第四章 研究結果
第二節 綜合討論
本節主要就本研究的目的解題歷程、解題策略及解題成敗因素等的研 究結果作討論，所以本節共分為三部分，一、解題歷程、二、解題策略及 三、解題成敗因素等。
一、解題歷程
綜合七位學生放聲思考的結果，每位學生在「數與量」、「圖形空間」
及「邏輯推理」等九題試題均解題成功。但解題階段大都呈現一致現象。
這個結果，推論可能是因為學生是採立意抽樣的方式篩選有關，雖然有年 級之分，但在解題歷程施測所得分數均在 130 分以上（總分 150 分）。
（一）學生在「數與量」的解題歷程除了【數字分組】（N-03）包含讀題、
分析、執行、驗證等四個階段，【直式算式】（N-01）、【圍牆整建】
（N-02）則包含讀題、分析、計畫、執行、驗證等五個階段；在「圖 形空間」的解題歷程【三角形個數】（M-01）包含讀題、計畫、執 行、驗證等四個階段，【堆積圖形】（M-02）讀題、分析、執行、驗 證等四個階段，【正方體個數】（M-03）則包含讀題、分析、計畫、
執行、驗證等五個階段；在「邏輯推理」的解題歷程除了【硬幣排 列】（L-02）只包含讀題、執行、驗證等三個階段外，【奇妙數列】
（L-01）、【大樓住戶】（L-03）則包含讀題、分析、執行、驗證等四 個階段，整理成表 4-19。
表 4-19 解題階段表 階段
試題 讀題 分析 計畫 執行 驗證
直式算式（N-01） ● ● ● ● ●
圍牆整建（N-02） ● ● ● ● ●
數字分組（N-03） ● ● ● ●
三角形個數（M-01） ● ● ● ●
堆積圖形（M-02） ● ● ● ●
正方體個數（M-03） ● ● ● ● ●
奇妙數列（L-01） ● ● ● ●
硬幣排列（L-02） ● ● ●
大樓住戶（L-03） ● ● ● ●
（二）在解題歷程中驗證階段是重要的一環，這個階段可能會影響解題成 功與否的重要階段，七位解題者都能依題意進行驗證，結果是否合 理、檢查解題步驟或計算過程。
（三）解題歷程的讀題、分析、計畫、執行、驗證等五個階段未必在解題
時都得出現，才有解題成功的可能，但解題時如能經過這五階段，
將可使解題歷程更為周詳完備。
（四）【圍牆整建】（N-02）、【數字分組】（N-03）兩題七位學生均分別找 出二個解及三個解。這顯示資優生的具有擴散思考的特質。
研究結果發現資優生的思路敏捷，而且有時會有跳躍式的思考，有時 又呈放射式思考，因此面對非例行性問題時，會因不同的題目而有不同的 解題階段，每一題的解題過程中未必全部出現所有的解題階段，而且同類 型的題目也未必有相同的解題階段，甚至不會因為缺少其中一個階段，而 影響到解題的結果。解題歷程的的順序也非一定循讀題、分析、計畫、執 行、驗證等五個階段線性進行，會隨著思考而作隨機的調整。
二、解題策略
由原案分析的結果題解時所使用的解題策略有：【直式算式】（N-01）
（1.嘗試錯誤）；【圍牆整建】（N-02）（1.畫表格、2.尋找所有可能）；【數 字分組】（N-03）（1.數字重組、2.列式列答、3.畫表格列答、4.尋找所有 可能）；【三角形個數】（M-01）（1.邊長分類、2.圖形分類、3.點分類）；【堆 積圖形】（M-02）（1.畫圖、2.歸納法、3.發現規律）；【正方體個數】（M-03）
（1.順向求解、2.逆向求解）；【奇妙數列】（L-01）（1.餘式定理、2.數項 數、3.歸納法、4.發現規律）；【硬幣排列】（L-02）（1.組織資料、2.直接 解題、3.畫表格）；【大樓住戶】（L-03）（1.畫圖、2.歸納法、3.組織資料、
4.畫記），整理成表 4-19。
而解題策略應用到哪些試題的解題過程則有：【1.嘗試錯誤】（1.直式 算式（N-01））；【2.畫表格】（1.圍牆整建（N-02）、2.數字分組（N-03）、
3.硬幣排列（L-02））；【3.尋找所有可能】（1.圍牆整建（N-02）、2.數字
分組（N-03））；【4.數字重組】（1.數字分組（N-03））；【5.列式列答】（1.
