國小三年級分數概念教材分析

本研究主要探究國小數學科分數之概念，因本研究之施測對象為三上 學完分數單元的學童，故本節教材探討範圍設定在國小二下至三上的數 學課程中之分數單元，並以研究對象使用九年一貫部編版教材為主，分 述如下：

壹、 九年一貫課程綱要中分數學習能力指標

九年一貫課程學習領域綱要（第一、二階段）的分數主題，包含了等 分概念、簡單分數概念、單位量概念、分數的種類（真分數、假分數、帶 分數）、分數加減比較運算與以數線來理解整數、分數、小數間的關係到 分數的簡單整數倍等。

本研究著重於對小學三年級學生之分數概念的了解（單位分數內容物 為一個整體）、分數間的比較活動（單位分數內容物為一個個物、同分母 分數大小比較）與分數的序列關係。因此，研究者將針對學生的分數的意 義、等分概念、分數的表徵和表徵間的轉換、同分母的分數大小比較概 念、分數序列等概念加以探討、研究，作為改進教學之重要參考依據。

由於本研究的研究對象—國小三年級學童，為九十七學年入學，接受 92年最新頒布之九年一貫最新的數學能力指標的學童。茲將92年最新頒 布之九年一貫最新的數學能力指標中有關分數的能力指標整理如下表 2-2-1：

表 2-2- 1

國民小學數學領域有理數內分數教材的能力指標表 階段（年級） 有關分數的能力指標

第一階段 1-3 年級

N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分 母分數的比較與加減問題。

第二階段 4-5年級

N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。

N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，並作同分母 分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問 題。

N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。

N-2-09 能理解通分的意義 並用來解決異分母分數的 比較與加減問題。

N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生 活中的問題。

N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。

貳、九年一貫課程綱要之分數分年細目

由於九年一貫課程綱要乃依主題及階段學習能力而訂定，而多數指標皆 須藉由分年進階式來完成。因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分年 細目，以利教師教學進度的掌握。分年細目以三碼編排，其中第一碼表 示年級，分別以1，…，9 表示一至九年級；第二碼表示主題，分別以小 寫字母 n、s、a、d 表示「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機 率」四個主題 ；第三碼表示分年細目的流水號（教育部，2003 ）。

表 2-2- 2

國民小學分數教材的分年細目及詮釋表 分年細目 分年細目詮釋

2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，並比 較不同單位分數的大小。

3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較 與加減問題。

4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。

4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互 換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍 的計算。

5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。

5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。

5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問 題。

5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。

参、分數教材

本研究使用部編版二至三年級分數教材呈現之單元內容( 數學教師手 冊二下、三上、三下2010 )依研究目的選定之分數課程內容，配合研究者 實驗對象採用的版本，將相關之教材單元，臚列如表2-2-3：

表 2-2-3

4. 三年級上學期由常見的生活情境(披薩、蔥油餅、豆腐等)介紹分母 12 以內的真分數，順序由連續量到離散量。

5. 分數語言的轉換，宣告如 3

2讀作「三分之二」，且分子為 2，分母為 3。

6. 藉由繩子等連續量的情境引出分數數詞序列，並認識不同圖象表徵的 真分數。

7. 藉由連續量與離散量的情境引出分數數詞序列，並引出當一分數其分 子與分母相同時，該分數等於 1。

8. 藉由連續量及離散量情境引入同分母分數大小的比較。

9. 同分母分數的合成分解活動由連續量到離散量。

10. 三年級下學期加強分母 10 以內同分母分數的加減應用。

11. 由常見的生活情境(披薩、蔥油餅、蒸餃等)介紹分母 10 以內的假分 數，順序由連續量到離散量。

12. 综合歸納以上教材分析結果，研究者發現雖然兒童早具備平分概念，

但部編版分數教材卻是至二下始正式編排，教材編排的內容全部由連 續量情境切入，且分數發展的順序由等分概念、單位分數、真分數、

假分數至帶分數。因此，本研究以「等分概念」、「單位分數概念」、

「單位量概念」、「等量概念」、「分數的序列概念」等向度作為分數 概念擬藉由此研究釐清學童在分數學習上的脈絡呈現。

第三節分數概念之相關實證性研究。

在兒童的數學學習中，分數其多元的表徵以及多元的性質，往往讓兒 童比較容易感到困難，反應也很多元。為了能更了解孩子對於分數概念 可能產生的困難，並提供教師適當的教學策略，許多學者（王淑芬，

2005；呂玉琴，1991a，1991b；林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996；林碧 珍，1990；Behr,Lesh,Post & Silver,1983; Piaget,1960）進行了這方 面的相關研究，研究者依據自身以往的教學經驗，以及所閱覽的文獻，

