第一模內波傳播受一垂直於其行進方向之斜壓地轉流影響之數值實驗研究

國立臺灣大學理學院海洋研究所 碩士論文

Institute of Oceanography College of Science

National Taiwan University Master Thesis

第一模內波傳播受一垂直於其行進方向之斜壓地轉流 影響之數值實驗研究

Numerical Study of Mode-1 Internal Wave Propagation under the Influence of a Transverse Baroclinic

Geostrophic Flow

郭天俠 Tien-Hsia Kuo

指導教授：詹森 博士 Advisor: Sen Jan, Ph.D.

中華民國 100 年 7 月

July, 2011

致 致 致 致謝 謝 謝 謝

首先感謝指導教授詹森老師兩年來的悉心教導，不僅在學術研究與課業上給 予極大的幫助，於求學態度、邏輯思考、及為人處事上亦分享許多可貴的經驗與 教誨，並提供絕佳的研究與學習環境，使研究工作得以順利進行，謹此獻上誠摯 的謝忱。

感謝口試委員陳慶生教授、王冑教授、楊穎堅博士於百忙中撥冗指導，提供 許多寶貴的建議與指正，使本文得以更臻完備。同時感謝所上老師平時在課堂上 與專題討論時的教導，讓我在求學期間不僅吸收了許多專業知識，也學到很多寶 貴的經驗，開創了新的視野及思考方式，謹此由衷感謝。

此外，特別感謝邱銘達博士在模式運用以及日常討論中給予莫大的幫助，並 在論文撰寫過程不厭其煩的時時鼓勵，使本文得以如期完成，不勝感激。也感謝 博士班郭怡君學姊在課業上的幫助以及平日的照顧，感謝碩士班同窗楊謦維、廖 浧涵、陳彥翔的共同砥礪與陪伴，感謝助理田維婷小姐協助打理繁瑣的日常事 務，也謝謝新加入的學妹王心秀，和所有在這段日子裡給過我幫助及指教的人，

在此謹致由衷的謝意。

最後感謝我的家人與紀平一路的陪伴，時時關心我、鼓勵我，給予我無限的 包容與關懷，支持我完成學業，謝謝!

摘要 摘要 摘要 摘要

本研究利用三維數值模式，在 f-plane 的近似下，以理想化的條件探討地形 平坦、水深 1000 m 的海洋中，不同頻率(近慣性頻率 f 和潮汐分量 K1、M2、M4

頻率)的第一模內波由東往西傳播，碰到固定流量 22 Sv (1 Sv=10⁶ m³/s)、流幅寬 約 120 km 北向斜壓地轉流時所受的影響，並由能量方程式中各項物理量，討論 其中的動力機制。數值實驗結果顯示，通過地轉流區的內波能量隨著內波頻率降 低而減少，頻率越高的內波越容易維持其行進方向能量通量，並繼續西行穿越密 度梯度區；反之，越低頻的內波波傳角度越接近地轉流等密面斜率，此時水平密 度梯度似一南北向的屏障阻擋內波通過，一部分內波能量因所受有效浮力減弱而 轉向下傳遞，一部份碰到流後被反射往東，並與方向相反、振幅相異的入射波疊 加形成部分駐波，另一部份則在地轉流區受斜壓地轉流平流輸送作用而往北。內 波頻率越接近慣性頻率 f 時，能量傳遞方向越偏往地轉流向。

由能量方程式來分析，地轉流兩側的 x 方向入射與反射能量通量在 Case M4、M2、K1、及 F 僅佔入射値的 89%、72%、66%、及 30%左右，其餘內波能 量大部份在地轉流區由內波-地轉流間能量交換、地轉流平流作用等動力機制導 致能量損失。較高頻的 Case M4 內波動能主要因地轉流區的壓力變化而損失；次 高頻的 Case M2 透過波‐流交互作用項將能量損失給北向斜壓地轉流，減少的能 量通量輻散項與浮力變化和波‐流交互作用項平衡，小部份能量受地轉流的平流 作用轉往北傳遞；頻率越低、波長越長的內波能量傳播方向受地轉流平流效應導 致的北向分量越大，Case K1 的全日潮頻率內波在地轉流區除地轉流平流項與波

‐流交互作用項平衡外，部份能量被反射而在地轉流東側形成部份駐波，導致輻 散項在空間中的起伏振盪；而更低頻的 Case F 近慣性內波因頻率與慣性頻率接 近，能量輻散項主要由地轉流平流項與波‐流交互作用項平衡，大部份的內波能 量皆在密度梯度區被地轉流帶往北傳遞。

斜壓地轉流對第一模內波能量傳遞的影響主要由兩種過程進入內波頻散關

係，一是水平流速在水平方向的流速梯度，二是等密面抬升及對應的速度垂直剪 切。水平流速梯度以流軸為中心，兩側的有效慣性頻率(feff)導致內波頻率於地轉 流正(負)相對渦度側增加(減少)，改變波傳特性，並可能因內波存在頻帶最低頻 率下限被提高，使得低頻的近慣性頻率內波無法穿越水平地轉流切形成的屏障；

地轉流區等密度面的抬升使有效浮力頻率恆為負，造成內波受地轉流影響後，頻 率變得較其入射値小，而有較接近低頻內波的波傳行為。

關鍵詞：內波、斜壓地轉流、數值模式

Abstract

The influence of a northward-flowing baroclinic geostrophic current with volume transport 22 Sv (1 Sv=10⁶ m³/s) to westward-propagating mode-1 internal waves is investigated using a three-dimensional numerical model with idealized conditions as well as an internal wave and geostrophic current energy equation. Four different frequencies (M₄, M₂, K₁, and near-inertia) of mode-1 internal waves are applied at the eastern boundary individually as the incident wave conditions. The incident internal wave encounters a 120-km-wide northward baroclinic geostrophic flow in the middle section of a 1000 m deep flat-bottom ocean. Results analyzed from numerical experiments suggest that the transmission of internal wave energy after the internal wave encountered the geostrophic flow decreases with the decrease of internal wave frequency; while the northward advection of the internal wave energy by the geostrophic flow and the wave-mean flow energy exchanges both increase with the decrease of internal wave frequency. Lower frequency internal waves, which characteristics are close to the isopycnal slopes, are partly reflected when confronting the geostrophic flow. The reflected and incident waves on the east side of the geostrophic flow combine to form a partial internal standing wave and thus weakens westward-propagating internal wave energy. The transmitted and reflected energy fluxes on both sides of the geostrophic flow are 89% (Case M4), 72% (M2), 66%

(K1), and 30% (F) of the incident energy fluxes; the remainders are converted to the geostrophic flow or are advected by the northward flow.

The kinetic energy of higher frequency internal waves (M4) is balanced by the buoyancy gradiant in the geostrophic flow, leading to a conversion of potential energy.

Lower frequency internal waves (Case M2, K1, F), on the other hand, exchange energy with the background geostrophic flow. The wave energy is converted to the

momentum redistribution in geostrophic flow through wave-mean flow interactions.

The kinetic energy of lower frequency internal waves is more easily advected northward by the geostrophic flow.

The horizontal density gradient of the geostrophic flow, with negative effective buoyancy frequency (N_eff), acts as a reduced buoyancy restoring force lowers the intrinsic internal wave frequency and makes that the wave behaves more likely as an inertial wave. The horizontal velocity shear of the geostrophic flow on the positive relative vorticity side increases the effective Coriolis frequency (feff) and thus increases the lower bound of the internal waveband, which impedes the penetration of near-inertial internal waves. On the other hand, the decrease of feff on the negative relative vorticity side reduces the lower bound of the internal waveband. Thus, westward-propagating, lower frequency internal waves are easily trapped or reflected in the right half of the geostrophic flow.

Keywords: internal wave, baroclinic geostrophic flow, numerical model.

