國小三年級學童分數概念之數學寫作教學研究

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授：胡豐榮. 教授. 國小三年級學童分數概念之數學寫作教學研究. 研究生：林冠汝撰. 中華民國一○○年六月.

(2) 謝辭. 在論文即將完成的這一刻，回顧就讀碩士班這三年的歲月，有幸在胡豐榮博士的指導下，學到許多數學教學的專業知識，讓我在自己的工作崗位上，能更得心應手的面對教學上的困境，以往孩子們犯的錯誤，每每讓我氣得暴跳如雷的，而現在我學會了面對問題，解決方法就不遠了。這正是胡老師引導我進行論文寫作時教與我的另一課，除此之外胡老師在做學問時的嚴謹態度，更是成為砥礪自我的良好典範。在每個寫作階段中，我曾經遭遇到許多不同的挫折，有時會覺得自己彷彿漂流在汪洋大海中，無所依靠。每每在這樣令人手足無措的時刻，胡豐榮博士總是像一座苦海明燈，給人無限溫暖，悉心的引導我、幫助我克服心理的恐懼，重拾信心而有動力去找尋正確的方向。也因為有這樣磨練的機會，讓我知道在遭遇瓶頸時，要能運用智慧去釐清問題，並學會從不同的角度去看待同一件事情，而能對自己的人生有更多不同的體會。在此，再次真心的感謝胡老師對我的指正教導、加油鼓勵，這份無私的愛與付出，讓我能一步一腳印的成長茁壯。感謝我尊敬的三位口試委員，辛俊德博士、許天維所長以及胡豐榮博士不吝指教，指點我論文寫作上的不足，讓我能改進自己的論文。除此之外，也要感謝我的家人，給予我的支持與慰藉，讓我終於能如期完成論文。冠汝 2011 年 6 月.

(3) 國小三年級分數概念之數學寫作教學研究. 摘要本研究中觀察到，兒童在進行數學寫作時，能透過數學寫作表徵具體的問題情境，重新省思自己所建構的數學概念，並進一步的將相關概念予以連結，藉由數學寫作的協助，兒童也能較順利的表達自己的想法，並提高與同儕分享的信心，在教學中多嘗試數學寫作的經驗，對於分數概念的穩固是有幫助的。透過指導學童進行數學寫作的過程，研究者發現數學寫作方法的使用，有助於分數教學。總結來說，數學寫作除了讓兒童藉以理解概念，並較無壓力的表達自我的見解以外，也能提供教師傳達概念，瞭解兒童學習狀況的途徑。數學教師若能適當的運用數學寫作，相信對於教學是很有助益的，研究者希望透過這次的經驗，除了能提升自己的教學技巧和研究能力，還能將數學寫作進一步運用到其他數學概念的教學中。. 關鍵詞：數學寫作、國小三年級、分數. I.

(4) Mathematics writing teaching research 3 th Grades＇ fraction concept In this research observes，the child when carries on mathematics writing, can penetrate mathematics writing attribute concrete question situation,the province thinks of mathematics concept which again oneself construct, and will further be related the concept to link, because of mathematics writing's assistance, the child can also smooth express own idea, and enhances the confidence which shares with the associates, in the teaching the multi-attempt mathematics writing's experience, stable has the help regarding the fraction concept. By instructs the schoolchild to carry on mathematics writing the process, the researcher discovered that mathematics writing method the use, is helpful to the fraction teaching. So as to the summary, mathematics writing except lets the child the understanding concept, and does not have the pressure outside the expression self-opinion, can also provide the teacher to transmit the concept, understood that the child studies the condition the way. If mathematics teacher can the suitable utilization mathematics writing, believe that has very much regarding the teaching is of help, the researcher hoped that by this time experience, except can promote own teaching techniques and research ability, but can also further utilize mathematics writing other mathematics concept in the teaching. Keyword: Mathematics writing, 3 th Grades＇, fraction. II.

(5) 目次第一章序論 ...................................................1 第一節研究動機與背景............................................................................. 1 第二節研究目的與待答問題..................................................................... 4 第三節名詞釋義......................................................................................... 5 第四節研究範圍與限制............................................................................. 6 第二章文獻探討 ...............................................9 第一節分數意義與兒童分數發展之理論基礎 ...................................... 9 第二節國小三年級分數概念教材分析 ................................................ 23 第四節數學寫作相關研究....................................................................... 36 第三章研究設計與實施 ........................................39 第一節研究架構與流程........................................................................... 39 第二節研究樣本....................................................................................... 44 第三節研究工具的設計與發展............................................................... 45 第四節數學寫作融入分數單元之教學 .................................................. 54 第五節、資料蒐集與分析......................................................................... 56 第四章研究結果與討論 ........................................59 第一節全體受試學童分數概念理解情形 .............................................. 59 第二節實驗組與控制組差異比較........................................................... 63 第三節實驗組前後測概念改變情形....................................................... 71 第五章結論與建議 ............................................75 第一節結論............................................................................................... 75 III.

(6) 第二節省思與建議................................................................................... 79 參考文獻 .....................................................80 ㄧ、中文部份............................................................................................. 80 二、英文部分............................................................................................. 82 附錄ㄧ、分數概念後測卷......................................................................... 85 附錄二、教學活動設計............................................................................. 87 附錄三、分數是什麼？........................................................................... 94 附錄四、來吃披薩吧！............................................................................. 95 附錄五、誰最聰明？................................................................................. 96 附錄六、出題王......................................................................................... 97. IV.

(7) 表次表 2-2- 1 國民小學數學領域有理數內分數教材的能力指標表........24 表 2-2- 2 國民小學分數教材的分年細目及詮釋表 .................25 表 2-2- 3 部編版分數教學概念分析 .............................26 表 3-2- 1 實驗設計 ............................................44 表 3-3- 1 前測預試試題分析總表 ................................45 表 3-3- 2 前測預試刪除試題分析表 ..............................47 表 3-3- 3 後測預試試題分析表 ..................................48 表 3-3- 4 後測預試刪除試題分析表 ..............................50 表 3-3- 5 前測的雙向細目表 ...................................52 表 3-3- 6 後測的雙向細目表 ...................................53 表 3-5- 1 資料編碼說明表 .....................................57 表 4-1- 1 實驗組與控制組前測成績之獨立樣本 t 檢定 ..............59 表 4-1- 2 兩組學童各分數子概念得分情形統計表 ..................60 表 4-2- 1 實驗組與控制組後測組別描述統計量表 ..................63 表 4-2- 2 兩組學童在等分部份後測獨立樣本 t 檢定 ................64 表 4-2- 3 兩組學童在單位分數部份後測獨立樣本 t 檢定 ............66 表 4-2- 4 兩組學童在分數大小的比較部份後測獨立樣本 t 檢定 ......68 表 4-3- 1 實驗組前後測成對樣本 t 檢定 ..........................71 表 4-3- 2 實驗組等分概念前後測成對樣本 t 檢定 ..................71 表 4-3- 3 實驗組單位分數概念前後測成對樣本 t 檢定 ..............72 表 4-3- 4 實驗組分數大小的比較前後測成對樣本 t 檢定 ............72. V.

(8) 圖次圖 2-1- 1 表徵關係圖（LESH ET AL., 1987A, P.34） ..............20 圖 2-1- 2 分數概念的連結關係（引自林碧珍，1990, p301）........21 圖 2-3- 1. 3 個圓 ...........................................29 10. 圖 3-1- 2 研究發展流程圖 ......................................43 圖 4-1- 1 兩組學童各分數子概念平均分數統計圖 ..................61 圖 4-1- 2 等分概念得分情形 ....................................61 圖 4-1- 3 單位分數概念得分情形 ................................62 圖 4-1- 4 分數大小的比較得分情形 ..............................62 圖 4-2-1 後測卷第一題-S07 .....................................64 圖 4-2-2 後測卷第一題-S11 .....................................65 圖 4-2-3 後測卷第五題-S09 .....................................66 圖 4-2-4 後測卷第五題-S14 .....................................67 圖 4-2-5 後測卷第四題-S06 .....................................68 圖 4-2-6 後測卷第四題 S01 .....................................69. VI.

