高低分群組及利用 f-cut 分群後各組 POT 圖比較

為了確認選取之補救教學對象知識結構可解釋該群組，研究者在利用 CAISM 分析受試者概念結構之前，先採用廣義多元計分的次序理論 (林原 宏，2005b)分析群特徵，希望能借此找出最具代表性的受試者進行訪談及 補救教學。

ㄧ、高分組、低分組之 POT 圖：

圖 4-1-1 高分組的次序結構圖及概念答對率圖表

高分組的概念通過率為 0.81~0.98，由下圖 4-1-1 可看出高分組的學童 乃先精熟各概念後再去發展概念 5（通分），最後才精熟概念 6（分數「整 數相除」的意涵）。

圖 4-1-2 低分組的次序結構圖及概念答對率圖表

低分組的學童通過率僅介於 0.21~0.66 之間，有許多概念僅有 0.21~0.41 的通過率，著實需要進行補救教學，由圖 4-1-2 可發現低分組的學童在發 展分數概念時是以概念 3（分數比大小）及概念 7（因數倍數）為基礎去 學習概念 2（異分母分數的加減運算與比較）、概念 5（通分）、概念 6（分 數「整數相除」的意涵），也分別發展概念 1（同分母分數的加減及整數倍 運算與比較）和概念 4（等值分數）。

研究者發現：

(一) 無論高低分組的下位概念皆有概念 3（分數比大小）及概念 7（因 數倍數）。

(二) 高分組的下位概念尚有概念 1（同分母分數的加減及整數倍運算與 比較）、概念 2（異分母分數的加減運算與比較）、概念 4（等值分 數）對高分組而言，概念 6（分數「整數相除」的意涵）是不易理 解的概念性知識。

(三) 高分組學童在概念 1（同分母分數的加減及整數倍運算與比較）、 概念 2（異分母分數的加減運算與比較）、概念 4（等值分數）的 表現非常好，通過率皆高於.94，對低分組的學童卻是精熟度低的 概念。研究者回顧「自編分數概念及其加減運算測驗」發現概念 1、

概念 2 的題目多屬文字敘述題，雖為操作性知識但需要有解題策 略才能完成；概念 4（等值分數）雖非文字題，但擴分約分的程序 較繁雜。

綜合上述，高低分組（27％）的 POT 圖顯示學童學習分數的加減時之 思考路徑皆以操作性知識為下位概念，但低分組學童無法完程過於繁複的 操作性試題，原因尚待訪談學童以獲取最直接的資料；概念 6（分數「整 數相除」的意涵）在小學四年級時就應學習，但對全部的學童而言皆難以 理解。

二、f-cut 分群後不同組別之 POT 圖：

研究者將受試者分數七概念的得分輸入 f-cut 程式裡進行模糊集群分 析，依序調整分群數量，即可得到各群在各個概念的精熟度、分割係數 (partition coefficient)和分割亂度(partition entropy)之值如表 4-1-1。

群數

2 3 4 5

分割係數

(partition coefficient) .81 .69 .55 .49 分割亂度

(partition entropy) .31 .54 .79 .96 表 4-1-1 受試者在不同分群數所得之分割係數及分割亂度

從表 4-1-1 中，研究者發現將受試者分成二群時，分割係數為.72 是最 大值；分割亂度為.44 是最小值，因此判定最佳分群數為兩群。將學童分 為高精熟組及低精熟組其 POT 圖分別如下所示：

圖 4-1-3 高精熟組的次序結構圖及概念答對率圖表

由圖 4-1-3 可看出高精熟組的學童分數加減概念的發展同樣是先精熟 概念 3（分數比大小）及概念 7（因數倍數）且通過率很高，在 0.94 和 0.96 之間，可見教學者在這兩個基礎概念的的教學皆有達成效，之後循序發 展，而概念 6（分數「整數相除」的意涵）仍舊是較不易理解的部分。

圖 4-1-4 低精熟組的次序結構圖及概念答對率圖表

低精熟組第一階層的概念也是概念 3（分數比大小）及概念 7（因數倍數）， 從圖 4-1-4 中研究者發現概念 6（分數「整數相除」的意涵）的學習需依靠 概念概念 2（異分母分數的加減運算與比較）與概念 5（通分）做為下位 概念，低精熟組的學童卻無法將概念 5 與其他概念融會貫通，在無法完全 理解概念 2 及概念 5 的情況下，可以看到概念 6 的通過率僅 0.26。

研究者發現：

(一) 高低精熟組第一階層的概念皆為概念 3（分數比大小）、概念 7（因 數倍數），通過率皆高於.77。

(二) 高精熟組的第二階概念是概念 4（等值分數），且概念 4 是概念 1

（同分母分數的加減及整數倍運算與比較）的下位概念；低精熟組 卻恰巧相反，概念 1 是概念 4 的下位概念，有可能是因為概念 4 的題型屬於題組，高精熟組的學童懂得應用所學概念，低精熟組學 童卻認為是需要繁複計算過程的大題組，自認為沒有能力填答因此 放棄。

(三) 概念 6（分數「整數相除」的意涵）在 f-cut 的分群方法中還是最 難理解的概念，此點發現與高低分組的 POT 圖相符。

在比較不同分群方法所呈現的結果之後，利用傳統分群方法進行高低 分組（27％）絕對分群和以模糊理論進行高低精熟組模糊分群的 POT 圖並 不相同，除了絕對分群能分析出最基礎概念與最不易理解概的念外，模糊 分群還能讓我們清楚看到學童學習分數加減概念的思考路徑如圖 4-1-5 所 示：

圖 4-1-5 學童分數加減概念的思考路徑 分數比大小

（概念 3）

因數倍數

（概念 7）

等值分數

（概念 4）

同分母分數的加減及 整數倍運算與比較

（概念 1）

異分母分數的加 減運算與比較

（概念 2）

通分

（概念 5） 分數「整數相除」的意涵

（概念 6）

而上列的四張 POT 圖皆顯示概念 6（分數「整數相除」的意涵）是最 難精熟的概念，依據教育部(2003)的課程綱要，此概念乃出現在四年級的 分年細目。