台灣與新加坡八、九年級教材分析

z 角度的定義

兩國同時於七年級引入度的意義，但定義的方式有所不同。台灣定義度為量 角器上任意相鄰的兩個等分點與圓心連線為兩邊，圓心為頂點的角的度數是 1 度；新加坡直接說明測量角度的標準單位是 1 度，被定義成轉一圈的

360 1 ，

為正確的定義。

(1) 一個直角三角形ABC，已知∠ = ∠ =

A B

45^°，∠ =

C

90^°，則BC：AC：AB =1：

1：

2

；(2) 一個直角三角形ABC，已知∠ =

A

30^°，∠ =

B

60^°，∠ =

C

90^°，則BC： AC： AB =1： 3 ：2 的結論。

新加坡八年級「全等和相似」的單元，教導相似三角形的概念，讓學生能 藉由對應邊成比例的性質解未知邊長或未知角度的題目。在「三角比」

（Trigonometrical Ratios）單元中，由相似三角形引入三角函數的概念，並分別 對直角三角形的斜邊、對邊和鄰邊命名後，正式定義三角比 sin

opp

A

=

hyp

、 cos

adj

A

=

hyp

和 tan

opp

A

=

adj

，並且教導學生使用電算器計算1^°到 90^°的三角比 值，讓學生嘗試用三個基本的三角比，解決直角三角形中邊長和角度間的問題。

新加坡九年級「全等和相似三角形」單元中，再次複習相似三角形對應角相 等，或對應邊成一常數比例之概念，且歸納出相似三角形的判定法。「坐標幾何」

的單元，引出斜率的概念，並定義 ^{1 2}

1 2

tan

y y x x θ

= ⁻

− 為直線的斜率。「三角學」

（Trigonometry）單元中，將八年級定義的銳角三角比推廣至鈍角，並且介紹 30^° 和 45^°特殊角的三角比 (在八年級的三角比值都以計算器處理)。接著將國小三角 形面積公式推廣到正弦面積公式，進而導出正弦定理，讓學生能處理兩邊對一 角，以及兩角夾一邊等三角函數問題。之後定義餘弦定理，藉由證明讓學生了解 不論是銳角、鈍角或是直角三角形，餘弦定理皆成立。最後介紹方位角的概念，

讓學生藉由日常生活中東南西北的方位，了解在不同觀測點會有不一樣的三角比 值。

並列

表 4-2-4 八、九年級教材內容並列表 年

級

台 灣 新 加 坡

八

年

級

坐標平面上的點與坐標 (4-1.3 p.124)

坐標平面是由一條水平數線 (x軸) 與一條鉛垂的數線 ( y 軸) 所構成，

x軸向右為正向、 y 軸向上為正向，

兩軸的交點O稱為原點。

坐標平面被x軸、 y 軸分割成四個區 域 (不含x軸、 y 軸)。依逆時針方 向，分別稱之為第一、第二、第三、

第四象限。

畢氏定理 (2-2 p.62)

畢氏定理：任意一個直角三角形，其 兩股長的平方和等於斜邊長的平方。

多邊形 (2-4 p.32)

例題：

給兩個相似三角形ABC和 PQR ，試 求圖中未知數的值。

R

Q P

x 5 cm 3.2 cm

25 7.5 cm

A B

C

y cm

解：我們知道

QR BC

PQ AB =

(對邊成比例)

2 . 3 5

5 . 7

y

=

⇒

4.8 5

2 . 3 5 .

7 × =

=

∴ y

B A

ˆ

C

=

Q P

ˆ

R

=25^° (對應角相等)

畢氏定理 (12-1 p.218)

C

b a A c B

畢氏定理：任意一個直角三角形，斜 邊上正方形的面積等於其它兩邊上 兩個正方形面積的和。

畢氏定理的逆定理亦是正確的：

在一個邊長為a、b、c的三角形中，

如果

a

² =

b

²+ ，則相對於

c

² a邊的角 是為直角。

斜邊 股 股

第一象限 (＋，＋) 第二象限

(－，＋)

第四象限 (＋，－) 第三象限

(－，－)

x

y

八

年

級

三角比 (15-2 p.282)

三角形ABC中，以角 A 而言，邊BC 稱為對邊，邊 AB 稱為鄰邊，相對於 直角的邊AC稱為斜邊。

^{A B}

C

斜邊

鄰邊

對邊

直角三角形ABC中，

AC A

= =

BC

斜邊 sin 對邊

AC A

= =

AB

斜邊 cos 鄰邊

AB A

= =

BC

鄰邊 tan 對邊

角的三角比是數值，其表示邊長與邊 長的比，因此是沒有單位的。

三角比的值 (15-2 p.282)