(9) 第一章緒論本研究為「國小三年級分數概念之數學寫作教學研究」，主要是探討數學寫作教學模式融入分數單元教學之模式，對國小三年級學童之學習成效為何？本章旨在介紹研究背景與進行本研究的動機，故將本章分為四節陳述，依序為研究動機與背景、研究目的與待答問題、名詞釋義及研究範圍與限制。. 第一節研究動機與背景數學是ㄧ門討論數、量、形及其間關係的科學，小學階段因學童生理發展因素，主要著重在算術部份，如數與計算、量與實測、數量關係、統計圖表……等。說來似乎數學似乎是一門頗為高深的學問，令人難以親近。其實生活中處處皆是數學，不論是孩子們在意的糖果數量、身高多少、零用錢等，樣樣都離不開數學，但一跟孩子提到數學，卻見孩子們臉上泛起了或多或少的憂愁，研究者自師院畢業進入小學任教以來，發現許多孩子在數學科遇到了重大的挫折，許多對老師而言，僅僅是想當然爾，一點就通的題目與解題步驟，對某些孩子而言卻如同天書一般難懂，而這情況往往並不只出現在學習低成就的孩子身上，於是數學科成為許多孩子的夢靨，這是老師需要面對並解決的問題。再者，現今學生要學習的科目之多，遠非過去學生所能及，但教學時數並未增加，兩相權衡之下，壓縮各課的授課時數是現今實行課程的不. 1.

(10) 得已之計，如此一來，難保授課品質不會大受影響，因此如何善用教學時間，提升教學效率，又能兼顧孩子的自由發展空間，是許多老師所需共同面臨的課題，因此老師的教學法必須改進，而如何改進呢？這正是研究者做此研究的起因之ㄧ。數學為科學之母，是人類科技進步的根基，但孩子們也在自己人生的根基之處對數學有了畏懼，我國的孩子儘管屢屢在世界性的數學競賽中傳來佳績，但對自己數學能力的自信卻總是苦吞敗果，如我國參加國際教育成就調查委員會所進行的二○○七年國際數學與科學成就趨勢調查（Third International Mathematics and Science Study, TIMSS）結果，在參賽的三十七個國家中，我國國小四年級學生的數學和科學平均成績排名全球第三，但在「數學正向態度」（喜歡數學）該項卻敬陪末座，原因為何？我相信是因為這些孩子還沒找到專屬於自己的那把數學寶庫之鑰，如何去幫助他們找到鑰匙是身為老師的責任，因此研究者特別針對國小三年級學童作本次分數概念之數學寫作教學研究，期待能幫更多的孩子找到學習的方法。國小數學教育階段中，有關數概念的學習，佔所有數學概念學習的三分之二左右，可說是小學數學教育中的主要內容，而分數概念屬於數概念的一環，學生於小學一年級甫入學時，先接觸到整數概念，再於小學二年級下學期初次接觸到分數概念，但僅僅只是教授數個單位分數的概念而已，正式進入分數概念學習應在國小三年級，而後逐年增加分數概念的複雜度，然而對於分數概念的學習似乎不如整數概念理想。儘管如此，分數卻是國中學習的基礎，分數概念本身的邏輯性很複雜，意義也相當多元，與許多數學概念相關聯，若學童未充分了解分數概念，無論是對學生自身的學習或是老師的教學方面，都將是一大災難。從九年一貫的課程綱要來看，從第一階段到第三階段，各階段皆分布有分數概念與分數四則運算的學習，而從各出版社所出版的教科書來 2.

(11) 分析，也可看出從小學二年級至六年級的教材中，幾乎冊冊都有分數概念的教學，由此可見分數在數學教學中的重要性，是故研究者認為在中年級數學中，最具承先啟後意義的章節莫過於分數了，然而分數概念的學習，對許多兒童而言卻常是最困難的部分，研究者參閱有關分數的研究（呂玉琴，1991a；林福來、黃敏晃，1993；楊德清，2000；Behr, Wachsmuth, Post, & Lesh, 1984; Kerslake, 1986）結果顯示，兒童可以機械化地操弄分數的計算，但通常是「知其然，而不知其所以然」，學童習慣在應考前將所需進行的計算步驟背熟應付考試，但若間隔了一段時間後再進行施測，結果可想而知。因筆者任教年級為三年級，故本研究鎖定小學三年級的分數教學進行研究。再者，筆者發現許多學童，其學習困難之處，往往是學過的內容考過就忘，以至於下次面臨到類似的單元，往往需要再加強複習，才能拾起過去的記憶，且因為無法跟上老師及同學的上課進度，往往成為課堂上的客人，常常問其他同學：「現在上到哪裡了？」往往成為課堂上的干擾源。因此研究者嘗試以準實驗研究法，進行數學寫作模式教學，結合分數教材，期使學童能加深所學的數學概念，以順利跟上教學進度，基於前述理由，研究者進行此次研究。. 3.

(12) 第二節研究目的與待答問題壹、研究目的根據研究動機，本研究主要在探討數學寫作活動對於國小三年級學生分數單元教學之影響，並以準實驗研究法探討班級實施數學寫作單所面臨的種種挑戰與得失，希望透過省思調整能發展出最佳的教學策略，研究目的如下：一、國小三年級學童對分數概念的理解情形。二、透過數學寫作教學進行分數概念教學對學童學習分數概念之影響。三、國小三年級學童經數學寫作教學之後在分數概念的改變情形。. 貳、待答問題基於研究動機與目的，本研究選定以準實驗研究法，探討數學寫作單在數學領域教學中的實施歷程。探討以數學寫作為評量內容，對學生數學學習的影響以及了解學生之學習歷程；了解學生對數學閱讀寫作活動的看法，檢視教師實施數學閱讀寫作評量的策略。本研究之待答問題分述如下：一、國小三年級學童其分數概念理解情形為何？二、透過數學閱讀寫作教學模式進行分數教材教學後，實驗組與對照組的差異情形為何？三、國小三年級學童經過數學閱讀寫作教學之後，其分數概念學習情形有何改變？. 4.

(13) 第三節名詞釋義依據研究需要，本研究相關名詞釋義如下：一、國小三年級學童本研究所稱「國小三年級學童」係指南投縣名間鄉某公立小學國小三年級學童。二、分數概念本研究所指之分數概念包括：等分、單位分數和分數大小之比較。（一）等分概念等分是指將物品細分，而細分的每個部分的量皆相等。（二）單位分數物體透過「等分割」後，取所有相等子分割中的其中一份佔所有子分 1 n. 割數量的關係寫成，其中 n 為所有子分割數目。例如：8 顆巧克力裝 1. 成一盒，則一顆巧克力可說成 8 箱。（三）分數大小之比較分數大小之比較包含分母相同分子相異，以及分子相同分母相異兩部分。三、數學寫作教學數學寫作教學包含正確解讀數學符號，以及使用日常用語設計文字題及解題，因此本研究之數學寫作教學著重於教科書的閱讀紀錄、解題過程、上台發表與批判。. 5.

(14) 第四節研究範圍與限制壹、研究範圍一、本研究採準實驗研究法，主要探討數學寫作對學生數學學習的影響，並輔以對照班級進行學習態度與學習成就之比較。二、研究對象為研究者任教學校國小三年級班級的學生，因本校三年級僅有兩班，故對照班級為本校同年級另一班級。三、主要研究教材為部編版第五冊第九單元──分數，所採用的測驗內容多出自於此版本，故使用其他版本造成的差異影響不在此研究範圍內。四、本研究正式研究時間從民國 99 年 9 月至民國 100 年 1 月止，共一學期。貳、研究限制一、研究工具方面本研究的主題為國小三年級學童分數概念之數學寫作教學研究，與傳統教學有所不同，研究者必須在教學上做較大幅度的修正與自省，屬於探討老師和學生數學閱讀寫作融入國小數學教學實行的歷程；為求研究之客觀，採用多元資料蒐集方式，如教室錄影觀察、訪談、省思札記、學習單等各式文件紀錄，多方蒐集資料，加以分析比較，以獲得較客觀之看法。為求審慎起見，研究者隨時徵詢他人不同觀點，如：指導教授、研究者就讀研究者之同學、研究者任教學校同事，協助對蒐集來的資料進行解讀、分析以減少研究者主觀判定之影響，並對研究工具的設計與評量提出修正意見；研究的範圍受限於可觀察的教學與可詮釋的語意行為中。. 6.

(15) 二、研究樣本方面由於本研究採準實驗研究的方式進行，且本研究乃針對研究者任教學校之學生的數學課程所進行的閱讀寫作活動，研究成果未必能推論及本校其他課程或他校教學環境。三、研究結果應用方面由於本研究是以研究者目前任教的班級（南投縣某國小三年級某班），學生的學習過程、學習效果和反應為主要探究對象，因此研究結果的分析、呈現，以盡量呈現真實過程、意見為主，而不以歸納出通則為目的。研究階段的界定、研究結果與研究發現的建構，均深受研究者的經驗、理念與研究情境影響，且研究者與教學者為同一人，再者僅限於一個班級實施此研究，無法以大量樣本來進行研究，因此本研究無法建立一套可標準化的教學模式，其結果不能通則化。. 7.

(16) 8.

