第四章 研究結果
第一節 原案分析
（一）S1（小萱）
【解題歷程順序和時間】
階 段 N - 0 1 解 題 階 段 順 序 和 時 間 （ S 1 ） 讀題（R）
分析（A）
計畫（P）
執行（I）
驗證（V） ※
時間（秒） 13 34 37 27 25 24 19 15 194
【解題階段分析】
1.讀題階段（R）：（口語資料 1001）（13”）
能注意到問題的所有條件（最大與最小三位數△、○所代表的值各是 多少）。
能瞭解題目的要求（求最大與最小的三位數）。
2.分析階段（A）：（口語資料 1002、1003）（34”）
如果要求最大數，△就是 9。但是如果△是 9，999＋19＋9＝1027，就變 成四位數，所以△是 8。
3.計畫階段（P）：（口語資料 1004）（37”）
假定△＝8，○＝9 可以求最大三位數。
4.執行階段（I）：（口語資料 1005）（27”）
求得最大三位數 994。
5.分析階段（A）：（口語資料 1006）（25”）
如果求最小的，△是 0，但是不可能，所以就是 1 6.計畫階段（P）：（口語資料 1007）（24”）
假定△＝1，○＝2 三位數最小。
7.執行階段（I）：（口語資料 1008）（19”）
求得最小三位數 133。
8.驗證階段（V）：（口語資料 1009、1010）（15”）
根據題目的條件來驗證。△＝8，○＝9 最大數 994，△＝1，○＝2 最小 數 133。結果也符合題意。
（二）S6（小宇）
【解題歷程順序和時間】
階 段 N - 0 1 解 題 階 段 順 序 和 時 間 （ S 6 ） 讀題（R）
分析（A）
計畫（P）
執行（I）
驗證（V） ※
時間（秒） 14 43 123 15 195
【解題階段分析】
1.讀題階段（R）：（口語資料 1001）（14”）
能注意到問題的所有條件（最大與最小三位數△、○所代表的值各是 多少）。
能瞭解題目的要求（求最大與最小的三位數）。
2.分析階段（A）：（口語資料 1002）（43”）
當△＝9 時，應該是最大三位數。當△＝1 時，應該是最小三位數。當△
＝9 時，就變成 4 位數，所以不符合條件
3.執行階段（I）：（口語資料 1003、1004、1005、1006）（123”）
△＝8，○＝9 求得最大三位數 994，△＝1，○＝2 求得最小三位數 133。
4.驗證階段（V）：（口語資料 1007、1008）（15”）
根據題目的條件來驗證。△＝8，○＝9 最大三位數為 994，△＝1，○＝
2 最小三位數為 133，結果符合題意。
【N-01 分析結果】
綜觀七位學生在本題的表現可發現，學生 S6 只有讀題、分析、執行、
驗證等四階段，其餘六位學生的解題歷程都具有讀題、分析、計畫、執行、
驗證等五階段（表 4-1）。而解題階段順序則顯出較為不一致，可能是因為 解題過程中，在分析階段把最大三位數與最小三位數集中分析與分散分析 所致。七位學生都先認為最大三位數時△的值應該為 9，但是一經實際計 算的結果會是四位數，而修正為最大三位數時△的值為 8，因而體認直覺 反應可能造成錯誤，還是需要經過驗證。而在求最小三位數則有一致的想 法，都直覺反應△的值為 1。在解法上雖有先求最小三位數或先求最大三 位數，七位學生都求出當△＝8、○＝9 時，最大三位數為 994；當△＝1、
○＝2 時，最小三位數為 133。而使用的解法都大同小異。七位學生解本 題所花費的時間在 117 秒至 219 秒。（表 4-2）
表 4-1 直式算式（N-01）解題歷程階段表
學生 讀題（R） 分析（A） 計畫（P） 執行（I） 驗證（V） 解題成功 S1 ● ● ● ● ● ● S2 ● ● ● ● ● ● S3 ● ● ● ● ● ● S4 ● ● ● ● ● ● S5 ● ● ● ● ● ● S6 ● ● ● ● ● S7 ● ● ● ● ● ●
表 4-2 直式算式（N-01）解題階段順序與時間表
學生 N-01 解 題 階 段 順 序 與 時 間
R A P I A P I V ※ S1 13 34 37 27 25 24 19 15 194
R P I A P I V ※ S2 13 37 31 37 33 34 12 197
