國小低年級加減法文字題概念階層之模糊詮釋結構模式分析

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國立臺中教育大學教育測驗統計研究所

教學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文

指導教授：林原宏博士

國小低年級加減法文字題概念階層之

模糊詮釋結構模式分析

研究生：鄭雅雯撰

中華民國九十七年八月

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摘要

本研究旨在應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小低年級學童的加減法文字題概念之階層結構。本研究以自編之「加減法文字題測驗」為研究工具，針對臺中縣市 897 名低年級學童進行施測，探討個人化的加減法文字題之概念階層結構，研究者比較不同能力值學童的概念結構圖間的差異性，以及總分相同但反應組型不同的受試者之概念結構圖的異同；並檢定不同能力值學童的概念結構圖相似性係數與專家的概念結構圖相似性係數之差異。研究結果發現：一、學童的概念結構圖因其能力值的不同，而有明顯的差異存在。二、總分相同但反應組型不同的受試者，其概念結構圖不盡相同。三、低年級學童之加減法文字題概念，其知識結構具有階層性。四、根據詮釋結構模式概念結構圖，其概念之連結關係可提供教學者做教材呈現的參考。五、一年級不同能力值受試者的概念結構圖相似性係數皆與專家的概念結構圖相似性係數有明顯的差異。六、二年級高能力值受試者的概念結構圖相似性係數與專家的概念結構圖相似性係數沒有差異，中、低能力值受試者的概念結構圖相似性係數與專家的概念結構圖相似性係數有明顯的差異。本研究之結果與發現，可提供低年級學童學習加減法文字題之學習訊息，以及對教學及未來研究之建議。關鍵字：加減法文字題、試題反應理論、模糊理論、詮釋結構模式

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Abstract

The purpose of this study was to apply the Fuzzy Approach of Interpretive Structural Model (FAISM) in analyzing the hierarchical concept structures of addition and subtraction word problems for the first and the second graders students.

The researcher first tested 897 first and second graders of elementary schools by using self-designed addition and subtraction word problems test. Secondly, the researcher analyzed the raw datum through FAISM based on Fuzzy Logic Model of Perception (FLMP) , Item Response Theory (IRT) and the algorithm of Interpretive Structural Model (ISM) of fuzzy alpha-cut. Thirdly, the researcher compared the ISM graphs of the examinees who got the same scores with different response patterns. Finally, the researcher explored the differences of ISM graphs among examinees with different IRT theta value and those of experts as well as the differences of ISM graphs among examinees with different grades statistically.

Through the procedure of the analysis, the following conclusions were found. 1. The ISM graphs of examinees varied based on different abilities.

2. The ISM graphs were different for those who have the same total scores but different response patterns.

3. The process of learning addition and subtraction word problems for students showed the characteristics of their hierarchical knowledge structures.

4. The ISM graphs provided informations about the connections and relations of concepts.

5. The similarity indices of ISM graphs of first graders examinees between different-ability and experts were quantitatively different.

6. The similarity indices of ISM graphs of second graders examinees between high- ability and experts were not significantly different. But the similarity indices of

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different as well as between low-ability examinees and experts.

According to the findings of this study, some recommendations and suggestions for empirical study and future research are provided.

Keywords : Addition and subtraction word problems, Item response theory, Fuzzy theory, Interpretive structural modeling

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目錄

第一章緒論 ... 1 第一節研究動機 ... 1 第二節研究目的 ... 3 第三節名詞釋義 ... 4 第二章文獻探討 ... 7 第一節加減法文字題的分類與相關研究 ... 7 第二節試題反應理論 ... 17 第三節模糊取向的詮釋結構模式 ... 20 第四節知識結構測量理論 ... 29 第三章研究方法與設計 ... 39 第一節研究架構 ... 39 第二節研究對象 ... 40 第三節研究工具 ... 40 第四節資料分析 ... 51 第四章分析與討論 ... 59 第一節不同能力值的加減法概念 ISM 圖之比較 ... 59 第二節答對題數相同反應組型不同之 ISM 圖比較 ... 68 第三節不同能力值組間受試者及其與專家的 ISM 圖相似性係數之比較 .. 76 第五章結論與建議 ... 79 第一節結論 ... 79 第二節研究限制 ... 81 第三節建議 ... 81

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參考文獻 ... 83 壹、中文部份 ... 83 貳、日文部份 ... 87 參、英文部份 ... 87 附錄 ... 92 附錄一一年級加減法文字題測驗 ... 92 附錄二二年級加減法文字題測驗 ... 94 附錄三運算模糊關係矩陣之 SAS/IML 原始碼 ... 96 附錄四運算 ISM 圖相似性係之 SAS/IML 原始碼 ... 99 附錄五受試者的模糊關係矩陣 ... 103

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表次

表 2-1 Riley, Greeno and Heller (1983) 的三種加減法文字題 ... 8

表 2-2 本研究加減法文字題型分類 ... 11 表 2-3 Riley 十四種加減法文字題型之答對率 ... 12 表 2-4 A. Pauwels 十四種加減法文字題型之答對率 ... 14 表 2-5 三種常用的試題反應模式 ... 19 表 2-6 ⊗和⊕的性質定義... 22 表 2-7 R(Ak)矩陣與M(Ak)矩陣的關係 ... 23 表 2-8 A1至A5相對應階層位置 ... 24 表 2-9 三個網路中各節點的圖形理論距離值 ... 34 表 2-10 根據圖 2-5 之網路一和網路二計算所得之 PFC 指數 ... 34 表 3-1 施測樣本資料人數一覽表 ... 40 表 3-2 加減法文字題概念屬性及內容說 ... 41 表 3-3 試題與概念屬性之關係矩陣 ... 41 表 3-4 各版本教材加減法文字題概念一覽表 ... 42 表 3-5 自編加減法文字題問題內容一覽表 ... 44 表 3-6 預試工具之分析 ... 47 表 3-7 一年級正式施測工具之分析 ... 48 表 3-8 二年級正式施測工具之分析 ... 49 表 3-9 一、二年級各模式適合度考驗分析 ... 51 表 3-10 一、二年級試題之鑑別度與難度參數 ... 52 表 3-11 受試者

2S

₁₅₀的R(Ak)矩陣與M(Ak)矩陣的關係 ... 55 表 3-12 A1至A7相對應階層位置 ... 55

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表 3-13 受試者2S 與專家的概念關係矩陣之比較... 58 ₁₈₇ 表 4-1 不同能力值的受試者之答題情形 ... 59 表 4-2 一年級答對題數相同但反應組型不同的受試者之答題情形... 68 表 4-3 二年級答對題數相同但反應組型不同的受試者之答題情形... 72 表 4-4 不同能力值組平均相似性係數 ... 76 表 4-5 一年級相似性係數之單因子變異數分析摘要表 ... 77 表 4-6 一年級相似性係數之事後比較分析摘要表 ... 77 表 4-7 二年級相似性係數之單因子變異數分析摘要表 ... 77 表 4-8 二年級相似性係數之事後比較分析摘要表 ... 78 表 4-9 不同能力值組與專家 ISM 圖的相似性係數單一樣本

t

檢定摘要表 ... 78

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圖次

圖 2-1 Fuson 的加減法情境 ... 9 圖 2-2 ISM 圖的繪製 ... 24 圖 2-3 簡化 ISM 圖 ... 27 圖 2-4 接近性矩陣與徑路搜尋網路 ... 32 圖 2-5 徑路搜尋網路之 PFC 和 GTD 值 ... 33 圖 3-1 研究架構圖 ... 39 圖 3-2 二年級受試者

2S

₁₅₀之加減法概念 ISM 圖 ... 56 圖 3-3 簡化後之二年級受試者

2S

₁₅₀之加減法概念 ISM 圖 ... 56 圖 4-1 一年級專家之加減法概念 ISM 圖 ... 63 圖 4-2 1A 受試者之加減法概念 ISM 圖 ... 63 圖 4-3 1B 受試者之加減法概念 ISM 圖 ... 63 圖 4-4 1C 受試者之加減法概念 ISM 圖 ... 64 圖 4-5 二年級專家之加減法概念 ISM 圖 ... 67 圖 4-6 2 A 受試者之加減法概念 ISM 圖 ... 67 圖 4-7 2B 受試者之加減法概念 ISM 圖 ... 67 圖 4-8 2C 受試者之加減法概念 ISM 圖 ... 68 圖 4-9 1D1、1D2受試者之加減法概念 ISM 圖 ... 70 圖 4-10 1E1、1E2受試者之加減法概念 ISM 圖 ... 71 圖 4-11 1F1、1F2 受試者之加減法概念 ISM 圖 ... 72 圖 4-12 2D1、2D2受試者之加減法概念 ISM 圖 ... 74 圖 4-13 2E1、2E2受試者之加減法概念 ISM 圖 ... 75 圖 4-14 2F1、2F2受試者之加減法概念 ISM 圖 ... 76

