分數的相關研究

壹、分數教材在數學課程中的意涵及特殊性 一、 分數教材的意涵

分數概念發展的基石是「等分割及再合成其份數的活動」，是用來解決不滿一 個單位量的數值問題（呂玉琴，1993），而數學家認為分數可以是一種 m/n 的關係，

且 m、n 皆不為 0，m/n 是一對一的關係；而 m/n 也可表示兩個數量相除的結果，

表示 m 有幾個 1/n，1/n 可看成一個單位；m/n 也是一個定值，k＝m/n，還有許多 等值的分數（劉秋木，1996）。

而劉秋木（1996）整理眾多研究成果後，指出分數包含了多元的意義，如表 2-1 所列：

表 2- 1 分數意義一覽表

研究者 時間 分數的意義

Behr,Lesh,Post，＆Silver 1983 部分—全體；比；商；運算子；測量

Ohlsson 1988

（1） 商的函數（等分、包含除、縮小、引 出）

（2） 有理數（分數、測量）

（3） 二元向量（比、內函量、比例、速率）

（4） 合成函數（運算子）

林碧珍 1990

全體區域中的部份區域；全部集合中的子集 合；數線上的一值；兩數相除的結果；兩個 量相比的結果（比值模式）。

民國六十四年課程標準 所編的國民小學數學教 學指引第六冊

1995

1.表示操作 2.表示量的大小 3.表示比值 4.表 示除法的商 5.表示數線上的一個數值

八十二年版國小數學課

程標準 1993 部分/全部；數線上的一數值；整數相除的結 果；比例、比值；表示量的大小。

九年一貫課程綱要 2003 平分的意涵；測量的意涵；比例的意涵；部

分/全體的意涵

從上表可知，分數具備多元的意義，但可簡化成以下五類：（1）部分與全體（連 續量）；（2）子集合與全體集合的比較（離散量）；（3）兩數相除的結果；（4）數 線上的一點；（5）比值等五種模式，而此五種模式的分數教材都是數學的重要概 念，且分布於國小數學課程中。

二、 分數教材的特殊性

分數教材具備多元的的意涵，然而經歷教改的前後過程中，是否有因此改變分 數重要且多元的角色。

在此次教改前，所採用的八十二年的課程標準中，國小數學課本的分數教材 中，包含了部分/全部、子集/集合、兩數相除的結果、數線上的一點及比/比值等五 種意義。而此課程架構在低、中、高年級的學習內容安排是：低年級為分數教材 的入門，學習內容主要安排在連續量與分離量的分數意義、在具體物與圖像進行 分的活動、重視具體物和分數表徵的相向連結，所以應著重「起始單位分數」概 念的理解；中年級教材包含了「分數、分子、分母、真分數、假分數」等名詞及 以同分母真分數的相加減；高年級的分數教材包含了等值分數、分數的數線、把 分數視為整數相除的結果、分數的約分、擴分、通分及比值等。課程分布在二到 六年級，且呈螺旋而上，課程內容佔相當大的比重。

然而在現行的九年一貫課程綱要的能力指標及分年細目中（教育部，2003；蔡 麗容 2003）。，國小分數教材部分的能力指標有：

（1） 第一階段：一至三年級，具體操作（視覺影像為主）

能力指標 N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數 的比較與加減問題。

分年細目

2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，

並比較不同單位分數的大小。

3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數 的比較與加減問題。

（2） 第二階段：四、五年級，具體表徵（察覺型式）

能力指標

N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。

N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比 較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。

N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。

N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與

加減問題。

N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的 問題。

N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。

N-2-14 能認識比率及其在生活中的應用。

分年細目

4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。

4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的 互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整 數倍的計算。

4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單 分數與小數的互換。

5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。

5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。

5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。

5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問 題。

5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。

5-n-12 能認識比率及其應用（含「百分率」、「折」）。

（3） 第三階段：六、七年級，類化具體表徵（能辨識型式間的關係）

能力指標

N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用 來將分數約成最簡分數。

N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問 題。

N-3-05 能理解比、比例、比值與正、反比的意義，並解決生活中 的問題。

分年細目

6-n-09 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意 義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分 數約成最簡分數。

6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。

6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。

6-n-02 能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活中的問 題。

從以上表列可知，在國小數學教材中，分數教材是很重要的教材，至今不變且 延續著二到六年級的數學學習單元，占國小數學課程教材中相當多的份量，就分 數教材來看，很多學者認為分數的學習是非常重要的，因為分數象徵兒童數知識 重大的擴展，學生能透過分數的知識去解決測量、機率和統計等問題，開拓對數 的功用，也擴大兒童數系的知識(蔡麗容，2003）；而分數的重要性可從不同層面來