例題：

直角三角形中，已知

= 90

°

B

ˆ

和A

ˆ = 25

^°， 測量BC和 AB 之後，

計算

AB

BC

的值大約等於 0.466。

使用計算器 (15-3 p.283)

直角三角形中，斜邊是最長的邊。因 此角的

sin

值和

cos

值永遠不會大於 1，而 tan 值可以是任意數。

用三角比解直角三角形問題

(15-4 p.286)

例題：

求三角形中的x、 y 值，以有效的 4 位數字表示。

C A B

八

年

級

A 32 B

C

25

y

x

解：

AC

C AB A

B

= =

斜 ˆ 鄰 cos

32 25 cos

y

° =

y

=25cos32^° =21.20

接下來介紹三種求x的方法。

法Ⅰ：

32 25 sin

x

° =

x

=25sin32^° =13.25 法Ⅱ：

20 . 32 21

tan

x

x = y

=

°

x

=21.20tan32^°

= 13 . 25

法Ⅲ：

x

² + y² =25² ∴ x² +21.20² =25²

x

² =25² −21.20² =175.56

x

= 175.56 =13.25

用三角比求三角形的角度 (15-5 p.291)

例題：

試求出圖中角x的角度，以有效的 4 位數字表示。

15.5

23.6 x

解： 23.6 5 . cos

x

=15

x

=48.95^° 例題：

建築物的窗戶離地面高 45 公尺，從 此看到地面上車子的俯角是42 ，試^° 求車子距離建築物多遠？

八

年

級

解：依示意圖，以 A 表為車子，BC表 為建築物的高，C表為觀測點，

角ACD表為俯角。

^{B A}

C D

x m 45 m

42

令 AB =x公尺，

AC

ˆB = 90

^°

− 42

^°

= 48

^°

48 45 tan

x

° =

x

=45tan48^° =49.98

∴車子距離建築物 49.98 公尺。

九

年

級

比與比值 (4.1 p.112)

兩個數a與b(b ≠0)，a比b就記作 a：b，它的比值為

b

a

，其中a稱為 這個比的前項、b稱為這個比的後項。

相似三角形 (4.2 p.138)

SAS 相似性質：如果兩個三角形的一 角相等，而且夾此角的兩邊對應成比 例，則這兩個三角形相似。

AAA 相似性質：如果兩個三角形的 三個內角對應相等，那麼這兩個三角 形必相似。

SSS 相似性質：如果兩個三角形的三 邊長對應成比例，則這兩個三角形相 似。

三角形的外接圓 (1-2.1 p.24)

直角三角形的外心即斜邊的中點，它 到三個頂點的距離相等。

直角三角形中，若有一個內角為30 ，^° 則此角所對應的股其長度是斜邊長 度的一半。

相似三角形 (4-4 p.72)

如果兩個三角形ABC和 PQR 相似，

則在

Δ

ABC和 PQRΔ 中，

(1)

A

ˆ = ，

P

ˆ

B

ˆ = ，

Q

ˆ C

ˆ =

R

ˆ

(2)

k

RP CA QR BC PQ

AB

= = = ，

k是一個常數。

相似三角形的判定法 (4-5 p.74)

1. 在

Δ

ABC和 PQRΔ 中，如果

A

ˆ =

P

ˆ 和

B

ˆ =

Q

ˆ ， 則

Δ

ABC 和 PQRΔ 相 似。

2. 在

Δ

ABC和 PQRΔ 中，如果

k RP CA QR BC PQ

AB

= = = 1，k是一常 數，則

Δ

ABC和 PQRΔ 相似。

3. 在

Δ

ABC和 PQRΔ 中，如果

k QR BC PQ

AB

= = 1 和

B

ˆ = ，

Q

ˆ 則

Δ

ABC和 PQRΔ 相似。

九

年

級

幾何證明 (2-2 p.66)

例題：

有一直角三角形ABC，

已知∠

A

=∠

B

=45^°，∠

C

=90^°， 試證：BC：AC： AB =1：1：

2

。 請在 ( ) 內加註理由。

證明：

(1) AC=BC ( )

(2)

AB

² =

AC

²+

BC

² ( ) =

AC

²+

AC

² (等量代換) =2

AC

²

AB

= 2

AC (3) BC：AC： AB

=

AC：AC：

2 AC

= 1：1：

2

例題：

有一直角三角形 ABC，其三個內角為

= °

∠

A

30 ，∠

B

=60^°，∠

C

=90^°， 試證：BC：AC： AB =1： 3 ：2。

請在括號內填入適當的數或加註理 由。

證明：

(1) 另

M 為斜邊中點，

因為

AB

=( )