(17) 第二章文獻探討本研究藉由編製的分數概念的成就測驗，評量實施數學寫作教學法對國小三年級學童學習分數概念之影響。本章就其相關理論加以探討，本章共分為：第一節為分數意義與兒童分數發展之理論基礎、第二節為國小三年級分數概念教材分析；第三節為分數概念之相關實証性研究，第四節為數學寫作相關研究。. 第一節分數意義與兒童分數發展之理論基礎本節主要是探討分數概念，研究者從分數的意義、兒童分數概念的發展、在分數教學中的表徵等方面加以說明。在國小教育階段，數學課程中關於分數(fraction)的學習一直深受重視。低年級階段的學童接觸點數整數物件的同時，也接觸到摺紙、分成一半…之等分割的經驗。建立了整數概念後，學生亦將學習對於小於 1 之分量的描述，而分數概念的學習與發展，成為數學領域學習的重要內涵。. 壹、分數的意義顧名思義，分數是由分解、合成而形成的數；從分數的英文是 “fraction＂來看，分數源自於拉丁文的“frangere＂，具有小部分、片段、破碎的意義，通常指將全部分解為部份的意思（張平東，1995）。 Hunting(1986)指出分數的最初概念是將一個連續物品細分(如蘋果、蛋糕、派)。甯自強（1995）指出分數起源於等分割一物件活動紀錄與結果。透過將原單位量進行分割，以得到單位分量的重複，因而得到與被測量量等價的量，並將分割份數和重複單位分量的次數並置，以作為被測量量指標。. 9.

(18) 當人類發現整數未能處理生活中所有的事時，就出現使用分數的需求，是以分數的概念起源於分，以用來解決不滿一個單位量的量的數值的問題。在數學定義上，我們以有理數來定義分數，分數是指能化為. q 的型 p. 態，且p、q 皆為整數者，其中p≠0（Corwin, Russell,&Tierney, 1990；教育部，民92），即使分數在數學知識上的定義相當明確，在使用上卻會因為情境的不同而有所差異。 Kieren（1976）主張分數具有下列特性：一、整數系的擴展；一個具有稠密性、無窮可數的數系；二、可代表測量的量或數線上的一點，能被用來互相比較並加以運算；三、具有等值分數特徵；四、可用來代表比率、乘法的操作。 Dickson,Brown,and Gibson（1984）即提出對分數的五種解釋：整個區域之子區域（或部分－整體）；子集合和全體集合間的比較；位在數線上二個整數間被等分好的一點；除法運算後的結果；兩組集合或兩個度量的大小比較的結果。 Behr, and Post（1988）認為分數為： 1.「部分/全部」的概念。 2. 比率：兩個數量間的關係。 3. 比值：以一個量值來代表兩個數量的關係。 4. 商：即兩數相除的結果。劉曼麗(民 85)則說「部分與全體」關係是用來詮釋分數意義中的一種，在將一個整體等分後，以分數表示或記錄其中被指定的部分與全體 2 3. 關係。例如: 可表示一個整體被分成三等分後的兩等分。. 10.

(19) 林碧珍（1990）指出分數的意義有下列五類：全體區域的部份區域（以連續量為主，如：長度、面積、容積）為部份/全體模式、集合中的部分集合為子集合/集合模式、數線上的一個數值為數線模式、兩個整數相除的結果為商模式、二個集合或二個度量相比的結果為比值模式。教育部國立編譯館依82年課程標準所編的國小數學科教學指引的說明 3 5. 如下：當使用分數數詞（字）來描述有理數時（以為例），可以從下列六種角度，進行分數數詞（字）意義的討論： 1.部分與全體的比較：全體為5時，3為5的部分。 2.除法的活動：3除以5活動的另一種記法。 3.運算元：對於物件1，進行一個操作，將此ㄧ物件等分割成5份，再取出其中的3份。 4.小數的另一種表示法。 5.比的意義：表示兩數量間的相對關係(3：5)。 6.測量：測量一個不滿一個單位量的量的數值，或將兩量的對等關係予以數值化（比值）（教育部，民82）。教育部92年版九年一貫課程綱要指出有理數即分數，在小學階段的有理數教學，勢必釐清、練習且連結下述有理數的四種意涵： 1. 平分的意涵:學生在低年級了解人我分際後，就會強烈的期待公平感，因此從平分觀點入手學習分數，比較容易化解分數學習中常見的認知衝突。 2. 測量的意涵；長度測量是低年級就開始發展的數學課題，在以個別單位度量線段長度，為了解決剩下部分的餘數時，就能同時發展小數與分數兩種課題。由於強調單位，測量為調和「部分/全體」的意涵以及帶分數認知衝突中的重要工具。 3. 比例的意涵：比的原理，為一種微妙的平分方式，容易為學生所接受。即使學生尚未接觸到比例式，透過比的方式，依然可以協助學生解題。最後透過引入比值，一貫地解決比例的問題。. 11.

(20) 4. 部分/全體的意涵：部分/全體雖是分數的重要意義之一，但概念較為抽象，且真分數的暗示過深（全體為1），可能會造成假分數或帶分數學習上的困擾，需要透過單位的強調來解決其認知衝突。最後歸納成，有理數最核心的意涵----「除的意涵」。（教育部，民 92）。綜合以上文獻得知，分數具有以下五種意義：1.部分與全體 2.子集與集合 3.兩數相除運算 4.數線上某一點 5.比值。分析現階段數學教材，大致可以將三年級學童對於分數意義歸納為以下二種意義：一、部分與全體（連續量情境）部分與全體的意義，是將一個整體等分後，以分數來表示部分與全體之間的關係，適用於連續量情境。連續量是指由一個單一的物體所組成，如一塊披薩、一條繩子、一塊豆腐。在國小數學課程中，時常以長度、面積、體積等模式出現。例如：一個披薩平分成 4 份，其中一塊是整個披薩的幾分之幾？一條繩子長 15 公分，5 公分可以說是多少條繩子？一塊豆腐平分成 8 份，其中一份是整塊豆腐的幾分之幾？透過圖像表徵或具體操作，尋找部分與全體兩量之間的關係，以形成分數的意義。是小學數學課程中分數最主要的意義。 1 6. Piaget (1960)指出三年級兒童在處理的「部分／全部」的單位分數 1 6. 時雖然能得到，但是卻常發生未注意到等分原則與分割成六份其中的一 1 5. 份與其他五份並置形成的情形，亦即將分割出的一份視為另ㄧ整體，表示部分與全部的關係並不明確。 Bergeron et al.（1987）的研究也發現三年級學生進行處理分數板的問題時，只注意到整體被分割成幾塊，卻未注意到分割每一部分是否相等。. 12.

(21) 1 2. Nik Pa（1987）的研究亦顯示出三年級學生將一矩形對分一次得到， 1 2. 再將其中一個對分一次，得到三個區域，指第二次對分後得到的其中一 1. 個較少區域為，顯示三年級學生對均等的概念並沒有建立，同時也無法 3. 做部分與全體的比較，因為在此時學生的分數意義只是將 3 個單位並置（juxtaposed）（Ning, 1992），並未有部分與全體關係的知覺。二、子集與集合（離散量情境）子集/集合的意義，是指將一個集合等分後的一組或幾組，與原集合的相對關係，適用於離散量情境。雖然子集與集合形成分數意義的方法和部分與全體一樣，必須尋找兩量之間的關係，但子集與集合僅出現在離散量的情況之下才有意義。所謂「離散量」指由超過一個物體所組成的整體，如一盒雞蛋、8 罐飲料、12 個花片…等。因為分數意義的形成，必須在等分的情況之下，是故在此種模式之下的離散物皆假設具有相同的大小與性質。在國小數學課程中，常有此種子集/集合意義的出現，例如 10 個雞蛋放一盒，則一個雞蛋是幾盒？20 個花片裝一包，5 個花片是幾包？關於分數的重要性，可見諸學者的研究中。學者 Behr et al.(1992) 以三個層面進行說明：一、實際層面：學童若能透過有效處理分數概念，可增進認識與掌握真實世界問題的能力。二、心理層面：分數可提供豐富的領域，以發展兒童智力及擴展心智結構。三、數學層面：分數的了解可以提供學童日後學習小數、比、機率與基本代數運算的基礎。國立編譯館(1993)說明分數概念與小數、除法、百分率、比等概念關係密切，在國小數學教材占相當份量。. 13.

