 A132 指示 詞彙 A13 代詞

A133 參照量 A13 代詞 A133 參照量 A21 狀態敘述 A21 狀態敘述 A22 關係敘述 A22 關係敘述 A31 完整敘述 A32 重點提示 A41 等分割份數觀點 語意結構 A42 內容物觀點 A51 連續情境 問題情境 A52 離散情境 A61 符號記錄 A62 完整運算 書 寫 符 號 表 徵 算式符號 A63 未完整解題 B11 圖文完整分立 B12 圖文互補 圖文關係 B13 無插圖 B21 連續長度模式 B22 連續面積(圓形) B23 連續面積(方形) 插圖形式 B24 離散模式 B311 結果模式 B31 呈現模式 B312 序列模式 B321 量的整併 B32 知覺結果 B322 無整併 B331 全體等分 數 學 教 科 書 文 本 特 徵 圖 形 表 徵 插圖示意 清晰度 B33 等分單位 B332 部分等分 圖 3-1-1 研究類目架構圖

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第二節 研究資料處理 本研究進行國小數學教科書分數乘法內容分析,內容分析的類目是經由相關文 獻的資料整理,進行部份教科書內容試編碼後再修改,最後由研究者與指導教授相 互討論、測試、修改後而得,因此分析的類目具有專家效度。 信度方面,本研究基於評分者一致性進行信度的考驗。一般而言,內容分析之 信度基於評分者一致性與時間一致性兩種,若不同的編碼者使用相同類目與相同內 容得到相同的結果,表示具有評分者一致性;若是一個編碼者或一群編碼者在不同 時間,使用相同的類目與相同內容得到相同的結果,表示具有時間一致性(王石番, 1989),而本研究採用評分者信度。 本研究之信度檢定,邀請二位評分員,連同研究者共三人,進行相互同意的檢 定。評分員的相關背景說明於下,(一)A 評分員,現職國小教師,高年級教學經 驗十年,於民國九十五年九月進入數學教育碩士班研究所進修,預計九十八年六月 畢業。(二)B 評分員,現職國小教師,高年級教學經驗六年,於民國九十五年九 月進入數學教育碩士班研究所進修,預計九十八年六月畢業。 研究者邀請這二位評分員於 2008 年 5 月進行三個版本部分分數乘法教材的劃 記工作,研究者先對評分員說明類目的定義、分析單位與類目分析表的劃記方式, 同時以例子示範,研究者與評分員針對問題加以溝通與釐清後,即獨立進行類目分 析歸類。由於整體分析資料相當龐大時,很難要求評分員進行全部資料的分析,僅 透過隨機挑選部分的資料進行。在編碼過程中,原先研究者設定類目與定義讓評分 員產生了疑慮與爭論,經過研究者與評分員討論並進行修正後,各類目的標準與定 義更加清楚的界定。本研究利用公式(楊孝濚,1989),並根據分析的結果進行本 研究信度的計算。

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壹、公式 一、相互同意度 = 2 1 2 N N MM :彼此同意的題數 1 N :某一評分員作答題數 2 N :另一評分員作答題數 二、信度 =

平均相互同意度

平均相互同意度     1 1 n n n:評分員人數 三、研究者相互同意度 = 1  n 相互同意度 研究者與其他評分員間 n:評分員人數 四、研究者信度 = 研究者相互同意度 研究者相互同意度   1 2 貳、本研究信度的計算結果 根據結果,本研究信度為 .9757,研究者相互同意度為 .8733,研究者信度 為 .9323。研究者相互同意度以表格呈現,如表 3-2-1。 表 3-2-1 本研究研究者相互同意度 評分員 A B 研究者 .906 .818 A .824 由於評分員與研究者在進行信度考驗前經過不斷的討論與充分的溝通,待類目 定義與標準充分界定後才進行信度考驗,因此,進行編碼時劃記的結果差異不大, 顯示本研究通過信度檢定。在這不斷討論與修正的過程中,研究者不斷自我訓練與 澄清,提升了正確類目編碼的能力,接著,研究者才進行後續完整資料的編碼與分 析。

