第二章 文獻探討
第一節 加減法文字題的分類與相關研究
壹、加減法文字題的類型
有關數學文字題的分類方法，可依情境 (situation) 、運算 (operation) 、語 意結構 (semantic structure) 等為分類標準 (Marshall, Pribe, & Smith,1987；黃美 盼，2005；楊美伶、蔣治邦，1990) 。而加減法文字題型之分類，不同的研究者 常依其研究之需要，而有不同的分類方式 (Carpenter & Moser, 1983; Greeno, 1980；謝慧齡，2004) 。
許多研究發現學童的解題策略通常以問題的語意結構為根據 (古明峰，
1999；呂玉琴，1988；蔣治邦，2001；Carpenter, Moser & Romberg, 1982; Nesher, 1982) ，以語意結構為標準進行文字題分類的相關研究列舉如下。
一、Carpenter (1985) 將加減法問題分為改變 (change) 、併加 (combine) 、比較 (compare) 與平衡 (equalize) 四類。
二、Baroody (1998) 將加減法文字題分為併加、添加、拿走、等化、比較五種類 型。
三、Kamii (2000) 將加減法問題分為「分割」 (seperating) 、「部分─部分─全部」
(part-part-whole) 、「比較」 (comparing) 、「等化」 (equaling) 四種類型。
四、Riley, Greeno and Heller (1983) 將加減法文字題型分為改變 (change) 、結合
(combine) 與比較 (compare) 三類，改變可進一步區分為改變增加和改變減 少兩類，比較也可區分為比較多和比較少兩類，詳述並舉例如表2-1。
表2-1 Riley, Greeno and Heller (1983) 的三種加減法文字題型 類型 未知數 語意 示 例
改變
結果量
增加 喬有3顆彈珠，湯姆又給他5顆，現在喬有多少顆彈珠?
減少 喬原本有8顆彈珠，後來他給了湯姆5顆，現在喬有多 少顆彈珠?
改變量
增加 喬有3顆彈珠，後來湯姆又給他一些彈珠，現在喬有8 顆彈珠，請問湯姆給了他幾顆彈珠?
減少 喬原本有8顆彈珠，後來他給了湯姆一些彈珠，現在 喬剩下3顆彈珠，請問他給了湯姆幾顆彈珠?
起始量
增加 喬有一些彈珠，後來湯姆又給他5顆，現在喬有8顆彈 珠，請問喬原本有幾顆彈珠?
減少 喬有一些彈珠，後來他給湯姆5顆彈珠後，現在喬剩 下3顆彈珠，請問喬原本有幾顆彈珠?
結合
組合量 喬有3顆彈珠，湯姆有5顆彈珠，兩人共有多少顆彈珠?
次集合 喬和湯姆兩人共有8顆彈珠，喬有3顆，湯姆有多少顆 彈珠?
比較
差異量 比多 喬有8顆彈珠，湯姆有5顆彈珠，喬比湯姆多幾顆彈珠?
比少 喬有8顆彈珠，湯姆有5顆彈珠，湯姆比喬少幾顆彈珠?
比較量 比多 喬有3顆彈珠，湯姆比喬多5顆，湯姆有多少顆彈珠?
比少 喬有8顆彈珠，湯姆比喬少5顆，湯姆有多少顆彈珠?
參考量 比多 喬有8顆彈珠，他比湯姆多5顆，湯姆有多少顆彈珠?
比少 喬有3顆彈珠，他比湯姆少5顆，湯姆有多少顆彈珠?
