動能與位能分析

內波能量包含流體運動的動能(Kinetic energy，簡稱 KE)，與等密面垂直起伏 伴隨的有效位能(Available potential energy，APE)，兩者之合即為內波總能量，稱 為能量密度(Energy density，E)。能量計算的公式分別為：

w t 有部分能量的水平分佈不均，集中排列出現狀似能量束(Energy beam)的型式(圖 4-3a)；Case M2 的內波動能亦有類似的空間分佈(圖 4-3b)，且在通過地轉流後的 西側區域動能驟減，約為入射波的 65%至 80%左右。

Case K1 與 F 的較低頻內波動能垂直分佈如圖 4-3b 與圖 4-3c。首先，地轉流 區上層 200 m 左右有動能極大値，與前段所述 Case M4 及 M2 的情況相同。但在 等密面由水平均勻開始往西抬升，至斜度漸緩回到水平密度梯度為 0 的地轉流區 兩側密度邊界上有明顯的擾動，可能原因為 Case K1 及 Case F 的第一模內波波

長較長，與 x 方向密度梯度區作用的時間相對亦較久，因此地轉流流幅兩側分界 的水平向溫度梯度有較好的混合，或者垂直仰角較小的內波波束進入不同的密度 界面與流切時因流體側向摩擦、溫度擴散等引起的非線性作用，使交界處水平距 離 1 m 範圍內有動能分佈的不連續，而入射波垂直分量較大、波長較短的 Case M4 及 Case M2 則沒有相同情形。

此外，Case K1 和 Case F 的低頻第一模內波波束水平夾角較小，較接近等密 面斜率，沿坡而上的內波感受到垂直於等密面方向的浮力減小，使能量無法完全 穿過地轉流區，部分被反射(Reflect)往東傳播、部分折射(Refraction)向下停留在 密度梯度區或順著地轉流向往北。若部份能量被反射往內波來向傳遞，則頻率相 等、方向相反但振幅較小的反射波與入射波形成部分駐波(Partial standing wave；

Dean and Dalrymple，1991)，在水平方向上構成節點與反節點的結構。如圖 4-3c 與圖 4-3d 的 Case K1 和 F 地轉流東側就有出現內波動能在空間中相對極大値與 極小値的不連續分佈，但是否為部份駐波則需和有效位能的分佈情形比較。

而 Case F 在斜壓地轉流區有明顯的能量束結構，且穿過地轉流到其西側的 內波動能小於入射波的 10%，減少的能量除了部分如前段所述反射往東形成部分 駐波以外，由於 Case F 的內波週期為 30 小時，和旋轉系統的慣性週期 33.4 小時 的差異僅 10%左右，因此當 Case F 的近慣性內波由東往西傳播碰到橫亙的北向 地轉流時，部分內波能量可能透過平流(Advection)等動力機制於地轉流區隨頻率 相近的斜壓地轉流往北傳遞，進一步的動力分析將於第 4.4 節討論。

由內波動能隨空間的分佈情形，大致可初步歸納不同頻率的內波碰到北向斜 壓地轉流時，相對較高頻內波如 Case M4 與 M2 的部分動能被侷限在地轉流區，

使得該處有能量的累積，通過地轉流區的內波能量減少；而頻率較低的內波(Case K1 與 F)傳播至地轉流區時，大部分被反射形成部分駐波或順流北上，穿過流到 地轉流西側的內波能量隨頻率降低而相對更少。另外，所有的 Case 中間水層動 能皆趨近 0，接下來探討位能的變化連接表層與底層水體的運動行為。

(a)

(b)

(c)

(d)

圖 4-3 東西向斷面的週期平均內波動能垂直分布：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。(註：色階對應的能量大小隨內波頻率調整。)

有效位能(APE)與等密面垂直位移和浮力頻率的乘積平方成正比，它的物理 意義像是在分層環境中，等密面的垂直位移量乘以浮力頻率的平方便為垂直起伏 的加速度，再乘上垂直位移的距離和參考的密度，便成了密度乘以加速度再乘以 高度等於位能的概念，是為原本位於某水深的密度值，移動到另一深度所產生的 能量。此外，由於內波頻率與垂直位移成正比，因此越高頻的內波有效位能越大。

圖 4-4 為東西向斷面有效位能分布，在水層中段的位能最大，往底部和表面 遞減至 0，與動能的垂直分布特性相反。Case M4 的第一模內波通過地轉流區後，

由於地轉流西側等密面上抬，使有效位能的垂直分布上移(圖 4-4a)，且第一模構 造因垂直分層的改變而有能量束的結構；同樣的情形在波長較長的 Case M2 更為 明顯(圖 4-4b)，且 Case M2 穿過流的有效位能相對減少，但在地轉流流軸東側有 相對極大値，而位能驟升的區域就在北向地轉流負相對渦度側。

