2. 數值模式
2.2 數值實驗設定
2.2.3 邊界條件
∂
= −
−
0
1
ρ (12) 代入參考密度ρ0(=1025 kgm-3)與靜水壓近似所得之熱力風關係：
x f g z v
∂
− ∂
∂ =
∂ ρ
ρ (13) 推算而得，並設為模式三維方向的初始流速場，再取其垂直平均值作為二維初始 流場。斜壓地轉流的垂直結構和溫度場的分布如圖2-5。
Relative distance (km)
圖 2-5 東西向斷面上的斜壓地轉流與溫度場垂直剖面。
2.2.3 邊界條件 邊界條件 邊界條件 邊界條件
模式驅動力包含第一模內波和斜壓地轉流，兩者皆有隨深度變化的密度和速 度垂直結構，且由於時間、空間尺度上的差異，以及不同的動力機制，地轉流設
定為動態平衡的穩定狀態(Steady state)。對於如本研究的區域尺度模擬，設定合 適的開口邊界條件，對於理想化的數值動力過程模擬有決定性的影響。
開口邊界條件參考 Johnston and Merrifield (2003)及 Johnston et al. (2003)所使 用的方法，四邊開口上的水位邊界條件使用梯度為 0 的邊界條件，即東-西邊界 Merrifield，2003；Johnston et al.，2003)，即沿東-西邊界上的v 與沿南-北邊界上 的 u 流速邊界條件各為：
而垂直出入四邊界的二維垂直平均流速場開口邊界條件則使用 Orlanski (1976)輻 射邊界條件(Radiation condition)，東-西邊界與南-北邊界各為：
= 0
2 0
η0為垂直振幅無因次參數，k 為波數(Wavenumber)，取其中最大項的第一斜壓 模，再由連續方程式(假設
圖 2-6 正模理論解得各個模態的 M2內潮垂直流速w，n 代表模數。
圖 2-7 由模式東邊界放入的第一模 M2內潮流速u、w垂直結構。
2.3 數值實驗 數值實驗 數值實驗 數值實驗條件 條件 條件 條件
表 2-1 數值實驗條件表。
內波 斜壓地轉流
Case
頻率(s-1) 週期(hr) 最大流速(ms-1) 流量(Sv)
M4 2.8×10-4 6.2103 0. 8 23
M2 1.4×10-4 12.4206 0.8 23
K1 7.3×10-5 23.9345 0.8 23
F 5.8×10-5 30.0000 0.8 23
3. 模式結果與驗證 模式結果與驗證 模式結果與驗證 模式結果與驗證
本章分為兩個部分，第一部分為利用已知理論值分別驗證第一模內波(以 M2 潮為例，第 3.1 節)與斜壓地轉流(第 3.2 節)在模式各項參數配置下的穩定性，確 保內波與斜壓地轉流的模擬結果與理論值的誤差在合理範圍內。第二部分則說明 內波行進時碰到斜壓地轉流的數值實驗結果(第 3.3 節)，探討內波的流速分布、
垂直結構、等密面起伏等受斜壓地轉流的影響。
積分時間長度考慮到模式初始條件自開始積分後的動力平衡調整時間，和避 免內波碰到地轉流後可能發生的反射波抵達東邊邊界時再反射，及內波抵達西邊 開口發生的反射波干擾數值實驗結果，各數值實驗積分時間設定為 8 至 10 天，
依不同頻率的內波相速度與週期長短所決定。由初始狀態(第 0 個小時)開始至第 24 小時間所有外力均乘上一由 0 開始隨著時間線性增加至 1 的係數，24 小時後，
此係數即固定為 1。如此可以避免初始場與外加的驅動力間的空間梯度太大，以 致流速過大，超過 CFL 條件。第一模內波於第 25 小時開始從東邊界進入，每小 時輸出模式結果，Case M4、M2、K1、F 分別使用第 6、7、8、8.5 天後的 25、
25、24、30 小時逐時資料進行分析。內波穿過斜壓地轉流的過程也有可能往其 上游區反射，雖然在設定的積分時間範圍內反射波若是碰到邊界，因邊界條件導 引訊息離開計算區間並非十分有效，以致可能再由邊界反射回模擬區域裡，然而 在積分結束前此反射波尚未達斜壓地轉流區。但為避免由邊界反射的內波干擾分 析結果，分析範圍設定在遠離邊界的地轉流兩側各 250 km 左右的範圍內，也就 是模式範圍中央段長 600 km 的東西向斷面(參考圖 2-3)，如此亦有助聚焦觀察內 波傳遞碰到地轉流後的反應。
3.1 第一模內波 第一模內波 第一模內波 第一模內波
