從上一節我們可以知道要克服學生學習線對稱的困難，我們需要給予學生動態 視覺化的經驗，以及使學生學習幾何從直覺經驗到邏輯推理，從視覺層次與描述分 析層次進階到非形式推理層次。這一節我們將從 Duval 幾何認知歷程與動態幾何學 習環境的特性來探討動態幾何學習環境如何給予學生動態視覺化的經驗，以及如何 使學生學習幾何從直覺經驗到邏輯推理，從視覺層次與描述分析層次進階到非形式 推理層次，來幫助學生克服上述困難。
一、 Duval 幾何認知歷程
Duval（1998）認為個體在進行幾何解題活動時，要引入的認知歷程有三種，其 類型與說明如下：
1. 視覺化（visualization）：著重於以空間圖形表徵之型態與結構來陳述說明的 歷程，在嘗試探索一個複雜的情況時，以大略的視察方式或是主觀的確認。
2. 構圖（construction）：利用工具的歷程，建構或修正，就像是做一個模型，藉 由操作的呈現和觀察結果去關聯到數學物件的表徵。
3. 推理（reasoning）：從證明或解釋的推理歷程中，去關聯到延伸的數學知識。
在幾何認知的過程中，這三個歷程可以分開來執行，也有可能是兩個或全部的 歷程結合起來，成為認知的歷程；其中視覺化代表觀察的歷程，推理則是演繹證明 的歷程，至於構圖則是利用工具去幫忙建構知識。
圖 5 Duval 幾何解題之認知模型
這三種歷程的交互作用如圖 5，圖中的箭頭是代表某個歷程可以輔助另外一個 歷程的運作，2 號虛線箭頭代表視覺化雖然可以輔助推理歷程的產生或運作，但是 確不總是有效，甚至反而會造成誤導。5（A）和 5（B）代表推理形式有兩種，5（A）
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代表個體用自然的語言來進行命名及討論；5（B）代表以定義與定理來進行論述的 演繹及組織，這兩種形式可獨立運作。根據上圖可知，構圖和推理皆可幫助視覺化 歷程的產生和運作，推理也可以幫助構圖，但是圖形的構造無法輔助推理歷程。
許舜淵與胡政德（2014）認為根據 Duval 的幾何認知模型，在動態幾何環境下，
動態表徵如同視覺化歷程，個體的拖曳行動讓圖形產生了變化，拖曳行動有如構圖 歷程。當個體在動態幾何環境下操作幾何物件時，觀察拖曳所產生的圖形變化，即 產生了動態表徵，學生可以透過觀察動態表徵，引發個體去思考以輔助推理。而一 些幾何性質結構需要經由視覺化的變動過程展現其系統關係，稱為動態視覺化。例 如當學生學習線對稱的對稱軸中垂性質時，學生可以透過線對稱圖形的對摺過程中，
觀察到對稱線段等長，以及相關的對稱角相等，進而幫助學生推理出對稱點線段被 中垂線垂直平分的性質。因此本研究設計線對稱概念的動態視覺化環境，幫助學生 學習幾何推理。
二、 動態幾何學習環境
（一） 動態幾何軟體（Dynamic geometry software）
近年來，電腦技術已經成為促進數學課程發展的一個重要的工具。動態幾何軟 體 DGS 作為一種要求在教學現場中實現的工具，表明了它的有效性（Sinclair, Renshaw & Taylor，2004；NCTM，2000）。使用 DGS 進行教學或學習已經是作為教 學環境必要的一部分，而不是一個獨立的資源。一直以來，電腦技術對於幾何的教 學和學習貢獻主要表現在動態、可操作、互動產生而強烈的連結，但 DGS 的「拖曳」
功能，使得它與其它幾何軟體有了區分（Botana & Valcarce，2003）。「拖曳」功能使 得使用者可以拖動某些元件，並在限制條件下，去自由體驗和探索，並在這個過程 中尋找規律或檢驗圖形的不變性，以檢驗他們的直覺和猜測（Marrades & Gutierrez，
2000）。協助從特殊情況過渡到到一般情況，這種歸納性質的軟體，提供學生一個通 過探索促進推理的過程學習幾何的機會（Stols & Kriek，2011）。
動態幾何軟體 DGS 被用來使用在幾何上的教學已經有很長一段時間，其中學習 幾何變換領域更是有效。DGS 可以對某圖形或物件進行幾何變換，NCTM 提及動態 幾何軟體可以讓學生通過操作一個圖形和觀察其圖形幾何變換的視覺化過程。透過 注意變換前與變換後的點、線段長度、角度，學生可以得到相同的概念。並且可以 給予學生反思的回饋，教師可以要求學生想像和描述鏡射變換或旋轉變換的圖形和 原圖形之間位置或線段長的關係。使用這種互動的形式，學生可以檢驗自己反思的
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結果，並且觀察到變換後的圖形和原圖形的線段長是相同的（NCTM，2000）。
GeoGebra 身為動態數學軟體，也具有上述特質。研究者整理其功能與特性，以 作為本研究設計 GeoGebra 輔助學習環境的重要參考。
1. 符合尺規作圖原理（Euclidean constructions）
