國二學生在線對稱動態幾何學習環境中學習成效之研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：左台益博士. 國二學生在線對稱動態幾何學習環境中學習成效之研究. 研究生：顏詩穎. 中華民國一百零三年六月.

(2) 致謝辭研究所的兩年中，自己感覺增長了許多見識，但更發現自己許多不足的地方。能夠順利完成論文、完成口試與順利畢業，這些過程中要感謝許多人熱心的幫忙與引導。最要感謝的，當然是指導教授左台益老師。無論是在專業領域或生涯規劃上，左老師都花費許多時間與心力來帶領我們。在與左老師一起閱讀文章、探討理論、討論研究方向時，看到左老師對於數學教育研究的熱情與專業，總是讓我肅然起敬，也從其中看到數學教育研究的價值。感謝左老師對於自己的鼓勵、建議和帶領，使我更加成長。也感謝左老師包容我能力不足的地方，非常感謝。感謝我最親愛的家人，包容我所有的一切優劣、一切好壞、一切強弱，並給予我最大的支持，我愛你們。感謝口試委員李源順老師與陳明璋老師，繁忙中擔任我的口試委員，給予我許多研究上的指導與建議，獲益良多。感謝健恆學姐、鳳琳學長、政德學長、俊瑋學長，學長姐們都好強大，總是我遇到問題或挫折的靠山。尤其感謝健恆學姐與鳳琳學長，在作研究的過程中給我相當多的意見與引導，並且包容自己能力不足所帶給你們的困擾，非常感謝。感謝 M412 的夥伴慶安、巧倪、偉斌、振源、秉君、明德、佩德，時常在研究上或課業上彼此激發想法。尤其感謝慶安、巧倪、偉斌、振源在教學實驗上的協助、各種好用工具的推薦以及真誠的打氣鼓勵。特別感謝慶安碩一生活彼此互相照應，以及無論在寫論文或準備教甄上，妳都是個好榜樣。感謝同是數學所的茂愷、維良、逸然、勁偉，感謝你們在我孤僻的碩二生活中給予的陪伴與關心。感謝一起同奔天路的怡安、淑婷、郁馨、林穎、書亞，代禱、查經以及出現在口試當天皆帶給我很多力量。尤其感謝怡安，感謝之事族繁不及備載。感謝大學好友們思齊、紹凱、敬鈞、新城、書銘、宜蓉、嘉芸、鈞量、培軒，謝謝每次聚餐與遊玩，你們怎麼可以這麼有趣，總是讓我笑開懷。最後，感謝神，回顧一切都是祢的帶領。.

(3) 摘. 要. 線對稱概念是中學幾何課程中的核心概念，但過往研究仍指出國中學生在學習線對稱仍有學習困難。van Hiele 幾何思維發展層次理論提出學生學習幾何產生困難的主要原因是教學教材未能符合學生思維層次。而動態幾何軟體能夠提供動態視覺化的經驗來幫助學生學習幾何概念，因此研究者根據線對稱的課程內容與 5E 學習環教學模式，設計線對稱概念的動態幾何學習活動，形成線對稱學習的動態幾何環境，來幫助學生學習。並且分析線對稱動態幾何學習對學生在學習成效上的影響，更進一步探討在動態幾何學習環境之下，學生可以自行操作動態幾何軟體對於學生學習的成效影響，以及在動態幾何學習環境之下，無方格圖對於學生學習的成效影響。因此本研究有下列目的：(1)設計線對稱學習的動態幾何環境，及其配合的教學活動；(2)分析線對稱動態幾何學習環境對學生在學習成效上的影響；(3)探討線對稱動態幾何學習環境下，學生可自行操作動態幾何軟體對學生在學習成效上的影響；(4)探討線對稱動態幾何學習環境下，無方格圖對學生在學習成效上的影響。本研究結果顯示(1)本研究設計線對稱之動態幾何學習環境，可以提供中學實務教學使用；(2)在線對稱動態幾何教學環境之教學實驗中，實驗組與對照組的結果顯示無論是動態幾何教學環境或靜態媒體環境中皆能幫助學生學習，達到層次提升的學習效果，但實驗組與對照組之間未達到顯著差異；(3)在探討線對稱動態幾何學習環境下，學生可否自行操作動態幾何軟體對學生在學習成效實驗中，實驗組與對照組的結果顯示無論有無讓學生自行操作的動態幾何環境皆能幫助學生學習，達到層次提升的學習效果。其中實驗組與對照組在非形式推理層次的學習成效達到顯著差異；(4)在探討線對稱動態幾何學習環境下，無方格圖對學生在學習成效實驗中，實驗組與對照組的結果顯示無論圖形有無方格圖的動態幾何環境皆能幫助學生學習，達到層次提升的學習效果，但實驗組與對照組之間未達到顯著差異。關鍵字：線對稱、van Hiele 幾何思維發展模式、5E 學習環、動態幾何環境. i.

(4) 目. 次. 第壹章緒論………………………………………………………………………….. 1 第一節研究背景與動幾…………………………………………………….. 1 第二節研究目的與研究問題……………………………………………….. 5 第貳章文獻探討與理論基礎……………………………………………………….. 7 第一節線對稱學習內容…………………………………………………….. 7 第二節動態幾何學習環境要素…………………………………………… 25 第參章線對稱之動態幾何學習環境設計………………………………………….. 35 第一節設計理念………………………………………………………….... 35 第二節設計方法………………………………………………..………….. 37 第三節設計結果…………………………………………………………… 39 第肆章實驗一：線對稱動態幾何教學環境之教學實驗………………………….. 57 第一節研究方法…………………………………………………………… 57 第二節研究發現與討論…………………………………………………… 63 第伍章實驗二：學生可自行操作線對稱動態幾何學習環境之教學實驗……….. 66 第一節研究方法…………………………………………………………… 66 第二節研究發現與討論…………………………………………………… 72 第陸章實驗三：無方格圖的線對稱動態幾何學習環境之教學實驗…………….. 76 第一節研究方法…………………………………………………………… 76 第二節研究發現與討論…………………………………………………… 82 第柒章結論與建議………………………………………………………………….. 85 第一節研究結論…………………………………………………………… 85 第二節建議………………………………………………………………… 88 中文參考文獻………………………………………………………………………….. 90 英文參考文獻………………………………………………………………………….. 91. ii.

(5) 附. 表. 目. 次. 表 1 九年一貫課程綱要各階段線對稱相關能力指標 ............................................ 10 表 2 國小、國中線對稱單元的教材地位分析表 .................................................... 11 表 3 線對稱相關研究整理 ........................................................................................ 20 表 4 5E 學習環教學模式各階段的教學活動（Trowbridge & Bybee，1990） ..... 31 表 5 5E 學習環各階段的教學活動內容（引自游淑媚，1996） ........................... 33 表 6 5E 學習環各階段的教學活動內容（引自陳均依、張惠博，2007） ........... 33 表 7 線對稱動態幾何學習環境教學活動雙向細目表 ............................................ 37 表 8 活動（一）5E 學習環教學模式內容 .............................................................. 39 表 9 活動（二）5E 學習環教學模式內容 .............................................................. 42 表 10 活動（三）5E 學習環教學模式內容 ............................................................ 44 表 11 活動（四）5E 學習環教學模式內容 ............................................................ 47 表 12 活動（五）5E 學習環教學模式內容 ............................................................ 50 表 13 活動（六）5E 學習環教學模式內容 ............................................................ 51 表 14 活動（七）5E 學習環教學模式內容 ............................................................ 53 表 15 實驗一之實驗變項 .......................................................................................... 58 表 16 各層次題目舉例說明 ....................................................................................... 59 表 17 線對稱理解問卷雙向細目表 ........................................................................... 60 表 18 實驗一資料蒐集與處理時間流程表 .............................................................. 61 表 19 實驗一兩組學生在線對稱理解表現上的描述性統計結果 .......................... 63 表 20 實驗一兩組學生在認知負荷感受項目上的描述性統計結果 ...................... 65 表 21 實驗二之實驗變項 .......................................................................................... 67 表 22 各層次題目舉例說明 ....................................................................................... 68 表 23 線對稱理解問卷雙向細目表 ........................................................................... 69 表 24 實驗二資料蒐集與處理時間流程表 .............................................................. 70 表 25 實驗二兩組學生在線對稱理解表現上的描述性統計結果 .......................... 72 表 26 實驗二兩組學生在認知負荷感受項目上的描述性統計結果 ...................... 75 表 27 實驗三之實驗變項 .......................................................................................... 77 表 28 各層次題目舉例說明 ....................................................................................... 78 表 29 線對稱理解問卷雙向細目表 ........................................................................... 80 表 30 實驗三資料蒐集與處理時間流程表 .............................................................. 81 表 31 實驗三兩組學生在線對稱理解表現上的描述性統計結果.......................... 82 表 32 實驗三兩組學生在認知負荷感受項目上的描述性統計結果...................... 84 iii.

