4. 實驗結果分析與討論
4.3 能量通量與群速度
根據 Nash et al. (2005)計算斜壓能量通量之公式：
x u p t
F = ' ' (19a)
y v p t
F = ' ' (19b)
z w p t
F = ' ' (19c) 其中 'p 是指壓力的擾動量，計算方式為將靜水壓方程式做深度積分：
∫
− −+
= 0 0 ( )
' p H t gdz
p ρ ρ (20a)
0 0
1 '
0 p dz p
H H −
=
∫
− (20b)也就是利用垂直方向每一水層的密度擾動量，乘上重力加速度 g 和水層厚度 dz 後，從水面往底部深度積分，使每一層的壓力是該水層的擾動荷重與其上所有水 層所受壓力的總和，得出底部最大而表面最小的壓力垂直剖面；然而，使用靜水 壓方程式深度積分來計算內波壓力場，積分過程產生的積分常數可視為內波引發 的表水壓擾動(式(20a)中 po)，此積分常數無法準確求出；因此，Kunze et al. (2002) 提出解決之道，利用(20b)式，內波引起的斜壓擾動的垂直平均值應為 0 這個特 性，推得積分常數值，其後此法便被廣泛應用在計算內波的能量通量。
圖 4-9 為各實驗在東西向斷面上，往 x 方向傳播的能量通量垂直分布。第一 模內波行進於水平均勻密度場時，在中間水層 500 m 處為第一模流速的節點，因 此 Fx為 0，而近表層與底部則是負值，表示斜壓能量的傳播方向由東往西，由於 沒有底部摩擦效應，能量消散的情況並不明顯；而當內波穿過一支往北的斜壓地 轉流後，能量通量減少，且隨著內波頻率越低，穿過流的斜壓能量越少，Case F 極低頻的近慣性內波在地轉流區中水層有斜壓能量通量通過(圖 4-9d)，跨越節點 破壞第一模的結構，皆與前一小節對於斜壓能量空間變化的描述相符。
(a)
(b)
(c)
(d)
圖 4-9 東西向斷面時間平均能量通量(Fx)垂直分布：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。
另外，因驅動模式的內波流速雖預設朝正西方向傳播，但在傳播過程中受到 科氏效應的影響，導致 y 方向有斜壓能量產生，對於傳播於水平均勻密度場的內 波而言其量值與 Fx項相差懸殊，因此，透過各實驗 y 方向斜壓能量通量 Fy的空 間分布(圖 4-10)，可以看到垂直通過東西向斷面的南北向斜壓能量因內波頻率的 差異，受北向斜壓地轉流的影響有顯著的不同。首先，較高頻的 Case M4 與 M2 於地轉流兩側水平均勻密度場的 Fy最大值約 0.2 Wm-2(圖 4-10a)與 0.35 Wm-2(圖
4-10b)，是 Fx的 3%、5%左右，顯示因科氏力造成的斜壓能量通量較內波傳遞方
向小很多；但在地轉流區，y 方向斜壓能量於流軸右半的負相對渦度側表層 100 m 以上有較大負値，正相對渦度側則大致以第一模節點為界，上層斜壓能量通量有 往北極大値，下層相反，因此深度積分後，Fy應仍較 Fx小很多。
然而，較低頻的內波實驗 Case K1 及 Case F 在地轉流軸兩側的上層雖有類 似的 Fy分布，但於下層沒有相對的反向能量，所以深度積分後應有與地轉流同 向的淨北向能量通量產生，尤其是內波頻率近慣性的 Case F，Fy最大値將近 11 Wm-2，為其最大 Fx的兩倍以上。也就是說，當內波傳播至往西抬升的等密度面
時，碰到往北的斜壓地轉流，在地轉流兩側及底部與表面都有反向的 Fy分量，
但隨著頻率越接近 f，底部往南的斜壓能量通量越小，表面則有越多的能量順著 地轉流往北傳遞。在地轉流區中間水層的能量傳遞與內波頻率的關係，接下來由 Fz的分布來進一步探討。
(a)
(b)
(c)
(d)
圖 4-10 東西向斷面時間平均能量通量(Fy)垂直分布：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。(註：色階對應的能量通量隨內波頻率調整。)
由東西向斷面的 Fz可以看出內波能量在垂直方向的走向(圖 4-11)。第一模內 波斜壓能量傳播到地轉流區時，因等密度面上抬使得內波所受浮力減弱，在流幅 中央有淨往下的垂直能量通量，且隨著內波頻率降低，能量傳播的偏轉角度越 大，在地轉流左半部可見明顯的能量束結構。為了比較不同方向能量通量的空間 分布情形，將 Fx與 Fz正規化後，以向量流矢來表示並繪於 Fy底圖上。圖 4-12
為 Fx和 Fz流矢圖，底色為 Fy。由於 Fz與 Fx的量值大小相差懸殊，為了突顯垂 直方向的能量通量，因此將 Fz的大小乘以 3000，大約是 x 與 z 方向流矢間距的 比值，如此便可觀察能量通量的傳遞過程。(註：此圖僅用於討論其能量走向，