R P I A P I V ※ S3 14 35 41 39 37 38 15 219
R A I P I P I V ※ S4 13 31 26 23 28 23 37 13 194
R P A I P I V ※ S5 15 41 43 35 28 34 14 210
R A I V ※ S6 14 43 123 15 195
R A I P I A P I V ※ S7 13 15 14 12 14 12 13 12 12 117
解題策略：七位學生在求最大三位數時利用嘗試錯誤的方式得到當△＝
8、○＝9 時最大三位數為 994。
解題成敗因素：
一、解題知識：七位學生都了解題意（語言知識），也知道最大三位數 與最小三位數（語意知識），當三位數百位數進位大於 9 時就變成 四位數、當△＝1、○＝2 時三位數最小（基模知識），利用嘗試 錯誤策略得到當△＝8、○＝9 時三位數最大（策略知識），求得 最大三位數為 994、最小三位數為 133（程序知識）。
二、數學能力：數學運算能力、.邏輯推理能力。
三、解題行為：題意與數學結構的掌握、注意到問題中所有的條件、
了解題意與目標間的關係、應用相關知識或公式、進行解題後驗
算的程序。
第二題（N-02）：圍牆整建
學校一道長 100 公尺高 7 公尺的圍牆，因為颱風來襲，被大風吹倒，現在 學校要使用兩種磚塊重新整建：長 2 公尺高 1 公尺、長 1 公尺高 1 公尺。
垂直堆砌磚塊必須如下圖所示交錯間隔，而且牆的兩端必須堆砌平整。請 問學校使用這兩種磚塊重新整建這一道圍牆各需要多少塊才可以整建完 成？（假設磚塊間沒有間隔）
（一）S4（小藜）
【解題歷程順序和時間】
階 段 N - 0 2 解 題 階 段 順 序 和 時 間 （ S 4 ） 讀題（R）
分析（A）
計畫（P）
執行（I）
驗證（V） ※
時間（秒） 25 113 14 140 12 125 44 473
【解題階段分析】
1.讀題階段（R）：（口語資料 2001）（25”）
能注意到問題的所有條件（圍牆的長度與高度，磚塊的種類）。
能瞭解題目的要求（求 2×1 與 1×1 磚塊的個數）。
2.分析階段（A）：（口語資料 2002、2003、2004、2005、2006）（113”）
分析全部共有 7 層，使用 1×1 的磚塊 2 塊和 2×1 的磚塊 49 塊與全部使用 2×1 磚塊的那一層共有 50 塊。
3.計畫階段（P）：（口語資料 2007）（14”）
第二種第一層先使用 2×1 和 1×1 的磚塊。
4.執行階段（I）：（口語資料 2008-2016）（140”）
自行畫表格以輔助解題先使用 2×1 和 1×1 的磚塊，得到 2×1 的磚塊共 346 塊、1×1 的磚塊共 8 塊。
5.計畫階段（P）：（口語資料 2018）（12”）
第一種第一層先全部使用 2×1 的磚塊。
6.執行階段（I）：（口語資料 2019-2027）（125”）
自行畫表格以輔助解題先使用 2×1 的磚塊，得到 2×1 的磚塊共 347 塊、1
×1 的磚塊共 6 塊。
7.驗證階段（V）：（口語資料 2028、2029）（44”）
根據題目的條件來驗證。先使用 2×1 和 1×1 的磚塊；先使用 2×1 的磚塊，
結果符合題意。
（二）S5（小均）
【解題歷程順序和時間】
階 段 N - 0 2 解 題 階 段 順 序 和 時 間 和 時 間 （ S 5 ） 讀題（R）
分析（A）
計畫（P）
執行（I）
驗證（V） ※
時間（秒） 28 143 15 151 12 122 49 520
【解題階段分析】
1.讀題階段（R）：（口語資料 2001）（28”）
能注意到問題的所有條件（圍牆的長度與高度，磚塊的種類）。
能瞭解題目的要求（求 2×1 與 1×1 磚塊的個數）。
2.分析階段（A）：（口語資料 2002、2003、2004、2005）（143”）
分析全部共有 7 層，全部使用 2×1 磚塊的那一層共有 50 塊與使用 1×1 的磚塊 2 塊和 2×1 的磚塊 49 塊。
3.計畫階段（P）：（口語資料 2006）（15”）
第一層先使用 2×1 和 1×1 的磚塊。
4.執行階段（I）：（口語資料 2007-2015）（151”）