(6) 附. 圖. 目. 次. 圖 1 平移變換（translation transformation） ............................................................ 7 圖 2 旋轉變換（rotation transformation）................................................................. 8 圖 3 鏡射變換（reflection transformation） .............................................................. 8 圖 4 滑動鏡射變換（glide transformation） ............................................................. 8 圖 5 Duval 幾何解題之認知模型 .............................................................................. 25 圖 6 整體教材設計模式（左台益，2002）............................................................. 29 圖 7 圖 BSCS 5E 學習環教學模式（游淑媚，1996） ........................................... 31 圖 8 學習環境的設計關係圖（改自左台益，2002）............................................ 35 圖 9 活動（一）線對稱圖形的定義........................................................................ 39 圖 10 活動（二）線對稱圖形的幾何性質 1............................................................ 41 圖 11 活動（二）線對稱圖形的幾何性質 2 ............................................................ 41 圖 12 活動（三）對稱軸的中垂性質....................................................................... 44 圖 13 活動（四）尋找對稱軸與完成線對稱圖形 1................................................ 46 圖 14 活動（四）尋找對稱軸與完成線對稱圖形 2................................................ 46 圖 15 活動（四）尋找對稱軸與完成線對稱圖形 3................................................ 47 圖 16 活動（四）尋找對稱軸與完成線對稱圖形 4................................................ 47 圖 17 活動（五）箏形與菱形的對角線性質 1........................................................ 49 圖 18 活動（五）箏形與菱形的對角線性質 2........................................................ 49 圖 19 活動（六）等腰三角形的幾何性質 1............................................................ 51 圖 20 活動（六）等腰三角形的幾何性質 2............................................................ 51 圖 21 活動（七）線對稱圖形的性質應用 1............................................................ 53 圖 22 活動（七）線對稱圖形的性質應用 2............................................................ 53 圖 23 動態視覺化鏈結多重表徵的呈現.................................................................. 55 圖 24 學生操作與互動回饋 1.................................................................................... 56 圖 25 學生操作與互動回饋 2.................................................................................... 56 圖 26 實驗一之研究流程圖....................................................................................... 57 圖 27 實驗二之研究流程圖....................................................................................... 66 圖 28 實驗三之研究流程圖....................................................................................... 76. iv.

(7) 附. 錄. 目. 次. 附錄一、實驗前測線：對稱理解問卷……………………………………………….. 94 附錄二、線對稱探索活動學習單（一）…………………………………………… 101 附錄三、線對稱探索活動學習單（二）…………………………………………… 104 附錄四、實驗後測：線對稱理解問卷……………………………………………….. 106 附錄五、學習軟體感受問卷………………………………………………………….. 114. v.

(8) 第壹章第一節. 緒論. 研究背景與動幾. 從幾何本質看圖形全等，它是幾何變換（transformation）中保距變換所探討的基本幾何不變性質；兩全等圖形間存在一個保距變換，而任一保距變換均由鏡射變換合成，且至多是三個鏡射變換的合成（Libeskind，2008）。例如平移變換與旋轉變換皆可由兩次鏡射變換合成。而線對稱圖形即是圖形經過鏡射變換後所形成的圖像。因此，線對稱是高等數學幾何變換中的鏡射變換，也是最基本的幾何變換。在臺灣的幾何課程中，九年一貫數學領域能力指標（教育部，2008）中表示對稱性是幾何學習的核心概念。對稱性的觀察既直觀、有效率、又深具威力，各種對稱圖形永遠是幾何學習中的重要對象，而對稱性的深化更是日後幾何和其他數學領域、科學領域結合時的重要橋樑。九年一貫數學領域中，線對稱概念的能力發展指標為 S-3-03 能理解平面圖形的線對稱關係（國小五至六年級）與 S-4-08 能理解線對稱圖形的幾何性質，並應用於解題和推理（國中一至三年級）。國小階段的線對稱概念內容有知道線對稱定義並能夠分類線對稱圖形，知道對應點、對應邊相等（保距性質）、對應角相等（保角性質）、兩側圖形全等（保形性質）以及畫出線對稱圖形。而國中階段的線對稱概念內容為理解線對稱圖形的意義與線對稱性質，包含對應邊相等（保距性質）、對應角相等（保角性質）、兩側圖形全等（保形性質）以及對稱軸會垂質平分任意對稱點的連線段（對稱軸中垂性質），並能利用線對稱的概念與各種性質，理解其他平面圖形的幾何性質。線對稱在中學課程中看似簡單，但過往文獻研究指出國中學生在學習線對稱概念仍有困難。相關研究指出以下因素影響學生線對稱的解題，以及造成學習線對稱概念的學習困難：（1）對稱軸的傾斜程度：國中生線對稱概念的認知普遍存在對稱軸為垂直或水平的典範現象，而解題時多以典範例的概念心像而非採取概念定義處理問題（Küchemenn，1981；林福來，1987；左台益、陳天宏，2002；左台益、王惠中，2003）；（2）有無方格圖：是否有方格圖會影響學生完成線對稱圖形的作圖。在有方格圖的圖形中，由於方格能夠指引學生長度與角度，學生比較能正確完成線對稱圖形（Küchemenn，1981；林福來，1987）；（3）圖形物件結構的複雜度：當圖形物件愈複雜，學生愈難正確作答（林福來，1987）。 1.

(9) 研究者整理出這些困難主要可以分成兩種，第一種困難是非典範現象的動態視覺化，學習者在處理非典範現象時，心中難以呈現動態視覺的過程，例如在對稱軸傾斜時，以及當圖形物件較複雜時，學生難以在心智中對圖形進行動態對摺操弄的過程，導致較難辨識是否為線對稱圖形或是完成完整線對稱圖形；以及當圖形沒有方格圖時，學習者在心智中沒有方格圖引導距離與角度，因此難以在心智中對圖形進行動態對摺操弄。第二種為國中學習線對稱的困難是課程能力指標中所提及的，國中學生對於線對稱的學習要從幾何直覺經驗提升至幾何推理。國小學習幾何是以幾何直覺經驗為主，對於幾何圖形所擁有的性質，開始學習時並不明顯，或是必須依賴特定的圖形與操作的結果，例如國小學生是從操作性定義來學習線對稱概念。換言之，國小的幾何教學，是參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展階段，儘量讓學生發揮、拓展其幾何直覺，讓學生在操作中，認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢歸納簡單的性質與彼此之間的關係，為以後銜接國中幾何的教學，打下良好的基礎。而國中的幾何學習，開始以幾何直覺經驗為前導，使用主體或觀念的明確定義，探索幾何現象並加以推理驗證，例如國中學生不再只是操作性定義，而是開始探討線對稱幾何上的意義。由此可知，推理能力的培養正是國中數學教育的重點之一，要學生由直觀、歸納轉入幾何推理與證明。例如在線對稱單元中，國中學生要能透過摺疊或線對稱圖形的辨識，來掌握空間結構，並進一步推論空間結構的性質，像是將一等腰三角形對摺，再使用線對稱的性質，可以用來推論等腰三角形的性質。然而，從幾何直覺經驗到邏輯推理這段過程並非一件容易的事，很多學生在學習運用數學語言做邏輯推理時都會面臨困難。van Hiele 夫婦認為數學課程發展除了依據數學知識結構安排，也要能思考學生的認知發展，才會有較佳的學習效果。因此，他們認為許多學生學習幾何產生困難的主要原因是教學教材未能符合學生思維層次，當教材直接以高層次抽象形式以嚴密的邏輯語言陳述幾何概念時，尚未有高層次思維的學生難以建立此概念系統。 van Hiele 夫婦將幾何思考發展分成五個層次，學生在教師適當安排教學情境下，其幾何概念的建構，將循序經歷以下五個層次，層次一：視覺辨識（Visualization）、層次二：描述分析（Analysis）、層次三：非形式推理（Informal deduction）、層次四：形式演繹（Deduction）、層次五：嚴謹系統（Rigor）。而學生在幾何思維發展層次上的遷移主要是取決於學生從教學與學習上的吸收。現行九年一貫數學課程中的幾何教材設計也合乎 van Hiele 幾何思維發展層次理論 2.