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第一章緒論

本研究之目的欲探討國小低年級學童加減法文字題之個別化模糊取向概念結構特徵，本章共分為三節，第一節研究動機，第二節研究目的，第三節名詞釋義，茲分別闡述如下。

第一節研究動機

長久以來，數學解題 (mathematical problem solving) 一直是數學教育工作者一個很重要的研究議題 (涂金堂，2007) ，美國全國數學教師協會 (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM) 2000 年時曾表示學童學習數學概念的重要途徑之一為數學文字題解題 (Whittaker-Brown, 2001) 。在培養學童數學解題能力的教學活動中，教學者透過文字敘述的方式，將數學問題與學童實際生活經驗相融合，幫助學童理解問題的情境，因此，數學文字題不僅是國民小學數學課本中常見的解題類型之一，更一直佔有相當重要的份量 (涂金堂， 2007) 。其目的是希望學童運用課堂上所學到的數學知識和能力，解決在日常生活中實際所遭遇到的問題 (陳世杰，2005；Nesher & Hershkovitz, 1994; Usiskin& Bell, 1983) 。其中，加減法概念一直被視為學童學習相關數學概念的基礎，加減法文字題更是低年級數學課程中重要的學習內容 (葉雪梅，1990；蔣治邦、鍾思嘉，1991；Lewis & Mayer, 1987) ，因此，了解低年級學童在簡單加減法文字題上的學習表現是有必要性的。

但從許多相關文獻中發現，大部分的加減法文字題研究著重於學生的學習表現 (古明峰，1998；呂玉琴，1997；謝慧齡，2004；Riley, 1981; Riley, Greeno, & Heller, 1983; Kamii, 2000) 、解題策略 (王瑋樺，2001；古明峰，1999；涂金堂，2007；蔣志邦，1993；García, Jiménez, & Hess, 2006) 或錯誤類型等 (陳立

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倫，2000；鄧少林、蔣治邦，1994；謝毅興，1991；Lewis, & Mayer, 1987) ，卻鮮少探究學童之知識結構特性。且傳統數學科測驗，多以測驗的總分代表學童的學習表現，此種以分數的高低界定學習成果的方式不僅難以窺知學童的學習過程，更缺乏個人化的學習資訊。因此，雖然各類型加減法文字題之相關研究頗多，但關於學童在各類型加減法文字題的知識概念結構特性及將概念結構圖像化的研究，及不同能力值學童個人化的概念結構之測量與分析，或傳統計分下總分相同但反應組型不同的學童概念結構特徵之比較，文獻上卻較少提及。故針對學童在各類型加減法文字題之知識概念結構進行研究，實有其必要與可行之處。 De Groot (1965) 研究專家棋士與生手棋士關於棋子位置的記憶表現，結果發現專家棋士的回憶量顯著優於生手棋士，此結果引發了許多探討專家與生手的研究，而這些研究也顯示專家與生手因知識結構的不同，認知表現亦有顯著的差異(涂金堂，2000)。楊雅惠 (2004) 利用徑路搜尋網路分析法比較專家與生手在知識結構上的差異，研究結果發現專家的知識結構較複雜，生手的則較簡化。因此，有關個別受試者在加減法文字題的概念結構與專家概念結構之比較，是一個值得探討的焦點。

Warfield (1976) 所提出的詮釋結構模式 (interpretive structural modeling) 是一種社會系統工學 (social system engineering) 之彙整訊息的建模方法 (structure modeling) ，日本學者佐藤隆博 (1987) 將詮釋結構模式分析法應用於教育領域的課程教材結構分析研究上，其主要意義是將學習者腦中思考的概念單位結構，用具體的圖形或數量來表示 (許天維、林原宏，1994) ，透過二元矩陣的運算，分析出元素間的連結及階層關聯，使複雜的系統變得有條理、有方向性及階層性的結構。詮釋結構模式分析法可適切地表達個人的概念結構特性並將其圖像化，恰可幫助教學者簡單而清楚地得知學習者的知識結構，成為目前教學診斷技術之一大潮流。

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但詮釋結構模式分析法其元素關係只限於二元關係，且只能得到全體受試者的概念結構圖，使其在應用上有所限制。林原宏 (2005) 提出模糊取向的詮釋結構模式，則可改進傳統詮釋結構模式分析法受限於二元資料的限制，更適切、精準的描繪出學習者個人化的 ISM 圖 (祝淑梅，2007；陳紹銘，2006) 。因此，本研究欲用林原宏 (2005) 所提出的模糊取向結構模式分析法，並以各類型加減法文字題概念為研究主題，基於模糊觀點的察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception, 簡稱 FLMP) ，進行模糊關係矩陣詮釋結構模式分析，繪製出受試者個別化的 ISM 圖，並分析與比較個別受試者的加減法文字題模糊取向概念結構特徵。基於上述，本研究擬針對國小低年級學童各類型加減法文字題的知識結構進行分析。以模糊詮釋結構分析法及徑路搜尋法之相似性係數，探討不同能力值組及傳統計分相同但反應組型不同的低年級學童，在各類型加減法文字題的概念階層結構圖之特徵，及以答對全部試題之受試者作答反應代表專家的反應資料，比較專家和其他受試者在各類型加減法文字題的 ISM 圖相似性係數之差異。

第二節研究目的

本研究的主要目的包含：一、探討國小低年級學童在各類型加減法文字題的模糊取向 ISM 圖的特徵。二、探討國小低年級學童在低、中、高不同能力值下，其各類型加減法文字題的模糊取向 ISM 圖之特徵與異同。三、分析總分相同但反應組型不同之受試者，其模糊取向 ISM 圖之異同。四、探討不同能力值各組間 ISM 圖之差異，及不同能力值組受試者 ISM 圖與專家 ISM 圖的相似性係數之比較。

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第三節名詞釋義

本研究所涉及之名詞，分別說明如下：

一、加減法文字題 (addition and subtraction word problems)

本研究之加減法文字題係以 Fuson (1992) 所歸納之改變型、合併型、比較型、等化型等四類加減法文字題為主，其中改變型再細分成添加型改變和拿走型改變、比較型再細分成比多型比較和比少型比較、等化型再細分成添加型等化和拿走型等化，共可分成七種類型，本研究將其視為七個加減法文字題概念。二、試題反應理論 (item response theory)

試題反應理論 (item response theory) ，簡稱 IRT，又稱潛在特質理論 (latent trait theory) ，主要是用來描述試題特性 (難度、鑑別度、猜測度) 與受試者的個人潛在特質如何影響其答題反應的一種數學模式。

三、模糊理論 (fuzzy theory)

L. A. Zadeh 於 1965 年提出模糊理論 (fuzzy theory) ，Fuzzy 原意為「界線不清」、「不明確」、「模糊」的意思，而模糊數學指的是研究「模糊現象」的數學。模糊數學有別於古典數學的二元思考邏輯，而以隸屬度來解釋或描述事物的現象，成為近代數學理論重要的一支。

四、詮釋結構模式 (interpretive structural model)

詮釋結構模式 (簡稱 ISM) 是由 Warfield (1976) 所提出的一種社會系統工學之彙整訊息的建模方法，詮釋結構模式分析法的理論基礎是由離散數學和圖形理論推演而來，透過二元矩陣的運算，分析出元素間的連結及階層關聯，使複雜的系統變得有條理、有方向性及階層性的結構。

五、模糊取向的詮釋結構模式 (fuzzy approach of interpretive structure modeling) 模糊取向的詮釋結構模式係由林原宏 (2005) 所提出，利用模糊觀點之察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception) 和試題反應理論 (IRT) ，擴

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展詮釋結構模式分析法的應用，提出個人化模糊取向的詮釋結構模式。六、相似性係數 (similarity coefficient) 係指專家與生手的知識結構圖之相似程度，其計算方法為取二個結構圖中相同節點之各自銜接的節點之交集與聯集的比值，並計算各個相同節點的平均比值，其值介於 0～1 之間，值愈大，表示結構圖相似度愈高，反之則否，1 代表結構圖完全相同，0 代表結構圖完全不相同。本研究將以答對全部試題的受試者之作答反應來代表專家之反應資料。