數字分組（N-03））；【6.邊長分類】（1.三角形個數（M-01））；【7.圖形分 類】（1.三角形個數（M-01））；【8.點分類】（1.三角形個數（M-01））；【9.
外加個數】（1.三角形個數（M-01））；【10.畫圖】（1.堆積圖形（M-02）、 2.奇妙數列（L-01））；【11.發現規律】（1.堆積圖形（M-02）、2.大樓住戶
（L-03））；【12.歸納法】（1.堆積圖形（M-02）、2.奇妙數列（L-01）、3.
大樓住戶（L-03））；【13.順向求解】（1.正方體個數（M-03））；【14.逆向 求解】（1.正方體個數（M-03））；【15.餘式定理】（1.奇妙數列（L-01））；
【16.數項數】（1.奇妙數列（L-01））；【17 組織資料】（1.硬幣排列（L-02）、 2.大樓住戶（L-03））；【18.直接解題】（1.硬幣排列（L-02））；【19.畫記】
（1.大樓住戶（L-03）），整理成表 4-20。而學生解題時所使用的解題策略 則整理成表 4-21。
而解題策略敘述如下：
（一）嘗試錯誤
在【直式算式】（N-01）七位學生均使用嘗試錯誤解題，七位學生均 認為要求最大三位數，△＝9，經計算結果為四位數。
（二）畫表格
在【圍牆整建】（N-02）七位學生都自行畫表格以輔助解題。另外 S2 在【數字重組】（N-03）以表格列答、【硬幣排列】（L-02）中也 自行畫表格填入各個硬幣的位置。
（三）尋找所有可能
在【圍牆整建】（N-02）找出第一層全部用 2×1 的磚塊與第一層使用 2×1 和 1×1 的磚塊求得二個不同的解。而在【數字分組】（N-03）七 位學生都使用數字重組的策略找出三個不同的解。
（四）數字重組
在【數字分組】（N-03）七位學生都使用數字重組的策略找出三個不 同的解。
（五）列式列答
在【數字分組】（N-03）S1、S3、S4、S5、S6、S7 六位學生使用列 式的方式列答案。
（六）邊長分類、圖形分類、點分類
在【三角形個數】（M-01）S1、S2、S4、S5、S7 以邊長分類、S3 以 圖形分類、S6 以點分類。
（七）外加個數
在【三角形個數】（M-01）S1、S2 在求 21 點有多少個△時，以 15 個點有 27 個△，增加 6 個點增加 21 個△的策略解題。
（八）畫圖
在【堆積圖形（M-02）】七位學生利用畫圖來找出每一行正面圖需畫 方形的個數；在【大樓住戶】（L-03）七位學生則利用畫圖來填入各 個變數的相對位置。
（九）發現規律
在【堆積圖形】（M-02）發現畫正面圖的規律為堆積圖中每行最多的 個數就是要畫正面圖的個數；而【奇妙數列】L-01 的規律為從第 5 項開始重複 6、54、27、22、11 等 5 個數。
（十）歸納法
在【堆積圖形】（M-02）使用歸納法做推論，推論出堆積圖中每行最 大數就是畫正面圖的每行的個數；【奇妙數列】（L-01）使用歸納法 歸納出從第 5 項開始循環 6、54、27、22、11 等 5 個數中找項數值 的方法；【硬幣排列】（L-02）組織條件歸納推論出硬幣的排列順序；
【大樓住戶】（L-03）組織條件歸納推論出每個變數的相對位置。
（十一）順向求解、逆向求解
在【正方體個數】（M-03），S1、S2、S6 等三位學生利用順向求解的 策略先找出接觸盒子外側的正方體個數，再以全部正方體個數減去 接觸外側的正方體個數，求得未接觸盒子外側的正方體個數；S3、
S4、S5、S7 等四位學生利用逆向求解的策略先找未出接觸盒子外側 的正方體個數，再以全部正方體個數減去未接觸外側的正方體個 數，求得接觸盒子外側的正方體個數。
（十二）餘式定理、數項數
在【奇妙數列】（L-01）有 S2、S3、S4、S7 等四位學生使用餘式定 理解題，求出第 6 項、第 27 項的值；而 S1、S5、S6 等三位學生則 使用數項數，求出第 6 項、第 27 項的值。
（十三）組織資料
在【硬幣排列】（L-02）七位學生組織四個條件，推論出硬幣排列順 序；在【大樓住戶】（L-03）七位學生組織相關的條件，如組織與 A、
C 相關的條件成以 AC 為中心的輻射狀關係，使關係明確清晰，利於 推論：L 與他的室友住的樓層比 A 與他的室友 C 住的樓層高 2 層；M 住的樓層比 A、C 住的樓層低 1 層；R 與 P 住單人房的樓層比 M 低 2 層等三個條件，推論出 L、AC、M、R、P 所在的位置共有六層，L 住 在 6 樓，A、C 住在 4 樓，M 住在 3 樓、P、R 住在 1 樓。
（十四）直接解題
在【硬幣排列】（L-02）七位學生均採直接解題推論出硬幣的由左至 右的排列為 5 元、1 元、20 元、2 元、10 元。
（十五）畫記
畫記就是把變數全部列出來，使用過的變數就畫掉或圈起來，以了 解剩下未使用變數有哪些，在【大樓住戶】（L-03）有 S1、S3 等二
位學生使用畫記輔助。
表 4-19 試題運用解題策略一覽表
試 題 解 題 策 略 學 生
直式算式（N-01） 1.嘗試錯誤 1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 圍牆整建（N-02） 1.畫表格