本節經由驗證東往西傳播於水平均勻密度場的第一模內波模擬結果(以 M2
潮頻率為例)，圖 3-1 為第 7 天模式東邊界上的第一模 M2內波的 w 與 u 速度垂直
結構，經歷兩個潮週循環，間隔 3 小時的時序剖面圖。東邊界內波流速振幅係由 正模理論推導而來，再乘以 M2半日潮頻率的時間函數產生週期變化，比較圖 3-1 的內波流速與理論值的誤差小於 10-7 ms-1，推測應為模式的摩擦耗散作用和數值 運算過程的捨入誤差(Round-off error)與截尾誤差(Truncation error)所造成。
(a)
(b)
圖 3-1 第一模 M2內波(a)垂直流速 w 與(b)x 方向水平流速 u 垂直結構，每一小方 圖時間間隔為 3 小時。自 1 hr 至 25 hr 應包括兩個 M2週期的變化。
因為模式的初始垂直分層為密度隨深度線性遞增的線性分層，浮力頻率為一 常數值(N =0.01s−1)，第一模結構的節點設定於水深 500 m，垂直速度最大值約 0.0013 ms-1，水平速度 u 在節點處為 0 ms-1，在海底與水面有最大和最小値±0.075 ms-1週期性出現，且流速方向為上下層相反的垂直結構。
水平傳播方面，圖 3-2 包含第 7 天、第 7. 25 天以及第 7.5 天，模式 y 方向中 央的瞬時東西向垂直斷面。圖 3-2a 顯示 600 km 內約含五個波長距離，由此估算 每個波中心最大流速間隔的水平距離，得平均波長約 120.1 km，與正模分解得到 的 M2第一模內波的波長理論值 120.82 km 的相對偏差約 0.5 %，此偏差尚在合理 可接受的範圍，應該不至於影響本研究欲探討的動力過程。比較模式內波結構與 正模理論所得的第一模內波水平流速的空間分布(圖 3-3)，可以看出造成偏差的 可能原因為模式的有側向摩擦效應，而正模理論則無摩擦消散作用。水平流速振 幅的偏差採用均方根(Root mean square)偏差計算，即：
∑
=− −
= N
n
Theory n Model
n u
N u RMS
1
)2
1 (
1 (15)
以上式計算圖 3-3 的東西向斷面範圍內， N 點模式內潮水平流速uModel與正模方 法所得理論值uTheory間的均方根偏差，得其 RMS 為 8.1×10-5 ms-1，約為最大水平 流速振幅的 0.1%左右。
(a)
Day 7 u (ms-1)
Relative distance (km)
(b)
Day 7.25 u (ms-1)
Relative distance (km)
(c)
Day 7.5 u (ms-1)
Relative distance (km)
圖 3-2 傳播於水平均勻密度場的 M2第一模內波瞬時水平流速 u 在東西向斷面上 的分布，(a)第 7 天，(b)第 7.25 天，(c)第 7.5 天。
Day 7
圖 3-3 傳播於水平均勻密度場的第一模 M2內波於第 7 天的瞬時流速 u 與正模理 論值在東西向斷面上的空間分布。
利用s=
[
(ω2− f 2)/(N2−ω2)]
0.5計算ω為 M2潮頻率的內波，在科氏參數 f 及 浮力頻率 N 的環境下波傳路線的斜率(Characteristic)，並在海底和表面來回反 射，描繪 M2內波的傳播路徑如圖 3-4，由圖 3-4 可以看到理論值的垂直結構與模 式結果相近，由至少兩條波束(Ray)疊加可產生的第一模內波結構，其節點位在 水層總深度的一半，流速方向上下相反，且隨著內波頻率變換；東西向垂直斷面 上，反向流速形成的輻合或輻散在水面引起水體的堆積或發散，伴隨水位的高低 起伏。由圖 3-5 可以看出，模式表層的水平流速 u(綠色實線)與內波引起的水位 變化(藍色實線)相位相差π 2，往東的流速(正值)最大值對應到最低水位，而 y 方向流速 v(紅色實線)的相位與 u 和水位各差π 4，原因為水平方向上的水位差 造成的壓力梯度，受到科氏力作用而產生南北向的斜壓流，因此在 u 與水位相對 為 0 的地方，有南北向流速的最大值。Relative distance (km)
圖 3-4 模式東西向斷面初始場的 M2第一模內波向下與向上傳遞的波束傳播路徑 理論值。
Day 7
Relative distance (km)