歸納如下：

一、 兒童分數概念的迷思

在學習分數的過程中，兒童展現出一些共同的迷思概念，綜合多位學 者的研究發現，整理如下：

1. 等分的觀念薄弱

學生初接觸正式的分數課程時，依據教科書的編排方式，教學時 泰半從分東西的經驗出發，接著再以圓餅圖或方形圖介紹分數，因此許 多學生會以字面上的意義來瞭解分數，直覺認為幾分之幾就是要做分的 動作，卻忽略了分數必須要對整體進行等分割的活動（林福來、黃敏晃、

呂玉琴，1996）。是故，研究者發現，在研究中若請學生進行分數的繪圖 時，學生泰半能分割出相應的份數，但往往分割的大小不一。

呂玉琴（1991b）針對一位剛上國小一年級的學童進行面談，發現該研 究對象處理一半和二分之一的問題出現差異：一半是生活語言，而二分 之一是數學語言。當孩童處理一半的問題時，具有較高的容忍範圍，但 當處理二分之一的問題則要求較高的精確度。

Piaget，Inhelder and Szeminska（1960）舉出「部分/全部」的分數 意義，可以細分為七個子概念，而其中的一個子概念就是分割的每一部 份都要相等。呂玉琴（1991a）亦指出在部分與全部的分數意義中，分割 後的每一子部份都要相等，是分數學習很重要的概念。

Columba（1989）指出等分概念在連續量是將一整體全部分為相等的部

Piaget et al. (1960) ，Hiebert 、 Tonnessen (1978) 、Pothier and Sawada (1983) 發現孩童於處理和長度、面積有關的分數問題時，會優先 處理2

1 的分數問題。

4. 受整數基模的影響，而視分數^m n

為兩個獨立的數

眾多學生由於不瞭解分數的意義，加以深受整數基模的影響，是故將 分數 m

n 視為兩個獨立的數，而無法將分數視為一個數做比較。故在本研 究中，研究者發現學童產生以分母為準則之迷思概念，即當學童比較分 數大小時，會忽略分子的存在，以分母的大小來決定分數的大小。例 如：學童處理同分子分數問題時，會將分母剝離分數做比較，因為分子 同為 1，而分母中 2＜3，故認為

2 1 ＜

3 1 。

綜合以上的分析，可以發現學童在學習分數之時，所可能產生的迷思 概念相當多元，起因於分數概念不但具有多元的表徵，也被賦予豐富的 語意，且在日常生活的應用中有許多不同的解讀，因此易產生為數眾多 的迷思概念。若學童能夠真正的釐清分數的內涵與意義，與單位量的關 係，那麼學童對分數的抽象符號運算應該能得心應手才是。

二、 分數教學實驗的相關研究

Behr et al.(1984)曾進行的分數教學實驗（Rational Number Project, RNP）意在強調讓兒童由操作具體的教具先開始建構分數的概念，進一步 引導兒童進入心像的理解。RNP 的教學實驗結果顯示出，學生在如此的 學習情境下進行學習活動，比接受傳統算則教學的學生更能建構對分數 概念的理解。RNP 課程特別強調先使用具體操作物協助兒童建構分數概 念，並且適時將數學概念轉移至半具體、語言以及抽象符號的表徵。其 結果證實兒童於此學習情境下可以發展較好的分數概念。

於小學階段，小孩子對概念的理解是奠基於其自身的學前活動經歷 的，所以若在教學中過早引入標記和符號，會阻礙學生進行學習，因此 在教學時，教師不宜過早引入數學標記和符號。即使是一個九歲的孩子 對以符號表示出來的分數的理解仍有相當大的困難。約在三年級下學 期，分數符號才能以適當的方式被引入教學，原因在於分數問題異於整數

問題，它較為抽象，更難以理解。

孩子對分數這個數學術語的理解和他們的具體經歷有關，但與相應的 書寫符號無關。例如：二分之一、三分之一和四分之一這樣的數學術 語，學童會把它們和具體物體的組成部分和大組物體內包含小組這種經 驗連結起來做理解。在小學三年級階段，孩子們對分數的掌握也就圍繞 著部分和整體的關係來進行，所以他們能夠理解有關形狀，長度和組合方 面的問題。至於他們有關飲食方面的經歷（如切胡蘿蔔）和做飯（測量成 分）則涉及到了解體積的概念。形狀比較直觀、具體、孩子易於理解。理 解成組問題，一組物體就可以被看作是可以分為若干小組的整體。

Payne，Towsley and Huinker(1990)總結出孩子有關分數的概念知識 的發展次序：三歲到五歲的兒童能夠理解部分和整體的關係。五歲到八

Payne，Towsley and Huinker(1990)總結出孩子有關分數的概念知識 的發展次序：三歲到五歲的兒童能夠理解部分和整體的關係。五歲到八