(22) 雖然三年級學童在此階段學習到的分數意義不多，但因為分數在不同情境上的意義相當複雜而多元，具有多重表徵，且各表徵之間的關係相當緊密，因此，教師必須深入了解教學的情境與分數所要呈現的意義，並且配合不同意義的解釋，讓學生在分數的理解上更具體的明白其中所含的意義，這是教師必須進行的工作，再者，若能早早為學童的分數概念奠定良好的基礎，相信對學童的分數學習是相當具有意義的。. 貳、兒童分數概念的發展國外學者Piaget,Inhelder and Szeminska（1960）過去曾使用連續量的具體物，研究4到7歲兒童在面積上的分割行為，以探討兒童如何建構部分與全體的關係，來形成分數的概念，並表示兒童的分數概念發展為：一、四歲至四歲半的兒童，對於將一物分為二半有困難，在分割之前並不具有預想的計畫或基模(skema)，因此對於基本形狀之分割，由易至難依序是，長方形、圓形與正方形。此階段的兒童缺少部份與整體之間的關係，並不會注意到他們所接觸的部分是較大的整體之中所內含的元素。二、四歲至六歲的兒童則對規則的與小範圍的東西已具有分半的能力，但若增加原來整體的大小，那麼分半的能力會相對地減弱，而且，這個階段的兒童尚未出現把物體分成三等份的能力。三、六歲至七歲的兒童雖已有三等份的能力，但仍處於具體操作層次。此階段的兒童具有整體性的保留概念，且兒童已了解到各個塊數的總量與整個餅相同。四、十歲左右的兒童已具有六等份的能力，會先用三分法平分一個餅，然後對所得的三塊餅使用二分法，將之平分成二等份。 Piaget et al.（1960）並指出，兒童在瞭解分數運算之前須具有下列七個子概念：. 14.

(23) 一、有一個全體可以除盡。二、一個分數包含各部分的限定數（determinent），在分配東西時，各部份必須與接受者相對應。三、於子分割活動中，全體必須被耗盡，沒有餘數。四、全體被切割成各部分的數與切割數之間，具有一固定的關係。五、分數的概念指分割後的每一部分都是相等的。六、當兒童操作再細分的概念時，瞭解到此細分的一部分屬於全體的一部分，同時此一細分的部分本身亦是一可再分割的全體。七、因為分數是從全體而來，其全體始終不變。 Hiebert and Tonnessen（1978）在研究 5 至 8 歲兒童的分數概念發展情形時，發現部分研究結果與 Piaget 等人（1960）主張的七個子概念相符，但並不全部一致。例如處理面積的分數問題時，Hiebert and Tonnessen （ 1978 ）發現兒童分數概念發展順序依序為 1 1 1 1 1 → → → → ，此結果與皮亞傑等人相同；但若改以長度模式呈現 2 4 3 5 6 1 2. 1 3. 1 4. 1 5. 1 6. 時，則兒童分數概念的發展順序則為「 → → → → 」。 Pothier & Sawada（1983）的研究則發現，兒童處理等分長方形或圓 1 2. 1 4. 1 8. 1 3. 1 5. 1 9. 形區域時，其分數概念的發展順序依序為：「 → ， → ， → 、 1 」。 15. Streefland（1987）自日常生活的觀察中探討 6 至 7 歲兒童處理面 1 2. 1 4. 1 3. 積、長度的問題，發現兒童分數概念的發展為「 → → 」。從以上的研究結果可以發現，兒童分數概念的發展順序大致相同，但可能存在某些個別差異情形。國內學者甯自強（1993）以兒童在不同階段的運思方式所表現的數概念與分割活動為基準，使用分數詞做為區分並將兒童的分數概念依序分. 15.

(24) 為五個層次，而在中年級學童中可能發生的分數概念應包含其中前三個層次，是故，本研究僅就中年級學童可能具有的分數概念層次予以探討，依次說明如下：一、分數概念的前身此層次的兒童尚未具有分數概念，故稱之為分數概念的前身。此階段兒童僅能使用序列性合成運思，雖然兒童已具有分割經驗，但分割活動並未能將子分割單位數值化。此階段兒童分數詞的意義屬「並置類型」（juxtaposed pattern）。 1 4. 如分數詞，此時的意義為1和4，或4和1，若取8個積木給兒童，請他取出其中的. 1 時，則答案不是1個積木，就是4個積木。 4. 本階段兒童所顯現的特徵為： 1.只靠直覺做判斷。撕裂物品過程中，兒童只是靠知覺比較大小。 1 3. 2.僅有部分概念而缺乏部分與整體的概念。如兒童可以知道是三份中的一份，但若將這一份再放回去，詢問兒童全部是多少時，兒童卻可能會回答四份。 3.兒童未能使用不同分數詞去表示不同分割情境的意義。例如：「二分之一」只代表將一物件分成兩部分，並不代表將物件等分為兩份：「四分之一」則代表「4 個中間的 1 個」，此時期學童僅有「個」的概念，而缺乏「份」的概念。二、起始單位分數當兒童能將累進性合成運思引入於分數的情境時，會如同在整數情境中連結兩個整數一般，將由子分割單位所構成的分子部分內嵌在由子分割單位所構成的分母部分，於此時的分數詞意義稱之為「內嵌並置類 1 4. 型」。如是指由1所指涉的集聚單位，且此集聚單位內嵌於由4 所指涉的. 16.

(25) 1 4. 集聚單位中，即是指「4 中間的1」。但此並置關係，並非明顯的部分與全體關係，而是隱約的部分與全體關係。以「內嵌並置類型」為分數詞意義的兒童尚無法進行單位分數的累積 1 3. 活動。如要求兒童將兩個加以合成，但對兒童而言，分子僅屬於內嵌於分母的一部分，尚無法被抽取出來，成為可以獨立於分母之外單獨被累 1 3. 積運算的單位，此時尚非可以被使用的分數單位（fractional unit）， 1 3. 1 3. 而被稱為起始單位分數。而兒童在算＋時，由於當1被複製時，分割 2 6. 數也一同被複製，因此兒童會以來回答。三、加法性分數當兒童將部分全體運思引入子分割活動時，會造成子分割活動的質變。此時子分割活動的結果同時是可以被集聚的計數單位，與用子分割單位集聚而成的集聚單位中的獨立部分單位，此子分割單位已成為所謂的單位分數單位，因此此時的分數詞意義稱為加法性分數。如兒童認為 1 3. 2 3. 2 6. 2 3. 兩個可以構成，而非，兒童能理解意指分子「2」是指 2個 1/3。此時兒童所顯現的特徵為： 1. 能夠理解單位分數的內容為一離散量的問題（離散量是4個，兒童 1 4. 知道4個的是1個），以及單位分數的內容是多個離散量的問題 1 4. （如離散量是8個，兒童知8個的是2個） 2. 能理解集聚分數的內容為多個的離散量問題（如離散量是6個，兒 2 6. 3 6. 2 6. 3 6. 5 6. 2 6. 3 6. 童知6個的和是＋＝，所以6個的和是5個） 3. 能理解集聚分數的內容是多個，且單位分數的內容是多個離散量 2 6. 3 6. 2 6. 3 6. 5 6. 問題（如離散量是12個，兒童知12個的和是＋＝，所以. 17.

(26) 2 6. 3 6. 12個的和是10個）。此階段兒童能同時運用部分全體運思及子分割單位的轉換活動於分數情境中，但仍無法連結兩個以上的子分割活動。如要兒童從6個積木中，取出其中的. 2 ，兒童回答4個，並不表示3份中的2份，而是每3個中的2 3 2 3. 4 6. 個。雖然6個積木的和6個積木的所得的結果是相同的，但. 2 4 和是 3 6. 不同的。歸納以上各家學者（甯自強，1992，1993，1994、Piaget et al., 1960、Hiebert and Tonnessen1978、Pothier and Sawada，1983）的觀點後，研究者認為兒童的分數概念應包含四個要素，分別敘述如下：一、對單位量的認知：單位量的確認是處理分數問題最重要的一個概念，例如：學生在回答一盒巧克力有 10 顆，其中的一顆是幾盒的問題時，能夠回答十分之一盒；或者是一盒巧克力有 10顆時，學生能夠將. 1 盒視為 10 顆巧克力當中五等份的其中一等份，也就是 2 顆 5 2 5. 巧克力；盒視為10顆巧克力當中五等份的其中二等份，亦即4 顆巧克力。學生在解題時，能將題目提供的單位量內容視為一個整體，再分辨所提供的單位「盒」和單位分量「顆」之間的關係後，再予以分割。二、等分割概念：等分割概念即應分完且無餘數的分數問題。處理分數問題的另一個重點就是必須有一個可以除盡的全體才能有分數的思考。學生初接觸正式的分數課程時，與之前接觸除法概念時有相同的情境，泰半是從分東西的經驗出發，再以圓餅圖或方形圖介紹分數，因此學生認為幾分之幾必定要做「分」的動作，且分完並無剩餘。如： 1 4. 2 4. 一箱牛奶有 24 罐時，箱是 6 罐；箱是 12 罐。因為 6 罐為一份，1 箱剛好是 4 份。. 18.