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第二章文獻探討

本章進行本研究相關理論之探討，共分四節。第一節加減法文字題的分類與相關研究；第二節試題反應理論；第三節模糊取向的詮釋結構模式分析法；第四節知識結構測量理論，各節內容如下。

第一節加減法文字題的分類與相關研究

壹、加減法文字題的類型

有關數學文字題的分類方法，可依情境 (situation) 、運算 (operation) 、語意結構 (semantic structure) 等為分類標準 (Marshall, Pribe, & Smith,1987；黃美盼，2005；楊美伶、蔣治邦，1990) 。而加減法文字題型之分類，不同的研究者常依其研究之需要，而有不同的分類方式 (Carpenter & Moser, 1983; Greeno, 1980；謝慧齡，2004) 。

許多研究發現學童的解題策略通常以問題的語意結構為根據 (古明峰， 1999；呂玉琴，1988；蔣治邦，2001；Carpenter, Moser & Romberg, 1982; Nesher, 1982) ，以語意結構為標準進行文字題分類的相關研究列舉如下。

一、Carpenter (1985) 將加減法問題分為改變 (change) 、併加 (combine) 、比較 (compare) 與平衡 (equalize) 四類。

二、Baroody (1998) 將加減法文字題分為併加、添加、拿走、等化、比較五種類型。

三、Kamii (2000) 將加減法問題分為「分割」 (seperating) 、「部分─部分─全部」 (part-part-whole) 、「比較」 (comparing) 、「等化」 (equaling) 四種類型。四、Riley, Greeno and Heller (1983) 將加減法文字題型分為改變 (change) 、結合

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(combine) 與比較 (compare) 三類，改變可進一步區分為改變增加和改變減少兩類，比較也可區分為比較多和比較少兩類，詳述並舉例如表2-1。

表2-1 Riley, Greeno and Heller (1983) 的三種加減法文字題型

類型未知數語意示例改變結果量增加喬有3顆彈珠，湯姆又給他5顆，現在喬有多少顆彈珠? 減少喬原本有8顆彈珠，後來他給了湯姆5顆，現在喬有多少顆彈珠? 改變量增加喬有3顆彈珠，後來湯姆又給他一些彈珠，現在喬有8 顆彈珠，請問湯姆給了他幾顆彈珠? 減少喬原本有8顆彈珠，後來他給了湯姆一些彈珠，現在喬剩下3顆彈珠，請問他給了湯姆幾顆彈珠? 起始量增加喬有一些彈珠，後來湯姆又給他5顆，現在喬有8顆彈珠，請問喬原本有幾顆彈珠? 減少喬有一些彈珠，後來他給湯姆5顆彈珠後，現在喬剩下3顆彈珠，請問喬原本有幾顆彈珠? 結合組合量喬有3顆彈珠，湯姆有5顆彈珠，兩人共有多少顆彈珠? 次集合喬和湯姆兩人共有8顆彈珠，喬有3顆，湯姆有多少顆彈珠? 比較差異量比多喬有8顆彈珠，湯姆有5顆彈珠，喬比湯姆多幾顆彈珠? 比少喬有8顆彈珠，湯姆有5顆彈珠，湯姆比喬少幾顆彈珠? 比較量比多喬有3顆彈珠，湯姆比喬多5顆，湯姆有多少顆彈珠? 比少喬有8顆彈珠，湯姆比喬少5顆，湯姆有多少顆彈珠? 參考量比多喬有8顆彈珠，他比湯姆多5顆，湯姆有多少顆彈珠? 比少喬有3顆彈珠，他比湯姆少5顆，湯姆有多少顆彈珠? (修改自涂金堂，2002，373頁) Fuson (1992) 綜合相關研究後，把加減法文字題分成改變、合併、比較與等化四種情境，如圖2-1所示；並配合未知數量的性質與語意關係 (增加、減少、比多、比少) 區分成各種不同加減法文字題的類型，茲說明如下。

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改變比較合併等化圖2-1 Fuson的加減法情境 (修改自Fuson, 1992, p.245) 一、改變型「改變型」的問題指的是一個起始量經過改變之後，形成一個結果量的問題，屬於動態問題情境。就語意關係而言，包括兩個基本型態，起始量經過改變而增加，稱為添加型改變，起始量經過改變而減少，稱為拿走型改變；就未知數性質而言，則分成三種基本型態，即起始量未知、改變量未知及結果量未知三類。故改變型的問題共可分成六種題型，改變1─添加型起始量未知、改變2─添加型改變量未知、改變3─添加型結果量未知、改變4─拿走型起始量未知、改變5─拿走型改變量未知及改變6─拿走型結果量未知。大數小數拿走添加添加差值開始結果開始結果改變改變 + - 大數小數差值差值比多比少部分部分全部拿走差值

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二、合併型「合併型」的問題指的是兩個數量總合的問題，依未知數的性質而言，可分成二種問題型態，一種為合併後的全體量未知，另一種則為合併前的兩個數量中的其中一個部份量未知，本研究將合併型的問題分成三種題型，合併1─合併型部份量未知 (敘述在後) 、合併2─合併型部份量未知 (敘述在前) 、合併3─合併型總量未知。三、比較型「比較型」的問題指的是比較兩個數量大小或多寡的問題，就語意關係而言，包括兩個基本型態，即「比……多」和「比……少」兩種題型；就未知數性質而言，則分成三種基本型態，即參考量未知、比較量未知及差異量未知三類，例如，喬有8顆彈珠，湯姆有5顆彈珠，喬比湯姆多幾顆彈珠 ? 例題中，湯姆的彈珠被拿來與喬的彈珠做比較，喬的彈珠是「比較量」，湯姆的彈珠則是「參考量」。比較型的問題亦可分成六種題型，比較1─比多型參考量未知、比較2─比多型比較量未知、比較3─比多型差異量未知、比較4─比少型參考量未知、比較5─ 比少型比較量未知及比較6─比少型差異量未知。四、等化型「等化型」的問題是比較類和改變類的混合，指的是一個數量經過改變之後，就與另一個數量相等的問題。就語意關係而言，包括兩個基本型態，即一個數量經過增加之後，就與另一個數量相等的「添加型等化」和一個數量經過減少之後，就與另一個數量相等的「拿走型等化」兩種題型；就未知數性質而言，則分成三種基本型態，即參考量未知、比較量未知及差異量未知三類，例如，喬有 8顆彈珠，湯姆有5顆彈珠，老師再給湯姆幾顆彈珠後，湯姆和喬的彈珠就會一樣多 ? 例題中，喬的彈珠被拿來與湯姆的彈珠做比較，湯姆的彈珠是「比較量」，喬的彈珠則是「參考量」。等化型的問題同樣可分成六種題型，等化1─添加型參考量未知、等化2─添加型比較量未知、等化3─添加型差異量未知、等化4─拿走

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型參考量未知、等化5─拿走型比較量未知及等化6─拿走型差異量未知。本研究參考Fuson (1992) 的分類方法，即將加減法文字題分成添加型改變、拿走型改變、合併、比多型比較、比少型比較、添加型等化與拿走型等化七種類型，再依照三個未知數位置的不同，把加減法文字題分為二十一種題型，如表2-2 所示。表2-2 本研究加減法文字題型分類題型語意關係未知數性質改變1 起始量未知改變2 添加改變量未知改變3 結果量未知改變4 起始量未知改變5 拿走改變量未知改變6 結果量未知合併1 部分量未知合併2 部分量未知合併3 全體量未知比較1 參考量未知比較2 比多比較量未知比較3 差異量未知比較4 參考量未知比較5 比少比較量未知比較6 差異量未知等化1 參考量未知等化2 添加比較量未知等化3 差異量未知等化4 參考量未知等化5 拿走比較量未知等化6 差異量未知

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貳、加減法文字題的相關研究

加減法文字題的相關研究中，Riley (1981) 以幼稚園及一、二、三年級學童為樣本，研究了他們對十四種加減法題型的答對率，研究結果顯示「比較型」的題目最為困難，各類型問題中，改變型以起始量未知最難，結果量未知最簡單；合併型部份量未知較總量未知困難；比較型以比少型參考量未知困難度最高，比多型差異量未知較簡單，研究結果並發現未知數所在位置愈前面，問題難度愈高，其各類型加減法文字題答對率如下表2-3 所示。表2-3 Riley 十四種加減法文字題型之答對率答對率類型語意關係未知數性質幼稚園一年級二年級三年級改變1 起始量未知 .09 .28 .80 .95 改變2 添加改變量未知 .61 .56 1.00 1.00 改變3 結果量未知 .87 1.00 1.00 1.00 改變4 起始量未知 .22 .39 .70 .80 改變5 拿走改變量未知 .91 .78 1.00 1.00 改變6 結果量未知 1.00 1.00 1.00 1.00 合併1 部分量未知 .22 .39 .70 1.00 合併2 全體量未知 1.00 1.00 1.00 1.00 比較1 參考量未知 .17 .11 .65 .75 比較2 比多比較量未知 .13 .17 .80 1.00 比較3 差異量未知 .17 .28 .85 1.00 比較4 參考量未知 .00 .06 .35 .75 比較5 比少比較量未知 .17 .28 .90 .95 比較6 差異量未知 .04 .22 .75 1.00