(10) （莊月嬌、張英傑，2006）。換言之，國中階段學生的幾何思維已具備描述分析層次，準備透過教學活動前往非形式推理層次，甚至到形式演繹層次。因此，如何依據 van Hiele 幾何思維發展層次理論來設計國中階段線對稱教學活動是值得探討的議題。綜合上述，為了要幫助學生克服這些困難，並且提升學生對學習線對稱的理解，學習幾何推理，重點是要提供學生有關線對稱動態視覺化的經驗，以及依據 van Hiele 幾何思維發展層次理論來設計國中階段線對稱教學活動。而我們知道一般動態幾何軟體有這個功能去提供互動式動態視覺化。近年來，教育部積極推動國中小的資訊融入課程計畫，希望藉由電腦在操作、呈現的輔助來幫助學生的學習。而 NCTM（2000）之學校數學原則與標準（Principles and Standards for School Mathematics）中之科技準則中也強調：科技可以幫助學生學習數學，支持有效的數學教學，並且影響數學的教學內容。林保平（1996）認為動態幾何軟體具有一些功能與特質，能幫助學生進行幾何性質的獲得與推論。如在學習層面上，動態幾何軟體能呈現圖形動態視覺化的過程，展現幾何圖形的動態連續性。圖形的變動過程展現其系統關係與性質，讓學生從描述分析層次進入非形式推理層次。而教學層面上，教師可讓學生自行操作動態幾何軟體的圖形，但是操作過程中圖形仍保持結構，並結合動態互動、視覺化、情境化及數值化，與圖像和文字的多重表徵，讓學生能夠自行透過觀察、臆測、探索和檢驗等歸納方式來獲得與推論線對稱的幾何性質，無論是保形、保距、保角或對稱軸中垂性質，讓學生熟習非形式推理層次的概念。過往使用動態幾何軟體進行中學幾何教學的相關數學研究，普遍對於使用動態幾何軟體輔助教學保持正面態度，並表示動態幾何軟體對於學生學習上有助於提升學生的學習成效。在中學幾何課程中，教師使用動態幾何軟體進行教學，利用電腦的精確性、方便性及其軟體的特質來幫助學生學習，已漸漸形成一種趨勢。因此，我們可藉由引進數位科技教學模式來幫助學生。讓動態幾何學習環境提供學生藉助科技媒體工具做現象觀察、操作以發展數學概念與思維，使學生可以以幾何直覺經驗為前導，由直觀、歸納轉入幾何推理與證明。從一個層次到另一個層次的發展，van Hiele（1986）提出諮詢、導引、解說、探索與統整等五個關連的學習層面作為序列的教學活動設計，並認為依據此次序所設計的教學能促進學生在幾何思維層次上的發展。而 5E 學習環教學模式是以建構主義觀點為基礎所發展的教學模式（Bybee et al.，2006），其教學階段包括：參與（Engagement）、探索（Exploration）、解釋（Explanation）、精緻化（Elaboration） 3.

(11) 與評量（Evaluation），每階段有特定的功能，幫助教師連貫教學活動，同時也幫助學生探索與建構知識，此學習模式不但合乎 van Hiele 的五個學習層面，且步驟具體明確，也能藉由動態幾何軟體的功能與特質來呈現。但是在國內相關研究中，5E 學習環教學模式少用在數學教學上。綜合以上所述，如何結合 5E 學習環教學模式與動態幾何軟體的功能，形成線對稱的動態幾何學習環境，來幫助學生學習線對稱概念是重要的研究議題。值得注意的是，認知負荷理論主張學習者的工作記憶區有空間與時間的容量限制。因此，學生在數位學習環境中學習時，若環境設計不良，學生可能會花費認知資源在數位軟體的操弄或展示上，反而增加學習負擔。或是學生為發展有關線對稱動態視覺化的基模相對應付出的認知資源，因此測量學生在線對稱的動態幾何學習環境中的認知負荷為重要的研究議題。並且認知負荷理論也建議當學習者面對連續變動的動畫教材時，應該要讓學習者自行操弄動畫以適時處理認知資源避免過多負荷影響學習，也可達到學習者自行監控自己的操弄（後設認知）的經驗。故探討線對稱動態幾何學習中，學習過程有無讓學生自行操作軟體互動動態視覺化過程對學生學習的影響為重要的研究議題。除此之外，先前所提及過往文獻研究影響學生線對稱的解題，以及造成學習線對稱概念的學習困難中，有無方格圖是要素之一。方格圖是一個幫助學生容易辨識與操弄線對稱圖形結構的參照系統，當學生自行操弄有方格圖的圖形，其動態視覺化過程的經驗會幫助學生在心智中產生操弄的參照系統，達到學習成效。本研究因此想檢驗當沒有方格圖時，學生自行操弄無方格圖的圖形，其動態視覺化過程的經驗也能達到一樣的學習成效。研究者假設圖形有方格圖輔助時，因有參照系統引導圖形特性之間的關係，能夠幫助學生學習性質的觀察與推理。而圖形沒有方格圖輔助時，學生依舊能透過動態視覺化過程的經驗產生心智中的參照系統，去做圖形特性之間的推論，能夠幫助學生學習幾何推理。故本研究還想探討動態幾何學習環境下，圖形無方格圖對學生學習幾何推理之成效影響。. 4.

(12) 第二節. 研究目的與研究問題. 綜合以上所述，線對稱概念是中學幾何課程中的核心概念，但過往研究仍指出國中學生在學習線對稱仍有學習困難。van Hiele 幾何思維發展層次理論提出學生學習幾何產生困難的主要原因是教學教材未能符合學生思維層次。而動態幾何軟體提供學習者動態視覺化的經驗有助於學生學習幾何概念，因此研究者想根據線對稱的課程內容與 5E 學習環教學模式，設計線對稱概念的動態幾何學習活動，形成線對稱學習的動態幾何環境，來幫助學生學習。並且分析線對稱動態幾何學習對學生在學習成效上的影響，更進一步探討在動態幾何學習環境下，學生可以自行操作動態幾何軟體對於學生學習的成效影響，以及在動態幾何學習環境下，學習幾何推理時，無方格圖對於學生學習的成效影響。綜合上述，本研究有下列目的： 1. 設計線對稱學習的動態幾何環境，及其教學活動。此環境的目的是要提供學習者動態視覺化的經驗，幫助學生克服學習困難，並且提升學生對學習線對稱的理解，學習幾何推理。 2. 分析線對稱動態幾何學習環境對學生在學習成效上的影響。 3. 探討線對稱動態幾何學習環境下，學生可自行操作動態幾何軟體對學生在學習成效上的影響。 4. 探討線對稱動態幾何學習環境下，無方格圖的圖形對學生在學習成效上的影響。基於研究目的，分別衍伸下列研究問題： 1 如何設計線對稱動態幾何學習環境？ 2-1 比較在動態幾何學習環境與靜態媒體學習環境下，學生在 van Hiele 幾何思維發展層次上的影響為何？ 2-2 比較在動態幾何學習環境與靜態媒體學習環境下，學生在認知負荷感受上的影響為何？ 3-1 在線對稱動態幾何學習環境下，學生可自行操作軟體對學生在 van Hiele 幾何思維發展層次上的影響為何？ 3-2 在線對稱動態幾何學習環境下，學生可自行操作軟體對於學生在認知負荷感受上的影響為何？ 4-1 在線對稱動態幾何學習環境下，有無方格圖對學生在 van Hiele 幾何思 5.

(13) 維發展層次上的影響為何？ 4-2 在線對稱動態幾何學習環境下，有無方格圖對學生在認知負荷感受上的影響為何？. 6.

(14) 第貳章. 文獻探討與理論基礎. 依據研究目的，本章文獻探討分成二節：第一節為線對稱學習內容，第二節為動態幾何學習環境。本研究有主要三個理論基礎，為 van Hiele 幾何思維發展模式、 Duval 幾何認知歷程與 5E 學習環教學模式，其理論內容也在這兩節中。. 第一節一、. 線對稱學習內容. 線對稱的意義. 以下對於線對稱意義的說明及相關研究的探討將作為線對稱學習內容與分析、詮釋資料時的依據。（一）幾何變換（transformation）在說明「線對稱」的意義前，先就幾何中一個重要的概念「幾何變換」（transformation）作探討。Libeskind（2008）表示幾何變換（transformation）包含了空間中圖形與圖形之間的相對位置、全等及對稱關係，其中任兩全等圖形之間，必有以下四種幾何變換的關係之一： 1. 平移變換（translation transformation）：設 T 為平面上一變換，A、B 為平面上兩 ⃑⃑⃑⃑⃑ ，則稱T⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 為以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 為平移向 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑′ ＝AB 點。若對平面上任一點 P，P′ = T（P）滿足PP AB 量之平移變換。也就是在平面上進行某一向量的移動，使原圖形的位置產生位置變化，如圖 1。. 圖 1 平移變換（translation transformation）. 2. 旋轉變換（rotation transformation）：設R為平面上一變換，O 為平面上一點， θ 為有向角。若對平面上任一點P ≠ O，P′ = R（P）滿足 OP ′ = OP且有向角∠P ′ OP = θ；若P = O，滿足R（P） = O，則稱R o,θ 為以 O 為旋轉中心，θ為旋轉角度之旋轉變換。也就是在平面上透過旋轉，使原圖形的位置 7.