(修改自涂金堂，2002，373頁)
Fuson (1992) 綜合相關研究後，把加減法文字題分成改變、合併、比較與等 化四種情境，如圖2-1所示；並配合未知數量的性質與語意關係 (增加、減少、比 多、比少) 區分成各種不同加減法文字題的類型，茲說明如下。
改變 比較
合併 等化
圖2-1 Fuson的加減法情境 (修改自Fuson, 1992, p.245) 一、改變型
「改變型」的問題指的是一個起始量經過改變之後，形成一個結果量的問 題，屬於動態問題情境。就語意關係而言，包括兩個基本型態，起始量經過改變 而增加，稱為添加型改變，起始量經過改變而減少，稱為拿走型改變；就未知數 性質而言，則分成三種基本型態，即起始量未知、改變量未知及結果量未知三類。
故改變型的問題共可分成六種題型，改變1─添加型起始量未知、改變2─添加型 改變量未知、改變3─添加型結果量未知、改變4─拿走型起始量未知、改變5─拿 走型改變量未知及改變6─拿走型結果量未知。
大數 小數
拿走
添加
添加差值
開始 結果
開始 結果
改變 + 改變
-
大數 小數 差值 差值 比多
比少
部分 部分 全部
拿走差值
二、合併型
「合併型」的問題指的是兩個數量總合的問題，依未知數的性質而言，可分 成二種問題型態，一種為合併後的全體量未知，另一種則為合併前的兩個數量中 的其中一個部份量未知，本研究將合併型的問題分成三種題型，合併1─合併型部 份量未知 (敘述在後) 、合併2─合併型部份量未知 (敘述在前) 、合併3─合併型 總量未知。
三、比較型
「比較型」的問題指的是比較兩個數量大小或多寡的問題，就語意關係而 言，包括兩個基本型態，即「比……多」和「比……少」兩種題型；就未知數性 質而言，則分成三種基本型態，即參考量未知、比較量未知及差異量未知三類，
例如，喬有8顆彈珠，湯姆有5顆彈珠，喬比湯姆多幾顆彈珠 ? 例題中，湯姆的 彈珠被拿來與喬的彈珠做比較，喬的彈珠是「比較量」，湯姆的彈珠則是「參考 量」。比較型的問題亦可分成六種題型，比較1─比多型參考量未知、比較2─比 多型比較量未知、比較3─比多型差異量未知、比較4─比少型參考量未知、比較5─
比少型比較量未知及比較6─比少型差異量未知。
四、等化型
「等化型」的問題是比較類和改變類的混合，指的是一個數量經過改變之 後，就與另一個數量相等的問題。就語意關係而言，包括兩個基本型態，即一個 數量經過增加之後，就與另一個數量相等的「添加型等化」和一個數量經過減少 之後，就與另一個數量相等的「拿走型等化」兩種題型；就未知數性質而言，則 分成三種基本型態，即參考量未知、比較量未知及差異量未知三類，例如，喬有 8顆彈珠，湯姆有5顆彈珠，老師再給湯姆幾顆彈珠後，湯姆和喬的彈珠就會一樣 多 ? 例題中，喬的彈珠被拿來與湯姆的彈珠做比較，湯姆的彈珠是「比較量」，
喬的彈珠則是「參考量」。等化型的問題同樣可分成六種題型，等化1─添加型參 考量未知、等化2─添加型比較量未知、等化3─添加型差異量未知、等化4─拿走
型參考量未知、等化5─拿走型比較量未知及等化6─拿走型差異量未知。
本研究參考Fuson (1992) 的分類方法，即將加減法文字題分成添加型改變、
拿走型改變、合併、比多型比較、比少型比較、添加型等化與拿走型等化七種類 型，再依照三個未知數位置的不同，把加減法文字題分為二十一種題型，如表2-2 所示。
表2-2 本研究加減法文字題型分類
題型 語意關係 未知數性質
改變1 起始量未知
改變2 添加 改變量未知
改變3 結果量未知
改變4 起始量未知
改變5 拿走 改變量未知
改變6 結果量未知
合併1 部分量未知
合併2 部分量未知
合併3 全體量未知
比較1 參考量未知
比較2 比多 比較量未知
比較3 差異量未知
比較4 參考量未知
比較5 比少 比較量未知
比較6 差異量未知
等化1 參考量未知
等化2 添加 比較量未知
等化3 差異量未知
等化4 參考量未知
等化5 拿走 比較量未知
等化6 差異量未知
貳、加減法文字題的相關研究
加減法文字題的相關研究中，Riley (1981) 以幼稚園及一、二、三年級學童 為樣本，研究了他們對十四種加減法題型的答對率，研究結果顯示「比較型」