圖 3-5 傳播於水平均勻密度場的第一模 M2內波東西向斷面瞬時(第 7 天)水位與 表面水平流速變化。
另一方面，內波水平斜壓流的方向改變引發的聚合(Convergence)與輻散 (Divergence)，對照垂直流速 w 在東西向垂直斷面上的分布(圖 3-6)，在水平流速 聚合處，根據連續方程式可知，造成往下的垂直運動，w 為負値；反之，輻散的 水平流速，使下層水往上走，形成水層中層的垂直流速最大，表面和海底垂直流 速為 0 ms-1的垂直結構。
Day 7 w
Relative distance (km)
圖 3-6 傳播於水平均勻密度場的第一模 M2內波第 7 天瞬時垂直流速 w 在東西向 斷面上的分布。
數值模擬所得之溫度垂直剖面如圖 3-7。等溫面的波形似正弦波，波長約 120 km，不同溫度的等溫面隨著內波傳播上下起伏，在 25 小時內等溫面離開其平衡 位置上下震盪的最大垂直位移量如圖 3-8，垂直起伏最大值為 18 m，位於深度約 於 500 m 處；垂直位移量與水平波長的比值為18m 125km~O(10−4)，符合前述 設定線性內波理論的微小振幅條件。
Day 7 T℃℃℃℃
Relative distance (km)
圖 3-7 傳播於水平均勻密度場第一模 M2內波第 7 天東西向斷面上的溫度分布。
Relative distance (km)
圖 3-8 傳播於水平均勻密度場第一模 M2內波東西向斷面上的 25 小時平均等溫 面垂直起伏分布。
Day 7 v (ms-1)
Relative distance (km)
圖 3-9 傳播於水平均勻密度場的第一模 M2內波第 7 天瞬時流速 v 在東西向斷面 上的分布。
另一項設定為第一模內波主要傳遞方向為在 x-z 平面沿著 x 方向往西傳遞；
但因受到地轉科氏力的影響，內波傳播過程中等密度面(或等溫面)起伏(參考圖 3-7)形成 x 方向上的壓力梯度，使得 y 方向上有斜壓流產生，流速 v 相對 u 而言 非常小。圖 3-9 為穿過東西向斷面的 v 瞬時模擬結果，數量級約為 u 值的 1/5，
相較於斜壓地轉流中心流速 v 值亦小一個數量級。且 y 方向的波傳群速度僅為 )
10 ( −3
O ms-1，可以忽略並假設為二維方向的內波傳播。群速度的計算方法與結 果將在第四章的討論中詳述。
綜合而言，以第一模 M2內波傳播於水平均勻密度場的模擬結果為例，與理 論值比較驗證，結果相對誤差很小，不至於影響本研究的主題，其他頻率的內波 模擬結果與理論值比較，也有類似於 M2內波的結果，接下來即探討不同頻率內 波的傳播遭遇北向地轉流後的波傳變化。
3.2 斜壓地轉流 斜壓地轉流 斜壓地轉流 斜壓地轉流
模式中斜壓地轉流的設定，乃是在模式中央設置 x 方向寬 120 km 的密度梯 度，等密度面往西邊抬升，形成由南向北的斜壓地轉流。本節針對斜壓地轉流的 設定與模式模擬結果進行誤差分析，在加入第一模內波探討兩者交互作用之前，
先衡量地轉流在同樣的積分時間範圍內，與理論解的誤差。
圖 3-10a 為模式中央東西向斷面上的斜壓地轉流於第 1 天到第 8 天的瞬時垂 直結構，黑色等值線為流速初始條件，等值線間距為 0.1 ms-1，地轉流流速 v 的 表層中心最大值為 0.8 ms-1，且由於模式底部摩擦係數為 0，沒有底部摩擦效應，
因此水深 1000 m 處不會因流與底部邊界的垂直剪切形成海底艾克曼層(Bottom Ekman layer)。圖 3-10b 為模式中央寬 200 km，深度 100 m 的 x-y 平面溫度分布 橫切面，在流右手邊的溫度相對較西側暖，相差約 2℃，與模式設定的斜壓場初 始條件相同，所對應的水平流速分布在 y 方向上亦無明顯可辨的空間變化。另 外，由間隔 24 小時的瞬時模擬結果可以看出，斜壓地轉流的垂直結構相較起始
因此水深 1000 m 處不會因流與底部邊界的垂直剪切形成海底艾克曼層(Bottom Ekman layer)。圖 3-10b 為模式中央寬 200 km，深度 100 m 的 x-y 平面溫度分布 橫切面，在流右手邊的溫度相對較西側暖，相差約 2℃，與模式設定的斜壓場初 始條件相同，所對應的水平流速分布在 y 方向上亦無明顯可辨的空間變化。另 外，由間隔 24 小時的瞬時模擬結果可以看出，斜壓地轉流的垂直結構相較起始