(15) 產生位置變化，如圖 2。. 圖 2 旋轉變換（rotation transformation）. 3. 鏡射變換（reflection transformation）：設M為平面上一變換，l為平面上一直線。若對平面上任一點P ∉ l，P′ = R（P）滿足直線 l 為線段PP ′ 之垂直平分線；若P ∈ l，滿足M（P） = P，則稱Ml 表示以l為鏡射軸之鏡射變換。就是在平面上將圖形作 180°的翻轉，也使原圖形的位置產生位置變化，如圖 3。. 圖 3 鏡射變換（reflection transformation）. 4. 滑動鏡射變換（glide transformation）：設 A、B 為直線l上的兩點，Ml 是以直線l為 ⃑⃑⃑⃑⃑ 鏡射軸的鏡射變換，TAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 表示以AB為平移向量的平移變換，此二變換的合成變換 T⃑⃑⃑⃑⃑⃑ AB 。Ml 稱為滑動鏡射變換。也就是在平面上將圖形翻轉180°後，再進行某一向量的平移，使原圖形的位置產生位置變化，如圖 4。. 圖 4 滑動鏡射變換（glide transformation） 8.

(16) 當圖形經過以上四種幾何變換，變換出的新圖形與原圖形的大小與形狀完全相同，因此又稱為保距變換。而任一保距變換均由鏡射變換合成，且至多是三個鏡射變換的合成。例如平移變換與旋轉變換皆可由兩次鏡射變換而成（Libeskind，2008）。圖形以及經過鏡射變換後的新圖形所形成的圖像，代表將圖像的一半沿著鏡射軸翻轉180°後，兩側圖形完全重合。換言之，將此圖像沿著一條直線對摺後，摺線兩側的圖形完全重合，這便是線對稱的意義。因此，線對稱圖形即是圖形經過鏡射變換後所形成的圖像。因此，線對稱是最基本的幾何變換。 NCTM（2000）建議在學齡前到十二年級應該讓學生有能力應用幾何變換，並且使用對稱去分析數學情境。而臺灣的課程綱要中，雖然幾何變換的概念安排在高中階段，但是線對稱這個最基本的幾何變換安排卻在國小階段，可見其重要性。（二）國民學校教師研習會（1995）國民學校教師研習會（1995）編訂的國民小學數學科實驗課程教師手冊第十一冊指出線對稱圖形的操作型定義、幾何上的意義與線對稱圖形的作圖策略，說明如下： 1. 操作型定義：此操作型定義為直觀的概念。若一圖形可沿著某一直線對摺，使直線兩側的部份完全重合，這種圖形線對稱圖形。 2. 幾何上的意義：一個圖形，若可以找到一條直線將其平分成兩半，在其中一半內的任何點，都可以在另一半內找到一個對應點，使得這兩個互相對稱的點所連成的直線段，恰好被平分此圖形的直線垂直平分，則此圖形為一線對稱圖形。 3. 線對稱圖形的作圖策略：（1）圖形的關鍵點例如一個多邊形，若確定其頂點位置，便可畫出此圖形的邊，確定其形狀和大小，像這樣的點，我們把它們稱為圖形的關鍵點。我們可利用圖形的關鍵點畫出各種直線段形成的對稱圖形。（2）作圖策略作出線對稱圖形的策略通常可以下列三種方法完成，舉例如下： a. 剪圖法：將一張紙對摺，在其適當位置剪一個圖形，再將紙打開，則得一個線對稱圖形。 9.

(17) b. 描繪法：利用複寫紙畫出現對稱圖形。 c. 利用對稱軸垂直平分對稱點連線段之特性。（三）對於完整的線對稱概念，Küchemenn（1981）提出應該包含下列概念： 1. 給予圖形與對稱軸，能夠畫出物件的對稱圖形。 2. 能判斷圖形是否存在對稱軸。 3. 能說明經原圖形與經過對稱後的圖形之間的關係與性質。 4. 能將圖形與對稱軸於腦中進行抽象的鏡射變換。 5. 具有逆變換的觀念。綜合上述，線對稱圖形可以使用幾何變換的定義：圖形經過鏡射變換後的結果，也可以操作型定義：作180°翻轉、對摺後兩側圖形重合或一圖形鏡射成象的現象來描述線對稱圖形，以及幾何上的意義：對稱軸垂直平分對稱點連線段來定義。無論使用哪種定義，線對稱圖形中對稱軸一側的圖形皆能在另一側找到對應圖形，因此有著以下性質：對應線段等長（保距性質）、對應角相等（保角性質）、對稱軸兩側圖形全等（保形性質）以及對稱軸垂直平分任意對稱點的連線段（對稱軸中垂性質）。. 二、. 線對稱的課程結構. 為了要了解學生的線對稱學習歷程以及設計線對稱的教學活動，研究者分析九年一貫課程綱要，其中數學學習領域將九年國民教育區分為四個階段：第一階段為國小一至二年級，第二階段為國小三至四年級，第三階段為國小五至六年級，第四階段為國中一至三年級。各階段線對稱相關能力指標如下表：表 1 九年一貫課程綱要各階段線對稱相關能力指標. 階段. 線對稱相關能力指標. 一（一、二年級） S-1-01 能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體二（三、四年級） S-2-04 能透過平面圖形的組成要素，認識基本平面圖形 S-2-05 能透過操作，認識簡單平面圖形的性質 S-2-06 能認識平面圖形全等的意義三（五、六年級） S-3-03 能理解平面圖形的線對稱關係四（國中一至三年. S-4-08 能理解線對稱圖形的幾何性質，並應用於解題和推理. 級）. S-4-12 能理解特殊三角形（如正三角形、等腰三角形、直角三角形）的幾何性質 S-4-13 能理解特殊四邊形（如正方形、矩形、平行四邊形、菱 10.

(18) 形、梯形）與正多邊形的幾何性質從表中可以發現階段一與階段二的學生的能力指標內容較強調由視覺辨識與操作實體物件來認識平面圖形的性狀與構成要素；階段三要利用之前所認識的性質和操作得到的結果來理解線對稱的關係；階段四開始用邏輯推理來理解幾何性質，並應用於解題和非形式化的推論。另一方面，研究者主要根據中小學的數學教材有關線對稱的相關內容作為參考，並以高中、大學高等幾何教材加以輔佐，整理出關於國小、國中線對稱單元的教材地位分析表（表 2）。表 2 國小、國中線對稱單元的教材地位分析表. 國小教材. 國中教材. 生活中的線對. 生活中的線對稱圖形. 稱圖形.  複習線對稱圖形的定義.  線對稱圖形定義.  複習線對稱圖形的構成要素及其性質.  認識對稱軸.  對稱軸中垂性質的非形式化推論.  認識對稱點、對稱邊和對稱角，並保距、保角、保形性質  在格子圖輔助下畫出對稱軸為鉛直的線對稱圖、剪紙的方式創造線對稱圖形. 未習教材. 尺規作圖：線段的中垂線幾何變換：鏡射變換. 畫出圖形的對稱軸在格子圖輔助下畫出對稱軸為鉛直及傾斜的線對稱圖形. 透過平面直角坐標系來理解圖形之線對稱的鏡射圖形. 特殊三角形的幾何性質特殊四邊形與正多邊形的幾何性質. 直線方程式：給點與直線方程式，求對稱點矩陣：線性變換中的鏡射變換. 由表可知在臺灣的數學課程中，國小階段與國中階段的數學課程中皆有線對稱單元，並且持續應用在高中與大學階段。知道線對稱定義並能夠分類線對稱圖形，知道對應點、對應邊相等（保距性質）、對應角相等（保角性質）、兩側圖形全等（保 11.

