影響數學解題相關因素之探討

速的解法）。而教學變項正是環境特徵裡最重要的變項。

Mayer(1992)就針對解題過程進行分析，而將解題時所需的知識分為 下列五個範疇：

一、語言知識(Linguistic knowledge)：和語言有關的知識，如：瞭解問題 中的每一個字。

二、語意知識(Semantic knowledge)：與實際生活上的事實有關的知識，如 1 公里等於 1000 公尺。

三、基模知識(Schematic knowledge)：問題型態的知識，如：知道長方形 面積問題的基本公式－面積等於長乘以寬。

四、策略知識(Strategic knowledge)：如何利用不同型態的有效知識來計畫 和監控問題解答的技巧，如：定下子目標。

五、程序知識(Procedure knowledge)：指演算法的知識。例如：在算數應 用問題中，能應用九九乘法表演算問題，並求得結果，這就是程序性 知識。（李靜瑤，民 83，頁 5）

胡炳生（民 88）認為影響數學解題的相關因素如圖（2-3）所示，並 將其因素做了以下的解釋：

一、數學知識：數學知識是解題的基礎，而數學知識包括基本的和較高層 次的兩部份。前者包括：中學數學課本中的概念系統、定理系統和符 號系統三大系統的知識。後者包括：數學競賽中所涉及到的有關初等 數學或介於初、高等數學之間的數學知識，例如：數的整除、多項式 等。

二、數學解題方法：教學解題方法是解題的基本手段，可以泛指數學解題 中的所有方法，它有三個層次。第一層次為解題的具體方法和技巧，

例如：配方法、公式解法、幾何中添加輔助線等。第二層次為數學解

題的一些通法，例如：演繹法和歸納法、直接證法和反證法、座標法 和解析法。第三層次為數學解題中的思考原則和策略。

三、數學思維：數學思維是解題的原則和策略，它是指我們在解題的思維 過程中所應遵循的總原則和總策略。總原則是熟悉化原則、簡單化原 則和多途化原則。總策略是化歸，把要解的數學題化歸為基本的、標 準的數學題。

四、解題經驗：包括成功的經驗和失敗的經驗，對於一個人解題能力的形 成和提高都有重要作用。所謂解題經驗，是指某些數學知識、某種數 學解題方法和題中某些條件的有順序組合。成功的經驗，這種有序組 合是有效的；失敗的經驗，組合是錯誤的。成功的經驗所獲得的有序 組合，就好像是建築上的預製構造，遇到合適的場合，可以原封不動 地把它用上。

五、邏輯：解數學題主要是一種思維活動，要想思維活動進行得有成效，

就必須符合思維的規律－邏輯。數學推理中主要是應遵循形式邏輯，

但在探索性思維活動中，還要有辯證邏輯的幫助。

六、興趣：一個人的思維品質和對數學的興趣，無疑對解數學題有顯著影 響。一個見了數學題就厭煩的學生，是解不好題的。相反，一個對數 學有濃厚興趣的學生，能埋頭幾個小時做題，以解題為樂。思維敏捷 而不細密的學生，解題雖快，但計算容易出錯。思維細密而不靈活的 學生，往往做代數題優於幾何題等。

七、語文知識、社會生活知識以及其他學科知識：對數學解題都有關係。

因為數學題都是用文字來表述的，解題最後結果也要用文字來表述出 來。不少學生的答案卷表述不清，詞不達意，並因此而失分。這說明 數學愛好者，應提高語文知識水平。

圖 2-3 胡炳生的數學解題系統圖

除了上述國外學者及胡炳生之外，國內有關影響數學解題相關因素的 研究，還有下列幾位：

李靜瑤（民 83）年曾對高雄市國二學生進行數學解題歷程分析的研 究，發現解題成敗的因數包括：是否理解題意、是否了解目標狀態、數學 知識完備與否、能否注意到問題中的所有條件、能否摒棄無用的條件、能 否應用相關的知識或公式、是否有完備的程序性知識、能否評估自己的解 題過程、自信心、變通性、解題的耐力及對數學的態度或信念。

李輝雄（民 84）則曾做過高雄市高一學生數學解題歷程之分析研究，

研究結果發現解題成敗的關鍵包括：是否理解題意、能否了解目標狀態、

能否了解數學架構、能否注意到數學中的所有條件、能否應用相關 知識 或公式、變通性、數學知識是否完備、能否評估自己的解題歷程、是否有

錯誤的數學信念。

而蔡承哲（民 85）研究高雄地區高二學生做空間向量的解題歷程分 析，研究結果發現解題成敗的關鍵包括：是否能了解題意、是否能使用正 確的基模知識並整合問題、是否有豐富的策略知識並能適時使用之、是否 有正確的程序性知識、是否能注意到題目中所有條件、是否能畫出正確圖 形來幫助分析解題計畫、是否能恰當的補助線、是否能回憶相關知識和方 法，且能對學過的方法加以活用、是否能隨時監控解題過程有無錯誤、是 否能對最後答案進行檢驗。

以上是相關的解題研究及重要發現，而有關資優生的數學解題研究 中，近年來以俄國的 Krutetskii (1963, 1969, 1976)的研究最受重視。他的 研究主要目的在於：描述數學資優生解不同數學問題時之心智活動的特 徵。此外，他的研究有與解題能力和個別差異有關的主題，即探討在數學 能力的架構上，象徵性能力的差異，並且探究年齡的差異對數學能力的影 響。

