第二章 文獻探討
第一節 分數意義與兒童分數發展之理論基礎
本節主要是探討分數概念，研究者從分數的意義、兒童分數概念的發 展、在分數教學中的表徵等方面加以說明。
在國小教育階段，數學課程中關於分數(fraction)的學習一直深受重 視。低年級階段的學童接觸點數整數物件的同時，也接觸到摺紙、分成 一半…之等分割的經驗。建立了整數概念後，學生亦將學習對於小於 1 之分量的描述，而分數概念的學習與發展，成為數學領域學習的重要內 涵。
壹、 分數的意義
顧 名 思 義 ， 分 數 是 由 分 解 、 合 成 而 形 成 的 數 ； 從 分 數 的 英 文 是
“fraction＂來看，分數源自於拉丁文的“frangere＂，具有小部分、
片段、破碎的意義，通常指將全部分解為部份的意思（張平東，1995）。
Hunting(1986)指出分數的最初概念是將一個連續物品細分(如蘋果、蛋 糕、派)。
甯自強（1995）指出分數起源於等分割一物件活動紀錄與結果。透過 將原單位量進行分割，以得到單位分量的重複，因而得到與被測量量等 價的量，並將分割份數和重複單位分量的次數並置，以作為被測量量指 標。
當人類發現整數未能處理生活中所有的事時，就出現使用分數的需 求，是以分數的概念起源於分，以用來解決不滿一個單位量的量的數值 的問題。
在數學定義上，我們以有理數來定義分數，分數是指能化為 p q 的型 態，且p、q 皆為整數者，其中p≠0（Corwin, Russell,&Tierney, 1990；
教育部，民92），即使分數在數學知識上的定義相當明確，在使用上卻會 因為情境的不同而有所差異。
Kieren（1976）主張分數具有下列特性：
一、 整數系的擴展；一個具有稠密性、無窮可數的數系；
二、 可代表測量的量或數線上的一點，能被用來互相比較並加以運 算；
三、 具有等值分數特徵；
四、 可用來代表比率、乘法的操作。
Dickson,Brown,and Gibson（1984）即提出對分數的五種解釋：整個 區域之子區域（或部分－整體）；子集合和全體集合間的比較；位在數線 上二個整數間被等分好的一點；除法運算後的結果；兩組集合或兩個度 量的大小比較的結果。
Behr, and Post（1988）認為分數為：
1.「部分/全部」的概念。
2. 比率：兩個數量間的關係。
3. 比值：以一個量值來代表兩個數量的關係。
4. 商：即兩數相除的結果。
劉曼麗(民 85)則說「部分與全體」關係是用來詮釋分數意義中的一 種，在將一個整體等分後，以分數表示或記錄其中被指定的部分與全體 關係。例如:
3
2可表示一個整體被分成三等分後的兩等分。
林碧珍（1990）指出分數的意義有下列五類：全體區域的部份區域（以 連續量為主，如：長度、面積、容積）為部份/全體模式、集合中的部分 集合為子集合/集合模式、數線上的一個數值為數線模式、兩個整數相除 的結果為商模式、二個集合或二個度量相比的結果為比值模式。
教育部國立編譯館依82年課程標準所編的國小數學科教學指引的說明 如下：當使用分數數詞（字）來描述有理數時（以
5
3為例），可以從下列 六種角度，進行分數數詞（字）意義的討論：
1.部分與全體的比較：全體為5時，3為5的部分。
2.除法的活動：3除以5活動的另一種記法。
3.運算元：對於物件1，進行一個操作，將此ㄧ物件等分割成5份，再 取出其中的3份。
4.小數的另一種表示法。
5.比的意義：表示兩數量間的相對關係(3：5)。
6.測量：測量一個不滿一個單位量的量的數值，或將兩量的對等關 係予以數值化（比值）（教育部，民82）。
教育部92年版九年一貫課程綱要指出有理數即分數，在小學階段的有 理數教學，勢必釐清、練習且連結下述有理數的四種意涵：
1. 平分的意涵:學生在低年級了解人我分際後，就會強烈的期待公平 感，因此從平分觀點入手學習分數，比較容易化解分數學習中常 見的認知衝突。
2. 測量的意涵；長度測量是低年級就開始發展的數學課題，在以個 別單位度量線段長度，為了解決剩下部分的餘數時，就能同時發 展小數與分數兩種課題。由於強調單位，測量為調和「部分/全體」
的意涵以及帶分數認知衝突中的重要工具。
3. 比例的意涵：比的原理，為一種微妙的平分方式，容易為學生所 接受。即使學生尚未接觸到比例式，透過比的方式，依然可以協 助學生解題。最後透過引入比值，一貫地解決比例的問題。
4. 部分/全體的意涵：部分/全體雖是分數的重要意義之一，但概念 較為抽象，且真分數的暗示過深（全體為1），可能會造成假分數 或帶分數學習上的困擾，需要透過單位的強調來解決其認知衝 突。
最後歸納成，有理數最核心的意涵----「除的意涵」。（教育部，民 92）。