(19) 形性質），畫出線對稱圖形等均為國小階段的教學內容，可見國小學習幾何是以幾何直覺經驗為主，對於幾何圖形所擁有的性質，開始學習時並不明顯，或是必須依賴特定的圖形與操作的結果，例如從操作性定義來學習線對稱圖形。國中學生要理解線對稱圖形的意義與線對稱性質，像是對應邊相等（保距性質）、對應角相等（保角性質）、兩側圖形全等（保形性質），以及對稱軸中垂性質，並能利用線對稱的概念與各種性質，理解其他平面圖形的幾何性質。可以看出國中學生不再只是操作性定義，開始探討線對稱幾何上的意義。這也符合九年一貫課程綱要中建議國中的幾何學習，開始由直觀、歸納轉入幾何推理與證明。以幾何直覺經驗為前導，使用主體或觀念的明確定義，探索幾何現象並加以推理驗證，推理能力的培養正是國中數學教育的重點之一。幾何教學起初仍然以學生的幾何直覺經驗為前導，但開始強調幾何觀念的明確定義，及幾何相關量的計算，甚至代數演算，學生同時應開始學習閱讀幾何性質的嚴格推理，之後再學習自己動手寫出較短的證明。因此在國中時期，應讓學生充分認識並學習如何應用線對稱的想法於思考、解題與證明，而這對於日後數學邏輯推理能力及以抽象為主的高中數學學習皆很重要。然而，從幾何直覺經驗到邏輯推理這段過程並非易事。很多學生在學習運用數學語言做邏輯演繹時都會面臨困難。Maroiotti（2000）指出一開始進入中學的學生一般都有直覺幾何的背景，而當學生要進入演繹幾何的時候，先前學過的知識就必須要重新編碼，以某些直覺幾何中的性質做為定義或公設，再以此為基礎用邏輯推理的方式推論出演繹幾何中的其他性質。不過這段歷程是一連串的抽象語言的操弄，學生在不瞭解為何要將以學過的性質用這麼多文字或符號來「檢查」是否正確的情況之下，用不熟悉的抽象語言去進行推理，這對學生在運用邏輯推理時會造成困難。綜合上述，在設計國中線對稱教學活動時，開始由直觀、歸納轉入幾何推理與證明為一重要階段，而此階段必須以學習者為中心，注重學生關於線對稱概念的思維發展，包含學習者已有的思維以及教學者期望學習者建構的思維。. 三、. van Hiele 幾何思維發展模式. van Hiele 夫婦認為許多學生學習幾何產生困難的主要原因是教學教材未能符合學生思維層次。因此，van Hiele 幾何思維發展模式特別注重學生的思維發展歷程，而此模式已被廣泛的參考作為中小學幾何學習的理論基礎。（一） van Hiele 的五個幾何思維層次荷蘭數學教育家 Pierre Marie van Hiele 和 Dina van Hiele 夫婦，在 1957 年提出一 12.

(20) 套兒童的幾何思維發展架構（The van Hiele Model of the Development of Geometric Thought），以下稱此架構為 van Hiele 幾何思維發展模式。 van Hiele 夫婦提出幾何思維發展模式包含五個幾何思維的層次，層次一：視覺辨識（Visualization）、層次二：描述分析（Analysis）、層次三：非形式推理（Informal deduction）、層次四：形式演繹（Deduction）、層次五：嚴謹系統（Rigor），並各層次分別有其幾何學習的思維特徵。這個模式主張，學習者經由適當的教導及學習經驗能循序經歷這五個層次。 van Hiele 的五個幾何思維層次發展的特徵和性質，綜合 Burger 與 Shaughnessy （1986）和 Mason（1997）等人的文獻，將其概略特徵分述如下： 1. 層次一：視覺辨識（Visualization）此層次的學生以圖形的外表為發展幾何概念的基礎，學生透過視覺觀察實物，可依據實體的外觀輪廓來辨識形體和圖形（如：正方形、圓形）與其它的幾何構圖（如：線、角、方格）（Mason，1997）。學生能依據圖形整體外貌辨識、比較和分類幾何圖形。在此階段的學生可以學習幾何的字彙，對於給定的圖形也可以重新複製。學生也可以用口語來描述圖形。能辨認圖形的部份，但無法分析幾何圖形所組成元素或其中性質；無法使用相關的語詞將個別圖形的性質一般化。他們可以使用非標準的或標準的數學語言來描述圖形的形狀，但是卻無法理解這些數學語言的定義。 2. 層次二：描述分析（Analysis）此層次的學生能夠辨別圖形特徵。學生經由觀察與實驗（例如：摺疊、尺量，以方格圖觀察）來辨認圖形的特徵，並可以依據操作的經驗，將一些特徵歸納成某一類圖形的共同性質。可從完整圖形來辨認要素，亦可從部份辨認整體，並能進一步利用圖形的性質去解決幾何問題。但 Battista（1994）提出對於這一層次的學生，特性與特性之間的關係不是容易能了解的，圖形與圖形間的內在關係也不易被看到，定義也不是容易能了解的。不能解釋性質間的關係，如知道菱形是四邊相等，對角線互相垂直平分的四邊形，但卻不能理解兩者的推理過程。能描述圖形的定義，但不易精簡描述的過程。 3. 層次三：非形式推理（Informal deduction）此層次的學生可經由非形式的論證方式來分類圖形結構，學生已經能夠了解建構各種圖形的內在要素，並且能夠進一步探求各種幾何圖形的內在屬性以及各個圖 13.

(21) 形之間的包含關係。他們能夠歸納出圖形的屬性，也能辨認圖的分類，所以族群的分類也能夠了解，接受定義的等價形式（Mason，1997），非形式的演繹才能被了解。學生能依據圖形的性質進行非形式的推理，獲得的結論往往是經由技巧的猜測而來，再經由教學者形式的證明來驗證，學生還不能進行有系統的證明，學生較看不到邏輯次序可被改變，也不能了解如何從一個不同或不熟悉的情境中去建構或證明。 4. 層次四：形式演繹（Deduction）此層次的學生能在一個公設系統下經由抽象推理、邏輯的詮釋，證明各種幾何性質和定理，並去建立定理以及定理之間的相互關係。學生可以完成證明，了解公理、公設及定義的角色，確信幾何定理或是結論需要經由正式的邏輯推演而建立，並且能夠證明與理解一個定理可以有很多不同證明的方法。此層次的學生能作猜測並試著用演繹方式來證實猜測，並能理解充分必要條件的意義。 5. 層次五：嚴謹系統（Rigor）此層次的學生對數學系統的形式推理相當熟練，能夠瞭解公理化系統，可以在不同的公設系統中建立定理，並分析比較這些定理的特性。也能比較分析不同的公設體系，甚至可以自創一套幾何公設系統。（二） van Hiele 幾何思維發展模式的特性 van Hiele 於 1986 年指出幾何認知層次具有一些固定的特性，國內外學者對 van Hiele 幾何認知層次的特性有不同的描述，根據 Crowley（1987）的描述，這些特性對教育工作者而言特別有意義，因為他們對教學模式的決定提供一些引導的方向（譚寧君，1993）。研究者綜合學者們的說法將 van Hiele 幾何認知層次的特性分述如下（Usiskin，1982；Crowley，1987；譚寧君，1993；劉芸曼，2003）: 1. 次序性（Sequential）對於大多數的數學發展理論，每個人的層次均是循序漸進地發展，在任一特定層若要成功的發展，則必需擁有前一層次的各項概念與策略。因此，學生在幾何思維層次的發展也有其順序性，要在某個特定層次成功地發展，必須要掌握先前層次的概念和思維策略，循序漸進地發展。（Crowley，1987）。因此本研究設計的線對稱動態幾何環境中，每個教學活動內容都秉持這個特性。清楚知道這個教學活動進行時，學生已經掌握線對稱概念的哪一層次，並且設定教學目標往下個層次邁進。而我們知道國中學生，線對稱的概念是要從層次二：描述進階至層次三：非形式推理，並準備往層次四：形式演繹邁進。 14.