目錄 目錄 目錄 目錄

中文摘要...iv

英文摘要...vi

1. 緒論...1

1.1 內波的產生...1

1.2 台灣周圍海域海洋環境與內波的關係...6

1.3 文獻回顧...9

1.4 研究目的及方法...10

2. 數值模式...12

2.1 控制方程式...12

2.2 數值實驗設定...19

2.2.1 區域尺度設定...19

2.2.2 斜壓初始場...20

2.2.3 邊界條件...23

2.3 數值實驗條件...26

3. 模式結果校驗與實驗結果...28

3.1 第一模內波...28

3.2 斜壓地轉流...38

3.3 數值實驗結果...43

4. 實驗結果分析與討論...57

4.1 相速度與波長...57

4.2 動能與位能分析...62

4.3 能量通量與群速度...73

4.4 內波能量收支...85

5. 結論...95

參考文獻...98

圖目錄 圖目錄 圖目錄 圖目錄

圖 1-1 內波產生示意圖。 ...1

圖 1-2 臨界坡度示意圖(取自 Cacchione et al.，2002)。圖中 B、C、D 分別代表 亞臨界、臨界、與超臨界的內波傳播角度。...3

圖 1-3 潮汐能量收支圖(取自 Munk and Wunsch，1998)。 ...4

圖 1-4 太平洋 M2潮能量轉換到內潮能量的空間分布(取自 Niwa and Hibiya， 2001)。 ...5

圖 1-5 呂宋海峽 M₂內潮能量通量(取自 Jan et al.，2008)。...5

圖 1-6 臺灣附近水深地形圖，水深色階單位為 m。 ...6

圖 1-7 臺灣附近 M₂正壓潮流橢圓，正值(紅色部分)為 M₂臨界坡度，負值(藍色) 為海底深度，單位為 m。(水深、歷史流速觀測資料來源：國科會海洋學門 資料庫) ...7

圖 1-8 黑潮平均流及北緯 21.75°N 與東經 122.75°E 溫度垂直斷面。(水深、流速、 溫度歷史觀測資料來源：國科會海洋學門資料庫) ...8

圖 2-1(a) 二維正壓模網格配置俯視圖。(Mellor，2004) ...16

圖 2-1(b) 三維斜壓模網格配置俯視圖。(Mellor，2004) ...16

圖 2-1(c) 三維斜壓模網格配置側視圖。(Mellor，2004) ...16

圖 2-2 模式運算流程。(取自丁錡樺，2008)...18

圖 2-3 模式區域及網格間距示意圖。 ...20

圖 2-4 模式初始溫度T₀(^oC)和位密度σ_t ^kgm-3(σt =ρ−¹⁰⁰⁰)垂直剖面圖。 ..21

圖 2-5 東西向斷面上的斜壓地轉流與溫度場垂直剖面。 ...22

圖 2-6 正模理論解得各個模態的 M₂內潮垂直流速w，n 代表模數。...25

圖 2-7 由模式東邊界放入的第一模 M2內潮流速u、w垂直結構。 ...25

圖 3-1 第一模 M₂內波(a)垂直流速 w 與(b)x 方向水平流速 u 垂直結構，每一小方 圖時間間隔為 3 小時。自 1 hr 至 25 hr 應包括兩個 M₂週期的變化。 ...29

圖 3-2 傳播於水平均勻密度場的 M2第一模內波瞬時水平流速 u 在東西向斷面上 的分布，(a)第 7 天，(b)第 7.25 天，(c)第 7.5 天。 ...32 圖 3-3 傳播於水平均勻密度場的第一模 M₂內波於第 7 天的瞬時流速 u 與正模理

論值在東西向斷面上的空間分布。...32 圖 3-4 模式東西向斷面初始場的 M₂第一模內波向下與向上傳遞的波束傳播路徑

理論值。...33 圖 3-5 傳播於水平均勻密度場的第一模 M2內波東西向斷面瞬時(第 7 天)水位與

表面水平流速變化。...34 圖 3-6 傳播於水平均勻密度場的第一模 M₂內波第 7 天瞬時垂直流速 w 在東西向

斷面上的分布。...35 圖 3-7 傳播於水平均勻密度場第一模 M2內波第 7 天東西向斷面上的溫度分布。

...36 圖 3-8 傳播於水平均勻密度場第一模 M₂內波東西向斷面上的 25 小時平均等溫

面垂直起伏分布。...36 圖 3-9 傳播於水平均勻密度場的第一模 M2內波第 7 天瞬時流速 v 在東西向斷面

上的分布。...37 圖 3-10 第 1 至 8 天 (a)斜壓地轉流在東西向斷面上的垂直結構與理論值(黑色等

值線)比較 (b)x-y 平面於水深 100 m 的溫度分布橫切面。...40 圖 3-11 東西向斷面上，斜壓地轉流的二維垂直平均流速理論值(藍色粗線)與水

位變化理論值(暗紅色粗線)、與第 1 至 8 天逐時模式結果散佈圖(彩色圓點)。

...41 圖 3-12 通過 y 方向模式中央寬 200 km 長 1700 km 各個東西向斷面(y=21~40)的

流量隨時間的變化及相對誤差。...42 圖 3-13 第 7 天瞬時流速 v 在東西向斷面上的分布：(a) Case M4；(b) Case M2；(c) Case K1；(d) Case F。 ...44 圖 3-14 第 7 天時水深 100 m 處的瞬時流速與溫度水平分布：(a) Case M4；(b) Case M2；(c) Case K1；(d) Case F。 ...47 圖 3-15 第 7 天的東西向斷面溫度場空間分布：(a) Case M4；(b) Case M2；(c) Case K1；(d) Case F。 ...49 圖 3-16 東西向斷面上的週期平均等溫面垂直起伏分佈：(a) Case M4；(b) Case

M2；(c) Case K1；(d) Case F。 ...52 圖 3-17 第 7 天瞬時垂直流速 w 在東西向斷面上的分布：(a) Case M4；(b) Case

M2；(c) Case K1；(d) Case F。 ...54 圖 3-18 第 7 天瞬時 x 方向流速 u 在東西向斷面上的分布：(a) Case M4；(b) Case

M2；(c) Case K1；(d) Case F。 ...56

圖 4-1 利用正模方法計算各實驗條件在相同初始環境下的相速度與波長。兩條虛 線間代表斜壓地轉流區。...58

圖 4-2 水深 975 m(左圖)及 10 m(右圖)的水平流速 u 在 x 方向上的分布隨時間的 變化：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。...61

圖 4-3 東西向斷面的週期平均內波動能垂直分布：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。(註：色階對應的能量大小隨內波頻率調整。) ...65

圖 4-4 東西向斷面的週期平均有效位能垂直分布：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。(註：色階對應的能量大小隨內波頻率調整。) ...67

圖 4-5 東西向斷面的週期平均能量密度垂直分布：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。(註：色階對應的能量大小隨內波頻率調整。) ...69

圖 4-6 東西向斷面的深度積分內波動能。 ...71

圖 4-7 東西向斷面的深度積分有效位能。 ...71

圖 4-8 東西向斷面的深度積分內波總能量。 ...72

圖 4-9 東西向斷面時間平均能量通量(F_x)垂直分布：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。 ...75

圖 4-10 東西向斷面時間平均能量通量(Fy)垂直分布：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。(註：色階對應的能量通量隨內波頻率調整。) ...77

圖 4-11 東西向斷面時間平均能量通量(F_z)垂直分布：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。 ...79

圖 4-12 東西向斷面斜壓能量通量空間分布。箭頭為 Fx與放大 3000 倍的 Fz，底 色為 Fy：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。 ...81

圖 4-13 東西向斷面的深度積分斜壓能量通量 F_x (實線)與 F_y (虛線)。...84

圖 4-14 東西向斷面的內波傳播群速度 Cgx (實線)與 Cgy (虛線)。 ...84

圖 4-15 能量方程式(式 25)經過時間平均、y-z 向面積分所得到的各項能量平衡： (a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。...91