綜合以上文獻得知，分數具有以下五種意義：1.部分與全體 2.子集 與集合 3.兩數相除運算 4.數線上某一點 5.比值。分析現階段數學教 材，大致可以將三年級學童對於分數意義歸納為以下二種意義：
一、 部分與全體（連續量情境）
部分與全體的意義，是將一個整體等分後，以分數來表示部分與全體 之間的關係，適用於連續量情境。連續量是指由一個單一的物體所組成，
如一塊披薩、一條繩子、一塊豆腐。在國小數學課程中，時常以長度、
面積、體積等模式出現。例如：一個披薩平分成 4 份，其中一塊是整個披 薩的幾分之幾？一條繩子長 15 公分，5 公分可以說是多少條繩子？一塊 豆腐平分成 8 份，其中一份是整塊豆腐的幾分之幾？透過圖像表徵或具體 操作，尋找部分與全體兩量之間的關係，以形成分數的意義。是小學數 學課程中分數最主要的意義。
Piaget (1960)指出三年級兒童在處理 6
1的「部分／全部」的單位分數
時雖然能得到 6
1，但是卻常發生未注意到等分原則與分割成六份其中的一
份與其他五份並置形成 5
1的情形，亦即將分割出的一份視為另ㄧ整體，表 示部分與全部的關係並不明確。
Bergeron et al.（1987）的研究也發現三年級學生進行處理分數板的 問題時，只注意到整體被分割成幾塊，卻未注意到分割每一部分是否相 等。
Nik Pa（1987）的研究亦顯示出三年級學生將一矩形對分一次得到 2 1 ，
再將其中一個 2
1對分一次，得到三個區域，指第二次對分後得到的其中一
個較少區域為 3
1，顯示三年級學生對均等的概念並沒有建立，同時也無法 做部分與全體的比較，因為在此時學生的分數意義只是將 3 個單位並置
（juxtaposed）（Ning, 1992），並未有部分與全體關係的知覺。
二、 子集與集合（離散量情境）
子集/集合的意義，是指將一個集合等分後的一組或幾組，與原集合的 相對關係，適用於離散量情境。雖然子集與集合形成分數意義的方法和部 分與全體一樣，必須尋找兩量之間的關係，但子集與集合僅出現在離散 量的情況之下才有意義。
所謂「離散量」指由超過一個物體所組成的整體，如一盒雞蛋、8 罐 飲料、12 個花片…等。因為分數意義的形成，必須在等分的情況之下，
是故在此種模式之下的離散物皆假設具有相同的大小與性質。在國小數 學課程中，常有此種子集/集合意義的出現，例如 10 個雞蛋放一盒，則 一個雞蛋是幾盒？20 個花片裝一包，5 個花片是幾包？
關於分數的重要性，可見諸學者的研究中。學者 Behr et al.(1992) 以三個層面進行說明：
一、 實際層面：學童若能透過有效處理分數概念，可增進認識與掌握真 實世界問題的能力。
二、 心理層面：分數可提供豐富的領域，以發展兒童智力及擴展心智結 構。
三、 數學層面：分數的了解可以提供學童日後學習小數、比、機率與基 本代數運算的基礎。
國立編譯館(1993)說明分數概念與小數、除法、百分率、比等 概念關係密切，在國小數學教材占相當份量。
雖然三年級學童在此階段學習到的分數意義不多，但因為分數在不同 情境上的意義相當複雜而多元，具有多重表徵，且各表徵之間的關係相 當緊密，因此，教師必須深入了解教學的情境與分數所要呈現的意義，
並且配合不同意義的解釋，讓學生在分數的理解上更具體的明白其中所 含的意義，這是教師必須進行的工作，再者，若能早早為學童的分數概 念奠定良好的基礎，相信對學童的分數學習是相當具有意義的。
貳、 兒童分數概念的發展
國外學者Piaget,Inhelder and Szeminska（1960）過去曾使用連續量 的具體物，研究4到7歲兒童在面積上的分割行為，以探討兒童如何建構 部分與全體的關係，來形成分數的概念，並表示兒童的分數概念發展 為：
一、 四歲至四歲半的兒童，對於將一物分為二半有困難，在分割之前並 不具有預想的計畫或基模(skema)，因此對於基本形狀之分割，由易 至難依序是，長方形、圓形與正方形。此階段的兒童缺少部份與整體 之間的關係，並不會注意到他們所接觸的部分是較大的整體之中所內 含的元素。
二、 四歲至六歲的兒童則對規則的與小範圍的東西已具有分半的能力，
但若增加原來整體的大小，那麼分半的能力會相對地減弱，而且，這 個階段的兒童尚未出現把物體分成三等份的能力。
三、 六歲至七歲的兒童雖已有三等份的能力，但仍處於具體操作層次。
此階段的兒童具有整體性的保留概念，且兒童已了解到各個塊數的總 量與整個餅相同。
四、 十歲左右的兒童已具有六等份的能力，會先用三分法平分一個餅，
然後對所得的三塊餅使用二分法，將之平分成二等份。
Piaget et al.（1960）並指出，兒童在瞭解分數運算之前須具有下列 七個子概念：
一、 有一個全體可以除盡。
二、 一個分數包含各部分的限定數（determinent），在分配東西時，各
二、 一個分數包含各部分的限定數（determinent），在分配東西時，各