(22) 2. 進展性（Advancement）學生的思維從一層次進階到另一層次是經由教導，而非因其年齡的成長或個體成熟度而發展，也沒有一種教學方法能讓學生跳過某一層次而進入下一層次（Crowley，1990）。某些方法或許能增強過程發展，然而有些也會阻礙各層次間的轉換。從某一層次進階到下一層次的過程中，教學活動扮演一個重要的角色，而且正確的教學活動可以使進階更為容易。因此在提升幾何思維層次之間的教學活動，本研究結合 5E 學習環教學模式，以確保層次之間有正確完整的教學活動，使學生的層次能夠更順利進階到下一層次。當教學者發現學習者無法適應某一層次的學習時，就必須退回到上一階段，檢視學習者是否尚未完全具備前一層次的知識與技能。當已退回到較低層次但仍無法理解時，學習將無法發生，亦不宜強行灌輸。因此，本研究仍有設計習層次一：視覺辨識與層次二：描述分析的教學活動。 3. 內在與外在（Intrinsic and Extrinsic）在某一個層次的應有目標變成為下一層次研究的目標，也就是說，在前一層次是內含的事實，到了下一階段以一種外顯的方式出現。例如，在層次一的學生是以圖形的性質來判斷圖形和分類圖形，當然這個圖形也包含了圖形構成的要素，但是在層次一作思維的學生並不覺察到這些性質，直到層次二時，這些判斷圖形的要素和性質才會開始被分析研究。因此本研究設計的線對稱動態幾何環境中，研究者將在下一段落清楚整理出線對稱概念的 van Hiele 幾何思維層次，並使教學活動內容依據線對稱概念的 van Hiele 幾何思維層次來秉持內在與外在性。 4. 語言性（Linguistics）每一層次均有其自己獨特的語言符號，以及連結這些符號的關係系統，例如性質和特性是分析層次的字彙，定義是非形式演繹層次的字彙，公理是到達形式演繹層次才使用的字彙（劉芸曼，2003）。因此，在一層次中的正確語言、符號，可能到了另外一個層次就必須修正（Crowley，1987；Clement & Battista，1992）。因此本研究設計的線對稱動態幾何環境中，每個教學活動內容都要注意其層次自己獨特的語言符號，甚至在下一層次修正過的語言符號，仍要提示其在原本層次的意義。 5. 不協調性（Mismatch）如果學生是屬於某個層次，然而教學的設計卻在另外一個層次，那麼教學者期望的學習歷程或教學效果就不會發生。尤其是教學者的教學內容、教具的選擇與符 15.

(23) 號的使用都比學生高一個層次時，此時學生完全無法跟隨教學時所使用的思維過程，因此無法進行學習。因此本研究設計的線對稱動態幾何環境中，每個教學活動內容會注意學生所在的層次與教學內容的層次要一致。在國小階段線對稱概念內容，學生應該熟習層次一：視覺辨識並進階至層次二：描述分析，為了避免學生遺忘以及為了確保學生能夠到達層次二：描述分析，本研究仍有設計習層次一：視覺辨識與層次二：描述分析的教學活動，來避免不協調性的形況發生。 6. 不連續性（discontinuity） van Hiele 形容學童的學習過程由一個層次提升到較高層次，是個思考危機，若學童能克服思考危機，就能建立一個屬於較高層次關係的新網絡（劉芸曼，2003）。而學習是一種不連續的過程，在這個過程中學童可能會產生層次的跳躍現象，即學童對某部分的概念不能達到分析層次，卻能達到非形式演繹層次，但這情形並不常出現（Clements & Battista，1992）。由於這情形並不常出現，並且難以掌握學生能夠克服哪些思考危機，本研究不考慮這種層次的跳躍現象。因此，學生若在教學實驗前後均無法熟習層次一：視覺辨識與層次二：描述分析的線對稱概念，其難以對層次三：非形式推理的概念產生學習效果，故本研究將視其為無效樣本。（三）線對稱概念的 van Hiele 幾何思維層次 Soon（1989）整理出學習線性變換的類 van Hiele 幾何思維層次（van Hiele-like levels）： 1.層次一：視覺辨識（Visualization）（1）在簡單的圖像中及在日常生活的照片中，辨識圖形的幾何變換。（2）經由展示變換的變動過程來辨識變換，並能命名或區分不同的變換。（3）適當地使用標準或非正式的名稱來命名變換。（4）使用數值或位置的變化來解決問題，而不是使用變換的屬性。 2.層次二：描述分析（Analysis）（1）給定一變換，利用改變的特性去繪出變換前的圖像或變換後的圖像。（2）發現特定的變換會對於圖形有某些改變的性質。（3）使用適當的詞彙去說明性質和變換。（4）能夠找到鏡射軸、旋轉中心、平移向量和中心。（5）能使用坐標表示變換的結果。（6）使用已知變換的屬性來解決問題。 16.

(24) 3.層次三：非形式推理（Informal deduction）（1）進行簡單的變換組合。（2）描述變換組合後的狀態，包含變換前的圖像、變換後的圖像。（3）使用坐標和矩陣表示變換。（4）將經由變換導致的性質與改變做連結。（5）給定的初始和最終狀態，可以命名一個單一的轉型。（6）給定的初始和最終狀態，可以分解或重組變換去組成單一的變換。 4.層次四：形式演繹（Deduction）（1）使用變換的方法去做幾何證明。（2）使用坐標和矩陣去做證明。（3）思考多步驟的問題，並給出了問題的原因。 5.層次五：嚴謹系統（Rigor）（1）理解線性變換合成運算的結合率、交換率、逆變換運算、自變換運算。定義變換群。（2）定義變換群。（3）證明或反正群結構下變換的子集。 Soon（1989）指出這樣的層次具有分級結構，其中小學階段並不期待學生會有層次四：形式演繹（Deduction）與層次五：嚴謹系統（Rigor）的表現。 Teppo（1991）也有整理出學習線對稱概念的 van Hiele 幾何思維層次，並且配合教學活動，以下整理其層次內容： 1. 視覺辨識層次（Visual level）（1）學生用整體圖形辨認對稱物件。（2）學生可創造有對稱軸的圖形：經由對摺與剪紙作出圖形或雪花圖案、給與對稱軸使用鏡子去複製鏡子另一端的圖形。（3）學生定義對稱物件：收集對稱物件的圖形、根據圖形是否有對稱軸來分類圖形。 2. 描述分析層次（Descriptive level）（中學）（1）學生使用對稱軸的性質去定義圖形的性質。（2）學生使用對稱軸的性質來建構圖形。 3.理論層次（Theoretical level）（9～12 年級） 17.

(25) （1）學生有能力使用現對稱與鏡射的概念當作幾何證明的形式論述的一部分。（2）學生定義已知條件，和提供的資訊。（3）學生解釋現對稱的概念可以如何使用來證明一些狀況或是說明其他的證明。其中，配合視覺辨識層次（Visual level）的教學活動是設計在小學階段進行教學，描述分析層次（Descriptive level）的教學活動試設計在中學階段進行教學，理論層次（Theoretical level）的教學活動試設計在九到十二年級進行教學。關於臺灣國中小學生在 van Hiele 幾何思維層次的分布，劉湘川與劉好（1992， 1993）研究發現學童的對稱概念發展方面，愈高年級發展的愈完整，在小學中年級之幾何概念發展層次，多數已達到 van Hiele 層次一（視覺識別），有一些達到層次二（描述分析），接近第層次三者（非形式演繹）僅為少數。王世鑫（2007）指出國小五年級學生在線對稱圖形的作圖中，46.9％學生在幾何思考模式屬於視覺層次，而 53.1％學生在幾何思考模式屬於分析層次。綜合九年一貫課程綱將學習過程分成四階段的特性，可知國小低年級屬於視覺辨識層次，國小中年級屬於描述分析層次，國小高年級屬於描述分析層次到非形式推理層次的過渡期，國中屬於非形式推理層次及形式演繹層次，高中屬於形式演繹的層次及嚴謹系統的層次，大學屬於嚴謹系統的層次。本研究的研究對象為九年一貫課程中，國民中學八年級學生，依據教育部訂定的九年一貫課程綱要，八年級學生的幾何知識學習階段恰好介於 van Hiele 幾何思維發展模式中的層次二：描述分析和層次三：非形式推理之間。綜合前面 van Hiele 幾何思維發展模式理論的架構內涵與線對稱相關研究，研究者結合線對稱的意義與九年一貫課程綱要能力指標，整理出臺灣線對稱課程結構的 van Hiele 幾何思維層次，並且當做線對稱動態幾何環境設計時的教學內容依據與教學成效評量依據： 1.層次一：視覺辨識（Visualization）（1）學生能依據圖形整體外貌，比較和分類，判斷圖形是否為線對稱圖形。（2）學生知道常見的線對稱圖形。（3）學生未能指認一點之對稱點，不知道線對稱圖形的對應邊相等、對應角相等，未能考慮這些性質當成是這類圖形之特徵。 2.層次二：描述分析（Analysis） 18.

