第貳章 文獻探討與理論基礎
依據研究目的，本章文獻探討分成二節：第一節為線對稱學習內容，第二節為 動態幾何學習環境。本研究有主要三個理論基礎，為 van Hiele 幾何思維發展模式、
Duval 幾何認知歷程與 5E 學習環教學模式，其理論內容也在這兩節中。
第一節 線對稱學習內容 一、 線對稱的意義
以下對於線對稱意義的說明及相關研究的探討將作為線對稱學習內容與分析、
詮釋資料時的依據。
（一） 幾何變換（transformation）
在說明「線對稱」的意義前，先就幾何中一個重要的概念「幾何變換」
（transformation）作探討。Libeskind（2008）表示幾何變換（transformation）包含 了空間中圖形與圖形之間的相對位置、全等及對稱關係，其中任兩全等圖形之間，
必有以下四種幾何變換的關係之一：
1. 平移變換（translation transformation）：設 T 為平面上一變換，A、B 為平面上兩 點。若對平面上任一點 P，P′ = T（P）滿足PP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝AB′ ⃑⃑⃑⃑⃑ ，則稱TAB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 為以AB⃑⃑⃑⃑⃑ 為平移向 量之平移變換。也就是在平面上進行某一向量的移動，使原圖形的位置產生位置 變化，如圖 1。
圖 1 平移變換（translation transformation）
2. 旋轉變換（rotation transformation）：設R為平面上一變換，O 為平面上一點，
θ 為有向角。若對平面上任一點P ≠ O，P′ = R（P）滿足
OP′= OP且有向角∠P′OP = θ；若P = O，滿足R（P） = O，則稱Ro,θ為以 O 為旋 轉中心，θ為旋轉角度之旋轉變換。也就是在平面上透過旋轉，使原圖形的位置
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產生位置變化，如圖 2。
圖 2 旋轉變換（rotation transformation）
3. 鏡射變換（reflection transformation）：設M為平面上一變換，l為平面上一直線。
若對平面上任一點P ∉ l，P′ = R（P）滿足直線 l 為線段PP′之垂直平分線；若P ∈ l，
滿足M（P） = P，則稱Ml表示以l為鏡射軸之鏡射變換。就是在平面上將圖形作 180°的翻轉，也使原圖形的位置產生位置變化，如圖 3。
圖 3 鏡射變換（reflection transformation）
4. 滑動鏡射變換（glide transformation）：設 A、B 為直線l上的兩點，Ml是以直線l為 鏡射軸的鏡射變換，TAB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 表示以AB⃑⃑⃑⃑⃑ 為平移向量的平移變換，此二變換的合成變換
TAB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 。Ml稱為滑動鏡射變換。也就是在平面上將圖形翻轉180°後，再進行某一向
量的平移，使原圖形的位置產生位置變化，如圖 4。
圖 4 滑動鏡射變換（glide transformation）
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當圖形經過以上四種幾何變換，變換出的新圖形與原圖形的大小與形狀完全相 同，因此又稱為保距變換。而任一保距變換均由鏡射變換合成，且至多是三個鏡射 變換的合成。例如平移變換與旋轉變換皆可由兩次鏡射變換而成（Libeskind，2008）。
圖形以及經過鏡射變換後的新圖形所形成的圖像，代表將圖像的一半沿著鏡射軸翻 轉180°後，兩側圖形完全重合。換言之，將此圖像沿著一條直線對摺後，摺線兩側 的圖形完全重合，這便是線對稱的意義。因此，線對稱圖形即是圖形經過鏡射變換 後所形成的圖像。因此，線對稱是最基本的幾何變換。
NCTM（2000）建議在學齡前到十二年級應該讓學生有能力應用幾何變換，並 且使用對稱去分析數學情境。而臺灣的課程綱要中，雖然幾何變換的概念安排在高 中階段，但是線對稱這個最基本的幾何變換安排卻在國小階段，可見其重要性。
（二） 國民學校教師研習會（1995）
國民學校教師研習會（1995）編訂的國民小學數學科實驗課程教師手冊第十一 冊指出線對稱圖形的操作型定義、幾何上的意義與線對稱圖形的作圖策略，說明如 下：
1. 操作型定義：
此操作型定義為直觀的概念。若一圖形可沿著某一直線對摺，使直線兩 側的部份完全重合，這種圖形線對稱圖形。
2. 幾何上的意義：
一個圖形，若可以找到一條直線將其平分成兩半，在其中一半內的任何 點，都可以在另一半內找到一個對應點，使得這兩個互相對稱的點所連成的 直線段，恰好被平分此圖形的直線垂直平分，則此圖形為一線對稱圖形。
3. 線對稱圖形的作圖策略：
（1）圖形的關鍵點
例如一個多邊形，若確定其頂點位置，便可畫出此圖形的邊，確定其形 狀和大小，像這樣的點，我們把它們稱為圖形的關鍵點。我們可利用圖形的 關鍵點畫出各種直線段形成的對稱圖形。
（2）作圖策略
作出線對稱圖形的策略通常可以下列三種方法完成 ，舉例如下：
a. 剪圖法：將一張紙對摺，在其適當位置剪一個圖形，再將紙打開，則 得一個線對稱圖形。
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b. 描繪法：利用複寫紙畫出現對稱圖形。
c. 利用對稱軸垂直平分對稱點連線段之特性。
（三） 對於完整的線對稱概念，Küchemenn（1981）提出應該包含下列概念：