(Riley, Greeno, & Heller, 1983)

Kintsch and Greeno (1985) 研究亦發現，「比較型」的題目最為困難，改變型問題中，改變量未知較起始量未知問題困難，合併型問題中，部份量未知較

(23)

總量未知困難，此結果雖與 Riley (1981) 的研究大致相同，亦發現未知數所在位置愈前面，問題難度就愈高的情形，但亦有少數情境例外，如改變型問題中，起始量未知問題的未知數位置較改變量未知問題的未知數位置前面，但前者的答對率卻高於後者。

De Corte and Verschaffel (1991) 以二年級學童做各類型加減法文字題研究，結果發現添加型改變結果量未知和合併型全體量未知之答對率為最高，而比少型比較參考量未知的答對率最低。Kamii (2000) 以分割、比較、等化三種

類型的題目，對日內瓦一家公立學校183 位一至五年級的學童施測，研究結果

發現，分割型最簡單，比較型的問題最困難。García, Jiménez, and Hess (2006) 以 104 個數學學習障礙兒童及 44 個數學成就表現良好的兒童為研究對象，探討加減法文字題中語意結構、運算方式與未知數的位置對問題難度的影響，研究結果發現，未知數位置的不同對問題難度的影響最大。

古明峰 (1999) 研究中提到 A. Pauwels 在 1987 年，以十四種加減法文字題

對小學二年級學童施測，其各類型加減法文字題答對率如下表 2-4 所示，其研

究結果與Kintsch and Greeno (1985) 相似，未知數所在位置愈前面，問題難度就愈高，但改變型起始量未知與改變量未知的題型例外；另外，比較型問題中，比多型比較的三個題型答對率皆略高於比少型比較，改變型問題中的結果量未知題型，添加型改變比拿走型改變簡單，但起始量未知與改變量未知題型，則是拿走型改變比添加型改變簡單，由上可知，加減法文字題問題的難度不僅與未知數性質有密切關係，亦受到問題情境中的語意關係所影響。

(24)

表2-4 A. Pauwels 十四種加減法文字題型之答對率類型語意關係未知數性質答對率改變1 起始量未知 .67 改變2 添加改變量未知 .43 改變3 結果量未知 .97 改變4 起始量未知 .83 改變5 拿走改變量未知 .78 改變6 結果量未知 .88 合併1 部分量未知 .62 合併2 全體量未知 .98 比較1 參考量未知 .46 比較2 比多比較量未知 .47 比較3 差異量未知 .79 比較4 參考量未知 .38 比較5 比少比較量未知 .44 比較6 差異量未知 .78 (修改自古明峰，1999，6 頁) 翁嘉英 (1987) 探討國小學童「比較類」文字題的解題行為發現，國小二、三年級學童對「參考量未知」的問題最感困難，而「差異量未知」問題則相對較容易。另外，在「比較量未知」問題裡，「比多」的問題，錯誤多於「比少」的問題，而「參考量未知」問題裡，情形則恰好相反。蔣治邦、鍾思嘉 (1991) 研究53 名一到三年級學童在加減法概念上的發展，就個別訪問所得資料發現，改變型結果量未知、改變型改變量未知及合併型全體量未知是學童們最早能掌握的類型，比較型差異量未知次之，而比較型比較量未知及合併型部份量未知是較困難的題目。呂玉琴 (1997) 探討國小一、二年級學童解簡單加減法文字題的表現，研究結果發現，一、二年級學童解改變類、併加類及比較類的十四種加減法文字題之各題答對率分別為 58%及 72%以上；在添加型改變類問題中，起始量未知問題比結果量未知問題難，併加類問題中，子集合未知問題比總量未知問題

(25)

難，比較類問題中，參考量未知問題比差異量未知、比較量未知問題難；三大類型中以比較類問題最為困難。謝毅興 (1991) 以國小二、三、四年級學童為受試對象，探討其解「比較類」加減法文字題時之錯誤策略，發現在「比較量未知—比多」、「比較量未知—比少」「參照量未知—比多」和「參照量未知—比少」四個類型的題目中，二、三年級大約有三分之一的學童使用錯誤策略解題。例如：「比……多」就運用加法解題，「比……少」就運用減法解題，或一律都使用加法或都使用減法解題。針對錯誤策略進行補救教學後發現，圖示教學雖然能夠有效地使學童放棄使用錯誤策略，但因圖示解題系統對學童而言，具有相當的難度，故幫助學童增進解題能力的效果不彰，而語文教學藉著講解「比較」語句的結構，幫助兒童理解「比較」的語句，反而效果良好。鄧少林、蔣治邦 (1994) 透過分類作業，探討 120 名三、五年級高、低數學成就學童，對「比較量未知」及「參考量未知」比較問題理解，結果顯示，大部份學童在分類時，仍只把其注意力集中在問題的表面特徵之上，另外，學童之年級及其數學成就對他們採用何種策略解題有交互影響，隨年級的提升，高數學成就組學童傾向放棄表面特徵，而改較高層次的語意結構作為分類的基礎。林美惠 (1997) 探討國小二年級學童解不同表徵型式的加減法題目之解題表現時發現，高數學能力組學童在圖畫題、短語題或文字題的解題表現均優於低數學能力組的學童；低數學能力組學童的圖畫題解題表現優於短語題與文字題，而短語題與文字題則沒有顯著差異；比較型的「參照量未知」問題中,短語題的解題表現最差；解圖畫題時常犯的錯誤是「誤解題意」，解短語題時常犯的錯誤是「關鍵字策略」與「胡亂拼湊數字」，解文字題時常犯的錯誤則是「關鍵字策略」與「計算錯誤」。古明峰 (1998) 以 282 位二年級學童為對象，以加減法文字題中的改變與比較問題為題材，探討語文知識中的語意結構、語意經驗與語意陳述對問題難度的影響，在語意結構部份發現改變型改變量未知問題的答對率較

(26)

起始量未知問題低，比較型大數未知問題的答對率低於小數未知問題。許琇皙 (1999) 以個別訪談的方式，探討小學低年級學童對於加減法「圖形表徵」之解讀，在「比較型」、「合併型」、「改變型」圖形表徵的解讀方面，發現「與圖意不相符」的人數分別占全部受訪者的80.4﹪、71.4﹪及 59.2﹪，表示「改變型」的加減法結構最容易以圖形表徵表示其意涵，而「比較型」的基本結構則較難以圖形表徵溝通其意義的。陳立倫 (2000) 探討二年級學童解答數學文字題的認知歷程，藉由提供不同多餘資訊的方式來釐清學童對於題意的理解，並由錯誤類型的分析探討學童的思考歷程，結果顯示學童有忽視理解題意與偏重使用策略的現象，其原因在於文字題的語句結構有固定性，學童可藉由部份訊息而決定解題策略，如此雖可減少理解題意的時間並增快解題的速度，但也造成學童對於理解題意的忽略，及漠視發展理解題意的能力。涂金堂 (2007) 以 36 位國小六年級學童為研究對象，探討數學文字題問題結構與解題表現之相關，發現數學解題表現較佳的學童會以深層結構 (指題目之間具有解法相似的問題基模) 作為數學文字題題目相似性的分類依據，而數學解題表現較差的學童則以表面結構 (指題目之間具有情境相似的問題基模) 作為數學文字題題目相似性的分類依據；問題深層結構之向度聯結分數愈高的學童，其數學解題表現愈好，而問題表面結構之向度聯結分數愈高的學童，其數學解題表現則愈差。綜觀以上研究，各研究者對各類型加減法文字題在難度方面的研究結果雖不完全一致，但整體而言，大部份的研究發現最簡單的加減法文字題類型為添加型改變結果量未知、拿走型改變結果量未知或合併型全體量未知，最困難的類型則為比少型比較參考量未知。學童在簡單的各類型加減法文字題之解題表現，雖然已有許多研究者進行研究與探討，但針對學童在各類型加減法文字題的知識概念結構特性及將概念結構圖像化的研究，文獻上較少提及，有待進一步去探討。因此，本研究欲進行各類型加減法文字題的知識概念結構特性之探討。