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第四章 研究結果與討論

本章分為三節。第一節根據對各版本教科書分數乘法問題類型進行分析。第二 節針對各版本教科書中的分數乘法布題內容進行分析與討論。第三節進行各版本教 科書中分數乘法解題內容的分析與討論。 第一節 各版本教科書分數乘法問題類型 本小節針對各版本分數乘法問題類型的活動安排順序與題數進行分析。就本小 節的分析對象而言,包括課本與習作中所有文字題與計算題之題數部分,康軒版有 86 題,南一版有 109 題,翰林版有 38 題。本節呈現各版本活動與布題安排、題數 分布分析之結果。 壹、各版本活動與布題的安排 不同版本的數學課本在分數乘法之教材安排順序有所不同。康軒版和南一版先 進行分數乘以分數活動再進行整數乘以分數的活動;翰林版則相反,先進行整數乘 以分數的活動再進行分數乘以分數的活動。整數乘以分數的活動安排上,三個版本 皆有相同的趨勢,先進行簡易的整數乘以分數類型,再進行較複雜的整數乘以分數 類型,如:先安排整數 x 單分或整數 x 真分的活動再安排整數 x 帶分與整數 x 假分 類型的活動。選取各版本典型的題目為代表,各版本分數乘以分數類型的例子經整 理如表 4-1-1,各版本整數乘以分數類型的例子經整理如表 4-1-2。

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表 4-1-1 各版本分數乘以分數類型例子 版本 範例一 範例二 康 軒 版 引自康軒課本,第十一冊,58 頁 引自康軒習作,第十一冊,37 頁 南 一 版 引自南一課本,第十一冊,第 99 頁 引自南一習作 B,第十一冊,第 36 頁 翰 林 版 引自翰林課本,第十一冊,第 114 頁 引自翰林習作,第十一冊,第 84 頁 表 4-1-2 各版本整數乘以分數類型例子 版本 簡易的分數乘以分數類型 較複雜的分數乘以分數類型 康 軒 版 引自康軒課本十一冊,第 62 頁 引自康軒習作十一冊,第 36 頁 南 一 版 引自南一課本,第十一冊,第 104 頁 引自南一習作 B,第十一冊,第 36 頁 翰 林 版 引自翰林課本,第十一冊,第 110 頁 引自翰林習 A,第十一冊,第 82 頁

數據

圖 2-3-2  部分-整體區域面積模式  圖 2-3-3  部分-整體區域面積模式  分數乘法中最重要的概念包括基準量、子分割、單位分數與合成等概念。提供 離散量或連續量的圖形表徵,能增加學生對分數概念的認識,透過多元的表徵轉換 來處理分數乘法,將分數的概念以具體的表徵呈現,漸次引導學生進行抽象思維, 最後成功掌握分數的概念。此外,在進行分數乘法教學時,透過各種多元表徵的彈 性運用,如:摺紙(教具模型表徵) 、學生繪圖(圖像表徵) 、披薩(真實情境表徵)、 學習單(書寫符號)、問題討論與概念澄清(語言表徵
表 3-1-3    國小數學教科書分數乘法教材分析類目定義表  主類目  次類目  分析單位  類目名稱  說明  詞彙  專門詞彙  指數學領域獨有且重要的數學概念。  詞彙  指示代詞  指替代先前敘述已經提過的名、動、副詞者。 詞彙  詞彙  參照量代詞  指替代先前敘述已經提過的名、動、副詞者。  句子  狀態敘述  分量的描述,例:二分之一個蛋糕。  句子  關係敘述  關係描述,例:一個蛋糕的二分之一。  句子  完整敘述  完整描述解題方式。  句子  重點提示  僅以重點提示,讓學生思考,
表 4-1-1    各版本分數乘以分數類型例子  版本  範例一  範例二  康 軒 版  引自康軒課本,第十一冊,58 頁  引自康軒習作,第十一冊,37 頁  南 一 版  引自南一課本,第十一冊,第 99 頁  引自南一習作 B,第十一冊,第 36 頁  翰 林 版  引自翰林課本,第十一冊,第 114 頁  引自翰林習作,第十一冊,第 84 頁  表 4-1-2    各版本整數乘以分數類型例子  版本  簡易的分數乘以分數類型  較複雜的分數乘以分數類型  康 軒 版  引自康軒課本十一冊,第
表 4-1-4    整數乘以分數的問題類型題數統計表  康軒(總題數 86)  南一(總題數 109)  翰林(總題數 38)  主類目  次類目  題數 百分比 1 題數 百分比 題數  百分比 整數×單分(乘積為整數)  3  3.49%  1  0.92%  2  5.26%  整數×單分(乘積為分數)  0  0.00%  1  0.92%  3  7.89%  整數×真分(乘積為整數)  7  8.14%  6  5.50%  3  7.89%  整數×真分(乘積為分數)  1  1.16%
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