含死区补偿的直接/间接集成自适应鲁棒控制器(DIARC)设计

通过使用投影式自适应律(5-17)，无论估计函数τ 具体形式如何，参数估计都在已知的 界中。该特点将被用来设计针对系统(5-1)的含死区补偿的DIARC控制器。该控制器对于任 意参数估计函数，都可以获得一定的鲁棒瞬态性能和稳态跟踪精度。首先定义

s(t) = (d

dt + λ)ⁿ⁻¹ex(t) (5-19) 其中λ > 0。上式亦可被写为

s(t) = Λ^TX(t)e (5-20)

其 中Λ^T = [λⁿ⁻¹, (n− 1)λⁿ⁻², . . . , 1], eX = X − Xd, X = [x(t), ˙x(t), . . . , x⁽ⁿ⁻¹⁾(t)], X_d = [x_d(t), ˙x_d(t), . . . , x⁽ⁿ_d ⁻¹⁾(t)]^[153]。注意到本章引理5.1中(5-1) 、(5-7)以及死区逆(5-4) ，对s(t)进 行微分可以得到：

˙s(t) = Λ^T_vX(t) + ge x⁽ⁿ⁾(t)

= Λ^T_vX(t)e − x⁽ⁿ⁾_d (t) +∑p

i=1a_iY_i(x(t), ˙x(t), . . . , x⁽ⁿ⁻¹⁾(t)) + f_u+ w(t)

= Λ^T_vX(t)e − x⁽ⁿ⁾d (t) +∑_p

i=1a_iY_i(x(t), ˙x(t), . . . , x⁽ⁿ⁻¹⁾(t)) + f_u+ d(t) + w_d(t) + ^(m_rb_r)κ₊(w_d) + ^(m_lb_l)κ₋(w_d)−^{wd+ \}_m^(m_cr^rbr)mf_rκ₊(w_d)− ^{wd+ \}_mc^(m_l^lbl)mf_lκ₋(w_d)

(5-21)

其中Λ^T_v = [0, λⁿ⁻¹, (n− 1)λⁿ⁻², . . . , (n− 1)λ]。我们设计DIARC控制输入wd如下（w_d可被用 在死区逆变换(5-4)中，从而得到输入v(t)）：

wd= wda+ wds, wda = wda1+ wda2, wds = wds1+ wds2,

w_da1= x⁽ⁿ⁾_d (t)− Λ^TvX(t)e −∑p

i=1ab_iY_i(x(t), ˙x(t), . . . , x⁽ⁿ⁻¹⁾(t)) w_da2=− bd_c, w_ds1 =−ks1s

(5-22)

在(5-22)中，wda1代表含物理参数估计abi的模型补偿项，其中abi 由自适应算法(5-17)进行更 新。w_da2是快速动态补偿项^[87]，其中 bd_c 是对不确定性总量中低频成分的估计。w_ds 是鲁棒 控制项，其中w_ds1是一个简单的比例反馈（增益为常量k_s1），用来稳定名义系统；w_ds2是 鲁棒反馈项，用于应对模型不确定性以及不确定非线性的影响。

80 第五章 精密轮廓运动控制器中的死区补偿研究

浙江大学博士学位论文 81

其中，ε 和εd是任意小的常数。由(5-28)的条件ii可以看出wds2是用来处理参数不确定和不 确定非线性的，而条件i则表明w_ds2是耗散的，因此它不会影响到模型补偿项w_da的作用。

备注：满足(5-28)的一个例子可以通过下述方式得到。令h满足

h≥ |k^⋆max||wda2| + ||ϑmax||||ψ|| + |d(t)|max (5-29) 其中，_k^⋆_{max = max{}^mrmax

mrmin,^m_m^lmax

lmin}, ϑ1max = a1max− a1min, ϑ2max = a2max− a2min,. . ., ϑrmax = a_rmax − armin, (ϑ_r+1)_max = max{^mrmax_mrmin^−mrmin,^mlmax_m^−mlmin

lmin }, (ϑr+2)_max = max{(mrb_r)_max − (m_rb_r)_min + (m_rmax − mrmin)^(m_m^rbr)max

rmin , (m_lb_l)_max − (mlb_l)_min − (mlmax − mlmin)^(m_m^lbl)min

lmin },

|d(t)|max = max{|(mrb_r)_max−mrmin(mrbr)min

mrmax |, |(mlb_l)_min−mlmin(mlbl)max

m_lmax |}。然后，选择w_ds2为 w_ds2=−[

1

4εk^⋆_minh²+ _4ε ¹

dk^⋆_minδ²(X) ]

s (5-30)