×

BC (2)

AB

² =

BC

² +

AC

² ( ) (2

BC

)² =

BC

² +

AC

² ( ) 即

AC

² =( )×

BC

²

故AC

=

( )

×

BC (3) BC：AC： AB

=

BC：( )

×

BC：( )

×

BC

= 1

： 3 ：2

直線的傾斜角度 (5-7 p.96)

如圖，BC

=

y₂

−

y₁，AC

=

x₂

−

x₁， 直線的傾斜角度是由直線 AB 與正向 水平軸所夾的角度，0^° <

θ

<180^°。 而 1 2

2

tan

θ

= _x^y1₋⁻_x^y 是 AB 直線的斜率。

三角比 (10-1 p.208)

現在我們將定義鈍角的三角比，對於 任意鈍角 A ，

sin

A

=sin(180^° −

A

) cos

A

=−cos(180^° −

A

) tan

A

=−tan(180^° −

A

)

特殊角：30 、^° 60 、^° 45 的三角比 ^° (10-1 p.208)

考慮一個邊長為 2 的正三角形， AD 垂直BC，且將

Δ

BAC等分為二。

以直角三角形 BAD 而言，我們有：

2 30 1

sin ^° = 和

2 60 3 sin ^° = 2

30 3

cos ^° = 和

2 60 1 cos ^° =

3 30 1

tan ^° = 和 tan60^° = 3 求45 的三角形時，考慮一個等腰直^° 角三角形ABC，AC

ˆB = 90

^°，邊長

AC=BC=1 單位，

60 60

30

B C

30

3

x y

O ) , (x₁ y₁ A

) , (x2 y2

B

) , (x2 y1 1 C

2 x

x −

1

2 y

y −

B

A C

45

45

1

1 2

九

年

級

則AB

ˆ

C

=

BA

ˆ

C = 45 和^° AB

= 2

， 因此，

2 45 1

sin ^° = ，

2 45 1

cos ^° = ， 1 45

tan ^° = 。 三角形面積 (10-3 p.212)

高 底×

×

=

Δ 2

ABC

1 =

ab sin C

2

1

=

bc sin A

2

1 =

ac sin B

2

1

正弦定理 (10-4 p.215)

對於任意三角形ABC，

C

c B b A a

sin sin

sin = = 餘弦定理 (10-5 p.220)

對於任意三角形ABC，

A bc c

b

a

² = ² + ² −2 cos ，

B ca a

c

b

² = ² + ² −2 cos ，

C ab b

a

c

² = ² + ² −2 cos 。

a，b和c分別表示三內角 A∠ 、 B∠ 和

∠

C的對邊長。

方位角 (10-6 p.224)

例題：

說明以下的方向角：

(a) 從O觀察 A ；(b) 從O觀察 B ； (c) 從

A 觀察

O；(D) 從 B 觀察O。

九 年 級

解：

(a) 從O到 A 的方位角是055 。 ^° (b) 從O到 B 的方位角是

270^° +25^° =295^°。 從

A 到

O的方位角是 180^° +55^° =235^°。 (c) 從

B 到

O的方位角是 90^° +25^° =115^°。

比較

z 三角比的鋪陳

綜觀數學教材，新加坡三角比相關概念的引入較台灣早兩個學年。台灣八、

九年級尚未提及三角比的概念，只有在九年級的幾何證明的習題中介紹45 、 ^° 30 及^° 60 特殊角的三角形邊長比，為高中三角函數做初步的鋪陳。而兩國以 ^° 相同的方式說明45 三角形的邊長比，但台灣以直角三角形的外心特性，導 ^° 出60 三角形的邊長比為 1： 3 ：2，新加坡則以邊長為 2 的正三角形推導出 ^° 邊長的關係。

z 畢氏定理

兩國皆於八年級教導畢氏定理的內容。台灣直接說明任意一個直角三角形，

兩股長的平方和等於斜邊長的平方，以邊長的關係切入；新加坡則讓學生觀 察出三邊上的三個正方形間的關係，發現斜邊上的正方形面積等於另外兩邊 上正方形面積的和，且更廣義的推導出畢氏定理的逆定理亦是成立的。

z 斜率概念的引入

新加坡九年級將

tan

θ 與斜率概念結合，並把銳角三角比推廣至鈍角三角比。

當學生具備三角比的先備知識後，教材利用三角比之間的關係，導出三角形 的面積、正弦定理和餘弦定理，最後將三角比與方位作連結，讓學生能一貫 地了解三角比的知識與鋪陳；台灣三角函數的內容編寫於十年級，詳見於下

在文檔中 國 立 中 央 大 學 (頁 59-68)