分數相關概念

第一節 分數相關概念

一、 分數的意義 (一) 字源義

分數一詞來自拉丁文「fangere」，具有打破、斷裂的意思，因此分數 也曾被人稱為「破碎數」(張美玲)。分數的英文是“fraction”，具有小部分、

片段、破碎的意義，但通常是指將全部分解為部份的意思(張平東，1995)。

(二) 概念義及學術義

分數的概念起源於「分」，用於解決不滿一個單位量的量的數值問題(周 筱亭、黃敏晃，2001)，在不同的情境有不同的意義，故具有豐富的意義(呂 玉琴，1995)。

人們為了描述不滿一個單位量的零頭部分的數值問題，將原單位量等 分割形成單位分量，再把幾個單位分量合成一個量，用幾分之幾來描述它 的數值，這幾分之幾就是所謂的分數(南一書局，2010)。

九年一貫分數的定義：能化為 ^q

p的形式，且 p、q 皆為整數，其中 p0，

稱為分數；p 稱為分母，q 稱為分子；若 0＜q ＜ p 時， q

p 稱為真分數；

否則， q

p 稱為假分數；形如 3

21的分數，則稱為帶分數。並說明小學的有 理數教學，必須釐清、練習並連結有理數的四種意涵：

a.平分的意涵 b.測量的意涵 c.比例的意涵 d.部分/全體的意涵

最後歸結成日後數學學習中，有理數最核心的意涵─「除的意涵」。(教育 部，2008)

Freudenthal (1983) 主張分數的起源是「分割」一物件的活動記錄與結 果，分數可以表現真實現象的分割情況。Hunting (1986) 對於分數的最初 概念是以一個連續物品細分(如蘋果、蛋糕、派)。Russell (1903) 將分數 m/n 定義為當 an = bm 時存在於 a 與 b 之間的關係；這個定義使我們能證 明，在 m 與 n 皆不為 0 的情況下，m/n 是一對一的關係(劉秋木，1996)。

國內外有許多學者都主張分數具有多重的意義 (林碧珍，1990；彭海 燕，1998；楊壬孝，1989；楊瑞智，2000；Behr, Lesh, Post, & Silver, 1983;

Behr, Harel, Post, & Lesh, 1992; Dickson, Brown, & Gibson, 1984; Kieren, 1976, 1980, 1988; Nesher, 1985; Ohlsson, 1988)，各家說法如下表所示：

表 2-1-1 分數意義相關研究 set)、位於兩個整數間數線上的一點(a point in number line which line at intermediate point between two whole numbers)、兩數相除所得的商(the result of a division operation)、二組集合或二個度量的大小比較的方法(a way of comparing the sizes of two sets of the objects or two measurements)。

Nesher 1985

認為分數有五種詮釋：

部份－整體(part-whole)、商(quotient)、比(ratio)、運 算元(operator)、機率(probability)。

Kieren 1988 分數概念的五種建構：部份－整體(part-whole)、比 (ratio)、商(quotient)、測量(measures)、運算元(operator)

3.二元向量(a binary vector)：包含比(ratio)、內涵量 (intensive quantities)、比例(proportion)、平均(含速

分數的意義是多重的，唯周筱亭、黃敏晃主張為了學童理解及教學成

二、 國小階段分數教材

教育部並沒有將全部的分數意義納入國小階段的數學教材中，但是對 於分數的解釋仍有所著墨：

(一) 數學科教學研究(國立編譯館，1981)提出分數的兩個由來：

第一個由來：將物件等分為若干分後，取其幾分的結果 第二個由來：表示實測的結果

以及兩數除法的商和兩數的比值

(二) 國小數學科教學指引(教育部國立編譯館，2000)又細分為六個角度：

1. 部分與全體的比較 2. 除法的活動

3. 算子：分成若干等分，取其中幾部分 4. 小數的另一種記法

5. 比的意義

6. 測量：不滿一個單位量的量

(三) 九年一貫數學領域課程綱要(教育部，2003)又做了另一番詮釋，包含：

1. 平分 2. 測量 3. 比例 4. 比率 5. 比值 6. 部分/全體

(四) 教育部修改了 92 年綱要後，發部 97 年課程綱要(教育部，2008)，研究 者將分數修改的部分整理如附錄一。

綜合上述，將國小階段分數意義歸納為表 2-1-2(改自李彥典，2008)：

表 2-1-3 國小階段分數的意義整理表(續)

Warfield (1976, 1982) 所提出的詮釋結構模式(interpretive structural modeling, ISM)原本僅限於分析二元關係的資料矩陣，就一個集合內元素之 (interpretive structural modeling, ISM)的階層結構運算法則，可以數值和圖 形 結 構 呈 現 個 人 化 概 念 階 層 結 構 (individualized concept hierarchy structure)。