1. 給予圖形與對稱軸，能夠畫出物件的對稱圖形。
2. 能判斷圖形是否存在對稱軸。
3. 能說明經原圖形與經過對稱後的圖形之間的關係與性質。
4. 能將圖形與對稱軸於腦中進行抽象的鏡射變換。
5. 具有逆變換的觀念。
綜合上述，線對稱圖形可以使用幾何變換的定義：圖形經過鏡射變換後的結果，
也可以操作型定義：作180°翻轉、對摺後兩側圖形重合或一圖形鏡射成象的現象來 描述線對稱圖形，以及幾何上的意義：對稱軸垂直平分對稱點連線段來定義。無論 使用哪種定義，線對稱圖形中對稱軸一側的圖形皆能在另一側找到對應圖形，因此 有著以下性質：對應線段等長（保距性質）、對應角相等（保角性質）、對稱軸兩側 圖形全等（保形性質）以及對稱軸垂直平分任意對稱點的連線段（對稱軸中垂性質）。
二、 線對稱的課程結構
為了要了解學生的線對稱學習歷程以及設計線對稱的教學活動，研究者分析九 年一貫課程綱要，其中數學學習領域將九年國民教育區分為四個階段：第一階段為 國小一至二年級，第二階段為國小三至四年級，第三階段為國小五至六年級，第四 階段為國中一至三年級。各階段線對稱相關能力指標如下表：
表 1 九年一貫課程綱要各階段線對稱相關能力指標
階段 線對稱相關能力指標
一（一、二年級） S-1-01 能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體 二（三、四年級） S-2-04 能透過平面圖形的組成要素，認識基本平面圖形
S-2-05 能透過操作，認識簡單平面圖形的性質 S-2-06 能認識平面圖形全等的意義
三（五、六年級） S-3-03 能理解平面圖形的線對稱關係 四（國中一至三年
級）
S-4-08 能理解線對稱圖形的幾何性質，並應用於解題和推理 S-4-12 能理解特殊三角形（如正三角形、等腰三角形、直角三 角形）的幾何性質
S-4-13 能理解特殊四邊形（如正方形、矩形、平行四邊形、菱
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形性質），畫出線對稱圖形等均為國小階段的教學內容，可見國小學習幾何是以幾何 直覺經驗為主，對於幾何圖形所擁有的性質，開始學習時並不明顯，或是必須依賴 特定的圖形與操作的結果，例如從操作性定義來學習線對稱圖形。
國中學生要理解線對稱圖形的意義與線對稱性質，像是對應邊相等（保距性質）、 對應角相等（保角性質）、兩側圖形全等（保形性質），以及對稱軸中垂性質，並能 利用線對稱的概念與各種性質，理解其他平面圖形的幾何性質。可以看出國中學生 不再只是操作性定義，開始探討線對稱幾何上的意義。這也符合九年一貫課程綱要 中建議國中的幾何學習，開始由直觀、歸納轉入幾何推理與證明。以幾何直覺經驗 為前導，使用主體或觀念的明確定義，探索幾何現象並加以推理驗證，推理能力的 培養正是國中數學教育的重點之一。幾何教學起初仍然以學生的幾何直覺經驗為前 導，但開始強調幾何觀念的明確定義，及幾何相關量的計算，甚至代數演算，學生 同時應開始學習閱讀幾何性質的嚴格推理，之後再學習自己動手寫出較短的證明。
因此在國中時期，應讓學生充分認識並學習如何應用線對稱的想法於思考、解題與 證明，而這對於日後數學邏輯推理能力及以抽象為主的高中數學學習皆很重要。
然而，從幾何直覺經驗到邏輯推理這段過程並非易事。很多學生在學習運用數 學語言做邏輯演繹時都會面臨困難。Maroiotti（2000）指出一開始進入中學的學生 一般都有直覺幾何的背景，而當學生要進入演繹幾何的時候，先前學過的知識就必 須要重新編碼，以某些直覺幾何中的性質做為定義或公設，再以此為基礎用邏輯推 理的方式推論出演繹幾何中的其他性質。不過這段歷程是一連串的抽象語言的操弄，
學生在不瞭解為何要將以學過的性質用這麼多文字或符號來「檢查」是否正確的情 況之下，用不熟悉的抽象語言去進行推理，這對學生在運用邏輯推理時會造成困難。
綜合上述，在設計國中線對稱教學活動時，開始由直觀、歸納轉入幾何推理與 證明為一重要階段，而此階段必須以學習者為中心，注重學生關於線對稱概念的思 維發展，包含學習者已有的思維以及教學者期望學習者建構的思維。
三、 van Hiele 幾何思維發展模式
van Hiele 夫婦認為許多學生學習幾何產生困難的主要原因是教學教材未能符合 學生思維層次。因此，van Hiele 幾何思維發展模式特別注重學生的思維發展歷程，
而此模式已被廣泛的參考作為中小學幾何學習的理論基礎。
（一） van Hiele 的五個幾何思維層次
荷蘭數學教育家 Pierre Marie van Hiele 和 Dina van Hiele 夫婦，在 1957 年提出一
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套兒童的幾何思維發展架構（The van Hiele Model of the Development of Geometric Thought），以下稱此架構為 van Hiele 幾何思維發展模式。
van Hiele 夫婦提出幾何思維發展模式包含五個幾何思維的層次，層次一：視覺 辨識（Visualization）、層次二：描述分析（Analysis）、層次三：非形式推理（Informal deduction）、層次四：形式演繹（Deduction）、層次五：嚴謹系統（Rigor），並各層 次分別有其幾何學習的思維特徵。這個模式主張，學習者經由適當的教導及學習經
van Hiele 夫婦提出幾何思維發展模式包含五個幾何思維的層次，層次一：視覺 辨識（Visualization）、層次二：描述分析（Analysis）、層次三：非形式推理（Informal deduction）、層次四：形式演繹（Deduction）、層次五：嚴謹系統（Rigor），並各層 次分別有其幾何學習的思維特徵。這個模式主張，學習者經由適當的教導及學習經