(27) 三、分數具有部分與整體間的關係：處理分數問題有一重要的部分是必須了解分數的意義，以避免忽略分數是要對整體進行等分割的活動（林福來、黃敏晃、呂玉琴，1994）。分數具有部分與整體間的關係，學生要能視. q 為一個數，且 q 為整數 p 的部分（連續量情境） p. 或 q 為集合p 的子集（離散量情境）。例如：一箱牛奶有 24 罐時， 1 1 箱是 6 罐，因為 6 罐為一份，1 箱剛好是 4 份，箱是 4 份 4 4. 當中的其中一份。四、單位分量（數）的確認：處理分數問題的重要概念包括單位分量（數）的確認。當兒童運作再細分的部分概念或子分割時，他們會了解到此細分的部分屬於全體的一部分，同時此細分的部分本身也是一個可以再細分的全體，因為分數是從全體而來，其全體始終不變。例如：學生在回答一盒巧克力有 10 個的問題時，學生能夠將. 1 盒視為 10 5. 顆巧克力的五等份當中的一份，就是 2 顆巧克力；這樣以 2 顆巧克力為一份的量，總共是 5 份，也就是一盒10 顆。學生在解題時，能將給定的單位量內容視為一個整體，再分辨所給定的單位「盒」和單位分量「顆」之間的關係後，再予以分割，而分割後的每一部分都是相等的。參、在分數教學（teaching and learning）中的表徵「表徵（ representation）」是知識的載具，因此，「表徵」在學習中是個相當重要的概念，特別是在分數學習這部份，分數的多元表徵概念，使得在進行分數教學時，教師勢必要花費許多時間與學生溝通彼此之間分數表徵的概念是否一致。蔣志邦（民 83）指出：「表徵是用某一種形式（物理或心理），將一種事、物、或想法，重新表現。」因此，研究者認為，教師於進行教學時，須慎選表徵工具，以利傳遞知識。 Bruner 將認知表徵分為三個階段（引自張春興，民 83）：. 19.

(28) 一、動作表徵（enactive representation）：藉由動作來獲得知識，如：操作積木。二、圖像表徵（iconic representation）：藉由對物體知覺留在記憶中的照片圖形或心像等獲得知識，如：憑想像就可回答兩隻手共有十個手指頭。三、符號表徵（symbolic representation）：指運用符號、語言文字的求知方式，如：Ｘ＋５＝８則可推知Ｘ＝３。 LeshLesh, Post & Behr （1987a）提出數學學習的五種表徵. 靜態圖形. 操作模型. 符號. 真實腳本. 語言. 圖 2-1- 1 表徵關係圖（Lesh et al.,1987a,P34）一、操作模型（manipulative models）：如數學教具中的積木、花片。二、靜態圖形（static pictures）：如圖畫、圖表。三、語言（spoken language）：包括已被特殊化，僅屬於某些領域的語言，如分數中的三分之一。四、符號（written symbols）：如同語言，亦包括特殊化的句子，如：Ｘ＋３＝７。五、真實腳本（ real scripts）：於生活情境中所組織起的知識，被運用來解釋其他的問題情境。如：對「筆」的認知，能用在相關的問題 20.

(29) 情境中。 Behr, Wachsmuth, Post and Lesh （ 1988）指出學生會運用「真實情境」、「圖形」、「符號」、「語言」、「具體操作」五種不同表徵表示其想法，以達成溝通的目的。 Clement and Lean(1987)認為，必須將具體物、語言、符號三種表徵結合在一起，兒童才算擁有完整的分數概念(引自林碧珍，1990)，如圖 2-1-2：. 具體物. 語言. 符號. 圖 2-1- 2 分數概念的連結關係（引自林碧珍，1990, p301）若學生能夠熟練運用多種表徵以表示同一概念，或在表徵之間自由轉換，代表學生已確實了解、掌握這一個數學概念了。根據 Lesh 等人 (Lesh et al., 1987a)所提出的五種表徵型態，來觀察研究中師生所利用的表徵類型，將可能出現下列型式：一、具體的指示物運用實際的物品，如積木、花片、百格板、分數板……來呈現問題情境，就如同 Piaget and Bruner 所提及（引自張春興，民 83），透過操作過程獲得知識。教學者佈題：一塊披薩，平分成五份，一份是多少塊披薩？實際指示物：利用分數板，平分為五份，其中的一份即為所求。二、圖像表徵畫出圖形、記號或表格，說明對問題的理解及問題的解法。. 21.

(30) 教學者佈題：一個蛋糕平分給四個人，每個人得到幾個蛋糕？圖像表徵：請學生利用畫圖表示答案：三、語文表徵以口語的敘述，解釋數學概念或數學問題；以及了解題目文字呈現的意義。 1 4. 教學者佈題：爸爸、媽媽和小靜，每人各吃了個蛋糕，請問三人總共吃了多少個蛋糕？ 1 4. 2 4. 3 4. 語文表徵：以、、的跳躍數數方式來解題，每數一次就代表一人所吃的部分。四、抽象符號表徵約定俗成的數學表徵系統，一般常用的數學算式或數學符號。教學者佈題：一塊披薩，平分成五份，一份是多少塊披薩？抽象符號表徵：利用分數符號表示答案，每人得到「. 1 」塊披薩。 5. 五、真實腳本在生活情境中所組織起的知識，用來解釋其它的問題情境，例如題目以一打蛋、二個星期……等作情境設計；或是將數學符號的記錄，用生活情境的方式呈現，如擬題活動。可以說前四種表徵的呈現，都和真實腳本有關。. 22.

(31) 第二節國小三年級分數概念教材分析本研究主要探究國小數學科分數之概念，因本研究之施測對象為三上學完分數單元的學童，故本節教材探討範圍設定在國小二下至三上的數學課程中之分數單元，並以研究對象使用九年一貫部編版教材為主，分述如下：. 壹、九年一貫課程綱要中分數學習能力指標. 九年一貫課程學習領域綱要（第一、二階段）的分數主題，包含了等分概念、簡單分數概念、單位量概念、分數的種類（真分數、假分數、帶分數）、分數加減比較運算與以數線來理解整數、分數、小數間的關係到分數的簡單整數倍等。本研究著重於對小學三年級學生之分數概念的了解（單位分數內容物為一個整體）、分數間的比較活動（單位分數內容物為一個個物、同分母分數大小比較）與分數的序列關係。因此，研究者將針對學生的分數的意義、等分概念、分數的表徵和表徵間的轉換、同分母的分數大小比較概念、分數序列等概念加以探討、研究，作為改進教學之重要參考依據。由於本研究的研究對象—國小三年級學童，為九十七學年入學，接受 92年最新頒布之九年一貫最新的數學能力指標的學童。茲將92年最新頒布之九年一貫最新的數學能力指標中有關分數的能力指標整理如下表 2-2-1：. 23.

(32) 表 2-2- 1 國民小學數學領域有理數內分數教材的能力指標表階段（年級）. 有關分數的能力指標. 第一階段. N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分. 1-3 年級. 母分數的比較與加減問題。. 第二階段. N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。. 4-5年級. N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，並作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 N-2-09 能理解通分的意義並用來解決異分母分數的比較與加減問題。 N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。. 貳、九年一貫課程綱要之分數分年細目. 由於九年一貫課程綱要乃依主題及階段學習能力而訂定，而多數指標皆須藉由分年進階式來完成。因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目，以利教師教學進度的掌握。分年細目以三碼編排，其中第一碼表示年級，分別以1，…，9 表示一至九年級；第二碼表示主題，分別以小寫字母 n、s、a、d 表示「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」四個主題；第三碼表示分年細目的流水號（教育部，2003 ）。. 24.

(33) 表 2-2- 2 國民小學分數教材的分年細目及詮釋表分年細目分年細目詮釋 2-n-10. 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小。. 3-n-09. 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。. 4-n-06. 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。. 4-n-07. 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。. 5-n-04. 能用約分、擴分處理等值分數的換算。. 5-n-05. 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。. 5-n-07. 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. 5-n-11. 能將分數、小數標記在數線上。. 参、分數教材本研究使用部編版二至三年級分數教材呈現之單元內容( 數學教師手冊二下、三上、三下2010 )依研究目的選定之分數課程內容，配合研究者實驗對象採用的版本，將相關之教材單元，臚列如表2-2-3：. 25.