(27)

第二節試題反應理論

測驗理論是一種解釋測驗資料間實證關係 (empirical relationships) 的有系統的理論學說，測驗理論學者將測驗與評量理論分成古典測驗理論 (classical test theory, CTT) 和現代測驗理論 (modern test theory) 二大學派：古典測驗理論主要以真實分數模式為理論架構，其計算方式簡單易懂，大量運用於教育與心理測驗及社會科學資料的分析，但古典測驗理論亦有一些缺點，如指標 (難度、鑑別度和信度等) 屬樣本依賴、所有受試者皆採相同的測量標準誤，不考慮受試者能力的個別差異，總分相同的受試者，就視其能力相同；現代測驗理論主要以試題反應理論為理論架構，試題反應理論的發展較古典測驗理論晚，計算公式又複雜難懂，但立論與假設合理且嚴謹，深受測驗學者之青睞，儼然已成為近代測驗理論之主流 (余民寧，1991) 。其基本概念與重點分述如下：

壹、基本概念

試題反應理論的基本概念有二：一是受試者在某一測驗試題上表現情形，受到受試者的潛在特質 (latent traits) 或能力 (ability) 所影響；二是受試者的潛在特質或能力在某一測驗試題上的答題表現，可透過一條連續性遞增的函數來詮釋，這個函數稱為試題特徵曲線 (item characteristic curve, 簡稱 ICC) 。

貳、基本假設

試題反應理論具有下列幾項基本假設，唯有這些假設都成立的情況下，試題反應理論模式方能被用來分析所有的測驗資料 (余民寧，1992a) 。一、單向度 (unidimensionality) 單向度是指測驗中的各試題皆測量到同一種能力或潛在特質，或是受試者在測驗題目上的答題反應主要是受到單一項特質所影響。但在實際的測驗情境中，受試者的表現很少只受到一種因素的影響，故試題反應理論對單向度假設

(28)

的基本要求為「該測驗具有一個主要成份或因素影響測驗的結果」，而該因素即是指此測驗所測量的單一能力或潛在特質。但近年來，適用於含有多種主要因素的多向度測驗亦逐漸發展。二、局部獨立性 (local independence) 當測驗結果僅考慮受試者的能力時，受試者在不同試題上的反應，彼此之間沒有任何關係存在，就統計學而言是獨立的，即某一試題的作答情形，不受其他試題所影響，此意謂試題反應理論模式裡的能力因素，是唯一影響受試者測驗試題上作答反應的因素。三、非速度測驗 (nonspeedness) 試題反應理論模式下的測驗，屬於非速度測驗，即測驗的實施，並沒有速度限制；受試者測驗表現結果的好壞，取決於受試者的能力，而非因時間不足導致無法答完所有試題所影響。四、「知道-正確」假設 (know-correct assumption) 本假設認為受試者作答時，若受試者知道正確答案，必然會答對該試題，反之則否，而不考慮人為疏忽等情形。

參、試題反應模式

試題特徵曲線是用來描述測驗所欲測量的潛在特質，與其在試題上正確反應之機率間的一種數學關係，常用的模式有三：單參數邏吉斯模式 (one-parameter logistic model) 、雙參數邏吉斯模式 (two-parameter logistic model) 、三參數邏吉斯模式 (three-parameter logistic nodel) 。每一種模式均依其採用的試題參數數目的多寡來命名，適用二元化計分測驗的資料分析，各模

(29)

表2-5 三種常用的試題反應模式模式數學函數符號說明單參數 ₍ ₎ 1 1 ) ( i b i e P ₋ ₋ + = _θ θ Pi

( )

θ ：能力值為θ的受試者在第i 題上答對的機率 θ：受試者能力值 i b ：第i題的難易度 i a ：第i題鑑別度 i c ：第i題猜測度 e：代表以底為2.718 的指數 n：測驗的試題數雙參數 ₍ ₎ 1 1 ) ( i i b a i e P ₋ ₋ + = _θ θ 三參數 ₍ ₎ 1 1 ) 1 ( ) ( i i b a i i i e c c P ₋ ₋ + − + = _θ θ

一、單參數邏吉斯模式 ( one-parameter logistic model )

單參數模式中僅有一個試題難度參數bi，理論上，bi值介於

±∞

之間，但實際應用上，通常只取-3 到+3 之間的範圍，bi愈大，表示其試題愈難；在單參數模式下，所有試題的鑑別度都相同，且試題特徵曲線的下限為零，即能力非常低的受試者，就不可能有答對該試題的機率，當受試者能力值大於試題難度時 (θ −b_i >0) ，其答對第

i

題的機率P_i

( )

θ 大於.5；反之，若受試者能力值小於試題難度時 (θ −bi <0) ，則其答對第

i

題的機率Pi

( )

θ 小於.5 (余民寧，1992b) 。

二、雙參數邏吉斯模式 ( two-parameter logistic model )

雙參數模式是由單參數模式延伸演變而來，在單參數模式中加入試題鑑別度參數ai，理論上，ai值亦介於

±∞

之間，但實際應用上，通常只取0 到+2 之間的範圍，因為負的ai值代表能力值愈高的受試者在第

i

題的答對機率愈低，此與真實狀況不符，故不予採用。試題特徵曲線愈陡，表示鑑別度參數ai值愈大，即試題的鑑別度愈好，分辨出不同能力值受試者的功能愈強；反之，若試題特徵曲線愈平坦，則表示鑑別度參數ai值愈小，試題的鑑別度亦愈差，分辨出不同能力值受試者的功能也愈弱 (余民寧，1992b) 。

三、三參數邏吉斯模式 ( three-parameter logistic nodel )

(30)

線一個大於零的下限，即能力非常低的受試者，其答對第

i

題的機率，也就是把

低能力受試者的猜題行為考慮在內，ci值表示低能力受試者其猜題答對的機率

(余民寧，1992b) 。

第三節模糊取向的詮釋結構模式

壹、模糊理論

L. A. Zadeh 於 1965 年提出模糊理論 (fuzzy theory) ，其中，Fuzzy 原意為

「界線不清」、「不明確」、「模糊」的意思，而模糊數學指的是研究「模糊現象」

的數學 (九章編輯部，1992) 。模糊數學有別於古典數學的二元思考邏輯，而以隸屬度來解釋或描述事物的現象，成為近代數學理論重要的一支。在工程、醫學、大氣科學、自然科學等眾多領域，都得到廣泛的應用與重視 (Kacprzyk & Fedrizzi, 1992 ; Manton, Woobury, & Tolley, 1994；何承諭，2003；許澄宇，1992；莊凱翔，1997) 。一、模糊理論基本意涵模糊理論將元素和集合之間的關係，以介於

[ ]

0,1 之間的隸屬度描述，其模糊隸屬度函數和α截集 (α-cut) 的定義說明如下 (林原宏，2005) ： 【定義一】令 U 表示全域(universal set)，μ

( )

x 表示0 到 1 之間的函數，則 U 之 模糊子集A的隸屬函數記為μ_A

( )

x ，表示元素x隸屬於模糊集合A的程度。【定義二】模糊子集A的α 截集定義為：

{

( )≥

}

, 0≤ ≤1 = μ α α α x x A _A A的α 截集的隸屬度函數

( )

Aα

x

μ

為：

( )

1 , ( ) 0 , ( ) A A A x x x α μ α μ μ α ≥ ⎧ = ⎨ _< ⎩

(31)

二、模糊關係矩陣與其截矩陣

模糊關係矩陣 (fuzzy relation matrix) 可用來表示兩個集合元素之間的關 係，假設集合 A 有 m 個元素，集合 B 有 n 個元素，則兩集合元素

a

_i和

b

_j之間的模糊關係矩陣 (fuzzy relation matrix) 可表示為：

11 1 1 ... ( ) ... n ij m n m m n r r R r r r × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = _⎢ _⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ M M M 在給定α 值之情形下，可進行模糊關係矩陣之截矩陣運算，亦即： J I ij r Rα =( α) _× 且 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = α α α ij ij ij r r r , 0 , 1 ，其中0≤α ≤1

