台灣與新加坡教學目標之描述與比較

3. 能利用上述關係，證明一些簡單的三角恆等式。

4. 能利用銳角三角函數值的定義，證明餘角關係。

5. 能利用倒數關係、商數關係、平方關係及餘角關係，簡化三角函數值的計 算。

z 簡易測量與三角函數值表

1. 能認識測量術語：仰角、俯角及方位，並了解方位的表示法。

2. 能根據所附的三角函數值表，及利用線性內插法求得銳角的三角函數值。

3. 給一個三角函數值，能利用所附的三角函數值表，查得其所對應的銳角。

4. 能將簡單的測量問題轉化為三角形邊角的問題，並利用三角函數的概念求 解。

z 廣義角的三角函數

1. 能了解始邊、終邊、旋轉量、正角、負角及廣義角的意義。

2. 能了解廣義角及同界角的意義，並知道同界角的三角函數值相同。

3. 給定一廣義角，能求出其介於0 與^° 360 之間的同界角。 ^° 4. 能判斷每一象限角各三角函數值正負。

5. 能知道當θ 為± 90 的同界角時，^°

tan

θ 與

sec

θ無意義。

6. 能知道當θ 為0 或^° 180 的同界角時，^°

cot

θ與

csc

θ 無意義。

7. 能將(− 、

θ

) (180^° ±

θ

)、(360^° −

θ

)、(90^° ±

θ

)、(270^° ±

θ

)的三角函數值 化為θ 的三角函數值。

z 正弦定理與餘弦定理

1. 能推得面積公式，並利用面積公式導出正弦定理。

2. 能證明餘弦定理。

3. 能利用正弦定理、餘弦定理理解三角形，並推導其他幾何性質。

z 基本三角測量

能將日常測量問題轉化為解三角形問題，並利用各種三角關係式求解。

第三章「三角函數的性質與應用」中，引入角的弧度度量，將三角函數視為 實數間的對應，並在坐標平面描繪其圖形，了解其特性，然後導出和、差角公式，

倍角、半角公式，和、差與積的互化公式，進而討論正、餘弦函數之疊合問題及 反三角函數的基本概念，最後介紹複數的極式、隸美弗定理，並介紹極坐標。共 分為七節，本研究不將複數的內容納入比較，教學目標如下：

z 三角函數的圖形

1. 知道“弧度”單位的意義及度量方法，及作“弧度”與“度”間的轉換。

2. 能由圓半徑及圓心角求其所對的弧長與所成之扇形的面積。

3. 能利用描點法描繪正弦函數的圖形，並知道如何透過平移及伸縮，由 sin

y

=

x

的圖形描出

y

=

a

sin(

bx c

+ + 及)

d y

=cos

x

之圖形。

4. 能透過平移和伸縮，由

y

=cos

x

的圖形描出

y

=

a

cos(

bx c

+ + 之圖形。 )

d

5. 能利用描點法描繪出正切函數的圖形，並利用平移及鏡射的方法，由

tan

y

=

x

的圖形描出

y

=cot

x

的圖形。

6. 能利用倒數關係，由

y

=cos

x

的圖形描出

y

=sec

x

的圖形。

7. 能利用平移的方法，由

y

=sec

x

的圖形描出

y

=csc

x

的圖形。

8. 能知道六個三角函數的定義域、遞增或遞減之變化情形、週期、最大值與 最小值以及判斷是為奇函數或偶函數。

z 和角公式

1. 能證明正弦函數與餘弦函數的和角公式，且應用其求值。

2. 能導出正切函數的和角公式。

z 倍角、半角公式

1. 能導出正弦函數、餘弦函數及正切函數的倍角公式。

2. 能導出正弦函數、餘弦函數及正切函數的半角公式。

z 和、差與積的互化

1. 能利用和、差角公式導出積化和差與和差化積的公式。

2. 能利用上述公式求值及轉換三角函數式。

z 正餘弦函數的疊合

1. 能將

y

=

a

sin

x b

+ cos

x

轉化成

y

=

a

²+

b

²sin(

x

+

θ

)或

y

=

a

² +

b

² cos(

x

+

φ

) 的形式。

2. 能應用上述的方法，能解最大值或最小值的實際問題。

z 反三角函數的基本關係

1. 能了解符號sin a⁻¹ 的定義，並知道定義域為[-1,1]，值域為[ , ] 2 2

−

π π

，且與

定義於[ , ] 2 2

−

π π

上之正弦函數

y

=sin

x

互為反函數。

2. 能了解符號cos a⁻¹ 的定義，並知道定義域為[-1,1]，值域為 [0, ]

π

，且與定 義於[0, ]

π

上之餘弦函數

y

=cos

x

互為反函數。

3. 能了解符號tan a⁻¹ 的定義，並知道定義域為 R ，值域為 ( , ) 2 2

−

π π

，且與定

義於 ( , ) 2 2

−

π π

上之正切函數

y

=tan

x

互為反函數。

4.1.2 新加坡數學課程之三角函數教學目標

新加坡將三角的相關內容分述於八、九年級兩個單元中，教學目標如下：

z 三角比 （Trigonometrical Ratios）

1. 能求出直角三角形的邊長，以及銳角三角形的 sine、cosine 和 tangent 的三 角比值。

2. 能處理平面上的三角形問題。

z 三角學 （Trigonometry）

1. 能求出鈍角三角形的三角比。

2. 能處理兩個邊和一個角、兩個角和一個邊或三個邊的不等邊三角形問題。

3. 能計算複雜的三角形面積問題。

4. 能求出一條直線與平面間夾角的角度。

5. 能利用方位角與三角學的概念，解決生活中距離和高度等簡單的問題。

4.1.3 兩國三角函數教學目標之比較

台灣的教學目標著重於三角函數的理論與技術層面，新加坡強調生活經驗的連 結與應用。兩國十年級三角函數教學目標之內容上有明顯的差異，以廣度而言，

新加坡只將銳角三角比推廣到鈍角上，而台灣直接介紹廣義角的概念；以深度 而言，新加坡沒有教導三角函數的圖形、和角公式、半角公式、三角疊合以及 反三角函數等內容。但新加坡學生準備 A-level（相當於我國 11、12 年級或 12 年級與大一）時，數學教材內有更多三角函數的介紹與應用。本研究探討兩國 教材至十年級為止，因此，就上述的教學目標而言，我國高一學生所學的三角 函數課題較深且較多。

在文檔中 國 立 中 央 大 學 (頁 38-42)