圖 4-16 (a) 內波頻率對地轉流東西側 x 方向能量通量與入射値比値之關係圖(整 理自表 4-5)，分別為穿透率(藍線)、反射率(綠線)、與兩者絕對値之和(下圖 紅線)； (b) 地轉流區正規化能量平衡(式 25)，水平柱狀圖上粗體字為主要 平衡項。...94

表目錄 表目錄 表目錄 表目錄

表 2-1 數值實驗條件表。 ...27

表 4-1 各實驗內波 x 方向平均波長變化。 ...59

表 4-2 各實驗水深 10 m 處內波波長在 x 方向上的變化。 ...59

表 4-3 入射波能量的理論值(單位：Jm^-2)...70

表 4-4 內波能量的空間分布與入射能量的比値(單位：%)。 ...72

表 4-5 深度積分能量通量與群速度(往西)：East-地轉流東側，West-地轉流西側。 ...83

1. 緒論 緒論 緒論 緒論

本研究以數值模式，在簡化的條件下，探討第一模內潮波(mode-1 internal tide) 穿過一支斜壓地轉流後，其波傳特性、能量、垂直結構等所受的影響。本章中將 說明內波的定義、產生特性、對海洋動力的重要性，以及內波和內潮在台灣附近 的空間分布和與黑潮的相對位置。第二章說明數值模式和數值實驗條件；第三章 說明模擬結果，第四章為討論，第五章為結論。

1.1 內波的產生 內波的產生 內波的產生 內波的產生

在層化(Stratified)的水體內，密度隨深度變化，當受到任何形式的外力擾動 後，水體內部密度場就有可能產生三維的波動，這就是內波(Internal wave)。一 般說來，在大氣、海洋、河口河海交界等處，若是分層條件適合，只要有微小的 擾動提供能量來源，便可能見到內波的蹤跡，例如抬頭仰望天空，有時看到一條 一條排列的雲，河口淡水舌面粗糙和平滑波紋交互出現等，都可能是大氣或海洋 內部有內波時所表現出來的現象。以海洋中內波產生的過程為例，當海流方向與 大陸棚邊緣垂直，或流過海脊(Ridge)、海檻(Sill)、或海底山(Seamount)等地形時，

洋流可將底層較重的海水沿著底坡向上舉，一旦流速減小或密度相對較大的水團 過山後受重力作用而落下，其後就有機會以浮力頻率(Buoyancy frequency)上下震 盪，產生波動現象並向三維方向傳播，圖 1-1 為內波在海脊斜坡上產生的示意圖。

海洋內波中又以潮流往復所引發的內波最為常見，由於潮汐不間斷的提供能量來 源 產 生 頻 率 接 近 潮 汐 頻 率 的 內 波 ， 因 此 又 稱 內 潮 (Internal tide) ，或 斜壓潮 (Baroclinic tide)。

圖 1-1 內波產生示意圖。

內潮產生後遵循頻散關係(Dispersion relation)依特定的角度往外傳播，在海 水無摩擦(Inviscid)、不可壓縮(Incompressible)、運動不受地轉科氏力影響(科氏參

數 f =0)且為微小振幅波等條件的近似下，頻率為ω^{的內波行進方向}θ^遵守以下

關係(Cushman-Roisin，1994)：

θ

ω=±Ncos (1) 其中 N 為海水浮力頻率，定義為

N z

∂

− ∂

= ρ

ρ0

2 1

(2)

ρ0^{為海水參考密度值，}ρ為密度， z 為垂直方向座標，向上為正。上式表示在 N 與ω固定的情況下，可以求出內波傳遞方向與水平面的夾角θ^{，同一頻率的內波} 分布在相同角錐面上，頻率越小，波傳角度越大。其能量在海底和表面來回反射，

部分在其產生區附近數公里內消散，促進當地海水的混合(LeBlond，1966；

Prinsenberg et al.，1974)，但絕大部份能夠傳播遠達 1000 km 以上的距離而幾乎 不耗散(Ray and Cartwright，2001；Kantha and Tierney，1997)。當內波傳遞碰到 海底地形斜坡時，其反射或入射情形可用內波行進的角度 c 和地形斜坡之傾斜角 度 r 來衡量，其斜率與地形斜率的比值 c/r 稱為臨界坡度(Critical slope)，以圖 1-2 示意圖來說，若波傳角度小於地形起伏的傾角，稱為超臨界(Supercritical)，則能 量將無法跨越地形障礙，僅能夠反射往下游處傳遞，如圖 1-2(D)；反之，稱為亞 臨界(Subcritical)，則內潮能量束(Energy beam)沿坡而上，如圖 1-2(B)。當 c/r=1 時，內潮能量的傳遞路徑近乎平行海底斜坡，如圖 1-2(C)，除促進當地海水混合 外，根據 Cacchione et al. (2002)，內潮波束的斜率與地形斜率相近時，甚至會改 變海底地形的樣貌。

圖 1-2 臨界坡度示意圖(取自 Cacchione et al.，2002)。圖中 B、C、D 分別代表 亞臨界、臨界、與超臨界的內波傳播角度。

傳播至深海的內潮能量對海洋整體的能量收支平衡非常重要，Munk and Wunch (1998)利用數值模式估計全球由表面潮所產生的內潮約有 0.9 TW (1

TW=10¹² W)，其中 0.2 TW 在產生區因為淺化的地形或與陸塊邊界的側向摩擦將

能量轉到紊流，促進當地的垂直混合進而消散掉(圖 1-3)。剩餘的 0.7 TW 則傳至 深海，這部分能量除了能夠把上層海水的熱量往下傳遞，把下層較冷的海水和沉 積底部的營養鹽往上帶，對維繫溫鹽環流(Thermohaline circulation)所需的 2.1 TW 扮演非常重要的角色，對於穩定全球海洋的熱平衡亦非常重要(Egbert and Ray，

2001)。除此以外，強大內波引起的水平速度垂直剪切力也可能破壞海上結構物，

例如早年在南海北部的鑽油平台即有受到此類海洋破壞的紀錄；內波有造成海底 沉積物的再懸浮，並隨著內波的起伏向上及向下傳送和擴散，而有機會到較上層 的海洋；海洋次表層營養鹽濃度較高的海水，也可能經由相似的動力過程被送到 上部光照層(Euphotic zone)，而進一步被浮游植物利用。海岸珊瑚礁區的珊瑚亦 可能受內波或內潮潮湧(Tidal surge or bore)帶上來高營養鹽次表層冷水之益而增 長，如美國佛羅里達州南部海岸之珊瑚礁區(Leichter et al.，1998；Leichter et al.，

2003)，和南灣海岸的珊瑚礁(Jan and Chen，2009)。

圖 1-3 潮汐能量收支圖(取自 Munk and Wunsch，1998)。

然而，內潮能量來源的空間分布極不均勻，在全球海洋中多半發生在地形變 化極大的海底山脊、大陸棚緣等地。對於大範圍的內潮分布，Niwa and Hibiya

(2001)利用西太平洋區域數值模式，估計太平洋 M₂正壓潮能量轉換至內潮能量

共約 340 GW，其中有 41 GW 來自台灣南端的呂宋海峽與東北方的琉球島弧 (Ryukyu Island Chain)，見圖 1-4，佔太平洋總內潮能量 10%以上，為太平洋最大 的內潮能量來源。在台灣附近，Jan et al. (2008)利用三維數值模式模擬呂宋海峽 的內潮的產生並計算能量收支平衡，得到約 19 GW (1 GW=10⁹ W)的全日潮 (O1+K1)和 11 GW 半日潮(M2+S2)內潮能量在呂宋海峽(Luzon Strait)產生，其中約 有 18 GW 會在當地消散，其餘分別傳入南海(South China Sea)與太平洋(圖 1-4)。