貳、詮釋結構模式

詮釋結構模式是由 Warfield (1976) 提出的一種社會系統工學之彙整訊息的建模方法，亦簡稱 ISM。詮釋結構模式被廣泛應用於社會學、人類學、心理學及哲學 (Warfield, 1982) 。日本學者佐藤隆博 (1987) 將詮釋結構模式分析法應用於教育領域的課程教材結構分析研究上，其主要意義是將學習者腦中思考的概念單位結構，用具體的圖形或數量來表示 (許天維、林原宏，1994) ，詮釋結構模式分析法的理論基礎是由離散數學和圖形理論推演而來，透過二元矩陣的運算，分析出元素間的連結及階層關聯。使複雜的系統變得有條理、有方向性及階層性的結構(佐藤隆博，1987；許天維、林原宏，1994；蔡秉燁，2007)。一、詮釋結構模式分析方法若欲分析的系統內有K個元素，且已知其中任意兩元素A_i與A_j的二元關係，以A=

( )

aij _K_×_K表示。若aij =1，表示Ai從屬於Aj，即Ai為Aj的下階元素；若 0 = ij a ，表示Ai不為Aj之下階元素。詮釋結構模式分析方法的要點如下 (許天

(32)

維、林原宏，1994；林原宏，2005)： (一)矩陣的運算兩個矩陣A的運算的結果定義為

( )

_ij K K KK K K K K a a a a a a a a a a A = × ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = (2) ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 22 ) 2 ( 21 ) 2 ( 1 ) 2 ( 12 ) 2 ( 11 2 L M M M M L L 2 A _{矩陣內的元素} (2) 1 1 2 2 1 K ij ik kj i j i j iK Kj k a a a a a a a a a = ⎡ ⎤ = ⊕_⎣ ⊗ _⎦= ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ ⊕_L ⊗ 上式中⊗和⊕的運算，定義如表2-6： ⎩ ⎨ ⎧ = ⊗ 1 = and 1 = if else 1 0 y x y x ⎩⎨ ⎧ = ⊕ else 0 = and 0 = if 1 0 x y y x 表2-6 ⊗和⊕的性質定義 x ⊗ y = F x ⊕ y = F x y F x y F 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 (二)傳遞閉包 (transitive closure) 定義 P A A A A Aˆ = ⊕ 2⊕ 3⊕_L ，且矩陣 Aˆ 稱為傳遞閉包。 (三)可到達矩陣 (reachability matrix) 定義 P P I A I A A A A I Aˆ⊕ = ⊕ 2⊕ 3⊕_L ⊕ =( ⊕ ) ，其中I 表示K×K階的單位矩陣。把如下的矩陣R，稱為可到達矩陣。 I A A A A A I A I A A A A I A I A R P P P P P ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ = ⊕ = + +1 2 3 1 3 2 ) ( ) ( ˆ L L (四)ISM 圖的繪製 (林原宏 2005)

(33)

以A₁至A₅元素為例 (佐藤隆博，1987)，這五個元素之關係，假設可用矩陣 A表示，原始資料矩陣A ，經上述運算可得到可到達矩陣R ，分別如下： 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ R 不過矩陣R 仍為二元矩陣，為繪圖方便，將矩陣內的元素為1 轉換成元素代號，矩陣R 整理如表2-7 所示：表2-7 R(Ak)矩陣與M(Ak)矩陣的關係 k A R(Ak) M(Ak) R(Ak)∩M(Ak) 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 1 A 0 0 0 0 1 A A2 A3 A4 A5 1 A 0 A3 A4 A5 1 A 0 A3 A4 A5 1 A 0 0 0 A5 1 A A2 A3 A4 A5 0 A2 0 0 0 0 A2 A3 A4 0 0 A2 A3 A4 0 0 A2 A3 A4 A5 1 A 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 A3 A4 0 0 0 A3 A4 0 0 0 0 0 A5 1、R(Ak)：由可到達矩陣R 推演而來，目的將矩陣R 內的二元值，轉換以元素代號表示。在可到達矩陣中，若元素為1，則填上被指向的元素代號，若元素為0，則維持不變。 2、M(Ak)：由R(Ak)的轉置矩陣得來，其意義是M(Ak)的每一列，表示指向該列元素的所有其它的元素。 3、R(Ak)∩M(Ak)：是R(Ak)和M(Ak)兩矩陣的交集，若兩矩陣相對位置的元素同時存在，則保留該元素代號，否則填上0。 4、根據R(Ak)和R(Ak)∩M(Ak)，找出每一列R(Ak)= R(Ak)∩M(Ak)列元素，當找到符合條件的所有列元素，就刪除該元素的列和行，而刪除的列行就不再比較，所有的列都找尋完成之後，就可繪製階層相對位置。其推演結果如表 2-8 所示。

(34)

表2-8 A₁至A₅相對應階層位置 5、依表 2-8 可繪製元素間的階層相對位置，再配合相鄰矩陣A，即可繪出ISM 圖，例如矩陣A 第1 行第 3 列的值為 1，則代表A₃要指向A₁ ，其餘類推可得圖2-2。圖2-2 ISM 圖的繪製 (修改自佐藤隆博，1987) 二、詮釋結構模式分析法的應用王素賢 (2004) 運用詮釋結構模式建構高中數學三角函數之概念學習階層有向圖，並進行數學科該單元補救教學之教材設計，研究結果發現透過詮釋結構模式分析法設計數學科補救教學教材，可具體化呈現概念構圖之思考脈絡，增進教列數 R(Ak)= R(Ak)∩M(Ak) 找出的元素代號第1 列 A1符合條件，其餘列未符合，刪除第1 行及第1 列 A1 第5 列 A5符合條件，其餘列未符合，刪除第5 行及第5 列 5 A 第 3 、 4 列 3 A 和A₄符合條件，其餘列未符合，刪除第3、4 行及第 3、4 列 3 A 、A₄ 第2 列 A2符合條件，其餘列已比較，刪除第2 行及第2 列 A2 根據相鄰矩陣Ａ

(35)

師教學效能、減輕教師備課之負擔，且圖像式的詮釋結構模式結構化教材，可使教師更明確掌握學習順序、幫助學童進行補救學習。李家豪 (2005) 以組織設計為主題，輔以詮釋結構模式分析法進行組織設計之分析，所求得之階層影響關係圖，可作為劃分組織內部層級之依據。陳世和 (2006) 以自行車設計為例，應用詮釋結構模式進行構件的模組分群，根據詮釋結構模式分析法之結果，設計師可以更充分了解各構件在組織中所代表的關係與扮演的角色，亦可提供產品模組化分群之參考。曹書豪 (2008) 以國小數學學習領域之「數與量」及「幾何」兩大主題為研究實例內容，並應用詮釋結構模式分析法，研發網路施測及即時認知診斷分析系統，提供教師立即瞭解學生學習成效及概念的階層次序分析之訊息。莊宗霖 (2008) 應用詮釋結構模式分析法，發展一套適用於補救教學的網路版學習診斷即時分析系統，其診斷學生學習成效分析訊息，可作為實施補救教學和個別輔導的依據。 Hawthorme and Sage (1975) 應用詮釋結構模式分析法整合不同團體成員對於高等教育課程計畫的意見。Tatsuoka and Tatsuoka (1997) 應用詮釋結構模式分析法發展電腦化認知診斷適性測驗系統 (computerized cognitive diagnostic adaptive testing system)，發現有助於補救教學之施行。綜合以上所述，發現詮釋結構模式分析法可系統化地表示整體元素之間的階層結構關係，適用於不同學科或領域，都有良好的成效。

參、模糊取向的詮釋結構模式分析法

林原宏 (2005) 提出的模糊取向詮釋結構模式乃是利用模糊觀點之察覺的模糊邏輯模式和試題反應理論，提出個人化模糊取向的詮釋結構模式分析法。根據察覺的模糊邏輯模式，衡量配對刺激屬於某一典型的機率，計算不同能力值受試者概念間的模糊關係矩陣，並將其模糊關係矩陣進行 α 截矩陣，以概念屬性截矩陣繪製出受試者個人化之概念階層結構圖，簡稱ISM 圖，其分析步驟

(36)

如下：一、確定所分析的元素單位為試題或概念，假設共有M個試題或所有試題所測量的概念總數為L個。二、在選定的試題反應理論模式下，能力值θ 受試者在第k m題的答對機率為 ) ( k m P θ ，依察覺的模糊邏輯模式，計算該受試者的模糊關係矩陣如下： (一) 若所分析的元素單位為試題，則能力值θ 受試者的模糊關係矩陣為k M M k ij k p D(θ )=[ (θ )] _× ，pij(θ 為符合試題k) i指向試題 j的機率。依察覺的模糊邏輯模式意義，令ci =Pi(θk) 且oj =1−Pj(θk)，所以可得： ) ( )] ( 1 [ )] ( 1 [ ) ( )] ( 1 [ ) ( ) 1 )( 1 ( ) , ( ) ( k j k i k j k i k j k i j i j i j i j i k ij P P P P P P o c o c o c o c p p θ θ θ θ θ θ θ − + − − = − − + = = (二) 若所分析的元素單位為概念，則能力值θ 受試者的模糊關係矩陣為k L L k ij k p D(θ )=[ (θ )] _× ，pij(θ 為符合概念k) i指向概念 j的機率。依每一試題測得該概念與否的關係，設概念個數為L個，可形成一個二元關係的概念屬性矩陣 (attribute matrix) A=(aml)M×L，aml =1表示第m題包含概念 l，亦即有測到概念l；a_ml =0表示第m題沒有包含概念l，亦即沒有測到概念l。令 _L _l _L M m ml a a SA _× _• _× = = =

