第壹章 緒論
第一節 研究背景與動幾
從幾何本質看圖形全等，它是幾何變換（transformation）中保距變換所探討 的基本幾何不變性質；兩全等圖形間存在一個保距變換，而任一保距變換均由鏡 射變換合成，且至多是三個鏡射變換的合成（Libeskind，2008）。例如平移變換 與旋轉變換皆可由兩次鏡射變換合成。而線對稱圖形即是圖形經過鏡射變換後所 形成的圖像。因此，線對稱是高等數學幾何變換中的鏡射變換，也是最基本的幾 何變換。
在臺灣的幾何課程中，九年一貫數學領域能力指標（教育部，2008）中表示 對稱性是幾何學習的核心概念。對稱性的觀察既直觀、有效率、又深具威力，各 種對稱圖形永遠是幾何學習中的重要對象，而對稱性的深化更是日後幾何和其他 數學領域、科學領域結合時的重要橋樑。九年一貫數學領域中，線對稱概念的能 力發展指標為 S-3-03 能理解平面圖形的線對稱關係（國小五至六年級）與 S-4-08 能理解線對稱圖形的幾何性質，並應用於解題和推理（國中一至三年級）。國小 階段的線對稱概念內容有知道線對稱定義並能夠分類線對稱圖形，知道對應點、
對應邊相等（保距性質）、對應角相等（保角性質）、兩側圖形全等（保形性質）
以及畫出線對稱圖形。而國中階段的線對稱概念內容為理解線對稱圖形的意義與 線對稱性質，包含對應邊相等（保距性質）、對應角相等（保角性質）、兩側圖形 全等（保形性質）以及對稱軸會垂質平分任意對稱點的連線段（對稱軸中垂性質）， 並能利用線對稱的概念與各種性質，理解其他平面圖形的幾何性質。
線對稱在中學課程中看似簡單，但過往文獻研究指出國中學生在學習線對稱 概念仍有困難。相關研究指出以下因素影響學生線對稱的解題，以及造成學習線 對稱概念的學習困難：（1）對稱軸的傾斜程度：國中生線對稱概念的認知普遍存 在對稱軸為垂直或水平的典範現象，而解題時多以典範例的概念心像而非採取概 念定義處理問題（Küchemenn，1981；林福來，1987；左台益、陳天宏，2002；
左台益、王惠中，2003）；（2）有無方格圖：是否有方格圖會影響學生完成線對 稱圖形的作圖。在有方格圖的圖形中，由於方格能夠指引學生長度與角度，學生 比較能正確完成線對稱圖形（Küchemenn，1981；林福來，1987）；（3）圖形物 件結構的複雜度：當圖形物件愈複雜，學生愈難正確作答（林福來，1987）。
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研究者整理出這些困難主要可以分成兩種，第一種困難是非典範現象的動態 視覺化，學習者在處理非典範現象時，心中難以呈現動態視覺的過程，例如在對 稱軸傾斜時，以及當圖形物件較複雜時，學生難以在心智中對圖形進行動態對摺 操弄的過程，導致較難辨識是否為線對稱圖形或是完成完整線對稱圖形；以及當 圖形沒有方格圖時，學習者在心智中沒有方格圖引導距離與角度，因此難以在心 智中對圖形進行動態對摺操弄。第二種為國中學習線對稱的困難是課程能力指標 中所提及的，國中學生對於線對稱的學習要從幾何直覺經驗提升至幾何推理。國 小學習幾何是以幾何直覺經驗為主，對於幾何圖形所擁有的性質，開始學習時並 不明顯，或是必須依賴特定的圖形與操作的結果，例如國小學生是從操作性定義 來學習線對稱概念。換言之，國小的幾何教學，是參考幾何歷史發展的軌跡與學 童認知發展階段，儘量讓學生發揮、拓展其幾何直覺，讓學生在操作中，認識各 種簡單幾何形體與其性質，再慢慢歸納簡單的性質與彼此之間的關係，為以後銜 接國中幾何的教學，打下良好的基礎。而國中的幾何學習，開始以幾何直覺經驗 為前導，使用主體或觀念的明確定義，探索幾何現象並加以推理驗證，例如國中 學生不再只是操作性定義，而是開始探討線對稱幾何上的意義。由此可知，推理 能力的培養正是國中數學教育的重點之一，要學生由直觀、歸納轉入幾何推理與 證明。例如在線對稱單元中，國中學生要能透過摺疊或線對稱圖形的辨識，來掌 握空間結構，並進一步推論空間結構的性質，像是將一等腰三角形對摺，再使用 線對稱的性質，可以用來推論等腰三角形的性質。
然而，從幾何直覺經驗到邏輯推理這段過程並非一件容易的事，很多學生在 學習運用數學語言做邏輯推理時都會面臨困難。van Hiele 夫婦認為數學課程發 展除了依據數學知識結構安排，也要能思考學生的認知發展，才會有較佳的學習 效果。因此，他們認為許多學生學習幾何產生困難的主要原因是教學教材未能符 合學生思維層次，當教材直接以高層次抽象形式以嚴密的邏輯語言陳述幾何概念 時，尚未有高層次思維的學生難以建立此概念系統。
van Hiele 夫婦將幾何思考發展分成五個層次，學生在教師適當安排教學情 境下，其幾何概念的建構，將循序經歷以下五個層次，層次一：視覺辨識