其中_k^⋆_{min = min{}^mrmin

mrmax,_m^mlmin

lmax}。易证上述_wds2满足_(5-28)，在此不再赘述。

　　 定理 5.1： 当使用具有死区逆(5-4)的DIARC控制器(5-22)（其参数自适应律为(5-17)）

时，无论估计函数τ 形式如何，闭环系统的所有信号都有界，并且输出跟踪具有一定的鲁 棒瞬态性能和稳态跟踪精度，具体而言，跟踪误差指标s被界定为

s(t)² ≤ e^−λvts(0)²+^2(ε+εd_λ^{fdmax2 )}

v [1− e^−λvt] (5-31) 其中，λ_v = 2k^⋆_mink_s1，f_dmax是有界时间函数f_d(t)的L_∞的最大值。

证明： 由(5-27) 和(5-28)可知，V = ¹₂s² 的微分为

V˙ = k^⋆w_ds1s + s[k^⋆w_ds2− ˜d_c+ (1− k^⋆) ˆd_c+△^⋆(t)]

≤ −k^⋆k_s1s²+ ε + ε_df_d²

≤ −λ_v

2 s²+ ε + εdf_d² (5-32) 也即

V˙ ≤ −λvV + ε + εdf_d² (5-33) 由比较引理，可得(5-31)。这里注意，由于参数估计（即自适应）一直被限定在已知的范

围以内，因此不管(P1)中的自适应函数形式如何，该定理都成立。 

5.3.3 参数估计算法设计

上节我们设计了含死区补偿的的DIARC控制器，并且只要参数估计由投影(5-16) 来限

82 第五章 精密轮廓运动控制器中的死区补偿研究

浙江大学博士学位论文 83

可得

χ (w_d(t)) x⁽ⁿ⁾= χ (w_d(t))∑p

i=1a_iY_i(x(t), ˙x(t), . . . , x⁽ⁿ⁻¹⁾(t)) + (m_rv(t)− mrb_r) χ₊(w_d(t)− H)

+ (m_lv(t)− mlb_l) χ₋(w_d(t) + H)

(5-35)

然后定义

y_χ(t) = χ (w_d(t)) x⁽ⁿ⁾,

F^T(t) = χ (wd(t)) [Y1, Y2, . . . , Yp, v(t),−1] (5-36) 注意引理5.2，我们可以在以下两种情况中做参数估计:

Case I: 首先考虑w_d(t)≥ H的情况，即χ+(w_d(t)− H) = 1且χ₋(w_d(t) + H) = 0。系统 动力学(5-35) 变为如下的线性模型

y_χ(t) = F^T(t)θ_r (5-37) 其中

θ_r = [a₁, a₂, . . . , a_p, m_r, m_rb_r]^T (5-38) 注意(5-37) 即为标准的参数估计模型。那么就可以采用各种不同的参数估计算法来辨识未 知参数。众所周知，最小二乘法拥有良好的参数估计收敛性^[114]，因此它将被用来估计θ_r的 值。在实际中，由于(5-36)中的x⁽ⁿ⁾不可测，我们用滤波器来获取参数估计所需要的状态 量X。设H_f(s) 为相对阶数大于或等于1的稳定传递函数，例如H_f(s) = 1/(ω_fs + 1)。将滤 波器同时乘以(5-37)的两边，可得

y_χf(t) = F_f^T(t)θ_r (5-39) 其中y_χf = H_f[y_χ]，F_f = H_f[F ]。然后，运用最小二乘法构建自适应方律来估计θ_r，其 中τ 为

τ =− 1

1 + υtr{F_f^TΓF_f}F_fς (5-40) 其中ς和Γ 分别是预测误差和时变的自适应率，即

ς = F_f^Tθb_r− yχf = F_f^Tθe_r

˙Γ =





αΓ− _1+υtr{F¹T

fΓFf}ΓF_fF_f^TΓ, if λ_max(Γ(t))≤ ρM

0, otherwise

(5-41)

这里α≥ 0 是遗忘因子，ρM 是对∥Γ(t)∥预设的上界，υ ≥ 0 并且υ = 0。由此可以得到如下

84 第五章 精密轮廓运动控制器中的死区补偿研究 引理以阐述所提的参数估计算法的特性^{[114, 89]}:

　　 引理 5.3： 在只存在参数不确定性和死区时（也即(5-1)中f_u = 0），若采用最小二乘 估计器(5-40)构造投影式自适应律(5-17)，一旦持续激励（PE）条件满足，即

∫t+T

t F_fF_f^Tdτ ≥ βIp, f or some β > 0 and T > 0 (5-42) 则在线参数估计 bθ_r会收敛于参数的真实值，即当t→ ∞时， eθ_r(t)→ 0。

Case II: 现在考虑w_d(t)≤ −H的情况，即χ+(w_d(t)− H) = 0且χ₋(w_d(t) + H) = 1。系 统动力学(5-35) 变为如下的线性模型

y_χ(t) = F^T(t)θ_l (5-43) 其中

θl = [a1, a2, . . . , ap, ml, mlbl]^T (5-44) 由此，采取与Case I相同的步骤可以获得物理参数θ_l的准确估计，也即，当类似于(5-42)的 持续激励条件满足时，在t→ ∞时eθl(t)→ 0。

综上所述，当类似于(5-42)的持续激励条件满足时，Case I和Case II的参数估计保证 所有未知参数θ = [a₁, a₂, . . . , a_p, m_r, m_rb_r, m_l, m_lb_l]^T的估计将收敛于物理参数的真实值，即 在t → ∞时eθ(t) → 0。