圖 1-4 太平洋 M₂潮能量轉換到內潮能量的空間分布(取自 Niwa and Hibiya，

2001)。

圖 1-5 呂宋海峽 M₂內潮能量通量(取自 Jan et al.，2008)。

1.2 臺 臺 臺 臺灣周圍海域海洋環境與內波的關係 灣周圍海域海洋環境與內波的關係 灣周圍海域海洋環境與內波的關係 灣周圍海域海洋環境與內波的關係

臺灣位於北太平洋西側，北鄰東海(East China Sea)，西接臺灣海峽(Taiwan Strait)，西南方有南海(South China Sea)，南邊隔著呂宋海峽(Luzon Strait)與菲律 賓(Philippines)遙遙相望，如圖 1-6。呂宋海峽有兩狹長陡峭、南北走向的海脊界 於南海與太平洋之間，崎嶇的地形分布伴隨相對較大的臨界坡度，也就是有較好 的潛在條件利於內波的生成(圖 1-7)，東側呂宋島弧(Luzon Island Arc)與其西 110 km 處的恆春海脊(Heng-Chun Ridge)上方有垂直於海脊走勢的表面潮經過；位於 台灣東北方的東海大陸棚邊緣有相似的環境背景，正壓潮潮流橢圓之長軸方向正 交於鞍狀大陸斜坡地形，而兩處皆恰有黑潮(Kuroshio)沿地形經過。

恆春海脊 恆春海脊 恆春海脊 恆春海脊

呂宋海脊呂宋海脊呂宋海脊呂宋海脊 臺灣海峽

臺灣海峽 臺灣海峽 臺灣海峽

太平洋 太平洋 太平洋 太平洋 恆春海脊

恆春海脊 恆春海脊 恆春海脊

呂宋海脊呂宋海脊呂宋海脊呂宋海脊 臺灣海峽

臺灣海峽 臺灣海峽 臺灣海峽

太平洋 太平洋 太平洋 太平洋

圖 1-6 臺灣附近水深地形圖，水深色階單位為 m。

圖 1-7 臺灣附近 M₂正壓潮流橢圓，正值(紅色部分)為 M₂臨界坡度，負值(藍色) 為海底深度，單位為 m。(水深、歷史流速觀測資料來源：國科會海洋學門資料 庫)

黑 潮 源 自 北 赤 道 洋 流 (North Equatorical Current) 撞 到 菲 律 賓 民 答 那 峨 (Mindanao)分叉後，南向的分支稱作民答那峨洋流(Mindanao Current)，往北流的 分支即是黑潮(圖 1-8)。黑潮近似一斜壓地轉平衡流。密度在垂直方向上隨著深 度改變有利於內波的生成，而密度在水平方向上的梯度，則會產生水平的壓力梯 度力，在穩定狀態下(steady state)，不考慮摩擦和非線性作用，水平壓力梯度力 和地球旋轉科氏力平衡，稱為地轉平衡(Geostrophic balance)，結果產生水平向垂 直於梯度方向的地轉流(Geostrophic flow)。其中有等壓面(isobaric)與等密度面 (isopycnal) 平 行 、 壓 力 梯 度 來 自 海 表 水 位 高 度 差 的 正 壓 地 轉 流 (Barotropic geostrophic flow)，水平流速接近上下均勻，沒有垂直結構，可由衛星資料估算而

得；另一種等壓面與等密度面交錯，產生水平流速隨深度改變的地轉流，稱為斜 壓地轉流(Baroclinic geostrophic flow)。密度沿水平方向改變的區域稱為密度鋒面 (Density front)，水平方向的密度鋒面梯度越大，垂直於密度梯度方向的斜壓流流 速越快；在垂直方向上不同的水平壓力梯度，則產生隨著深度改變的流速垂直結 構。

黑潮大約在呂宋海峽的呂宋島弧和恆春海脊之間由南往北流，沿台灣東岸北 行順著東海大陸棚邊緣轉往東北進入太平洋。經過西太平洋已知最大的兩處內潮 產生區，黑潮走向大約垂直於內潮傳播方向，對內潮的產生與傳播的影響，是近 年來非常熱門的研究議題。類似內波、內潮和黑潮互相影響的現象，在各大洋中 均可見到，有關這類內波、內潮受洋流影響的研究將在下一小節中討論。

圖 1-8 黑潮平均流及北緯 21.75°N 與東經 122.75°E 溫度垂直斷面。(水深、流速、

溫度歷史觀測資料來源：國科會海洋學門資料庫)

1.3 文獻回顧 文獻回顧 文獻回顧 文獻回顧

關於內波、內潮受洋流影響的研究大致可歸納成三類：一是理論分析，二是 觀測資料分析，三則是數值實驗模擬。在理論分析方面，Kunze (1985)推導慣性 內波(Near-inertial internal wave)穿過斜壓地轉流時，其頻散關係會因地轉流兩側 異號的相對渦度(Relative vorticity)與等密面傾斜造成浮力頻率的水平梯度而改 變，影響內波固有的頻率。以北向地轉流為例，內波在通過流軸右手邊負的相對 渦度側時會在垂直方向被侷限往下，透過波-流交互作用而增強；而在流左側則 因內波頻率受正的相對渦度放大，無法穿過地轉流而發生反射。Kunze 的分析解 適用於慣性內波，更高頻的內潮，尤其是半日潮內潮恐不適用。

數值模擬方面，Holloway and Merrifield (1999)針對正壓潮流流過不同種地形 產生的內潮特性，進行了一系列理想化的數值實驗，實驗結果顯示內潮產生的能 量與強度幾乎完全受到海底地形種類與坡度控制；Johnston and Merrifield (2003) 進一步探討內潮產生後，與各種海底地形再反射(Scatter)的傳播特性，發現地形 的高度、寬度、及斜率是除了分層環境之外，影響內潮特性的決定性指標。

在真實海洋尺度的模擬裡，Niwa and Hibiya (2004)利用密度場在垂直方向僅 一個分層結構的數值模式模擬西北太平洋 M₂正壓潮流與地形交互作用，於東海 陸棚邊緣和琉球島弧產生的內潮能量通量約 3 GW，呂宋海峽約 8 GW；由於呂 宋海峽的主要潮汐成分為半日潮與全日潮組成的混合潮，Jan et al. (2008)考慮了 四種分潮(O1、K1、M2、S2)作為模式驅動力，得到約 18 GW 的半日潮與 11 GW 的全日潮內潮能量在呂宋海峽產生，並進一步分辨出呂宋島弧和恆春海脊分別貢 獻 70%與 30%的內潮能量通量。以上數值研究皆未考慮黑潮可能帶來的影響。

為探討內波與密度鋒面交互作用，Chen et al. (2002)建構一小尺度理想化大 陸棚地形的數值模式，模式邊界放入 M2或 K1正壓潮，大陸斜坡處搭配中緯度 夏季或冬季會出現的密度鋒面；結果顯示密度鋒面的存在有助於內潮產生，不同 的密度梯度方向與垂直分布，決定內潮能量的傳播會被侷限在鋒面區、折射改變

行進方向、或是經由非線性作用轉到更高頻的波動；而密度鋒面的水平寬度與密 度梯度的斜率僅影響結果之能量大小，不改變其傳播特性。

在真實海洋尺度的模擬中，Buijsman (2010)以非靜水壓(Non-hydrostatic)的二 維模式展示呂宋海峽兩海脊中間穿過的黑潮有助往西傳遞的非線性內波，演化成 海 脊 東 西 側 不 對 稱 的 強 非 線 性 內 孤 立 子 (Solitons) ， 向 西 抬 升 的 溫 躍 層 (Thermocline)使得往東進入太平洋的孤立波能量較西向的少了 28%。

在實際觀測資料分析之中，Rainville and Pinkel (2005)從全球歷史平均的溫鹽 場分解出各模態 M2內潮，再用衛星量測的全球海表高度換算成正壓地轉流場，