(34) 表 2-2-3 部編版分數教學概念分析年級. 教材地位. 二下. 第四冊. 單元目標 1.在連續量的情境中，認識單位分數（分母小於 10）的意義。. 第八單元. 2.單位分數的說、讀、聽、寫、做。. 分數. 3.在離散量的情境中，認識單位分數的意義。 4.在具體的情境中，比較單位分數的大小。三上. 第五冊. 1.認識分母為 12 以內的真分數及其意義。. 第十單元. 2.認識分母、分子等分數術語。. 分數. 3.能解決同分母分數的大小比較問題。 4.能解決同分母分數的加減問題。. 三下. 1.解決同分母分數的加減應用問題(兩步. 第六冊. 驟、被加減數未知、加減數未知)。. 第三單元. 2.從平分的活動中，初步經驗等值分數(連. 分數. 續量)。 3.透過平分(離散量)的活動，理解內容物為多個個物的分數。 1. 二年級下學期透過平分喜餅、繩子等連續量建立「分數」的數詞，且分 1 2. 1 4. 1 8. 數教學進行順序為「 → → 」。 2. 藉由繩子等連續量的情境引出單位分數，並認識不同圖象表徵的單位分數。 3. 於二年級下學期進行單位分數的比較並僅以連續量的情境介紹(繩子、甘蔗、土司)。. 26.

(35) 4. 三年級上學期由常見的生活情境(披薩、蔥油餅、豆腐等)介紹分母 12 以內的真分數，順序由連續量到離散量。 2 3. 5. 分數語言的轉換，宣告如讀作「三分之二」，且分子為 2，分母為 3。 6. 藉由繩子等連續量的情境引出分數數詞序列，並認識不同圖象表徵的真分數。 7. 藉由連續量與離散量的情境引出分數數詞序列，並引出當一分數其分子與分母相同時，該分數等於 1。 8. 藉由連續量及離散量情境引入同分母分數大小的比較。 9. 同分母分數的合成分解活動由連續量到離散量。 10. 三年級下學期加強分母 10 以內同分母分數的加減應用。 11. 由常見的生活情境(披薩、蔥油餅、蒸餃等)介紹分母 10 以內的假分數，順序由連續量到離散量。 12. 综合歸納以上教材分析結果，研究者發現雖然兒童早具備平分概念，但部編版分數教材卻是至二下始正式編排，教材編排的內容全部由連續量情境切入，且分數發展的順序由等分概念、單位分數、真分數、假分數至帶分數。因此，本研究以「等分概念」、「單位分數概念」、「單位量概念」、「等量概念」、「分數的序列概念」等向度作為分數概念擬藉由此研究釐清學童在分數學習上的脈絡呈現。. 27.

(36) 第三節分數概念之相關實證性研究。在兒童的數學學習中，分數其多元的表徵以及多元的性質，往往讓兒童比較容易感到困難，反應也很多元。為了能更了解孩子對於分數概念可能產生的困難，並提供教師適當的教學策略，許多學者（王淑芬， 2005；呂玉琴，1991a，1991b；林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996；林碧珍，1990；Behr,Lesh,Post & Silver,1983; Piaget,1960）進行了這方面的相關研究，研究者依據自身以往的教學經驗，以及所閱覽的文獻，歸納如下：一、兒童分數概念的迷思在學習分數的過程中，兒童展現出一些共同的迷思概念，綜合多位學者的研究發現，整理如下： 1. 等分的觀念薄弱學生初接觸正式的分數課程時，依據教科書的編排方式，教學時泰半從分東西的經驗出發，接著再以圓餅圖或方形圖介紹分數，因此許多學生會以字面上的意義來瞭解分數，直覺認為幾分之幾就是要做分的動作，卻忽略了分數必須要對整體進行等分割的活動（林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996）。是故，研究者發現，在研究中若請學生進行分數的繪圖時，學生泰半能分割出相應的份數，但往往分割的大小不一。呂玉琴（1991b）針對一位剛上國小一年級的學童進行面談，發現該研究對象處理一半和二分之一的問題出現差異：一半是生活語言，而二分之一是數學語言。當孩童處理一半的問題時，具有較高的容忍範圍，但當處理二分之一的問題則要求較高的精確度。 Piaget，Inhelder and Szeminska（1960）舉出「部分/全部」的分數意義，可以細分為七個子概念，而其中的一個子概念就是分割的每一部份都要相等。呂玉琴（1991a）亦指出在部分與全部的分數意義中，分割後的每一子部份都要相等，是分數學習很重要的概念。. 28.

(37) Columba（1989）指出等分概念在連續量是將一整體全部分為相等的部分，而在離散量則是將一堆分散的物體分成數量一樣的子集合。在本研究中，因為課程設計以及受試對象為三年級學童的關係，若請學童進行分數的分割活動，離散量的部份，分子皆為1。在研究者過往的教學經驗中，部分學童即使到了四年級，對於分數是一種等分割這樣的概念認知仍然薄弱，故本研究將等分概念放入，做為施測內容的主要原因，期望透過研究，了解學童分數等分概念的發展情形。 2. 忽略單位量處理分數問題的另一個重要概念就是單位量的確認。在本研究中學童在處理連續量分數問題時，有指認單位量的困難。如圖2-3-1，出現部分 3 7. 學童認為該圖代表，而非. 3 ，把部分當成分子，而以整體扣掉部分為 10. 分母的情形發生。或是出現將單位量及部份量的數字倒置的情形，如圖 2-3-1，部分學童會認為該圖代表. 10 。 3. 圖 2-3- 1. 3 個圓 10. 此外，在處理離散量子集與集合情境時，學生在回答一盒巧克力有十二顆，其中的1 顆是幾盒的問題時，會回答1顆或是. 1 1 顆，而非盒。 12 12. 3. 單位分數概念不穩 Piaget et al. (1960) ，Hiebert 、 Tonnessen (1978) 、Pothier and Sawada (1983) 發現孩童於處理和長度、面積有關的分數問題時，會優先處理. 1 的分數問題。 2. 29.

(38) n 4. 受整數基模的影響，而視分數 m 為兩個獨立的數. 眾多學生由於不瞭解分數的意義，加以深受整數基模的影響，是故將分數. n 視為兩個獨立的數，而無法將分數視為一個數做比較。故在本研 m. 究中，研究者發現學童產生以分母為準則之迷思概念，即當學童比較分數大小時，會忽略分子的存在，以分母的大小來決定分數的大小。例如：學童處理同分子分數問題時，會將分母剝離分數做比較，因為分子同為 1，而分母中 2＜3，故認為. 1 1 ＜。 2 3. 綜合以上的分析，可以發現學童在學習分數之時，所可能產生的迷思概念相當多元，起因於分數概念不但具有多元的表徵，也被賦予豐富的語意，且在日常生活的應用中有許多不同的解讀，因此易產生為數眾多的迷思概念。若學童能夠真正的釐清分數的內涵與意義，與單位量的關係，那麼學童對分數的抽象符號運算應該能得心應手才是。二、分數教學實驗的相關研究 Behr et al.(1984)曾進行的分數教學實驗（Rational Number Project, RNP）意在強調讓兒童由操作具體的教具先開始建構分數的概念，進一步引導兒童進入心像的理解。RNP 的教學實驗結果顯示出，學生在如此的學習情境下進行學習活動，比接受傳統算則教學的學生更能建構對分數概念的理解。RNP 課程特別強調先使用具體操作物協助兒童建構分數概念，並且適時將數學概念轉移至半具體、語言以及抽象符號的表徵。其結果證實兒童於此學習情境下可以發展較好的分數概念。於小學階段，小孩子對概念的理解是奠基於其自身的學前活動經歷的，所以若在教學中過早引入標記和符號，會阻礙學生進行學習，因此在教學時，教師不宜過早引入數學標記和符號。即使是一個九歲的孩子對以符號表示出來的分數的理解仍有相當大的困難。約在三年級下學期，分數符號才能以適當的方式被引入教學，原因在於分數問題異於整數. 30.