Krutetskii (1963, 1976)的研究中指出，資賦優異學生解題時，在心理特 徵方面包括：1.具有敏捷的推理和心理定向；2.具有邏輯思維，以及有系 統、有順序的思考能力；3.具有數學抽象思考的能力，且能迅速面廣泛地 組織材料；4.具有靈活的思維；5.能任意地從正面的思維歷程轉換到反面 的思維歷程；6.解答問題時，其有迅速且簡捷的推理能力，亦具有「壓縮」

的傾向；7.對數學材料能夠迅速而牢固的記憶；8.對數學作業很少感到疲 勞。在解題特徵方面則包括：1.能掌握問題的結構；2.能看出並解釋量的 或空間的關係；3.能有彈性地心理運作；4.能將若干例證加以類化；5.力 求問題的澄清、簡化、經濟，並尋求解題的原則；6.能將數學的關係，爭

論的觀點及證據，結構的特色加以類化以便記憶。在數學能力方面則包 括：1.形式化數學題材的能力；2.一般化數學題材能力；3.數學運算能力；

4.邏輯推理能力；5.簡捷思考能力；6.逆向思考能力；7.彈性思考能力；8.

數學記憶能力；9.空間概念能力。

除了 Krutestkii 之外，Stonecipher (1986)比較資賦優異學生與普通學 生之數學問題解決過程，並依據 Kilpatrick (1967)之編碼系統(coding system)加以分類，其主要發現如下：（汪榮才，民 80）

1.資賦優異學生傾向於用自己的語句重述問題以求理解，而普通學生傾 向於逐字重讀問題，而不加以重組。

2.資賦優異學生傾向於應用推理及評鑑（例如：核對，即使用另一種方 法解題以核對結果是否相同）之歷程，而普通學生傾向於猜測答案，

對問題的情境常常誤解。

3.資賦優異學生傾向於採用類化的策略，而普通學生傾向於採用嘗試錯 誤或其他較無效的策咯。

4.資賦優異學生在每一解題過程中所使用之時間少於普通學生。

除了國外學者 Krutestkii 及 Stonecipher 之外，在國內研究方面，邱芳 津（民 78 年）做國二資優生線型函數概念之研究，選取九十五名國二資 優生為研究對象，實施兩次線型函數單元測驗，根據學生的作答逐題分 析，且歸納出學生所使用的正確解題策略和錯誤類型，再針對解題表現特 殊的十三名學生進行個別面談，進一步探討學生所具有的錯誤線型函數概 念、解題時所涉及的數學能力，與影響解題表現的有關因素。其研究結果 發現學生各項數學能力的表現優劣依序為：數學記憶力→數學演算能力→

逆向思考能力→空間概念能力→彈性思考能力→一般化數學題材能力→

形式化數學題材能力→邏輯推理能力。

此外，謝淡宜（民 87）的研究指出：數學資優生在處理題目中所提供 的資訊（條件）時，更具有統合力及成功率。他們能更有效地整合不同的 條件，而對成功解題做出關鍵的助力。他們對題目更能保持全面的掌握，

而在解題策略、解題歷程及計算準確性上表現其系統性、整合性及持續性 的評鑑，及改正的功能。

國內除了邱芳津、謝淡宜、劉貞宜的解題研究之外，顏榮義（民 90）

以所任教的三十名國一一般能力資優生為研究對象，進行放聲思考解題，

以分析學生的數學能力、解題歷程、解題策略和影響解題成敗的因素。研 究發現雖然是經過正式甄試過程才錄取的資優生，但不同學生的解題表現 差異相當大，而對於解題策略、解題成敗因素方面得到下列結論：

一、解題策略：

（一）難度低的題目學生所用的解題策略較少，難度高的題目策略較多。

（二）學生在做選擇策略時大多是根據先前的知識和經驗做隨機的猜 測，而不能做合理的猜測這是在教學時可加以努力的地方。

（三）解題能力高者會嘗試從不同猜測起點形成多種的解題策略。

（四）資優生的解題策略顯得相當多樣化。

（五）學生解題策略的良窳與否與學生的數學知識有密切的關係。

二、解題成敗因素：

（一）是否理解題意；

（二）能否了解目標狀態；

（三）數學知識完備與否；

（四）能否注意到問題中所有的條件；

（五）能否摒除無用的條件；

（六）能否應用相關知識或公式；

（七）是否有完備的程序性知識；

（八）能否評估自己的解題過程；

（九）自信心；

（十）是否有彈性思考的能力；

（十一）解題的耐力；

（十二）是否有頓悟的歷程；

（十三）是否能看出題目的深層結構；

（十四）學生的身心情緒；

（十五）對數學的態度或信念等。

劉貞宜（民 89）如從國內外的研究中歸納資優生解題有以下的特徵：

一、數學知識：

（一）對數學材料能夠迅速而牢固的記憶。

（二）數學知識較完備。

二、思考能力：

（一）具有很好的抽象思考能力（甚至幾何的問題也可以用抽象的方式 來解）。

（二）具有敏捷的推理思考和心理定向能力。

（三）具有邏輯思維，以及有系統、有順序的思考能力。

（四）具有靈活的思維能力，能自如地從正面的思維歷程轉換到反面的 思維歷程。

3.數學解題策略

（一）能全面掌握題目中的所有的條件。

（二）能正確地統整題目所提供的訊息。