並利用二維射束追跡法(Ray-tracing)，探討內潮傳播受正壓背景流場的影響。結 果發現第一模的 M2內潮傳播路徑受正壓地轉流的影響很小，但其相位會受背景 流場的調整，越高模態的相位所受影響越大，且隨著傳播距離增加，相位差亦愈 大。

1.4 研究目的及方法 研究目的及方法 研究目的及方法 研究目的及方法

根據上述文獻回顧，洋流對於內波的能量分布、頻譜、行進方向、非線性作 用消散或垂直混合等有不同程度的影響；每篇研究論文，各針對不同的海洋背景 環境、海底地形、波動時空尺度等進行，各有各的結果，綜合說來並無特別適用 於呂宋海峽內波、內潮和黑潮互相影響的分析結果。事實上，呂宋海峽的雙海脊 地形、複雜的水文場變化、黑潮流軸變化等等，都令理論分析工作倍加困難，即 使利用數值模式來探討內波、黑潮互相影響，都未必是件容易的研究工作。除此 以外，研究上的困難度還包括因為地形的高度、寬度、坡度、或形狀等各參數的 改變皆會影響內潮產生，而產生的傳播路徑、結構、能量大小等皆難以控制，如 何從觀測資料中有效的將洋流與正壓潮流完全分離亦增加分析的困難度。此外，

黑潮流軸的短期變動在複雜海底地形上也可能產生各種頻率的內波，同時影響內 潮的產生與傳播。因此本研究退而求其次，希望從複雜的情況，簡化到僅有一低

模態(Low mode)的內波行進時碰到黑潮所發生的變化，以了解其間發生的變化。

對於內波的產生、耗散等過程不在本次研究中探討。綜而言之，本研究的目的，

為探討不同頻率的內波的能量傳播受斜壓地轉流的影響。

本研究以 Princeton Ocean Model (簡稱 POM)為工具，模式地形設為平坦海 底，水深均一 1000 m，利用正模分解法(Normal mode decomposition)估算分層頻 率為常數的條件下第一模(Mode-1)斜壓內波的垂直結構做為模式東邊界條件；模 式中心設置東西向的密度斜面，根據熱力風關係(Thermal wind relation)調整其密 度梯度與流速垂直分布以產生速度、結構、與流幅皆近似黑潮的北向斜壓地轉 流，以探討不同頻率的西向第一模內波行進間碰到北向的地轉流，與傳播在水平 均勻的密度場中的差異。

2. 數值模式 數值模式 數值模式 數值模式

本研究所用的三維模式乃是以 Princeton Ocean Model (POM)為基礎修改而 來，POM 係由 Blumberg 與 Mellor 建構，理論基礎、模式應用等說明在 Blumberg and Mellor (1987)。POM 為一個公用程式，被廣泛應用在許多不同尺度的海洋科 學研究。使用者可依研究需要，修改模式邊界條件、物理參數甚至部分差分方式。

依使用手冊(Mellor，2002)的說明，模式特點包括：

1. 運用二階紊流理論(Second moment turbulence closure sub-model)計算垂直方向 之紊流擴散係數(Yamada and Mellor，1982)。

2. 垂直方向採用σ座標系統，使海表或海底邊界層可調整為較佳之垂直解析度。

3. 水平方向採交錯式Arakawa C網格排列與差分方式，降低內插計算次數。

4. 水平方向時間差分式採用顯式(Explicit)，垂直方向則採用隱式(Implicit)。

5. 模式水面允許自由運動(Free surface)。

6. 使用快慢模分離技術(Mode splitting technique)，將數值計算分為快速運動、需 採較短之積分時間間隔的正壓模(External mode)，與相對較緩慢、積分時間 間隔可較長的三維動量平衡斜壓模(Internal mode)兩個部分，以提高運算效 率。

7. 包括動量、溫、鹽度平衡之三維計算。

2.1 控制方程式 控制方程式 控制方程式 控制方程式

模式的控制方程式是根據動量守恆與質量守恆原理推衍而出的。但由於卡氏 座標(Cartesian coordinate)在處理複雜海底地形時受空間解析度的限制而有所不 足，因此模式利用 Philip (1957) 所創之 σ 座標系統。σ 座標是將不同的水深，分 為相同的層數，也就是說不論水深或淺，垂直層數與厚度比例要一樣。也就是：

t D t

z H

y z y x

x = − =

+

= −

=

= ^{* *}

* , , η ,

η σ η

其中D=H +η ，H(x,y)為水深，η(x,y,t)^{為水位，當}z =η時(水面)，σ =0^，

H

z= (海底)，則σ =−1。一般而言，水體的表面與底部兩重要的邊界層通常希

望能有較高的垂直解析度，使用不等間距的 σ 比例，有助於在不喪失計算效率的 情況下，使海表施加的外力(如:風應力)或與海底地形的摩擦等能夠有效導入水 體。

因此，在卡氏座標下，假設流體不可壓縮，由質量守恆定理得連續方程式：

=0

∂ + ∂

∂ +∂

∂

∂

z w y v x

u (3)

去除*號轉換至 σ 座標，可以寫成：

=0

∂ +∂

∂ +∂

∂ +∂

∂

∂

t W y

DV x

DU η

σ (4) 其中W 代表垂直方向的流速，正交於 σ 平面；其與卡氏座標下的垂直流速w的 轉換方式為

t t D y

y V D x x U D W

w ∂

+∂

∂ + ∂

∂ +∂

∂ + ∂

∂ +∂

∂ + ∂

= ⁽σ η^{) (}σ η⁾ σ η (5)

若模式地形為平坦海底，σ ^{平面與海底平行，則}w=W 。

動 量 方 程 式 採 用 布 氏 近 似 (Boussinesq approximation) 與 靜 水 壓 近 似 (Hydrostatic approximation)來做簡化。經過近似後，卡氏座標下的動量平衡方程 式如下：

z g p

z F v y

fu p z w v y v v x u v t v

z F u x

fv p z w u y v u x u u t u

v M

u M

c b a

ρ ρ

ρ ρ

∂ −

− ∂

=

∂ + Κ ∂

∂ +

− ∂

=

∂ + + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ + Κ ∂

∂ +

− ∂

=

∂ − + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

0

2 2

0

2 2

0

0 1

1 1

] 6 [ ] 5 [ ]

4 [ ] 3 [ ] 2 [ ] 2 [ ] 2 [ ] 1 [

水平向包含[1]慣性項，[2]平流項，[3]科氏加速度，[4]壓力梯度力，[5]垂直擴散，

及[6]摩擦項的動量平衡，垂直向為靜水壓方程式，是由於垂直方向的流速(W)遠 小於水平方向(U、V)，因此 W 的變化對壓力場產生的擾動可忽略，近似為靜水 壓平衡。將卡氏座標下的動量方程式轉換到模式使用的σ 座標系統，x 與 y 方向

動量平衡方程式分別為：

x

M U F

D d K

x D D x gD

gD x

Uw fVD y

UVD x

D U t

UD

∂ +

∂

∂ + ∂

∂

∂

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

=

∂ − +∂

∂ +∂

∂ +∂

∂

∂

∫

0 2 2

σ σ σ

σρ σ

ρ ρ

η

σ

σ

(6)

y

M V F

D d K

y D D y gD

gD y

V fUD y

D V x

UVD t

VD

∂ +

∂

∂ + ∂

∂

∂

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

=

∂ + +∂

∂ +∂

∂ +∂

∂

∂

∫

0 2 2

σ σ σ

σρ σ

ρ ρ

η

σω

σ

(7)

其中 g 為重力加速度，ρ₀ =ρ−ρ'為參考密度場，K_M是垂直動黏滯係數(Vertical viscosity)，F 與_x F 為水平黏滯項(Horizontal viscosity)與水平擴散項(Horizontal _y diffusion)，也就是 x 方向和 y 方向的雷諾應力(Reynolds stress)。