（Visualization）、層次二：描述分析（Analysis）、層次三：非形式推理（Informal deduction）、層次四：形式演繹（Deduction）、層次五：嚴謹系統（Rigor）。而學 生在幾何思維發展層次上的遷移主要是取決於學生從教學與學習上的吸收。現行 九年一貫數學課程中的幾何教材設計也合乎 van Hiele 幾何思維發展層次理論
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（莊月嬌、張英傑，2006）。換言之，國中階段學生的幾何思維已具備描述分析 層次，準備透過教學活動前往非形式推理層次，甚至到形式演繹層次。因此，如 何依據 van Hiele 幾何思維發展層次理論來設計國中階段線對稱教學活動是值得 探討的議題。
綜合上述，為了要幫助學生克服這些困難，並且提升學生對學習線對稱的理 解，學習幾何推理，重點是要提供學生有關線對稱動態視覺化的經驗，以及依據 van Hiele 幾何思維發展層次理論來設計國中階段線對稱教學活動。而我們知道 一般動態幾何軟體有這個功能去提供互動式動態視覺化。近年來，教育部積極推 動國中小的資訊融入課程計畫，希望藉由電腦在操作、呈現的輔助來幫助學生的 學習。而 NCTM（2000）之學校數學原則與標準（Principles and Standards for School Mathematics）中之科技準則中也強調：科技可以幫助學生學習數學，支持有效 的數學教學，並且影響數學的教學內容。林保平（1996）認為動態幾何軟體具有 一些功能與特質，能幫助學生進行幾何性質的獲得與推論。如在學習層面上，動 態幾何軟體能呈現圖形動態視覺化的過程，展現幾何圖形的動態連續性。圖形的 變動過程展現其系統關係與性質，讓學生從描述分析層次進入非形式推理層次。
而教學層面上，教師可讓學生自行操作動態幾何軟體的圖形，但是操作過程中圖 形仍保持結構，並結合動態互動、視覺化、情境化及數值化，與圖像和文字的多 重表徵，讓學生能夠自行透過觀察、臆測、探索和檢驗等歸納方式來獲得與推論 線對稱的幾何性質，無論是保形、保距、保角或對稱軸中垂性質，讓學生熟習非 形式推理層次的概念。過往使用動態幾何軟體進行中學幾何教學的相關數學研究，
普遍對於使用動態幾何軟體輔助教學保持正面態度，並表示動態幾何軟體對於學 生學習上有助於提升學生的學習成效。在中學幾何課程中，教師使用動態幾何軟 體進行教學，利用電腦的精確性、方便性及其軟體的特質來幫助學生學習，已漸 漸形成一種趨勢。因此，我們可藉由引進數位科技教學模式來幫助學生。讓動態 幾何學習環境提供學生藉助科技媒體工具做現象觀察、操作以發展數學概念與思 維，使學生可以以幾何直覺經驗為前導，由直觀、歸納轉入幾何推理與證明。
從一個層次到另一個層次的發展，van Hiele（1986）提出諮詢、導引、解說、
探索與統整等五個關連的學習層面作為序列的教學活動設計，並認為依據此次序 所設計的教學能促進學生在幾何思維層次上的發展。而 5E 學習環教學模式是以 建構主義觀點為基礎所發展的教學模式（Bybee et al.，2006），其教學階段包括：
參與（Engagement）、探索（Exploration）、解釋（Explanation）、精緻化（Elaboration）
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與評量（Evaluation），每階段有特定的功能，幫助教師連貫教學活動，同時也幫 助學生探索與建構知識，此學習模式不但合乎 van Hiele 的五個學習層面，且步 驟具體明確，也能藉由動態幾何軟體的功能與特質來呈現。但是在國內相關研究 中，5E 學習環教學模式少用在數學教學上。綜合以上所述，如何結合 5E 學習環 教學模式與動態幾何軟體的功能，形成線對稱的動態幾何學習環境，來幫助學生 學習線對稱概念是重要的研究議題。
值得注意的是，認知負荷理論主張學習者的工作記憶區有空間與時間的容量 限制。因此，學生在數位學習環境中學習時，若環境設計不良，學生可能會花費 認知資源在數位軟體的操弄或展示上，反而增加學習負擔。或是學生為發展有關 線對稱動態視覺化的基模相對應付出的認知資源，因此測量學生在線對稱的動態 幾何學習環境中的認知負荷為重要的研究議題。並且認知負荷理論也建議當學習 者面對連續變動的動畫教材時，應該要讓學習者自行操弄動畫以適時處理認知資 源避免過多負荷影響學習，也可達到學習者自行監控自己的操弄（後設認知）的
值得注意的是，認知負荷理論主張學習者的工作記憶區有空間與時間的容量 限制。因此，學生在數位學習環境中學習時，若環境設計不良，學生可能會花費 認知資源在數位軟體的操弄或展示上，反而增加學習負擔。或是學生為發展有關 線對稱動態視覺化的基模相對應付出的認知資源，因此測量學生在線對稱的動態 幾何學習環境中的認知負荷為重要的研究議題。並且認知負荷理論也建議當學習 者面對連續變動的動畫教材時，應該要讓學習者自行操弄動畫以適時處理認知資 源避免過多負荷影響學習，也可達到學習者自行監控自己的操弄（後設認知）的