Case K1 的有效位能在地轉流東側極大與極小値交錯的特殊排列方式(圖

4-4c)，對應內波動能在空間中的分布(圖 4-3c)，顯示 K1頻率的內波能量有部分

被密度梯度區的地轉流反射，並與入射波疊加形成部分駐波，產生動能大、位能

小(駐波節點)，與動能小、位能大(駐波腹點)，間隔 1/2 個波長交互出現的特徵。

由於內波能量並未全反射，入射波與反射波形成的駐波並非純駐波，有效位能及 內波動能最小值皆不為 0 而是水平向的相對極小値，其餘通過地轉流的能量較 少，且於地轉流區上層 500 m 的有效位能及動能皆相對較大，表示可能有部分能 量受地轉流之平流作用而往北傳播；Case F 更低頻的近慣性內波也有類似的位能 分布(圖 4-4d)，地轉流東側的反射波與入射波構成部分駐波，西側內波能量相對 更少。

由位能的變化初步研判，內波由東往西傳播碰到往西抬升的等密面時，較高 頻內波傾向沿坡而上穿過地轉流繼續西行，而隨著內波頻率降低，部分能量被反 射在流東側產生部分駐波，部分被地轉流的平流效應帶往北，地轉流西側的內波 能量也就越少。

(a)

(b)

(c)

(d)

圖 4-4 東西向斷面的週期平均有效位能垂直分布：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。(註：色階對應的能量大小隨內波頻率調整。)

有效位能和動能的總和，便是內波傳播的總能量(E)，各個實驗的能量密度 垂直分布如圖 4-5，由前述動能和位能的分布情況可知總能量在表層與底部較 大，主要來自動能，中間水層由有效位能所佔比例較高，連接表層與底層的能量 交換。

(a)

(b)

(c)

(d)

圖 4-5 東西向斷面的週期平均能量密度垂直分布：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。(註：色階對應的能量大小隨內波頻率調整。)

綜合以上所述內波碰到斜壓地轉流的動能與位能變化，將東西向垂直斷面上 每一層的動能(圖 4-6)、有效位能(圖 4-7)與總能量(圖 4-8)作深度積分，量化比較 各個實驗內波傳播沿 x 方向的能量分布，並整理為表 4-3 與表 4-4。較高頻的內 波實驗結果(Case M4、Case M2)動能與位能的深度積分在地轉流區東側大致為一 常數，顯示能量在空間中的耗散並不顯著。而在斜壓地轉流區，Case M2 的內波

動能由東往西增加，至最大値為入射波的 114.6%後驟降，離開地轉流區傳播至 流域西側的能量減少為入射波的 70.4%，而有效位能在地轉流兩側亦有等比例的 變化，但於地轉流區的位能峰値位置出現在流軸右半部的負相對渦度側。相對而 言，Case M4 的能量變化較不明顯，內波由東往西傳播通過斜壓地轉流後，在流 西側的能量線性減少為入射波的 87.4%，且能量密度的水平分布出現振幅約 100 Jm^-2的擾動。能量減少的原因，推測可能為穿過密度梯度區後因垂直分層的變化 造成部分能量轉換為其他方向或不同形式的能量。

而較低頻的 Case K1 與 Case F 第一模內波能量部分在地轉流區反射往東形 成部分駐波，於地轉流東側產生水平方向動能與位能波峰波谷交替出現的波動，

位能和動能比値較大的 Case K1 尤其顯著，這些現象是部分駐波的特徵。粗估地 轉流東側不均勻分布的內波能量空間平均後約為入射値的 80% (Case K1)與 96.7% (Case F)，在地轉流區有內波能量的極大値，分別約入射波的 160%和 135%，而地轉流西側的能量則減少為 46%和 12%，顯示大部分的低頻第一模內 波能量傳播碰到斜壓地轉流所在的密度梯度區，被侷限在地轉流區或反射往東行 進。

本節的動能與位能分析，顯示第一模內波傳播碰到傾斜的等密面時，能量的 傳播和密度梯度區的動能與位能分布在空間上或不同實驗，隨內波頻率之不同而 異。下個小節將藉由分析內波的能量通量，探討能量的轉換與其傳播方向的變化。

表 4-3 入射波能量的理論值(單位：Jm^-2)

Case KE APE E

M4 767.6 370.5 1138.1

M2 845.7 364.4 1210.2

K1 1125 273.7 1398.7

F 1341.8 129.7 1471.5

圖 4-6 東西向斷面的深度積分內波動能。

圖 4-7 東西向斷面的深度積分有效位能。

圖 4-8 東西向斷面的深度積分內波總能量。

表 4-4 內波能量的空間分布與入射能量的比値(單位：%)。

地轉流東側 地轉流區 地轉流西側

Case

KE APE E KE APE E KE APE E

M4 95.5 99.8 96.9 100.5 107.4 102.8 87.4 92.2 89 M2 96.3 96.3 96.3 114.6 116.8 115.3 70.4 71 70.6

K1 81 75.1 79.9 162.5 151.9 160.4 48.2 36.9 46 F 99.6 67 96.7 126.2 220 134.5 12.1 11.7 12