利用動態幾何軟體中所提供的作圖工具，仿照直尺或圓規的作圖方法，可容易 地製作出精確的幾何圖形。而這些作圖工具均依照幾何的定義而設計，因此圖形精 確適合幾何教學（林保平，1997）。
2. 圖形可操作
利用動態幾何軟體工具所得的圖形整體或其構成部份，均可在螢幕上，利用滑 鼠指標直接依作圖時的定義，移動其位置或改變形狀，或利用軟體提供的幾何變換
（Geometric Transformation）功能。幾何作圖及圖形可操作及變換的功能，是動態幾 何軟體能成為臆測、探索幾何性質工具的原因之一（林保平，1997；Rahim，2000）。
3. 提供解析幾何（Analytic Geometry）的坐標系統
動態幾何軟體提供直角坐標與極坐標平面，可給定點坐標後描點，或利用度量 工具，求得任意點的坐標、量測距離、斜率等，並擁有畫多項式函數、三角函數、
指數函數、對數函數等圖形的功能。給定特定參數，可觀察函數圖形與對應係數的 關係；量測數值精確，適合解析幾何教學（Rahim，2000）。
4. 動態連續變化及不變性
動態是指在該環境下，圖形及數值可以做連續的變動，當圖形或其某一構成元 素改變位置、形狀或被變換時，其改變的過程是漸進及連續的。不只圖形的最終狀 態呈現出來，其位置改變過程中的圖形，也連續呈現出來，使用者看到的是一個連 續的變動過程。使得學生能觀察圖形的連續變換，並由度量工具輔助來發現幾何的 不變性質（invariant）（林保平，1997）。
5. 同時具手動操作及自動化功能
動態幾何軟體具拉曳（dragging）及動態模擬（animate）功能，經由適當設計 後，程式會呈現動態過程，可隨意停止、繼續；也可以手動操作，控制速度，方便 觀察、比較、臆測。使用者可於恰當的時刻暫停程式之自動運作，思考情境問題，
或重複畫面上的動態過程，以進一步觀察數學性質。
6. 動態互動、視覺化、情境化及數值化並結合圖像和文字的多重表徵視窗環境 動態幾何軟體的互動是指圖形的變動或符號式參數之變動，將帶動符號式或圖
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形做相應的變動，而某點之坐標也會隨著點位置之改變而改變。圖形或符號式的改 變可由使用者經由滑鼠直接操作。
7. 特殊即一般（保持結構）
通常我們因證明需要而畫一個幾何圖形時，我們畫的是一個「特殊」的圖形，
但證明過程中一直將它想成「一般」的圖形，證明完後，我們也認定所證明的是具 有相同「已知」的任意圖形所擁有的性質。在動態幾何軟體下所作的幾何圖形，使 用者可任意移動圖形的構成元素，而圖形因其構成元素改變相對位置而改變形狀以 後，其構成元素間的「幾何結構」保持不變，因此，所得到的是「一般化」的任意 圖形，能幫助學生了解具有這種「特徵性質」的圖形在證明過程的「代表性」，是教 學時能提供學生觀察、比較、臆測、驗證幾何圖形性質的重要工具（林保平，1997）。
綜合上述，動態幾何軟體具有一些功能與特質，能幫助學生進行幾何性質的獲 得與推論。如在學習層面上，動態幾何軟體能夠將圖形動態視覺化，呈現幾何圖形 的動態連續性，圖形的變動過程展現其系統關係與性質，讓學生從描述分析層次進 入非形式推理層次；動態幾何軟體具有符合尺規作圖的特質，並結合將長度與角度 動態視覺化及數值化，讓學生學習過程中，可以不需要方格圖對於長度與角度的指 引。進而讓學生做更多圖形特性之間的推論，能夠幫助學生學習非形式推理層次的 概念。而教學層面上，教師可讓學生自行操作動態幾何軟體的圖形，但是操作過程 中圖形仍保持結構，並結合動態互動、視覺化、情境化及數值化，與圖像和文字的 多重表徵，讓學生能夠自行透過觀察、臆測、探索和檢驗等歸納方式來獲得與推論 線對稱的幾何性質，無論是「保形」、「保距」、「保角」或「線對稱中垂」性質，熟 習非形式推理層次的概念。
三、 van Hiele 五個學習層面與 5E 學習環
（一） van Hiele 五個學習層面
左台益（2002）提到 van Hiele 五個學習層面認為，許多學生學習幾何之所以產 生困難，主要是因為學校的教科書教材內容並未能符合學生思維層次，而造成學生 往往靠記憶或背誦來學習以致於學習效果不佳。為了促使學生從一個層次到另一個 層次的發展，van Hiele 也提出五個關連的學習層面，作為序列的教學活動設計（如 圖 6）。
層面 1：諮詢（inquiry / information）
教師經由觀察發問與學生雙向溝通，暸解學生如何使用字彙與用辭，讓學生對
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所學主題有所瞭解，並設立進一步學習步驟。
層面 2：導向（guided orientation）
教學宜有計畫的安排活動，依序引導學生認識學習方向，熟悉教材特定結構。
此階段，大部份的教材內容是一些簡短課題，學生可以一個步驟即完成的簡短作業。
此階段，大部份的教材內容是一些簡短課題，學生可以一個步驟即完成的簡短作業。