的題目最為困難，各類型問題中，改變型以起始量未知最難，結果量未知最簡 單；合併型部份量未知較總量未知困難；比較型以比少型參考量未知困難度最 高，比多型差異量未知較簡單，研究結果並發現未知數所在位置愈前面，問題 難度愈高，其各類型加減法文字題答對率如下表2-3 所示。
表2-3 Riley 十四種加減法文字題型之答對率 答對率
類型 語意關係 未知數性質 幼稚園 一年級 二年級 三年級
改變1 起始量未知 .09 .28 .80 .95
改變2 添加 改變量未知 .61 .56 1.00 1.00 改變3 結果量未知 .87 1.00 1.00 1.00
改變4 起始量未知 .22 .39 .70 .80
改變5 拿走 改變量未知 .91 .78 1.00 1.00 改變6 結果量未知 1.00 1.00 1.00 1.00
合併1 部分量未知 .22 .39 .70 1.00
合併2 全體量未知 1.00 1.00 1.00 1.00
比較1 參考量未知 .17 .11 .65 .75
比較2 比多 比較量未知 .13 .17 .80 1.00
比較3 差異量未知 .17 .28 .85 1.00
比較4 參考量未知 .00 .06 .35 .75
比較5 比少 比較量未知 .17 .28 .90 .95
比較6 差異量未知 .04 .22 .75 1.00
(Riley, Greeno, & Heller, 1983)
Kintsch and Greeno (1985) 研究亦發現，「比較型」的題目最為困難，改變 型問題中，改變量未知較起始量未知問題困難，合併型問題中，部份量未知較
總量未知困難，此結果雖與 Riley (1981) 的研究大致相同，亦發現未知數所在 位置愈前面，問題難度就愈高的情形，但亦有少數情境例外，如改變型問題中，
起始量未知問題的未知數位置較改變量未知問題的未知數位置前面，但前者的 答對率卻高於後者。
De Corte and Verschaffel (1991) 以二年級學童做各類型加減法文字題研 究，結果發現添加型改變結果量未知和合併型全體量未知之答對率為最高，而 比少型比較參考量未知的答對率最低。Kamii (2000) 以分割、比較、等化三種 類型的題目，對日內瓦一家公立學校183 位一至五年級的學童施測，研究結果 發現，分割型最簡單，比較型的問題最困難。García, Jiménez, and Hess (2006) 以 104 個數學學習障礙兒童及 44 個數學成就表現良好的兒童為研究對象，探討加 減法文字題中語意結構、運算方式與未知數的位置對問題難度的影響，研究結 果發現，未知數位置的不同對問題難度的影響最大。
古明峰 (1999) 研究中提到 A. Pauwels 在 1987 年，以十四種加減法文字題 對小學二年級學童施測，其各類型加減法文字題答對率如下表 2-4 所示，其研 究結果與Kintsch and Greeno (1985) 相似，未知數所在位置愈前面，問題難度 就愈高，但改變型起始量未知與改變量未知的題型例外；另外，比較型問題中，
比多型比較的三個題型答對率皆略高於比少型比較，改變型問題中的結果量未 知題型，添加型改變比拿走型改變簡單，但起始量未知與改變量未知題型，則 是拿走型改變比添加型改變簡單，由上可知，加減法文字題問題的難度不僅與 未知數性質有密切關係，亦受到問題情境中的語意關係所影響。
表2-4 A. Pauwels 十四種加減法文字題型之答對率 類型 語意關係 未知數性質 答對率
改變1 起始量未知 .67
改變2 添加 改變量未知 .43
改變3 結果量未知 .97
改變4 起始量未知 .83
改變5 拿走 改變量未知 .78
改變6 結果量未知 .88
合併1 部分量未知 .62
合併2 全體量未知 .98
比較1 參考量未知 .46
比較2 比多 比較量未知 .47
比較3 差異量未知 .79
比較4 參考量未知 .38
比較5 比少 比較量未知 .44
比較6 差異量未知 .78
(修改自古明峰，1999，6 頁)
翁嘉英 (1987) 探討國小學童「比較類」文字題的解題行為發現，國小二、
三年級學童對「參考量未知」的問題最感困難，而「差異量未知」問題則相對較
三年級學童對「參考量未知」的問題最感困難，而「差異量未知」問題則相對較