另外，由狀態方程式(Equation of state)可知，海水密度是溫度、鹽度與壓力 的函數，即ρ =ρ(θ,S,P)，式中θ為位溫(potential temperature)，將溫鹽度平衡 式做σ座標轉換後可得溫鹽平衡方程式

σφ φ

σ σ φω φ

φ

φ F

D K y

VD x

UD t

D _H +

 





∂

∂

∂

= ∂

∂ +∂

∂ +∂

∂ +∂

∂

∂ (8)

式中的φ^{為溫度或鹽度，}KH為溫度和鹽度的垂直混合擴散係數(Vertical eddy

diffusivity)，F 為水平方向由溫度或鹽度擴散產生之側向摩擦。 _φ

KH、K_M是利用 Mellor 和 Yamada (1982)所發展的二階紊流模式來決定，經 過 σ 座標轉換後，紊流的動能 q2/2 及紊流的尺度參數 l 表示如下：

( )

( ) (

)

2

1 3

0 3 2 2

1

2 2

2 2

2

1 3

0 2 2

2 2

2 2

2

~ 1

(10)

~

(9) 2

2 2

−

−

− = − + −



 

 + 

=

+

 −











∂ + ∂











 



 





∂ + ∂



 





∂

∂

+



 





∂

∂

∂

= ∂

∂ +∂

∂ +∂

∂ +∂

∂

∂

+

∂ − + ∂











 



 





∂ + ∂



 





∂

∂

+



 





∂

∂

∂

= ∂

∂ +∂

∂ +∂

∂ +∂

∂

∂

z H z

L

L E l W

B F W Dq g K

V E U

D l K E

l q D K s l q y

lVD q x

lD Uq t

lD q

l F B K Dq

g V

U D

K

q D q K

y VD q x

UD q t

D q

l H

M

q

q H

M

q

η κ

σ ρ ρ

σ σ

σ σ

ω

σρ ρ

σ σ

σ σ

σ ω

E1、E3 : 經驗值，κ=0.4 為 Von Karman 常數。

模式中的控制方程式包含了波相速度較快的表面重力波，及相對較慢的三維 內重力波，在數值計算上區分為計算正壓流的正壓模(Barotropic mode或External mode)及計算斜壓流的斜壓模(Baroclinic mode或Internal mode)，將波速懸殊的兩 種運動尺度分離，正壓模計算使用較短時間步幅且將流速垂直積分求得水平傳遞 的二維運動；而三維空間網格的斜壓模則取較長的計算時距，每經過若干個外模 時步才運算一次，並將三維動量平流項、水平擴散、側向與底部摩擦等運算結果 反饋。此計算技巧的運用可以節省每個時步運算三維空間每一網格點的運算時 間，有效提高運算效率。

在空間網格的設定上，水平方向採用 Arakawa C-grid 系統，C-grid是一種棋 盤式交錯網格分布。水平速度U 、V 分別位於東、西、南、北向的格線中間，至 於其他的變量，如水位η，垂直方向的流速W ，溫度T 以及鹽度 S 等等，則位於 每個網格之正中間，各變數的空間分布如圖2-1所示，圖2-1(a)為模式二維正壓模 的水平流速與水位的相對位置俯視圖；圖2-1(b)是模式的斜壓模網格分布平面 圖，其中 Q 表示Κ_M^、ΚH^{、 2q 、}q2 ， T 是代表 T 、 S 、或^l ρ。最後，圖2-1(c) 是三維斜壓模網格的側視圖， Z 為深度，其中ZZ(k)為第Z(k)層與Z(k+1)的中 間水深，距上下層皆為水層厚度的一半。

圖 2-1(a) 二維正壓模網格配置俯視圖。(Mellor，2004)

圖 2-1(b) 三維斜壓模網格配置俯視圖。(Mellor，2004)

圖 2-1(c) 三維斜壓模網格配置側視圖。(Mellor，2004)

模式之運算流程如圖2-2，首先輸入參數初始值和加入起始條件如溫鹽場或 初始流速場。接著開始運算，在正壓模時距下進行二維的正壓流計算，主要是解 得水位及水平方向垂直平均流速供三維斜壓模計算時使用。而斜壓模時距計算得

出內部的三維方向流場、溫鹽度、平流項與擴散等等。如此重覆計算至總積分時 間後結束運算並輸出結果。欲使運算結果穩定，模式的時距與網格間距需滿足 Courant–Friedrichs-Levy (CFL)限制：

12

2 2 max

1 1

1 + ⁻

≤ +

∆t C U x y

t δ δ (11) 其中， t∆ 為時間步幅， xδ ^{、 y}δ 為模式的水平網格間距，U_max為預期的最大流速，

相速度C 的大小於正壓模為_t 2 gH ，斜壓模為最大內重力波相速度(一般約2~3 ms^-1左右)，不同的C 代入CFL不等式皆需滿足各自時間步幅的限制。否則若波的_t 相速度在一個時步內行走的距離大於網格間距，則可能造成數值運算結果發散，

產生數值不穩定的現象。

圖 2-2 模式運算流程。(取自丁錡樺，2008)

2.2 數值實驗設定 數值實驗設定 數值實驗設定 數值實驗設定

2.2.1 區域尺度 區域尺度 區域尺度設定 區域尺度 設定 設定 設定

假設模式區域內科氏參數 f (Coriolis parameter)為常數，底部平坦，東、西 邊開放的長方體海域，科氏參數 f =5.23×10⁻⁵ s^-1，相當緯度 21°N 的科氏參數；

模式在初始時充滿穩定分層的流體，鹽度皆為 34.5 psu，各層密度改變量僅由溫 度變化來控制，深度均一為 1000 m，內波由東邊界進入，向西傳播。模式 x 方 向的總長度為 1700 km，y 方向 610 km。y 方向的網格解析度較粗，間距為 10 km；

而 x 方向上為解析內波運動與維繫地轉流的水平密度梯度，網格間距大部分設為 1000 m，除了臨近西側邊界 x 方向之 100 個格點，為免受內波碰到西邊界後反射 往東行進，回到地轉流流域之影響，因此加長模式東西方向的範圍，利用變動網 格間距降低距西側 100 個網格的解析度，所以網格間距 dx 以

1 ,

1 , 100 1 ,

. 10

) ) (

1 ( )

( = + +dx i i = step =−

i dx i dx

線性函數漸增，至西邊界上網格間距最大(dx(1)=10.9 km)，且此 100 格點距離 600 km，水平向共計 1201×61 個格點(圖 2-3)。

而垂直的σ-level 共分為 33 層，由於沒有海底地形，每個水層厚度以總水深 平均分配為 31.25 m，海底為固體邊界，流速等於 0。為免底摩擦損耗內波能量 影響後續分析，因此忽略底部摩擦效應，將無因次海底摩擦係數設為 0。

120 km

G e o s tr o p h ic f lo w G e o s tr o p h ic f lo w

1 ,

1 , 100 1 ,

. 10

) ) (

1 ( )

( = + + dx i i= step=−

i dx i dx

ΔΔΔΔ Y ~ 1 0 k m

Δ Δ Δ

ΔX varies linearly Δ Δ Δ ΔX=1 km

X grid points

Y g ri d p o in ts

120 km 120 km

G e o s tr o p h ic f lo w G e o s tr o p h ic f lo w G e o s tr o p h ic f lo w G e o s tr o p h ic f lo w

1 ,

1 , 100 1 ,

. 10

) ) (

1 ( )