(39) 問題，它較為抽象，更難以理解。孩子對分數這個數學術語的理解和他們的具體經歷有關，但與相應的書寫符號無關。例如：二分之一、三分之一和四分之一這樣的數學術語，學童會把它們和具體物體的組成部分和大組物體內包含小組這種經驗連結起來做理解。在小學三年級階段，孩子們對分數的掌握也就圍繞著部分和整體的關係來進行，所以他們能夠理解有關形狀，長度和組合方面的問題。至於他們有關飲食方面的經歷（如切胡蘿蔔）和做飯（測量成分）則涉及到了解體積的概念。形狀比較直觀、具體、孩子易於理解。理解成組問題，一組物體就可以被看作是可以分為若干小組的整體。 Payne，Towsley and Huinker(1990)總結出孩子有關分數的概念知識的發展次序：三歲到五歲的兒童能夠理解部分和整體的關係。五歲到八歲的兒童能夠理解等分，以及它的口語（非書面）表達形式。亦即在孩子開始學習運用諸如二等分、三等分和四等分等數學術語時，也掌握了部分、塊和全部這類的術語。分數概念對學生以後的學習佔很重要的地位，是故有許多研究者運用各種研究方法以檢視兒童分數概念學習情形，因為研究對象為三年級學童，故主要整理文獻以研究對象為中年級學童為主，整理如下： 1. Behr,Wachsmuth, Post, and Lesh（1984）以四年級學童進行教學實驗，研究主題為有理數順序和等值認知分析，結果顯示分數教學運用各種教具進行教學，發現兒童的等值分數概念極易受自然數的影響。 2. Figueras,Filloy and Voldemoros（1987）以 11 至 14 歲學童進行紙筆測驗，探討學生對連續量、離散量的分數的單位量指認困難的原因。結果顯示在圖形指認方面，以忽略全體及再細分為最困難；而連續量的情境比離散量的情境學習成就高。 3. Iwasaki & Hashimoto（2000）以 38 位三年級學童進行教學實驗，. 31.

(40) 從操作運算觀點來看三年級分數概念的認知變化，發現學生缺乏單 1 位量概念。例如：「給一條 120 公分的彩帶，拿其中 4 公尺」的. 問題中，於教學開始時有 14 位學生採用分割想法解題，原因是 1 他們看到 4 的符號，而將彩帶直接平分成 4 段，並沒有考慮到題 1 目是 4 公尺。. 4. Mack（1995）以三、四年級學童，進行個別教學實驗，以探討學生先前整數意義與以非正式知識建立分數意義的影響，發現學生雖已具有分數的非正式知識，但仍未能與分數符號知識做連結，且在建構分數符號表徵意義時，學生常會受整數符號的過度影響，也常將分數符號意義混淆至整數。 5. Nik pa（1987）對三至五年級學生進行臨床晤談，以探討三種基本的分割基模及兒童的等值分數概念，發現因三年級學生尚未建立等分的概念，故未能察覺集合與子集合間的部分與全體的關係。而四年級學童傾向將集合中的數目視作分母，接著五年級的學生雖能對於兩個分數是否等值能加以判斷，卻無法解釋其意義。以及發現兒童數發展階段分割基模的四種類型，分別為撕裂基模、碎裂基模、分割基模以及多對多比較基模。 6. Piaget,Inhelder and Szemunska（1960）對 4–7 歲兒童進行個別晤談，以探討兒童在長度及面積上的分割行為。發現兒童在面積連續量的分割行為的發展可分三階段，而使兒童無法等分乃是因為缺乏預期的基模其整體保留概念。 7. Saenz-Ludlow（1994）以三年級學童進行教學實驗與個別晤談，探究學生在自然數的運思方式與在分數概念上的應用。發現兒童若具備有彈性的單位化概念，並利用自然數運思的方式，通常能成功的解決分數問題。再者將單位化概念的發展，依序分成整數的複合單 32.

(41) 位、連續量情境下作測量的部分整體基模、離散量情境下作測量的部分整體基模及多重等分的協調與部分等分協調基模。 8. 王淑芬（2005）以三年級學童做教學晤談，進行兒童的分數概念個案研究，發現三年級學童的分數概念正位於加法性分數概念，且在有理數的子概念解題活動中，該學童具有操作性顯著的子分割運思及單向的由部分去構成全體的關係，但並不能由全體決定部份的雙向關係性質。另外，在分數的基本概念及使用解題活動中，則具有以分數詞表示部分在全體之中的並置關係，以及分數詞內隱含算子的意義等性質。 9. 林福來、黃敏晃與呂玉琴（1996）針對二年級學童做個別晤談與教學實驗，以探討學生在正式學習分數之前的先備知識，並進行分數啟蒙的教學實驗，其研究結果顯示 90%以上學生的分數生活經驗包括：數數、能使用公平、平分、一半等語詞以及將偶數個離散物二等份。約 90% 的學生能操作連續量實物的二、三、四等分，與離散量具體物的二、三、四等分及五等分，並能以二分之一、四分之一描述連續量分配的結果。 10. 邵宜翠（2003）針對三年級學童做紙筆測驗與試題關聯分析，探討國小三年級學童分數加法概念的試題編製與分析研究，發現學童形成分數概念時，須先具有等分割概念，再形成單位分數概念；而單位分數的概念發展是由圖形表徵到符號表徵。而學童對於單位分數、單位分數合成及真分數的概念發展，皆由「離散量」情境到「連續量」情境。再者學童需先能掌握部分與全體和兩階單位之間的關係，才能形成真分數概念。學童對離散量分數加法的概念部分，則是由不需進行兩階單位轉換的分數加法到需進行兩階單位轉換的分數加法、先由解決合成問題到解決分解問題。最後學童在進行分數加法概念解題時，常混淆兩階單位且對錯誤指認單 33.

(42) 位量。 11. 徐文明（2007）針對三年級學童做個案研究，進行國小三年級分數概念學習困難兒童之補救教學研究，發現學生各分數子概念在連續量方面，普遍表現得比離散量好，等分後之內容物為單一個物的表現也比多個物的表現好。 12. 陳靜姿（1997）針對四年級學童做紙筆測驗與個別訪談，探討國小四年級兒童等值分數瞭解情形，發現低能力學童的數概念處於序列性合成運思階段，尚未能將子分割單位數值化，分數概念屬並置類型；高能力學童的數概念處於累進性合成運思，但未能正確運用子分割活動，分數概念屬於內嵌並置類型；全體受訪學童屬於部份與全體運思階段，其分數概念為加法性分數，且具有幾分之幾可以當成一個分量，分裂數與分裂量成反比，分數可以作為分數單位，分母代表將一個整體分割成幾份等性質。 13. 許天維與易正明（2001）針對國小二至五年級學童作個別晤談，以單位化觀點探討國小學生的分數運算概念，發現學童泰半錯用分數的運算符號或錯誤解釋運算式中數字的意義。 14. 游政雄（2002）針對三、四年級學童，做紙筆測驗與個別訪談，探討台灣北部地區國小中年級學童分數概念。發現學童常運用整數知識來處理分數問題，故將分子、分母視為獨立的二個數，因此在比較分數大小時，會直接將分子和分母分開來進行比較。在等分問題上，只注意到被分割的塊數，卻忽略分割後的每一塊是否相等。面對連續量情境問題容易出現單位量、內容物的單位詞混淆的情形。再者學童一半和二分之一的連結並不穩固。處理一半語言的敘述問題比二分之一符號問題簡單。面對餘量再分的問題時則會自行增加或減少內容物。 15. 黃靖瑩（2003）針對三、四年級學童，運用問卷調查法，探討國 34.

(43) 小中年級學童分數概念的等分、簡單分數、單位量、等值分數概念的表現及直觀規律的運用。發現學童處理一半問題優於二分之一符號問題、解單位分數問題表現優於解真分數問題、判斷是否等分問題時，連續量情境表現優於離散量，以及等值分數概念出現受分子或分母控制而錯誤解題。 16. 魏麗枝（2007）針對三年級學童，做紙筆測驗與個別訪談，進行國小三年級學童分數詞意義之研究。發現三年級學生，雖具備解決基本分數問題的能力，但並非代表真的理解分數意義。學生亦犯的錯誤有，在處理部份量已知、單位量未知的問題時，由於題目隱藏單位量或未指明單位量影響，會出現將分母參照到等分配數的錯誤。在處理整體等分割後取出部分數量平均分配的題型時，分數詞意義會受取出分配的訊息影響，出現單位量錯誤或改變單位量情形。在已知每一單位得到的份數以及分配後的餘數的題型中，學生分數詞意義則受題目中餘數的訊息影響，分數詞會出現單位量錯誤或改變單位量等情形。. 35.

(44) 第四節數學寫作相關研究九年一貫課程數學學習領域的基本理念中明白指出：利用數學語言進行溝通，明確有效，讓數字講話，有根有據，所以數學是理性溝通的重要工具（教育部，2002），在數學教室中，最常被使用來成為溝通過程的方法就是寫作，無論是課本習題的仿作，或是學習單的寫作。為了兼顧眾多學生的需求，以及教學時數的壓力，數學寫作活動是數學教學活動中不可或缺的一環。壹、數學寫作的意義何謂『數學寫作 (mathematical writing) 』？劉祥通、周立勳（1997）為數學寫作所下的定義為：「數學寫作是促使學習者透過紙筆進行解釋、省思、回顧、組織或連結有關數學經驗與知識的書寫與紀錄活動。」 1989 年美國數學教師協會（ National Council of teachers of. Mathematics, NCTM ）在出版的 Curriculum and Evaluation. Standards for Schools Mathematics (NCTM,1989)一書中，建議將寫作活動融入數學教學中。提倡數學教學應強調有意義的溝通，而數學觀念的寫作可以幫助學生釐清自己的想法，且加深學生原有的觀念。因此寫作活動在數學教學中扮演著重要的角色。數學寫作活動是鼓勵學生以自己的話連結所學的新知識與經驗，在寫作的過程中，不需注重寫作的形式，學生可以暢所欲言，將所想到的方法或解題方式自由的或寫或畫，記錄在學習單上，教師則依據學生的解題歷程獲知學生的思維，並針對學生錯誤的觀念，給予補救教學，提升學生的學習成效。貳、數學寫作的策略數學寫作的種類多元，具有豐富的內涵與效果，故教師須針對不同的教學單元、教學環境、教學目的與學生特質，運用不同種類的數學寫 36.