∑

₁ ₁ 1 ) ( ) ( 表示每一概念被測得出現的總數之矩陣。因此，能力值 θ 之受試者在每個概念精熟的機率為k L k l L M l ml M k m k _a ma a P MA _× _× • × = =[ ( )]₁ [ ] [ ( )]₁ ) (θ θ θ 。依察覺的模糊邏輯模式意義，令ci =mai(θk) 且oj =1−maj(θk)，所以可得：

(37)

) ( )] ( 1 [ )] ( 1 [ ) ( )] ( 1 [ ) ( ) 1 )( 1 ( ) , ( ) ( k j k i k j k i k j k i j i j i j i j i k ij ma ma ma ma ma ma o c o c o c o c p p θ θ θ θ θ θ θ − + − − = − − + = = 三、選定 α 值且 0≤α ≤1 ，將模糊關係矩陣為 D(θk)=[pij(θk)]M×M 或 L L k ij k p D(θ )=[ (θ )] _× 進行截矩陣分析。例如分析的單位為試題，則： M M k ij k p Dα(θ )=[ α(θ )] _× 且 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = _θθ _αα θ α ) ( , 0 ) ( , 1 ) ( k ij k ij k ij p p p ，其中0≤α ≤1 四、將步驟三所得的模糊關係矩陣之截矩陣進行詮釋結構模式分析，為提供圖形可讀性，可進行ISM 圖簡化，假設元素Ai指向Aj有多條路徑 (path) ，則去除直接指向並保留間接指向的路徑。如圖2-3：簡化圖2-3 簡化 ISM 圖 (引自林原宏，2005) 五、給定α 值，可獲得能力值θ 之受試者的 ISM 圖。因此，可獲得不同能力值之k 個人化試題或概念的ISM 圖。林原宏 (2005) 以分數減法概念為例，進行模糊關係矩陣詮釋結構模式分析，研究結果發現：不同能力值的受試者，其分數減法概念結構各有其特徵，且傳統計分相同的受試者，其分數減法的概念結構卻不盡相同。陳紹銘 (2006) 應用模糊取向的詮釋結構模式研究澎湖縣 465 名六年級學童等量公理概念之階層結構，研究結果發現：國小學童學習等量公理過程中，其知識結構具有階層特性，且受試者之等量公理ISM 圖因能力值的不同而有明顯的差異存在，另外， Aj Ak Al Ai Am Aj Ak Al Ai Am

(38)

傳統計分下總分相同但反應組型不同的受試者，其知識結構卻不一定相同。祝淑梅 (2007) 以國小 1167 名高年級學童為研究對象，探討其個人化的小數知識之概念階層結構，研究結果發現：模糊取向的詮釋結構模式分析法可有效的分析個人化的小數概念結構，而根據個別化的ISM 圖之連結指向關係，可具體提供教學者規劃分組教學或補救教學的參考。紀順雄 (2007) 以中部地區 985 名六年級學童為研究對象，應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小六年級學童的分數加法概念結構，研究結果發現：不同能力值的受試者，其分數加法 ISM 圖具有差異，試題內概念屬性的結構圖因受試者能力值之不同而不完全相同，

以專家的 ISM 圖為參照標準，低、中能力值受試者的 ISM 圖皆與專家的 ISM

圖有明顯的差異，高能力值受試者的ISM 圖與專家的 ISM 圖則沒有差異。李玉貞 (2008) 以 1007 名ㄧ年級學童為研究對象，應用模糊詮釋結構模式分析法，分析受試者的知識階層結構，探討個人化的數學學習領域數與量分年細目知識之概念階層結構。施杏芬 (2008) 以 1086 名國小三年級學童為研究對象，應用模糊詮釋結構模式分析法，分析國小三年級學童個人化的數與量概念結構，探討其個人化的數與量概念階層結構。許惠芳 (2008) 以 979 位國小二年級學童為研究對象，應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小二年級學童的數與量分年細目概念結構圖。陳敏彥 (2008) 以國小一、二、三年級學生共計 2633 名為研究對象，應用模糊取向的詮釋結構模式分析法，分析學生幾何概念的模糊取向ISM 圖，並探討不同能力值學生的概念結構圖與專家的概念結構圖之差異。綜上所述可知，模糊取向的詮釋結構模式是將心理學上對於刺激之察覺的模糊邏輯測量，應用於知識或概念從屬關係程度的描述，此模式在不同學科或領域的應用應是一個可行的方法。

(39)

第四節知識結構測量理論

有關人類的知識結構是許多學者關心探討的主題，知識結構與學習表現有著密切的關係，且能有效預測學習表現，此主題的探討將有助於瞭解個人獲得知識的心理歷程。

壹、知識結構的意義

認知結構學習理論的興起，起緣於蘇俄比美國先發射人造衛星，進而激起美國教育界改進當時的科學教育之行為主義心理學而發展出來。認知結構學習理論主要代表人物有二，其一為J. S. Eruner，其強調兒童的主動探索，從事物變化當中去找尋原理，進而吸收成為自己的知識，並認為有效學習旳必要條件就是學習情境要有結構性，教材具有結構性，兒童學習才容易理解、不易遺忘，並有助於產生正向的學習遷移，因此布魯納由此提出發現學習法，不過發現學習法亦有其限制，即兒童必需具有基礎的先備知識，否則無法學習；而另一代表人物為D. P. Ausubel，其強調有意義學習，並認為要產生有意義的學習，兒童必需在具有充分的先備知識之情況下，再配合其認知結構，始能教導其學習新的知識 (張春興，1996) 。涂金堂 (2000) 認為「知識結構」是一種結構組織，可以明顯表示各概念間的關係。而余民寧 (2002) 則認為「知識結構」是學習者的「先備知識」，其為決定學習者是否可以進行有意義學習的主要關鍵，更是能否將學習的成果儲存於人類的長期記憶區內的重要因素之一。余民寧 (2002) 根據 1989 年朱智賢的研究，針對「知識結構」提出更清晰的說明，其認為「知識結構」係指個人在知覺及理解客觀事實的基礎上，在腦中所形成的一種心理結構，而此結構是由個人過去的認知經驗所組成。綜言之，知識結構是指儲存在人類長期記憶中的一種結構組織，而這種結

(40)

構組織可以清楚的顯示出各概念間的關係 (涂金堂，2000) 。因此，知識結構可視為學習者之先備知識，而先備知識在教師教學與學習者學習的過程中，都是相當重要，因此要如何找出或呈現學生的知識結構，將是本研究後續要探討的主題。

貳、知識結構的測量方法

目前國內學校測驗評量方式大多採用測驗的總分來代表學生的能力，但這個分數並不能提供太多的訊息給教師做為診斷學生錯誤類型的依據及補救教學上的參考，更無法從中窺知學生的知識結構 (涂金堂，2000) 。事實上，真實的知識組織結構為何，是無法直接得知的，但試圖利用適當方法，來描繪人類的知識結構，乃是近年來認知心理學者相當感興趣的問題 (林原宏，1996) ，因此要如何測量學童的知識結構，是一個值得探討的主題。目前測量知識結構的方法有很多，例如晤談法、分類法、圖解法及量尺法，說明如下 (江淑卿，1997)：一、晤談法

晤談法 (interview method) 是指利用晤談、放聲思考、原案分析 (protocol analysis) 、觀察或文件分析等過程取向的方法，分析個體的知識結構。其特色是能深入了解個體知識結構的內容、組織和變化，但所獲得資料需透過主試者主觀的解釋，且資料較難統計分析。二、分類法分類法 (sorting method) 是指利用卡片分類、樹狀結構分析等方法，分析個體的知識結構，其分析步驟可分為概念引發、概念分類及表徵分析等。其特色是能快速簡單的了解結構特質和改變，但此方法無法處理團體、平均的知識結構，而且仍需透過主試者主觀解釋評分。三、圖解法

(41)