2.尋找所有可能
1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 2. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7
數字分組（N-03）
1.數字重組 2.條列式列答 3.畫表格列答 4.尋找所有可能
1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 2. S1、S3、S4、S5、S6、S7 3. S2
4. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7
三角形個數（M-01）
1.邊長分類 2.圖形分類 3.點分類 4.畫表格 5.條列式列答
1. S1、S2、S4、S5、S7 2. S3
3. S6 4. S4
5. S1、S2、S3、S5、S6、S7
堆積圖形（M-02）
1.畫圖 2.歸納法 3.發現規律
1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 2. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 3. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 正方體個數（M-03） 1.順向求解
2.逆向求解
1. S1、S2、S6 2. S3、S4、S5、S7
奇妙數列（L-01）
1.餘式定理 2.數項數 3.歸納法 4.發現規律
1. S2、S3、S4、S7 2. S1、S5、S6
3. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 4. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7
硬幣排列（L-02）
1.組織資料 2.直接解題 3.畫表格
1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 2. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 3. S2
大樓住戶（L-03）
1.畫圖 2.歸納法 3.組織資料 4.畫記
1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 2. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 3. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 4. S1、S3
表 4-20 解題策略一覽表
解 題 策 略 試 題 學 生
1.嘗試錯誤 1.直式算式（N-01） 1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7
2.畫表格
1.圍牆整建（N-02）
2.數字分組（N-03）
3.三角形個數（M-01）
4.硬幣排列（L-02）
1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 2. S2
3. S4 4. S2 3.尋找所有可能 1.圍牆整建（N-02）
2.數字分組（N-03）
1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 2. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 4.數字重組 1.數字分組（N-03） 1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 5.條列式列答 1.數字分組（N-03）
2.三角形個數（M-01）
1. S1、S3、S4、S5、S6、S7 2. S1、S2、S3、S5、S6、S7 6.邊長分類 1.三角形個數（M-01） 1. S1、S2、S4、S5、S7 7.圖形分類 1.三角形個數（M-01） 1. S3
8.點分類 1.三角形個數（M-01） 1. S6 9.外加個數 1.三角形個數（M-01） 1. S1、S2 10.畫圖 1.堆積圖形（M-02）
2.大樓住戶（L-03）
1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 2. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 11.發現規律 1.堆積圖形（M-02）
2.奇妙數列（L-01）
1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 2. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 12.歸納法
1.堆積圖形（M-02）
2.奇妙數列（L-01）
3.大樓住戶（L-03）