(26) （1）學生可找出對稱軸圖形的對稱軸、對稱點、對應邊、對應角。（2）學生知道線對稱圖形的對應邊相等（保距性質）、對應角相等（保角性質）、對稱軸兩側圖形全等（保形性質）、對稱軸兩側圖形全等（中垂性質）。（3）學生知道線對稱圖形中，兩個對稱點之連線段會被對稱軸垂直平分（對稱軸中垂性質）。（4）學生依據組成元素之間的關係，判斷圖形是否為線對稱圖形。（5）學生利用圖形的已知性質，解決幾何問題時： a.利用線對稱圖形的性質來描繪一平面圖形對一對稱軸的線對稱圖形。 b.利用線對稱圖形的性質，能找到位在平面直角坐標系的線對稱圖形之對稱軸、對稱點、對應邊、對應角。 3.層次三：非形式推理（Informal deduction）（1）學生透過邏輯推理來理解對線對稱圖形的對應邊相等（保距性質）、對應角相等（保角性質）、對稱軸兩側圖形全等（保形性質）、對稱軸兩側圖形全等（中垂性質）。（2）學生透過邏輯推理來理解線對稱的定義：操作型定義與幾何上的意義理解，並可以此透過邏輯推理來判斷是否為線對稱圖形。（3）學生能利用線對稱的概念，透過邏輯推理來理解平面圖形的幾何性質： a.特殊三角形的幾何性質，如等腰三角形的對稱軸是其底邊的高，由此得到等腰三角形的兩底角相等，而高也是其頂角的分角線，也是底邊的中垂線。 b.特殊四邊形的幾何性質，例如：箏形、菱形等，如箏形的對稱軸是某一對角線，因此箏形有一對角線垂直平分另一對角線。（4）學生能利用幾何性質，透過邏輯推理來解決幾何問題，並能寫出非形式的推理或進行非形式的說明。 4.層次四：形式演繹（Deduction）學生利用已知的幾何性質證明各種幾何性質，例如：因為等腰三角形的頂角平分線是圖形的對稱軸，所以頂角平分線會垂直平分底邊，且兩底角會相等；因為菱形的對角線是圖形的對稱軸，所以菱形的兩條對角線互相垂直平分；因為箏形有一條對角線是圖形的對稱軸，所以箏形有一對角線為另一 19.

(27) 對角線之垂直平分線，並能利用三角形全等性質說明這些線對稱的特性。. 四、線對稱相關研究研究者將線對稱相關研究整理，如表 3。表 3 線對稱相關研究整理. 研究者. 研究主題. 研究結果. 劉湘川、劉好. 我國國小學童對稱. 學生操作以左右、上下對稱教習慣，對稱. （1992，1993）概念的發展研究. 軸傾斜時則較不熟悉。中年級學生大都仍停留於識別層次，少部分能利用對稱的特性操弄圖形，達到分析層次。. 王世鑫（2007）線對稱能力結構分. （一）線對稱圖形的作圖中，46.9％學生. 析研究－以國小五. 在幾何思考模式屬於視覺層次，而 53.1％. 年級學童為例. 學生在幾何思考模式屬於分析層次。（二）對於國小六年級學童的線對稱概念，分析層次學童的線對稱概念明顯比視覺層次學童的線對稱概念表現良好。（三）學生對線對稱概念發展的順序為：先具備「判別幾何圖形之全等」及「找出線對稱圖形對稱軸」、「找出線對稱圖形對稱邊或對稱角」、「對稱邊一樣長」、「能畫出線對稱圖形」。（四）「對稱軸傾斜程度」對於學童在完成線對稱圖形時有影響，對於學童的難易影響程度之順序如下：「對稱軸為垂直」、「對稱軸為水平」、「對稱軸傾斜」。（五）是否有格子點會影響學童在完成線對稱圖形的作圖，學童在有格子點的圖形中，比較能正確完成線對稱圖形；在沒有格子點的圖形中，視覺層次的學童比較不容易正確完成線對稱圖形。（六）「圖形複雜程度」或格子點的多寡 20.

(28) 也會影響學童在完成線對稱圖形時的正確率。吳思圻（2010）國小五年級學童線. （一）視覺認知方面：學童在視覺判斷線. 對稱之起始概念研. 對稱圖形時，會受到對稱軸傾斜角度的影. 究. 響。了解全等概念有助於學童判斷線對稱圖形，但學童也容易誤解為全等圖形就是線對稱圖形，因此，平行四邊形容易被誤認為線對稱圖形。（二）構圖認知方面：學童在畫線對稱圖形時，會以直尺作為協助化邊線的工具，但角度部分通常只以視覺來判斷。容易直接延長線段穿越對稱軸，而沒有考慮到角度。無法有效利用格子點背景，也不知如何利用鏡子作為輔助畫圖的工具。（三）推理認知方面：高分組的學童可以從題目給的線索進行推論；低分組的學童會透過視覺觀察及工具輔助，來解釋線對稱圖形的特性。. 黃守怡（2010）台北縣國小學童空. 學童在水平對稱軸與垂直對稱軸的答對. 間對稱能力調查之. 率皆高於斜向對稱軸，且不論男、女學童. 研究. 皆在斜向對稱軸的表現都是最差。學童先有解決「垂直對稱軸」的能力，接著發展「水平對稱軸」的能力，最後才有處理「斜向對稱軸」的能力。. 林福來（1987）國中生反射、旋. 對稱軸的傾斜度、物件與對稱軸的相對位. 轉、平移概念發展研置、方格紙與白紙（題目印在方格紙和白究. 紙上最大的影響是學生的解題策略）、物件的結構（物件結構的複雜性，從點、線段、折線到三角形，需掌握的關鍵元素依次增加，故試題的難度亦逐漸增加）等四點為 21.

(29) 影響學生處理鏡射的因素。左台益、陳天. 國中生線對稱能力. （一）大部分學生能掌握兩對稱圖形的形. 宏（2002）. 心像之研究. 狀相同，對於長度或距離相同的認知，多已具備，惟「保角」概念及「中垂線」概念，對學生算是一道障礙。（二）國中生對於線對稱圖形，無論是高、中、低三個層次學生，都有「鉛垂對稱軸」之典範現象。（三）解題時多以典範例的概念心像而非採取概念定義處理問題。. 左台益、王惠. 青少年的對稱概念. （一）國中生線對稱概念的認知普遍存在. 中（2003）. 發展研究. 對稱軸為垂直或水平的典範現象。（二）解題主要是以典範例的概念心像處理而非概念定義。（三）高、中、低三層次學生想到線對稱時，心中浮現的圖像相當類似，而低層次學生則以直接繪圖方式表達線對稱意義。中層次則以不完整概念性質配合圖形說明線對稱的意義。高層次學生能提及相關性質，以概念性描述概念。. 陳天宏（2003）國中生線對稱概念學習研究. （一）線對稱概念與點對稱概念類似，學童容易誤以為兩種圖形是相同的，概念的相似形容易造成混淆。（二）學童常容易把線對稱概念與平行性質連結在一起而造成迷思。（三）學童常在判斷線對稱圖形時，只考慮了部分屬性，而因忽略其他屬性而造成迷思。（四）國中生之線對稱概念大多在第一、二思維層次上，有中等程度的獲得，而二、 22.

(30) 三年級的思維層次沒有太大的差異。 Küchemenn. Reflections and. 提出四點影響學生線對稱作答因素：對稱. （1981）. Rotations. 軸的傾斜程度（鉛垂或水平方向較為容易，傾斜則較不容易）、格子出現與否（格子能指引距離與方向）、物件之複雜度（單獨點的對稱較為容易，當物件愈複雜，孩子愈難正確作答）、物件之傾斜度。. 綜合上表，我們可以知道目前學生學習線對稱的現況：小學階段的學生在多數已達到 van Hiele 幾何思維發展模式中的視覺辨識層次與描述分析層次，這也符和九年一貫課程能力指標。而根據九年一貫課程能力指標，國中階段的學生應屬於非形式推理層次及形式演繹層次，但從研究結果來看似乎國中階段的學生難以到達非形式推論層次，並且無論是哪一階段皆有一些共同的學習困難與迷思，以下整理成三類學習困難與迷思，分別為對稱軸傾斜程度、有無方格圖與圖形物件結構的複雜度。（一）對稱軸傾斜程度：對稱軸傾斜程度會影響學生線對稱的作答，學生在水平對稱軸與垂直對稱軸的答對率皆高於斜向對稱軸，國中階段的學生對於線對稱圖形也都有「鉛垂對稱軸」之典範現象。（二）有無方格圖：圖形出現在空白紙上或出現在方格圖上影響學生的作答，方格圖能指引距離、方向與角度，學童在有格子點的圖形中，比較能正確完成線對稱圖形；在沒有格子點的圖形中，視覺層次的學童比較不容易正確完成線對稱圖形。（三）圖形物件結構的複雜度：當圖形愈複雜，學生愈難正確作答，從點、線段、折線到三角形，需掌握的關鍵元素依次增加，故難度亦逐漸增加。研究者整理出造成這些困難主要原因可以分成兩種，第一種是學生缺乏非典範現象的動態視覺化經驗，導致學習者在處理非典範現象時，心中難以呈現動態視覺的過程，例如：在對稱軸傾斜時，以及當圖形物件較複雜時，學生難以在心智中對圖形進行動態對摺操弄的過程，導致較難辨識線對稱或完成完整線對稱圖形；以及當圖形沒有方格圖時，學習者在心智中沒有方格圖這樣引導距離與角度的參照系統，因此難以在心智中對圖形進行動態對摺操弄。第二種則是在九年一貫課程能力指標中所提及的線對稱的學習要從幾何直覺經驗提升至幾何推理。國小學習幾何是以幾何直覺經驗為主，國中學生不再只是操作性定義，而是開始探討線對稱幾何上的意義，並開始學習進行幾何推理。然而，從 23.