運算結果仍應以圖 4-11 為主。)
(a)
(b)
(c)
(d)
圖 4-11 東西向斷面時間平均能量通量(Fz)垂直分布：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。
當第一模內波能量傳播至往西抬升的密度梯度區，隨著浮力減弱，原本向西 傳播的斜壓能量通量一部分往下走，破壞了原位於中水層的第一模節點結構，一 部分隨著斜壓地轉流往北傳遞，其餘則是穿過流繼續西行。以流軸為中心，越低 頻的內波能量傳播至地轉流左半部的正相對渦度側時，斜壓能量通量在 x-z 東西 向斷面上轉往偏離密度梯度區的角度越大，y 方向的分量也越大(如 Case K1，圖
4-12c)；到了某臨界頻率後(如近慣性頻率，Case F)，x 與 z 方向的能量通量在地 轉流左側只剩下極小値，但 y 方向能量增長四倍以上，且傳遞方向同地轉流流 向，如圖 4-12d。
(a)
(b)
(c)
(d)
圖 4-12 東西向斷面斜壓能量通量空間分布。箭頭為 Fx與放大 3000 倍的 Fz，底 色為 Fy：(a) Case M4; (b) Case M2; (c) Case K1; (d) Case F。
綜合以上所述，將斜壓能量通量深度積分，比較各實驗通過東西向斷面的斜 壓能量通量在空間上的變化(圖 4-13)。定性而言，當第一模內波由東向西傳播碰 到一支北向地轉流，頻率越高的內波越容易維持其 x 方向能量通量，並繼續西行 穿越密度梯度區；反之，越低頻的內波在地轉流區有越大的 y 方向能量通量，內 波能量傳遞方向越偏往地轉流向，能量通量往西的分量也就越小，且低頻內波頻 率越接近 f，垂直的波傳斜度越接近等密面斜率，內波所感受到的浮力越小，則 一部分能量向下往較深處傳遞，一部份碰到流後被反射往反方向行進，抵消部分 反方向的 Fx。也就是說，斜壓地轉流對第一模內波能量傳遞路徑的影響是三維 的，不同方向的分量隨著內波頻率而異，且越低頻的內波，受地轉流的影響越大。
定量來說，將各實驗深度積分的能量通量與放入模式東邊界的入射值相比整 理為表 4-5，x 方向穿過斜壓地轉流至流幅西側區域的能量通量隨著內波頻率降 低而減少，但 y 方向的北向能量通量則與內波頻率成反比，尤其 Case F 的 Fy最 大值達 1800 Wm-1，顯示極低頻的近慣性內波在地轉流區有近 84%的能量通量轉 往北行進。而地轉流東側區域以 Case K1 的 Fx減少幅度最大，較入射能量少了 近 1000 Wm-1，原因可能為地轉流東側的反射波與入射波形成的部分駐波抵銷部 分能量通量，以下即由能量傳遞群速度輔助判斷部分駐波的特性。
將能量通量除以能量密度，可得內波傳播的群速度 Cg=F / E，群速度的方向 便是能量傳遞的方向，且速度隨頻率降低而減小，由深度積分的水平向群速度(圖 4-14)可以明顯看出，短波的能量傳遞速度快、長波傳的慢。另一方面，根據 Martini et al. (2007)的論文說明，部分駐波的內波群速度永遠較自由行進波的理論值小，
而第 n 模內波能量傳播的群速度理論値為：
ω ω π
2 2
)
( f
n H
Ctheog = N − (21)
其中 N 為垂直平均的浮力頻率，計算結果如表 4-5。Case K1 的 x 及 y 方向群速 度在地轉流東側的震盪情形，對照於圖 4-6 與圖 4-7 深度積分動能與位能分布，
在動能相對較大的部分駐波節點處(例 x~780 km 附近)有內波群速度往西的較小
値，此時 y 方向群速度接近 0 ms-1；腹點處(x~700 km)對應有效位能相對極大値，
往西的群速度較大，且 y 方向群速度亦趨近 0 ms-1；而部分駐波的節點與腹點之 間，則有 y 方向群速度最大值正負交替的分布。因此，由駐波的特性可知，Case
K1 在地轉流東側部分駐波的形成，會減少內波能量傳播，進而造成 Fx減少。Case
F 亦同，且 Case F 在地轉流區有 y 方向群速度極大値近 1 ms-1。而較高頻的內波
實驗則僅在地轉流區有較顯著的群速度變化，在 Case M4 和 Case M2 中群速度 分別減弱為入射値的 82.8%與 75.4%，其他區域無明顯的群速度變化。
整體而言，本節討論內波能量通過不均勻密度場時能量通量與群速度的變 化，比較 Fx在地轉流東西側的改變，佐以 Fy與 Fz的空間分布探究能量的傳播路 徑。接下來，下一小節將以能量方程式討論不同頻率第一模內波受北向斜壓地轉 流影響的動力機制。
表 4-5 深度積分能量通量與群速度(往西)：East-地轉流東側，West-地轉流西側。
Fx Cgx
Case
Theo.