看（楊瑞智，1990）：（1）從實際層面，有效處理分數概念可增進了解與掌握真實 世界問題的能力；（2）從心理層面，分數提供豐富的領域發展兒童智力及拓展心 智結構；（3）從數學層面，分數的了解提供爾後學習小數、比、機率及基本代數 運算的基礎。

因此，瞭解分數教材的多重意義及重要性後，教師在進行分數單元教學時，應 注重其教材教學的完整性，並在不同教學目標及情境下，分析教材及認知意義，

使學生了解概念的脈絡及分數賦予的意義，除了可增進教師教學知能，亦可有效 的達到教學目標。

貳、影響分數概念發展的因素

由於分數具備豐富的意義及概念，且在數學教材中具重要的地位，但有許多學 生卻對分數學習感到困難，所以應了解影響分數概念發展的因素加強指導，避免 學生出現錯誤類型，以提升學生有效學習的成效。

根據楊任孝（1889）、呂玉琴（1991a）、黃馨緯（1995）、林福來（1996）、吳 相儒（2001）、龐嘉芬（2001）等研究指出，影響學生分數概念之發展，將說明如 下：

一、表徵

圖形表徵與符號間的轉換能力，影響學生學習的成效。研究發現學生在圖形表 徵與符號及語言間轉換的表現，部分學生會以直觀的圖形中的斜線面積做為分數 大小的判斷，在圖形表徵中是以長方形較易接受，圓形圖最難。在數線表徵方面，

當學生能解決線段等分後的段數等於分母後，其答對率將提高。在語言表徵與圖 形表徵方面，兒童會受語言的影響而發生問題，在 Lesh et al（1987）的研究指出，

表徵系統間的轉換以圖形轉換成符號最難。

二、受整數基模影響

分數的符號為 A/B，兒童普遍將 A、B 兩數視為兩個整數組成，並應用在分數 的解題上，因此學生在分數比較大小時，就常有以分母或分子大小做比較，或在 分數加法時，分子加分子、分母加分母等情形出現。

三、等分的概念

在分數的等分概念中，有分為連續量和離散量的等分，連續量是將全部分為相 等部分；離散量是將一堆分散的量等分成等量的子集合。許多分數的解題活動建 立在等分的概念上，但是多項研究顯示學童在等分的特徵及定義上並不完備。例 如：沒注意等分割的每一塊是否相等、離散量的等分量不一樣多。

四、受限於部分--整體

學生較熟悉分數應用題於部份/全體、子集/集合、數的意義等涵意的理解，學 生常忽略整體及等分，是形成錯誤類型的主因之ㄧ。學童在不同的圖像模式解題 上，尤其在數線表示分數的概念時，當數線為一個單位長，可用部分/全部的概念 處理數線問題；當數線不是一個單位長，學生如果用部分/全部的概念處理數線問 題，就會產生錯誤。因此，學生學習分數時，應釐清分數的教材意義，達成學習 目標。

五、指認單位量有困難

研究顯示學生在處理「部分/全部」、「子集/集合」及「分數是一個集合等分後 的幾組」的問題，都在單位量的指認上發現困難。學生在單位量指認上造成困難 的原因有其特點：（1）兒童在處理不熟悉的分數問題時，會自行改變單位量或分 解單位量。（2）兒童傾向在相同情境中，自我設定其單位量相同。兒童指認單位 量困難的類型有：忽略給定的單位量、受分子控制、受分母控制。

由以上研究可知，分數的意涵非常多元，學童在學習分數的表現能力，隨分數 教材的呈現及兒童運思發展的能力，呈現不同的特性及困難，其中包含了最簡單 的等分的概念、圖形符號與語言表徵間的連結、及最需要加以強調的單位量的指 認。

分數概念發展的源於「等分割及再合成其份數的活動」，即使是最簡單的等分 概念，在低年級形成分數概念時，由等分割取其份數到形成文字及符號這階段，

也是重要的階段。在中年级的教材中曾出現單位量指認的教學活動，仍依稀記得 當時學生對於學習給定單位量的分數題目，學生對於單位量的變化感到些許的困

也是重要的階段。在中年级的教材中曾出現單位量指認的教學活動，仍依稀記得 當時學生對於學習給定單位量的分數題目，學生對於單位量的變化感到些許的困