自行畫表格以輔助解題先使用 2×1 和 1×1 的磚塊，得到 2×1 的磚塊共 346 塊、1×1 的磚塊共 8 塊。
5.計畫階段（P）：（口語資料 2016）（12”）
第一層先全部使用 2×1 的磚塊。
6.執行階段（I）：（口語資料 2017-2025）（122”）
自行畫表格以輔助解題先使用 2×1 的磚塊，得到 2×1 的磚塊共 347 塊、1
×1 的磚塊共 6 塊。
7.驗證階段（V）：（口語資料 2026、2027）（49”）
根據題目的條件來驗證。先使用 2×1 和 1×1 的磚塊；先使用 2×1 的磚塊，
結果符合題意。
【N-02 分析結果】
綜觀七位學生在本題的表現可發現，每位學生的解題歷程都具有讀 題、分析、計畫、執行、驗證等階段（表 4-3）。而解題階段順序則有一致 的現象。比較有趣的是，每位學生都找出兩種整建圍牆方式，例如，圍牆 需使用磚塊共有七層，第一層使用 2 公尺×1 公尺的磚塊 50 塊，或者是使 用的磚塊 49 塊與 1 公尺×1 公尺的磚塊 2 塊，分別得到 2 公尺×1 公尺的磚 塊 347 塊、1 公尺×1 公尺的磚塊 6 塊與 2 公尺×1 公尺的磚塊 346 塊、1 公 尺×1 公尺的磚塊 8 塊。由此可知，七位學生的解題都具有擴散性思考，不 會只求得單單一個解為滿足，而把二種可能的解都找出來。七位學生解本 題所花費的時間在 457 秒至 524 秒（表 4-4），平均解題時間較長，需要具 備解題耐力才能完成。
表 4-3 圍牆整建（N-02）解題歷程階段表
學生 讀題（R） 分析（A） 計畫（P） 執行（I） 驗證（V） 解題成功 S1 ● ● ● ● ● ● S2 ● ● ● ● ● ● S3 ● ● ● ● ● ● S4 ● ● ● ● ● ● S5 ● ● ● ● ● ● S6 ● ● ● ● ● ● S7 ● ● ● ● ● ●
表 4-4 圍牆整建（N-02）解題階段順序與時間表
學生 N-02 解 題 階 段 順 序 與 時 間
R A P I P I V ※ S1 25 129 13 136 14 125 43 485
R A P I P I V ※ S2 27 127 13 134 12 121 43 477
R A P I P I V ※ S3 28 142 16 145 15 133 45 524
R A P I P I V ※ S4 25 113 14 140 12 125 44 473
R A P I P I V ※ S5 28 143 15 151 12 122 49 520
R A P I P I V ※ S6 25 109 13 138 11 118 43 457
R A P I P I V ※ S7 29 132 12 147 13 125 42 500
解題策略：七位學生都自行畫表格方式以輔助解題，並尋找所有可能的解。
解題成敗因素：
一、解題知識：七位學生均了解題意（語言知識），長 100 公尺高 7 公尺圍牆的知識（語意知識），知道 2 公尺×1 公尺與 1 公尺×1 公
尺的磚塊交錯間隔堆砌（基模知識），每位學生都找出兩種整建圍 牆方式，共有七層，第一層全部使用 2 公尺×1 公尺的磚塊 50 塊 或使用的磚塊 49 塊與 1 公尺×1 公尺的磚塊 2 塊（策略知識），第 一層使用 2 公尺×1 公尺的磚塊 50 塊或使用的磚塊 49 塊與 1 公尺
×1 公尺的磚塊 2 塊，分別得到 2 公尺×1 公尺的磚塊 347 塊、1 公 尺×1 公尺的磚塊 6 塊與 2 公尺×1 公尺的磚塊 346 塊、1 公尺×1 公尺的磚塊 8 塊（程序知識）。
二、數學能力：形式化數學題材能力、數學運算能力、邏輯推理能力、
彈性思考能力。
三、解題行為：題意與數學結構的掌握、注意到問題中所有的條件、
了解題意與目標間的關係、應用相關知識或公式、進行解題後驗 算的程序、解題耐力。
第三題（N-03）：數字分組
請你將 1、3、5、7、9、11、12 等 7 個數分成兩組，使每一組內所有數加 起來的和相等。請問每一組數的和是多少？並請你找出所有分組的方法。
（一）S2（小瑾）
【解題歷程順序和時間】
階 段 N - 0 3 解 題 階 段 順 序 和 時 間 （ S 2 ） 讀題（R）