(31) 幾何直覺經驗到邏輯推理這段過程並非易事。很多學生在學習運用數學語言做邏輯演繹時都會面臨困難。van Hiele 夫婦認為許多學生學習幾何產生困難的主要原因是教學教材未能符合學生思維層次，當教材直接以高層次抽象形式以嚴密的邏輯語言陳述幾何概念時，尚未有高層次思維的學生難以建立此概念系統。也因著這樣的困難，到達描述分析層次的國中學生可經由觀察與操作來辨認線對稱圖形的性質，即可從整體圖形來辨認要素，亦可從部份要素辨認整體圖形，並能進一步利用圖形的性質去解決幾何問題。但 Battista（1994）提出對於這一層次的學生，特性與特性之間的關係不是容易能了解的，圖形與圖形之間的內在關係也不易被看到。換言之，雖然學生知道線對稱圖形的性質（保距、保形、保角與對稱軸中垂性質），也能夠從完整的線對稱圖形去辨認性質，也能夠從部份要素辨認整體圖形，並能進一步去解決幾何問題，但是線對稱圖形的性質之間的關係不容易被了解，也難以作性質或圖形要素之間的推論。因此當發生當學生需要對情況進行難以處理的性質與性質之間的推論，而學生卻未能到達非形式推理層次，此時便出現了困難。例如當對稱軸傾斜、無方格圖或物件結構較複雜時，學生需要在許多特形之間做幾何推理與推導，但由於學生的思維尚未進階到非形式推理層次，因此無法正確做一些幾何推理。綜合上述，我們可以知道要克服學生學習線對稱的困難，我們需要給予學生動態視覺化的經驗，以及使學生學習幾何從直覺經驗到邏輯推理，從視覺層次與描述分析層次到非形式推理層次。除此之外，方格圖是一個幫助學生容易辨識與操弄線對稱圖形結構的參照系統，當學生自行操弄有方格圖的圖形，其動態視覺化過程的經驗會幫助學生在心智中產生操弄的參照系統，達到學習成效。本研究因此想檢驗當沒有方格圖時，學生自行操弄無方格圖的圖形，其動態視覺化過程的經驗也能達到一樣的學習成效。研究者假設圖形有方格圖輔助時，因有參照系統引導圖形特性之間的關係，能夠幫助學生學習性質的觀察與推理。而圖形沒有方格圖輔助時，學生依舊能透過動態視覺化過程的經驗產生心智中的參照系統，去做圖形特性之間的推論，能夠幫助學生學習幾何推理。. 24.

(32) 第二節. 動態幾何學習環境要素. 從上一節我們可以知道要克服學生學習線對稱的困難，我們需要給予學生動態視覺化的經驗，以及使學生學習幾何從直覺經驗到邏輯推理，從視覺層次與描述分析層次進階到非形式推理層次。這一節我們將從 Duval 幾何認知歷程與動態幾何學習環境的特性來探討動態幾何學習環境如何給予學生動態視覺化的經驗，以及如何使學生學習幾何從直覺經驗到邏輯推理，從視覺層次與描述分析層次進階到非形式推理層次，來幫助學生克服上述困難。. 一、. Duval 幾何認知歷程. Duval（1998）認為個體在進行幾何解題活動時，要引入的認知歷程有三種，其類型與說明如下： 1. 視覺化（visualization）：著重於以空間圖形表徵之型態與結構來陳述說明的歷程，在嘗試探索一個複雜的情況時，以大略的視察方式或是主觀的確認。 2. 構圖（construction）：利用工具的歷程，建構或修正，就像是做一個模型，藉由操作的呈現和觀察結果去關聯到數學物件的表徵。 3. 推理（reasoning）：從證明或解釋的推理歷程中，去關聯到延伸的數學知識。在幾何認知的過程中，這三個歷程可以分開來執行，也有可能是兩個或全部的歷程結合起來，成為認知的歷程；其中視覺化代表觀察的歷程，推理則是演繹證明的歷程，至於構圖則是利用工具去幫忙建構知識。. 圖 5 Duval 幾何解題之認知模型. 這三種歷程的交互作用如圖 5，圖中的箭頭是代表某個歷程可以輔助另外一個歷程的運作，2 號虛線箭頭代表視覺化雖然可以輔助推理歷程的產生或運作，但是確不總是有效，甚至反而會造成誤導。5（A）和 5（B）代表推理形式有兩種，5（A） 25.

(33) 代表個體用自然的語言來進行命名及討論；5（B）代表以定義與定理來進行論述的演繹及組織，這兩種形式可獨立運作。根據上圖可知，構圖和推理皆可幫助視覺化歷程的產生和運作，推理也可以幫助構圖，但是圖形的構造無法輔助推理歷程。許舜淵與胡政德（2014）認為根據 Duval 的幾何認知模型，在動態幾何環境下，動態表徵如同視覺化歷程，個體的拖曳行動讓圖形產生了變化，拖曳行動有如構圖歷程。當個體在動態幾何環境下操作幾何物件時，觀察拖曳所產生的圖形變化，即產生了動態表徵，學生可以透過觀察動態表徵，引發個體去思考以輔助推理。而一些幾何性質結構需要經由視覺化的變動過程展現其系統關係，稱為動態視覺化。例如當學生學習線對稱的對稱軸中垂性質時，學生可以透過線對稱圖形的對摺過程中，觀察到對稱線段等長，以及相關的對稱角相等，進而幫助學生推理出對稱點線段被中垂線垂直平分的性質。因此本研究設計線對稱概念的動態視覺化環境，幫助學生學習幾何推理。. 二、. 動態幾何學習環境. （一）動態幾何軟體（Dynamic geometry software）近年來，電腦技術已經成為促進數學課程發展的一個重要的工具。動態幾何軟體 DGS 作為一種要求在教學現場中實現的工具，表明了它的有效性（Sinclair, Renshaw & Taylor，2004；NCTM，2000）。使用 DGS 進行教學或學習已經是作為教學環境必要的一部分，而不是一個獨立的資源。一直以來，電腦技術對於幾何的教學和學習貢獻主要表現在動態、可操作、互動產生而強烈的連結，但 DGS 的「拖曳」功能，使得它與其它幾何軟體有了區分（Botana & Valcarce，2003）。「拖曳」功能使得使用者可以拖動某些元件，並在限制條件下，去自由體驗和探索，並在這個過程中尋找規律或檢驗圖形的不變性，以檢驗他們的直覺和猜測（Marrades & Gutierrez， 2000）。協助從特殊情況過渡到到一般情況，這種歸納性質的軟體，提供學生一個通過探索促進推理的過程學習幾何的機會（Stols & Kriek，2011）。動態幾何軟體 DGS 被用來使用在幾何上的教學已經有很長一段時間，其中學習幾何變換領域更是有效。DGS 可以對某圖形或物件進行幾何變換，NCTM 提及動態幾何軟體可以讓學生通過操作一個圖形和觀察其圖形幾何變換的視覺化過程。透過注意變換前與變換後的點、線段長度、角度，學生可以得到相同的概念。並且可以給予學生反思的回饋，教師可以要求學生想像和描述鏡射變換或旋轉變換的圖形和原圖形之間位置或線段長的關係。使用這種互動的形式，學生可以檢驗自己反思的 26.