(Wm-1)
East (Wm-1)
Ratio (%)
West (Wm-1)
Ratio (%)
Theo.
(ms-1)
Model (ms-1)
Ratio (%) M4 3559.4 3187.1 89.5 2792.1 78.4 3.13 2.95 94.3 M2 3575.8 3296.9 92.2 2282.2 63.8 2.96 2.72 92.2 K1 3105.6 2187.3 70.4 1134.4 36.5 2.22 1.95 87.8 F 2059.8 1648.2 80 199.2 9.7 1.4 1.09 78
圖 4-13 東西向斷面的深度積分斜壓能量通量 Fx (實線)與 Fy (虛線)。
圖 4-14 東西向斷面的內波傳播群速度 Cgx (實線)與 Cgy (虛線)。
4.4 內波 內波 內波 內波能量收支 能量收支 能量收支 能量收支
本節藉由內波能量方程式，探討內波受到背景地轉流影響的動力過程。能量 方程式的推導方式主要參考 Chern and Wang (2004)以及 Kuo and Chern (2011)的 能量方程式推導過程，將動量方程式的各項物理參數拆解為平均場加上微小的擾
DISS
[3] 背景流場對內波動能的平流作用(Advection of the mean field，簡稱 AdvG)。
[4] 內波與背景流場的能量交換(Interaction，簡稱 Int)。
[5] 能量通量在空間中的散度(Divergence，簡稱 Div)。
[6] 由壓力變化產生的浮力項所作的功(Pressure work，簡稱 Pgw)。
[7] 內波運動的各項摩擦消散(Dissipation，簡稱 Diss)。包含流體運動的側向摩 擦、垂直剪切損耗的能量、以及溫度混合擴散等等。
根據此處所導的能量方程式(25)式，內波行進於有北向地轉流背景場存在的 環境時，有數種動力機制可以直接影響內波的能量傳播，包括能量方程式的第[3]
項 AdvG，地轉流經由平流作用將內波動能帶往其流動方向，造成內波能量改變；
與第[4]項 Int，為內波擾動的雷諾應力(Reynolds stress)與地轉流流速梯度的乘 積，也就是內波運動產生的動量通量(Momentum flux)，使地轉流三維方向上的 動量分布重新分配，改變流速的梯度，並依雷諾應力與流速梯度乘積的正負號， 位移到另一深度所作的功，也就是內波有效位能的變化率，Niwa and Hibiya (2004) 亦將之視為流體的正壓能量轉換到斜壓的轉換率。
由此可以推測密度梯度區主要的能量平衡來自 x 方向的 Div 項，其次為 Int 項和 z 方向 Div 項，再來是內波動能本身 x 方向的 Adv 項、受地轉流平流的 AdvG 項、y 方向的 Div 項、以及 Pgw 項。由因次分析的結果可以初步研判，內波能量 受斜壓地轉流的影響主要來自密度梯度造成的壓力變化與地轉流 x 與 z 方向流切 動量的重新分配帶來的能量交換。以下藉由不同數值實驗條件下的能量收支狀
由此可以推測密度梯度區主要的能量平衡來自 x 方向的 Div 項，其次為 Int 項和 z 方向 Div 項，再來是內波動能本身 x 方向的 Adv 項、受地轉流平流的 AdvG 項、y 方向的 Div 項、以及 Pgw 項。由因次分析的結果可以初步研判，內波能量 受斜壓地轉流的影響主要來自密度梯度造成的壓力變化與地轉流 x 與 z 方向流切 動量的重新分配帶來的能量交換。以下藉由不同數值實驗條件下的能量收支狀