(45) 作，但如何善加運用數學寫作策略進行教學呢？數學寫作教學又有哪些注意事項呢？ Miller（1991）指出，教師若要在班級中實施有效的數學寫作活動，必須注意以下十點：一、讓學生進行寫作時，須寫多久的時間、何時寫。二、需事先計畫一整節數學課應用的提示詞或佈題設計。三、教師彈性佈題且佈題要貫穿整節課。四、鼓勵學生與其他同學、朋友、家人運用數學寫作進行溝通。五、要求學生在剛上課時進行數學寫作，以讓學生做好上課準備，且有利於與學習內容做連結或轉換。六、要求學生在結束一段課程之後進行數學寫作，以評估學生們對課程內容的理解程度，或了解學生對這段課程的想法、感覺。七、老師加入學生的數學寫作活動，與學生分享觀點。八、不要讓學生有分數壓力，教師要讓學生們理解，有效的學習需要配合數學寫作。九、如果學生沒有寫，老師不需責備他。十、老師要有耐性，一開始學生可能寫得既少又簡短，而且看來毫無意義可言，老師應多給予一點指導時間。 Wilde（1991）指出數學寫作的內容包含：ㄧ、記錄所學或所做的內容：活動剛進行時，學生不知道該如何下筆，教師可引導其畫下所學的相關內容，再輔以文字說明。二、文字題（word problems）：學生結合個人生活經歷，再加以轉變成數學語言。. 37.

(46) 三、程序題（process problems）：需透過推論、判斷、嘗試的方法解決問題獲得答案。劉祥通（1997）提出的教學策略如下所述：一、鼓勵學生留下自己的解題痕跡以發展算則或符號的教學二、鼓勵學生用自己的話語表徵數學概念三、要求學生用自己的話語，說明解題策略或困擾四、鼓勵學生自創解題算則或程序五、教師創造開放式的問題，以供學生組織答案六、要求學生詳列解題的步驟與策略七、要求學生進行擬題活動，以加深對問題結構的瞭解八、以寫作活動配合調查、實測、或造形等活動。參考上述文獻之後，考慮到研究對象為國小三年級學童，故研究者擬定數學寫作策略為以下五點：一、鼓勵學生盡可能地留下自己的解題痕跡，以幫助師生間的溝通，並發展算則或符號的教學。二、鼓勵學生詳細說明自己的解題策略或困擾三、請學生以自己的語言表徵所理解的數學概念四、老師在批改學生的數學寫作單時，加入自己的意見，與學生進行對話並分享觀點。五、在課程告一段落後請學生寫數學寫作，以便評估學生對課程內容的理解程度，或是了解他們對這段課程的想法、感覺。. 38.

(47) 第三章研究設計與實施分數所具有的特性，使得呈現概念時，使用者得以利用不同的表徵方式來表現，由研究者進行正式研究時觀察三年級分數教學課堂觀察的經驗，以及學者們的研究結果，研究者設計並進行此實驗。本研究採取準實驗研究法，先利用分數概念問卷對某國小三年級學生進行分數概念的前測，以瞭解學生在教師教學之前參與研究學生對分數概念的理解情形，再進行實驗教學，並於教學後對參與實驗學生進行分數概念的後測，從中分析學童學習分數單元困難的成因，以及實施數學寫作教學對學童學習分數概念所造成的影響。本章主要在說明研究設計與實施的方式，內容共分為五節，分別為研究架構與流程、研究樣本、研究工具與發展、數學寫作融入分數單元之教學、資料蒐集與分析，以下就此五部份，分別加以詳述。. 第一節研究架構與流程本研究以準實驗研究法進行，由研究者根據國小三年級上學期分數概念課程設計分數概念數學寫作教學活動，探討國小三年級分數概念之數學寫作教學對學童學習分數概念之影響，並嘗試了解學童在分數概念上的起點行為以及所存在的錯誤概念為何。. 壹、研究架構本實驗採準實驗研究設計法，實驗對象為南投縣某國小三年級兩班學生共33人，分別為實驗組與控制組。在實驗教學的處理中，實驗組實施「數學寫作」融入教學，控制組則以「傳統教學」。根據本實驗所進行的過程，提出研究架構如圖3-1-1所示：. 39.

(48) 實驗對象國小三年級學童. 控制變項. 共變項分數概念成就測驗前測. 實驗處理. 數學寫作融入分數單元教學（實驗組）傳統教學（控制組）. 依變項分數概念成就測驗後測. 教學者、起點行為、教材內容、授課時數、教學進度. 圖 3-1- 1 研究架構圖本實驗教學的研究變項共分為四個變項：ㄧ、自變項分為實驗組與控制組。實驗組接受「數學寫作融入教學」，控制組接受「傳統教學」。二、依變項依變項是指實驗對象在本研究的後測工具「分數概念成就測驗」中的得分，此測驗是在實驗組及控制組學童進行實驗楚哩，一個星期內所進行的後測，主要目的為考驗兩組學童，在透過不同教學模式後，彼此間學習成效之差異。三、共變項共變項是指實驗對象在本研究的學前能力測驗工具「分數概念成就測驗」中的得分，此測驗於兩組學童進行實驗處理前進行，測驗內容為學前分數概念，本測驗分數將作為學童的學前相關概念學習成就，與後測成績分析比較用。 40.

(49) 四、控制變項為了降低除了自變項以外的其他變項，可能對實驗結果產生的影響程度，所以本研究在實驗處理上採取以下的方法來掌握一些可能的干擾變項。 1.教學者實驗組教學者為研究者，控制組教學者為該班導師。研究者與該班導師同時擔任三年級導師，且兩位教學者上課時以課本為主要教材，再依據教學進度，指派習作與作業簿為回家作業。 2.學生背景因素本研究取樣的學生皆屬南投縣裡的鄉立小學，分班依小學二年級成績進行S型分配，故實驗組與控制組的平均智力、學業成就、社經地位視為相等。 3.起點行為控制組雖採立意取樣，但根據分數概念成就測驗前測，經SPSS統計分析結果顯示，控制組及實驗組在分數學習表現上無顯著差異。 4.教材內容教材內容為部編版數學三上第九單元---分數，主要涉及的概念有等分、單位分數、分數大小的比較。 5.授課時數實驗組與控制組授課節數皆為5節。 6.教學地點實驗組與控制組上課地點皆於普通教室進行實驗教學，兩組場地設備可視為相同。 7.教學進度在進行實驗教學前，研究者與該班導師共同擬定教學進度，確保控制組的教學是在實驗控制下進行。. 41.

(50) 貳、研究流程本研究採用準實驗研究，整個研究的流程一開始是先以研究者在教學現場所遭遇的問題為出發點，再根據個人經驗以及研究者在研究進行前所蒐集的文獻，初步擬出研究計畫。在確定研究主題與研究方向後，研究者開始發展研究策略與行動，並依據文獻探討以及教材內容設計出本實驗所實施的數學寫作活動與相關學習單。進行教學活動前，對實驗組與控制組先進行分數概念前測施測，以了解其先備概念，於教學活動進行時，同步進行錄影，並採用所擬定的數學寫作教學策略對實驗組進行教學，多請學童發表自己的看法，並於教學活動結束時請學童書寫數學學習單，並蒐集學童的作品，於教學活動結束後，則進行分數概念後測，以了解教學成效，將本研究所需的資料蒐集完整後，評估實驗成效，最後整理資料並發表成果。本研究的實施流程如圖 3-1-2：. 42.

(51) 選定研究主題. 準備研究工作. 擬定行動策略. 文獻. 修正教學策略. 進行教學.  蒐集研究資料. . 探   討. 撰寫教學省思. 分析資料.  . 撰寫研究論文. 圖 3-1- 2 研究發展流程圖. 43. 分數概念前測數學學習單撰寫討論活動紀錄教學反省紀錄資料分析整理分析歸納結果.