數學解題的策略

解題的策略常常是解題成功與否的主要因素之一，許多學者提出有關 解題策略的個人見解，茲將重要者敘述如下：

Polya(1945)是最早有系統提出解題策略的學者，他在其所著的「怎樣 解題」（How to solve it）一書中，強調解題的重要性，並將解題歷程分為 四個階段：1.瞭解問題；2.擬定計劃；3.執行計劃；4.回顧解答（表 2-6），

在每一階段中，他提出許多相關的解題策略，稱之為捷思(heuristic)策略。

表 2-6 Polya 的解題歷程與解題策略表

解 題 歷 程 解 題 策 略

第一步：

必須瞭解問題

瞭 解 問 題

◎未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？

◎可能滿足條件的各個部份嗎？條件足夠決定未知數嗎 不夠嗎？過多嗎？矛盾嗎？

◎做一個圖，導入適當的計劃。

◎分開條件的各部份，你能把它們分別寫下來嗎？

第二步：

1.找出未知數 和 已 知 數 之 間 的 關 係 ， 如 果 找 不 到 就 只 得 考 慮

擬 定 計 劃

◎你以前見過它嗎？或者見過形式稍微不同的相似問題 嗎？你知道什麼相關的問題嗎？你知道有什麼可用的 定理嗎？

◎注視未知數！試著想出一個有相同或相似未知數的熟 悉問題。

一 些 補 助 問 題。

2.想辮法擬定 一 個 解 題 計 劃。

◎這裡有一個相關的，以前你解過的問題，你能否應用它 嗎？你能用它的結果嗎？你能應用它的方法嗎？你是 否該導入一些輔助元素以便應用。

◎你能改述這個問題嗎？你能將它改述的更不同些嗎？

◎回到定義！你若解不出這個問題，就試著先解個相關的 問題。

◎你能想出一個更相關的問題嗎？一個更一般的問題 嗎？一個更特殊的問題嗎？一個類似的問題嗎？你能 決定問題的一部份嗎？保留一部份條件，丟開其餘部 份；這樣決定的未知數會如何？你能從已知數得出什麼 有用的東西嗎？有沒有其它已知的東西可以用來決定 未知數？你能改變未知故、或已知數，必要時兩者同時 改變，使新未知數和新已知數能更加接近嗎？

◎你用了所有已知數嗎？你用了全部條件嗎？問題中研 包含的重要觀念都已考慮到了嗎？

第三步：

實行你的計劃

執 行 計 劃

◎執行你所擬定的計劃，驗證每一步驟。

◎你能清楚地看出哪些步驟是正確的嗎？你能證明它是 正確的嗎？

第四步：

驗證所得的解 答

回 顧 解 答

◎你能驗證結果嗎？你能驗證論證嗎？你能用不同的方 法得出結果嗎？你能一眼看出來嗎？

◎你能把這個結果或方法應用到別的問題上去嗎？

資料來源：How To Solve It（xvi-xvii）,G. Polya, 1957, Princeton University, 1957, Princeton, New Jersey.

此外，Kilpatrick(1967)以 Polya 解題四階段為依據，探討八年級學生 解非例行文字題的策略，發覺學生使用的策略有：1.圖畫；2.使用連續漸 進法；3.常常詢問自己問題解決方法的存在性與唯一性；4.演繹；5.運用 算式；6.嘗試錯誤；7.檢查答案等。Kilpatrick 發覺學生所使用的策略不多，

乃將解題歷程中各階段的策略重新修正如表 2-7 所示。

表 2-7 Kilpatrick 修正之解題歷程與策略表

一、瞭解問題

1.辨認未知資料或條件。

2.畫圖。

3.引入符號。

二、擬定計劃

1.重新敘述問題。

2.考慮相關問題。

三、執行計劃

1.使用連續漸進的方法。

2.發現結果前檢查步驟。

四、檢討

1.檢查結果是否合理。

2.檢查結果是否合乎條件。

3.回溯論證的步驟。

4.使用其它的方法獲得結果。

(Kilpatrick,1967)

再者，Gary L. Musser，J. Michael Shaughnessy(1980)則認為在學校中 可以教的解題策略有：嘗試錯誤(Trial)、規律(Patterns)、解簡單的題目 (Solving a simpler problem)、工作回顧(Working backward)與刺激