( = + + dx i i= step=−

i dx i dx

ΔΔΔΔ Y ~ 1 0 k m

Δ Δ Δ

ΔX varies linearly Δ Δ Δ ΔX=1 km

X grid points

Y g ri d p o in ts

圖 2-3 模式區域及網格間距示意圖。

2.2.2 斜壓初始場 斜壓初始場 斜壓初始場 斜壓初始場

模式初始條件的給定分為兩個部分，先設置密度隨深度線性遞增、x方向有 寬120 km密度鋒面的密度環境，再利用水平密度梯度推得斜壓地轉流場，且y方 向上南北一致，每個x-z剖面的斜壓初始場皆相同。

由於沒有表面蒸發或淡水注入，模式之鹽度值均一為34.5 psu，密度變化僅 由溫度和壓力控制。在模式東部，北向地轉流右側的密度場水平均勻，溫度值為 單一剖面，僅為水深的函數：

7 . 29 015 . 0 10

9 )

( ^{6 2}

0 z =− × ⁻ z + z+

T

在表面最暖(T₀(0)=29.7^oC)，隨著水深增加，溫度呈二次曲線下降至海底最低

(T₀(−1000)≈5.01^oC)；所對應的密度在表面為1021.36 kgm^-3，隨深度線性增加至 海底密度1031.9 kgm^-3(圖2-4)，垂直分層的浮力頻率為一常數值(0.01 s^-1)。

圖 2-4 模式初始溫度T₀(^oC)和位密度σ_t ^kgm-3(σt =ρ−¹⁰⁰⁰)垂直剖面圖。

而密度鋒面位於x方向的i=541−660區間，共120個格點(120 km)範圍內，

有水平、垂直向都有梯度的溫度鋒面：

0 ) 660 ( 120 ,

5 . ) 3 ( ) (

33 , 1 ,

541 , 659 ,

) 5 . 1000 2 ( 1000 )

( ) ( ) , (

)]2

601 ( 120

5 . [3

1 0

=

× +

=

=

=

− ×

−

×

±

=

−

×

−

+ e A

x A x A

k z i

erf x

A z T z x T

i i

i

k i

k k

i

由 A 決定等溫面的水平梯度大小，再乘上一個由誤差函數(Error function)決定之 等溫面的梯度在垂直方向的變化。但保留模式東側與地轉流交會前的溫度場與對 照組一致：

33 , 1 ,

1201 , 661 ,

) ( ) ,

(x z =T₀ z i= k =

T _{i k k}

模式西側則與溫度梯度所在最西側的格點(i=541)有相同的溫度剖面：

33 , 1 ,

541 , 1 , ) , ( ) ,

(x z =T x₅₄₁ z i= k =

T _{i k k}

如此可以控制地轉流流幅範圍，並使內波能量來到斜壓地轉流區之前或之後，經 過的背景水文場皆為水平均勻的分層環境和溫度分布。

初始條件設置的第二部分，即為利用設定好的密度場，推得水平和垂直方向 皆有切變(Shear)的北向斜壓地轉流流速。地轉流由南而北貫穿 y 向模式範圍，流 速以地轉平衡式

x fv p

∂

∂

= −

−

0

1

ρ (12) 代入參考密度ρ₀^{(=1025 kgm-3})與靜水壓近似所得之熱力風關係：

x f g z v

∂

− ∂

∂ =

∂ ρ

ρ (13) 推算而得，並設為模式三維方向的初始流速場，再取其垂直平均值作為二維初始 流場。斜壓地轉流的垂直結構和溫度場的分布如圖2-5。

Relative distance (km)

圖 2-5 東西向斷面上的斜壓地轉流與溫度場垂直剖面。

2.2.3 邊界條件 邊界條件 邊界條件 邊界條件

模式驅動力包含第一模內波和斜壓地轉流，兩者皆有隨深度變化的密度和速 度垂直結構，且由於時間、空間尺度上的差異，以及不同的動力機制，地轉流設

定為動態平衡的穩定狀態(Steady state)。對於如本研究的區域尺度模擬，設定合 適的開口邊界條件，對於理想化的數值動力過程模擬有決定性的影響。

開口邊界條件參考 Johnston and Merrifield (2003)及 Johnston et al. (2003)所使 用的方法，四邊開口上的水位邊界條件使用梯度為 0 的邊界條件，即東-西邊界 與南-北邊界上水位：

=0

∂

∂ x

η _，

=0

∂

∂ y η

希望模式區域中水位的擾動可由邊界離開。因為模式驅動力不包含正壓的表面潮 運動，在平坦海底傳播的第一模內波亦不引起水面起伏；而維繫地轉流的斜壓場 所伴隨的水位差不隨時間改變，在地轉流流幅以外的區域，x 方向上的水位在地 轉流東邊和西邊各為一定值，高水位在流向的右手邊，y 方向南北一致，因此邊 界上的水位設為與相鄰格點相等，去除邊界上的水位梯度。

流速邊界方面，平行邊界的二維及三維流速皆設梯度為 0(Johnston and Merrifield，2003；Johnston et al.，2003)，即沿東-西邊界上的v 與沿南-北邊界上 的 u 流速邊界條件各為：

=0

∂

=∂

∂

∂

y U y

u ， =0

∂

= ∂

∂

∂ x V x v

而垂直出入四邊界的二維垂直平均流速場開口邊界條件則使用 Orlanski (1976)輻 射邊界條件(Radiation condition)，東-西邊界與南-北邊界各為：

= 0

∂

± ∂

∂

∂

x c U t U

e ， =0

∂

± ∂

∂

∂

y c V t V

e

式中c_e = gh^{為淺水波相速度。}

另一方面，三維流速場則包含兩項模式驅動力的置入─內波與地轉流，且兩 者的行進方向互相垂直。因此在南、北邊界中央的地轉流流域部分，與東邊界的 內波模擬皆給定已知數值做為邊界條件。

而第一模內波垂直剖面則先從密度場計算出垂直分層的浮力頻率，再依線性 內波的垂直速度特徵方程式(Gill, 1982)：

2 0

2 2 2 2 2

2 =

−

+ − W

f k N

dz W d

ω

ω (14)

ω為內波頻率，此處以 M2 潮為例，代入 M2 潮的頻率ω =1.4×10⁻⁴ s^{−1(週期約} 12.42 hr)，與方程式(14)的兩個邊界條件：

0 ) (

) 0

(z= =W z= H = W

可得 n 個模態的內波垂直速度剖面隨時間 t 的變化值(如圖 2-6)：

)

cos( 2

0 2 kx t

W

w= _nη ω_M −ω_M

η0為垂直振幅無因次參數，k 為波數(Wavenumber)，取其中最大項的第一斜壓 模，再由連續方程式(假設

x u y

v

∂

<<∂

∂

∂ _{1 1}

)：

z w x

u

∂

−∂

∂ =

∂ _{1 1}

推得第一模 M2內波的水平流速剖面，做為模式東側邊界條件(如圖 2-7)：

2) cos( 2

0 1

ω π

η −

=u t

u_{east M}

其餘南-北邊界的三維流速邊界條件為 Orlanski 輻射邊界：

0 ,

0 =

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

∂ −

x c u t u y

c v t

v W

i S

N i

其中c_i^N−S = H/max(H)dy/dt_i，dt (=60 s)為模式內模計算時步，本研究中 H 為_i 常數。而西側邊界c 為第一模內波相速度，使來到邊界上的內波流速盡量輻散往_i 外離開模式範圍，減少邊界反射。

另外，模式溫度開口邊界由其上游區平流項決定(Upstream advection)，邊界 條件設為：

=0

∂ + ∂

∂

∂

x U T t T

圖 2-6 正模理論解得各個模態的 M₂內潮垂直流速w，n 代表模數。

圖 2-7 由模式東邊界放入的第一模 M2內潮流速u、w垂直結構。

2.3 數值實驗 數值實驗 數值實驗 數值實驗條件 條件 條件 條件

本研究為探討由東往西傳播的第一模內波受北向地轉流的影響，固定斜壓地 轉流設定的各項參數，探討四個不同頻率的內波在相同背景斜壓場下其傳播行為 受地轉流影響的差異，實驗條件如表 2-1。