1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 2. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 3. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 13.順向求解 1.正方體個數（M-03） 1.S1、S2、S6
14.逆向求解 1.正方體個數（M-03） 1. S3、S4、S5、S7 15.餘式定理 1.奇妙數列（L-01） 1. S2、S3、S4、S7 16.數項數 1.奇妙數列（L-01） 1. S1、S5、S6 17.組織資料 1.硬幣排列（L-02）
2.大樓住戶（L-03）
1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 2. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 18.直接解題 1.硬幣排列（L-02） 1. S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7 19.畫記 1.大樓住戶（L-03） 1. S1、S2
表 4-21 學生解題策略運用一覽表
解 題 策 略 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7
1.嘗試錯誤 ● ● ● ● ● ● ●
2.畫表格 ● ● ● ● ● ● ●
3.尋找所有可能 ● ● ● ● ● ● ●
4.數字重組 ● ● ● ● ● ● ●
5.列式列答 ● ● ● ● ● ●
6.邊長分類 ● ● ● ● ●
7.圖形分類 ●
8.點分類 ●
9.外加個數 ● ●
10.畫圖 ● ● ● ● ● ● ●
11.發現規律 ● ● ● ● ● ● ●
12.歸納法 ● ● ● ● ● ● ●
13.順向求解 ● ● ●
14.逆向求解 ● ● ● ●
15.餘式定理 ● ● ● ●
16.數項數 ● ● ●
17.組織資料 ● ● ● ● ● ● ●
18.直接解題 ● ● ● ● ● ● ●
18.畫記 ● ●
綜合上述整理歸納出學生解題時所使用的解題策略有：嘗試錯誤、畫 表格、尋找所有可能、數字重組、列式列答、邊長分類、圖形分類、點分
類、外加個數（三角形）、畫圖、發現規律、歸納法、順向求解、逆向求 解、餘式定理、數項數、組織資料、直接解題、畫記等 19 種。
三、解題成敗因素
七位學生的原案分析的結果發現，學生各題皆成功解題，整理解題成 功的因素包括：解題知識、數學能力、解題行為等三個方面。
（一）解題知識：
由原案分析結果，七位學生題解時所應用的解題知識有：【直式算式】
（N-01）（語言知識、語意知識、基模知識、策略知識、程序知識）；【圍 牆整建】（N-02）（語言知識、語意知識、基模知識、策略知識、程序知識）；
【數字分組】（N-03）（語言知識、語意知識、基模知識、策略知識、程序 知識）；【三角形個數】（M-01）（語言知識、語意知識、策略知識、程序知 識）；【堆積圖形（M-02）】（語言知識、語意知識、策略知識、程序知識）；
【正方體個數】（M-03）（語言知識、語意知識、策略知識、程序知識）；【奇 妙數列】（L-01）（語言知識、語意知識、基模知識、策略知識、5.程序知 識）；【硬幣排列（L-02）】（語言知識、語意知識、策略知識、程序知識）；
【大樓住戶】（L-03）（語言知識、語意知識、基模知識、策略知識、程序 知識），整理成表 4-22。
表 4-22 學生的解題知識一覽表 解題知識
試題 語言知識 語意知識 基模知識 策略知識 程序知識
直式算式（N-01） ● ● ● ● ●
圍牆整建（N-02） ● ● ● ● ●
數字分組（N-03） ● ● ● ● ●
三角形個數（M-01） ● ● ● ●
堆積圖形（M-02） ● ● ● ●
正方體個數（M-03） ● ● ● ●
奇妙數列（L-01） ● ● ● ● ●
硬幣排列（L-02） ● ● ● ●
大樓住戶（L-03） ● ● ● ● ●
（二）數學能力：
由原案分析結果發現題解時所應用的數學能力有：【直式算式】（N-01）
（數學運算能力、邏輯推理能力）；【圍牆整建】（N-02）（形式化數學題材 的能力、數學運算能力、邏輯推理能力、彈性思考能力）；【數字分組】（N-03）
（形式化數學題材的能力、數學運算能力、邏輯推理能力、彈性思考能 力）；【三角形個數】（M-01）（形式化數學題材的能力、數學運算能力、邏 輯推理能力、彈性思考能力、空間概念能力）；【堆積圖形】（M-02）（一般 化數學題材的能力、邏輯推理能力、空間概念能力）；【正方體個數】（M-03）
（形式化數學題材的能力、數學運算能力、邏輯推理能力、逆向思考能力、
空間概念能力）；【奇妙數列】（L-01）（一般化數學題材的能力、數學運算 能力、邏輯推理能力、簡捷思考能力）；【硬幣排列】（L-02）（形式化數學 題材的能力、邏輯推理能力）；【大樓住戶】（L-03）（形式化數學題材的能 力、邏輯推理能力、數學記憶力），整理成表 4-23。