(Stimulation)等五個策略。

在 Schoenfeld 的相關研究中，在解題歷程的六個階段：1.閱讀；2.分 析；3.探索；4.計畫；5.執行；6.驗證中的分析、探索、驗證三階段常用 的策略如表 2-8。

表 2-8 Schoenfeld 之常用解題策略表

分析

1.盡可能地畫圖。

2.檢查特例：

（1）取特殊值代入，以獲得較具體的瞭解。

（2）檢查極端狀況，以探討可能範圍。

（3）令問題中的整數為 1、2、3、4 與 5 等小值，看看是否 可歸納出一些規律。

3.嘗試簡化問題：

（1）利用對稱性。

（2）採取「假定……」而不失問題的一般性討論方式。

探索

1.考慮基本上一樣的問題：

（1）用等價的條件取代問題中的條件。

（2）以不同的方式重組問題中的資料。

（3）引入輔助的元素。

（4）用下列的方式重述問題：

A.改變題目的背景或符號。

B.考慮歸謬法或例置法。

C.假定你已有解答，由此導出解答的性質。

2.考慮稍微修改的問題：

（1）選擇子目標（想辦法得到部份的結果，或滿足部份條 件的解答）。

（2）放寬問題中的某一條件，然後再將之重新收緊。

（3）把問題分解成不同狀況的情形，再對每一狀況逐一解 答。

3.考慮大幅修改的問題：

（1）以較少的變數建構類似的問題。

（2）改變一個變項，決定該變項的影響。

（3）想辦法用有相似的形式、已知條件或結論相關的題目 結果或其解法。

驗證

1.你的解答能通過下列的特殊檢定嗎？

（1）你是否用到了問題中所有的相關資料？

（2）結果是否合理的被估計或預測？

（3）利用對稱、維度分析與比例等原則來檢查時，你的結 果是否站得住腳？

2.你的解答能通過下列的一般檢定嗎？

（1）這樣的解答可以用不同的方式得到嗎？

（2）這個抽象的答案能放在特別的狀況，使變得具體些嗎？

（3）這個解答能否簡化成已知的結果嗎？

（4）我們能由此解答推出一些已知的結果嗎？

(Schoenfeld，1985)

除以上所述之外，Alfred S. Poamentier，Stephen Krulik(1998)在 Problem-solving for efficient and elegant solutions：A resource for the mathematics teacher一書中提到十個解題策略：1.工作回顧(orking

backwards)；2.發現規律(Finding a pattern)；3.採取不同觀點(Adopting a different point of view)；4.解簡單、類似的問題(Solving a simpler, analogous problem)；5.考慮特殊實例(Considering extreme cases)；6.繪圖（視覺表 徵）(Making a drawing (visual representation))；7.慧的推測與測試（包含概 算）(Intelligent guessing and testing (including approximation))；8.描述所有 可能（詳列）(Accounting for all possibilities (exhaustive listing))；9.組織資 料(Organizing data)；10.邏輯推理(Logical reasoning)。

國內研究者劉貞宜（民89）在其論文中綜合了Kilpatrick、Webb、Cyert 等人的解題策略，將解題策略歸納如下：1.畫圖表徵；2.以字詞、圖形、

或符號等方式來簡化問題；3.回憶相關問題；4.嘗試錯誤；5.應用特殊化；

6.使用連續漸進法；7.從現狀向目標倒退思考；8.使用演繹法；9.使用歸 納推理法；10.運用類化和隱喻法；11.常常詢問自己問題解決方法的存在 性與唯一性；12.以不同的方式提出問題，並口述問題；13.常自問所提問 題的前提是否具有可靠性；14.以算式檢查解答是否合乎條件；15.與人談 論問題等方法。

綜合上述理論，在小學數學解題可歸納下列的解題策略：嘗試錯誤；

以字詞、圖形、或符號等方式來簡化問題；發現規律；列表格輔助解題；

解簡單的題目；繪圖；分類；組織資料；描述所有可能；演繹、歸納法；

邏輯推理；驗證答案；運用算式；工作回顧等等。期望藉由解題策略教學 的訓練，以提昇學生的解題能力。