四個 Case 的內波週期由短至長分別約 6.2 (Case M4)、12.4 (Case M2)、24 (Case K1)、及 30 (Case F)小時，科氏參數 f 所在緯度 21°N 的慣性週期(Inertial period)約為 33.4 小時，分層環境的浮力頻率換算為週期約 0.17 小時，Case F 週 期約為慣性頻率的 90%，最高頻的 Case M4 週期亦遠大於環境的垂直震盪週期，

符合線性內波頻帶限制N >>ω > f 。另外，內潮流速振幅的無因次參數η₀^定為 0.1，除了控制內潮流速數量級與真實海洋的觀測值相當以外，為使內波的振幅 符合本研究範圍內的線性內波條件，η₀的決定可用福祿數(Froude number)來衡 量，其定義為：Fr =U (NH)，式中U 為水平速度， NH 近似水平相速度。福祿 數可視為水平的流速與內波相速度的比值，也就是若是 Fr >> 1，則流體的運動 尺度遠大於波移動的相速度，此時非線性效應成為主宰流體運動行為的主要因 子；反之，Fr << 1 的情況則可解釋為由波引起的水平流速比波本身的相速度小 很多，在相同的水深與流速條件下，福祿數越小則浮力頻率越大，也就是流體的 垂直分層相對較強，因此在垂直方向上，水粒子脫離其平衡位置來到不同密度的 深度後，相對較易再回到原本的密度環境；所以此時流體運動主要以重力為回復 力，密度的擾動量遠小於水體密度，適用微小振幅理論。因此，設η₀ =0.1^，則

1 01 . 0 ) 1000 01 . 0 /(

1 .

0 × = <<

=

Fr 。

另一方面，各實驗組的背景地轉流場皆同，中心最大流速為 0.778 ms^-1，流 幅約 120 km (見圖 2-5)，由南往北通過每個東西向斷面的流量皆約為 23 Sv (1

Sv=10⁶ m³s^-1)，與黑潮在臺灣附近海域的流量相似。接下來，下一章將說明數值

實驗結果並與理論值驗證。

表 2-1 數值實驗條件表。

內波 斜壓地轉流

Case

頻率(s^-1) 週期(hr) 最大流速(ms^-1) 流量(Sv)

M4 2.8×10^-4 6.2103 0. 8 23

M2 1.4×10^-4 12.4206 0.8 23

K1 7.3×10^-5 23.9345 0.8 23

F 5.8×10^-5 30.0000 0.8 23

3. 模式結果與驗證 模式結果與驗證 模式結果與驗證 模式結果與驗證

本章分為兩個部分，第一部分為利用已知理論值分別驗證第一模內波(以 M₂ 潮為例，第 3.1 節)與斜壓地轉流(第 3.2 節)在模式各項參數配置下的穩定性，確 保內波與斜壓地轉流的模擬結果與理論值的誤差在合理範圍內。第二部分則說明 內波行進時碰到斜壓地轉流的數值實驗結果(第 3.3 節)，探討內波的流速分布、

垂直結構、等密面起伏等受斜壓地轉流的影響。

積分時間長度考慮到模式初始條件自開始積分後的動力平衡調整時間，和避 免內波碰到地轉流後可能發生的反射波抵達東邊邊界時再反射，及內波抵達西邊 開口發生的反射波干擾數值實驗結果，各數值實驗積分時間設定為 8 至 10 天，

依不同頻率的內波相速度與週期長短所決定。由初始狀態(第 0 個小時)開始至第 24 小時間所有外力均乘上一由 0 開始隨著時間線性增加至 1 的係數，24 小時後，

此係數即固定為 1。如此可以避免初始場與外加的驅動力間的空間梯度太大，以 致流速過大，超過 CFL 條件。第一模內波於第 25 小時開始從東邊界進入，每小 時輸出模式結果，Case M4、M2、K1、F 分別使用第 6、7、8、8.5 天後的 25、

25、24、30 小時逐時資料進行分析。內波穿過斜壓地轉流的過程也有可能往其 上游區反射，雖然在設定的積分時間範圍內反射波若是碰到邊界，因邊界條件導 引訊息離開計算區間並非十分有效，以致可能再由邊界反射回模擬區域裡，然而 在積分結束前此反射波尚未達斜壓地轉流區。但為避免由邊界反射的內波干擾分 析結果，分析範圍設定在遠離邊界的地轉流兩側各 250 km 左右的範圍內，也就 是模式範圍中央段長 600 km 的東西向斷面(參考圖 2-3)，如此亦有助聚焦觀察內 波傳遞碰到地轉流後的反應。

3.1 第一模內波 第一模內波 第一模內波 第一模內波

本節經由驗證東往西傳播於水平均勻密度場的第一模內波模擬結果(以 M2

潮頻率為例)，圖 3-1 為第 7 天模式東邊界上的第一模 M₂內波的 w 與 u 速度垂直

結構，經歷兩個潮週循環，間隔 3 小時的時序剖面圖。東邊界內波流速振幅係由 正模理論推導而來，再乘以 M2半日潮頻率的時間函數產生週期變化，比較圖 3-1 的內波流速與理論值的誤差小於 10^-7 ms^-1，推測應為模式的摩擦耗散作用和數值 運算過程的捨入誤差(Round-off error)與截尾誤差(Truncation error)所造成。

(a)

(b)

圖 3-1 第一模 M₂內波(a)垂直流速 w 與(b)x 方向水平流速 u 垂直結構，每一小方 圖時間間隔為 3 小時。自 1 hr 至 25 hr 應包括兩個 M2週期的變化。

因為模式的初始垂直分層為密度隨深度線性遞增的線性分層，浮力頻率為一 常數值(N =0.01s⁻¹)，第一模結構的節點設定於水深 500 m，垂直速度最大值約 0.0013 ms^-1，水平速度 u 在節點處為 0 ms^-1，在海底與水面有最大和最小値±0.075 ms^-1週期性出現，且流速方向為上下層相反的垂直結構。

水平傳播方面，圖 3-2 包含第 7 天、第 7. 25 天以及第 7.5 天，模式 y 方向中 央的瞬時東西向垂直斷面。圖 3-2a 顯示 600 km 內約含五個波長距離，由此估算 每個波中心最大流速間隔的水平距離，得平均波長約 120.1 km，與正模分解得到 的 M2第一模內波的波長理論值 120.82 km 的相對偏差約 0.5 %，此偏差尚在合理 可接受的範圍，應該不至於影響本研究欲探討的動力過程。比較模式內波結構與 正模理論所得的第一模內波水平流速的空間分布(圖 3-3)，可以看出造成偏差的 可能原因為模式的有側向摩擦效應，而正模理論則無摩擦消散作用。水平流速振 幅的偏差採用均方根(Root mean square)偏差計算，即：

∑

− −

= ^N

n

Theory n Model

n u

N u RMS

1

)2

1 (

1 (15)

以上式計算圖 3-3 的東西向斷面範圍內， N 點模式內潮水平流速u^Model與正模方 法所得理論值u^Theory間的均方根偏差，得其 RMS 為 8.1×10^-5 ms^-1，約為最大水平 流速振幅的 0.1%左右。

(a)

Day 7 u (ms^-1)

Relative distance (km)

(b)

Day 7.25 u (ms^-1)

Relative distance (km)

(c)

Day 7.5 u (ms^-1)

Relative distance (km)

圖 3-2 傳播於水平均勻密度場的 M₂第一模內波瞬時水平流速 u 在東西向斷面上 的分布，(a)第 7 天，(b)第 7.25 天，(c)第 7.5 天。

Day 7

圖 3-3 傳播於水平均勻密度場的第一模 M₂內波於第 7 天的瞬時流速 u 與正模理 論值在東西向斷面上的空間分布。