圖解法 (mapping method) 是指透過訓練，幫助個體熟悉概念構圖技巧，再將個體的概念構圖，根據評分系統計分，評量其理解能力。其特色是將知識結構的分析量化，但評分時仍需透過主試者主觀解釋，無法避免主觀經驗的影響。此外，此方法亦無法處理團體、平均的知識結構，也不容易直接獲得與標準知識結構比較的量數。四、量尺法量尺法 (scaling method) 是指透過不同量尺化程序測量知識結構，其特色是以客觀和統計的方式，產生圖解和知識結構的相關量數，突破過去多以理論和經驗的方式進行知識的測量，但其限制是無法確切了解概念接近性所代表的意義。量尺法又可細分為多向度量尺法、群集分析法及徑路搜尋法，大多以圖形方式呈現知識表徵，使研究者能更容易了解學習者的概念和概念之間的聯結關係 (涂金堂，2000；林曉芳，2001；李敦仁、余民寧，2007；黃湃翔、江新合、洪振方， 2007；Koubek and Mountjoy, 1991)。

Cooke, Durso, and Schvaneveldt (1986) 認為徑路搜尋法比多向度量尺的向度表徵，更能掌握回憶作業中的組織關係。徑路搜尋法比較概念與概念間的關係，凸顯不同個體間的知識結構差異，有助於解釋個體的表現差異，此為徑路搜尋法較其他知識結構表徵更實用、有效的主要特點。故以下將針對徑路搜尋法做進一步的探討。

參、徑路搜尋法

徑路搜尋法是由美國新墨西哥州立大學計算研究實驗室領導人 Schvaneveldt 的研究小組，根據網路模式和圖形理論 (graph-theoretic) 所發展出的知識網路組織工具 (knowledge network organizing tool, 簡稱 KNOT) ，並採用徑路搜尋量尺化算則 (pathfinder scaling algorithm) 來探究受試者的知識網路結構。應用徑路搜尋法前，要先求得一個各概間的接近性矩陣，再透過徑路搜

(42)

尋量尺化算則的運算，產生徑路搜尋網路，如圖2-4 所示。接近性矩陣 A B C D E A 0 1 3 2 3 B 1 0 1 4 6 C 3 1 0 5 5 D 2 4 5 0 4 E 3 6 5 4 0 徑路搜尋網路圖2-4 接近性矩陣與徑路搜尋網路 (引自 Goldsmith et al., 1991) 徑路搜尋量尺化算則是將接近性矩陣轉換成以節點表徵概念的網路結構，概念間的相似性由節點的連結關係所決定。藉由量尺化程序分析出專家的知識結構，並以專家知識結構做為參照結構，與受試者的徑路搜尋網路相比較後，可得到生手與專家的相似性指數，即GTD 指數、PRX 指數和 PFC 指數，透過知識結構的相似性係數計算，可更精確的表示生手的知識結構圖與專家知識結構圖之間的差異 (涂金堂，2000；Jonassen, Beissner & Yacci, 1993) 。茲以 Goldsmith, Johnson, & Action (1991) 所舉的例子，如圖 2-5 所示，分別說明 GTD 指數、PRX 指數及 PFC 指數。

(43)

圖2-5 徑路搜尋網路之 PFC 和 GTD 值 (引自 Goldsmith et al., 1991) 一、GTD 指數 GTD 指數的計算係求兩個徑路搜尋網路中圖解理論距離的相關，以相關係數表示兩個徑路搜尋網路的相似程度，其值介於0 至 1 之間，指數愈大，表示兩個網路結構愈相似。圖解理論距離的算法是以相距節點連結鍊的數目來表示，如圖 2-5 中，網路一的 A 到 C 的距離為 1，C 到 F 的距離也為 1，A 到 F 的距離則因其鍊結方式為 A-C-F，故圖解理論距離為 2。圖 2-5 中網路一、網路二及網路三的圖解理論距離如表 2-9 所示，計算表 2-9 中網路一和網路二各節點距離值的相關係數，就可得到GTD 指數為.79，而網路一和網路三的 GTD 指數為.42。網路三 PFC=.43 GTD=.79 PFC=.74 GTD=.42 網路一網路二

(44)

表2-9 三個網路中各節點的圖形理論距離值 (改寫自 Goldsmith et al., 1991) 網路一網路二 網路三 節點節點節點 A B C D E F G A B C D E F G A B C D E F G A - 1 1 2 2 2 2 A - 1 2 1 1 3 3 A - 1 4 2 2 3 5 B - 2 1 1 3 3 B - 1 2 2 2 2 B - 3 1 1 2 4 C - 3 3 1 1 C - 3 3 1 1 C - 4 2 1 1 D - 2 4 4 D - 2 4 4 D - 2 3 5 E - 4 4 E - 4 4 E - 1 3 F - 2 F - 2 F - 2 G - G - G -二、PRX 指數 PRX 指數的計算係直接計算兩個網路接近性矩陣的相關程度，以相關係數表示兩個網路的相似程度，其值介於0 至 1 之間，指數愈大，表示兩個網路結構愈相似。三、PFC 指數 PFC 指數的計算係利用集合理論求出兩個網路各節點共有的鄰近節點，總合鄰近節點之交集合與聯集合之比值的平均數，即可獲得PFC 指數，PFC 指數計算方式如表2-10 所示。表2-10 根據圖 2-5 之網路一和網路二計算所得之 PFC 指數節點鄰近節點交集聯集比值網路一網路二集合大小集合大小 A

{ }

B,C

{

B,D,E

}

{ }

B 1

{

B,C,D,E

}

4 1/4 B

{

A,D,E

}

{ }

A,C

{ }

A 1

{

A,C,D,E

}

4 1/4 C

{

A,F,G

}

{

B,F,G

}

{

F ,G

}

2

{

A,B,F,G

}

4 2/4 D

{ }

B

{ }

A φ 0

{ }

A,B 2 0/2 E

{ }

B

{ }

A φ 0

{ }

A,B 2 0/2 F

{ }

C

{ }

C

{ }

C 1

{ }

C 1 1/1 G

{ }

C

{ }

C

{ }

C 1

{ }

C 1 1/1 比值總合為3，PFC 值=3/7=.43。 (引自 Goldsmith et al., 1991) Goldsmith et al., (1991) 指出徑路搜尋分析法中的相似係數 PFC 指數，其可

(45)

用來表示學生和教學者的知識結構圖之相似度，PFC 值測量法是根據集合理論 (set-theoretic) 求出二個結構圖中各節點共有的鄰近節點，將鄰近節點的交集合除以聯集合，再計算其平均比值，即求得PFC 指數，PFC 指數其範圍介於 0～1 之間，PFC 值愈大表示二個結構圖愈相似，其中節點代表著概念，而節點和節點之間的線代表概念之間的連結 (宋德忠、林世華、陳淑芬、張國恩，1998；余民寧，2002；余民寧、林曉芳、蔡佳燕，2001；林原宏，1996；林曉芳，2001；涂金堂，2000；楊雅惠，2004；Goldsmith et al., 1991) 。基於以上的說明，林原宏、游森期 (2006) 將徑路搜尋法應用在解題規則結構圖上的比較，以了解專家和生手在解題規則結構上的差異程度，說明如下：假設共有M個解題規則，受試者的規則次序關係矩陣為

( )

ij _{M M} R = r _× 。若已知

( )

ij _{M M} R = r _× ，則以G v( )i 表示規則i為其先備條件的所有規則之集合，定義如公式1：

( )

_i

{

_j _ij

1

}

G v

=

v r

=

₍₁₎ 例如，在

( )

ij _{M M} R = r _× 中，若只存在rii =1、ril =1、rik =1且i≠l、i≠k，則

( )

_i

{

_i

, ,

_j _k

}

G v

=

v v v

。假設有兩位受試者A和B，其規則關係矩陣為RA =

( )

rij _M_×_M和RB =

( )

rij _M_×_M，且其規則i為其先備條件的所有規則之集合分別為G v_A( )_i 和G v_B( )_i 。依據Goldsmith et al., (1991)的集合交集與聯集之比值計算方法，則受試者A和B的解題規則結構圖相 似性係數S_AB如公式2所示(Goldsmith et al., 1991)： 1 #( ( ) ( )) 1 ( ) #( ( ) ( )) M A m B m AB m A m B m G v G v S M = G v G v ∩ = ∪

∑

(2) 公式2中G v_A( )_m ∩G v_B( )_m 表示兩個集合之交集，G v_A( )_m ∪G v_B( )_m 表示兩個集合之聯集，#表示集合的元素個數。相似性係數0≤S_AB ≤1，S_AB愈大，表示受試者A