分析（A）
計畫（P）
執行（I）
驗證（V） ※
時間（秒） 21 26 129 23 199
【解題階段分析】
1.讀題階段（R）：（口語資料 3001）（21”）
能瞭解題目的要求（把 1、3、5、7、9、11、12 等七個數分成二組，每 一組內的數字和相等）。
2.分析階段（A）：（口語資料 3002、3003、3004）（26”）
知道把 1、3、5、7、9、11、12 等七個數加起來除以 2，以得到每一組 數的和為 24。
3.執行階段（I）：（口語資料 3005、3006、3007）（129”）
把 1、3、5、7、9、11、12 分成和相等的二組數，利用數字重組的策略 共找出不同的三個解，並自行畫表格列答：
第一組 12、9、3，第二組 11、1、5、7。
第一組 12、1、11，第二組 3、5、7、9。
第一組 12、5、7，第二組 1、3、9、11。
4.驗證階段（V）：（口語資料 3008、3009、3010）（23”）
根據題目的條件來驗證。共有三個解，每個解的二組答案的和都相等且 符合題意。
（二）S7（小睿）
【解題歷程順序和時間】
階 段 N - 0 3 解 題 階 段 順 序 和 時 間 （ S 7 ） 讀題（R）
分析（A）
計畫（P）
執行（I）
驗證（V） ※
時間（秒） 21 24 125 26 196
【解題階段分析】
1.讀題階段（R）：（口語資料 3001）（21”）
能瞭解題目的要求（把 1、3、5、7、9、11、12 等七個數分成二組，每 一組內的數字和相等）。
2.分析階段（A）：（口語資料 3002）（24”）
因為要把這 7 個數分成和相等的 2 組，所以把所有數加起來除以 2，每 一組的和為 24。
3.執行階段（I）：（口語資料 3003、3004、3005）（125”）
把 1、3、5、7、9、11、12 分成和相等的二組數，利用數字重組的策略 共找出不同的三種解：
第一組 12＋11＋1，第二組 3＋5＋7＋9。
第一組 5＋7＋12，第二組 1＋3＋9＋11。
第一組 5＋1＋11＋7，第二組 3＋9＋12。
4.驗證階段（V）：（口語資料 3006、3007）（26”）
根據題目的條件來驗證。共有三個解，每個解的二組答案的和都相等且 符合題意。
【N-03 分析結果】
綜觀七位學生在本題的表現可發現，每位學生的解題歷程都只有讀 題、分析、執行、驗證等四個階段。解題階段順序則相當一致，都呈現讀 題→分析→執行→驗證等四個解題階段順序（表 4-5）。每位學生都知道要 分成相等的兩組的方式，就是把所有的數加起來除以 2。而且每位都求得 三個不同的解分別為（1、11、12）和（3、5、7、9）；（3、9、12）和（1、
5、7、11）；（5、7、11）；（1、3、9、11）。其中比較特別的是 S2 以畫表 格的形式列答。七位學生解本題所花費的時間在 196 秒至 273 秒之間（表 4-6）。由此可知，七位學生的解題都具有擴散性思考，不會只求得單單一 個解為滿足，而把三種可能的解都找出來。
表 4-5 數字分組（N-03）解題歷程階段表
學生 讀題（R） 分析（A） 計畫（P） 執行（I） 驗證（V） 解題成功 S1 ● ● ● ● ● S2 ● ● ● ● ● S3 ● ● ● ● ● S4 ● ● ● ● ● S5 ● ● ● ● ● S6 ● ● ● ● ● S7 ● ● ● ● ●
表 4-6 數字分組（N-03）解題階段順序與時間表
學生 N-03 解 題 階 段 順 序 與 時 間
R A I V ※ S1 22 25 132 24 203
R A I V ※ S2 21 26 129 23 199
R A I V ※ S3 23 27 198 25 273
R A I V ※ S4 23 25 126 25 199
R A I V ※ S5 22 27 164 25 238
R A I V ※ S6 22 26 138 24 210
R A I V ※ S7 21 24 125 26 196
解題策略：七位學生都使用數字重組的策略、尋找所有可能的解，求出三 個不同的解；除了 S2 畫表格列答，其餘六位都以條列式列答。