问题阐述

本节首先介绍一些典型的轮廓误差计算模型，归纳出这些模型的特点，进而阐述全局 任务坐标系需要解决的重点问题。

工业上加工一个零件的外形轮廓，常需要多轴机床设备的末端执行器运行一个预定的 轨迹曲线，这个曲线即期望轮廓轨迹。在笛卡尔坐标系(x, y)定义的两维空间中，一个光滑 的曲线可用如下表达式描述：

f (x, y) = 0 (2-1)

其中f 是已知函数。由于实际系统模型中不可避免的存在着各种不确定性和忽略掉的高 频动力学，实际运动点（即末端执行器的位置）不可能完全准确的运行在期望轮廓上。

因此，轮廓运动控制的主要目标是保持轮廓误差在可容忍的范围以内以保证零件的最终 表面质量。轮廓误差在轮廓运动控制中常被量化为实际运动点到期望轮廓之间的最短距 离。如图2-1所示，t₀时刻的实际位置P_a(t₀)对应的轮廓误差是|−−−−−−−−→

P_c(t₀)P_a(t₀)|，其中轮廓误 差点Pc(t0) 是期望轮廓上的点，其沿期望轮廓的切线垂直于−−−−−−−−→

Pc(t0)Pa(t0)；t1时刻的实际位 置P_a(t₁)对应的轮廓误差是|−−−−−−−−→

P_c(t₁)P_a(t₁)|，其中轮廓误差点Pc(t₁) 是期望轮廓上的点，其沿 期望轮廓的切线垂直于−−−−−−−−→

P_c(t₁)P_a(t₁)。可以看出，轮廓误差是一个仅依赖于实际位置和期望 轮廓形状的几何概念。

浙江大学博士学位论文 19

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图 2-1 两个实际运动点的轮廓误差和跟踪误差

实际轮廓运动除了要获得尽可能小的轮廓误差外，还需要实际运动点能够以一定的运 动来沿着期望轮廓运行，这个目的需要通过如下方式来定义期望运动：

q_d(t) = [x_d(t), y_d(t)]^T (2-2) 其中x_d(t) 和y_d(t) 是关于时间的已知函数，表示的是t时刻期望轮廓上的期望运动点，如 图2-1的点P_d(t)。显然，P_d(t)一直都在期望轮廓上，也即

f (x_d(t), y_d(t)) = 0, ∀t (2-3) 其运动速度即为期望进给率V_d(t)，即

√˙x_d(t)²+ ˙y_d(t)² = V_d(t), ∀t (2-4)

根据以上描述的期望运动轨迹，如果能够保证位置跟踪误差−−→P_aP_d足够小，实际运动点在期 望轮廓上的跟踪运动就可以实现。

很明显，轮廓误差与位置跟踪误差之间不存在唯一的函数关系— 位置跟踪误差是依赖 于期望运动的（参见式(2-4)），而轮廓误差却是不依赖于期望运动的几何量。在实际中，

适用于实时控制的轮廓误差精确计算存在着较大的技术困难— 目前所有的交叉耦合控制算 法和基于局部任务坐标系的控制算法，均假设各轴的位置跟踪误差足够小，并基于位置误 差来近似估计实际轮廓误差。在跟踪误差很小这个假设前提下，轮廓误差的近似计算模型

20 第二章 正交全局任务坐标系研究

浙江大学博士学位论文 21

22 第二章 正交全局任务坐标系研究 例如，一个圆轮廓

√x²+ y²− Rd = 0 (2-7)

对应的任务空间坐标(2-5) 如图2-3所示，其具体数学表达式如下：

r_c =√

x²+ y²− Rd

r_m = θ_a = atan2(y, x)

(2-8)

这里需注意，Chen等人提出的极坐标系^[77]本质上与坐标系(2-8)是一样的。在这个任务空间 下，不管实际位置P_a在何处，也不管位置跟踪误差大小如何，曲线坐标值r_c 一直都是准确 的轮廓误差ε_c =√

x²+ y²− Rd，而图2-2中的|−−−−→

P_t1P_a1|和|−−−−→

P_t2P_a2|却永远只能是轮廓误差εc的 近似值。另外，当r_c坐标上的镇定保证了实际运动点始终沿着期望轮廓运动时，r_m上的跟 踪控制可以保证实际运动点能够快速跟踪期望运动点。

通过(2-5)定义的任务空间曲线坐标对于直线轮廓^[72]和圆轮廓^[71]往往都有效，但它还是 有两个缺点：首先，曲线坐标rc通常是与实际轮廓误差非线性相关的量，它的单位与轮廓 误差的单位可能有较大差别。一旦曲线任务坐标选择不当，即使是对于圆轮廓，也会出现 上述问题，比如圆轮廓也可被表示为

x²+ y²− R²d= 0 (2-9) 那么，按照式(2-5)，坐标r_c 的定义为

r_c = x²+ y²− R²_d (2-10) 虽然r_c = 0 仍然意味着ε_c = 0，但这里的r_c明显与实际轮廓误差ε_c非线性相关，并拥有不同 的单位：r_c = ε²_c + 2R_dε_c。其次，曲线坐标无法保证在期望轮廓上的局部正交性，如何选 择g(x, y)让坐标r_m局部正交于r_c，仍然还是一个需要重点解决的问题— 即使对于简单的非 圆轮廓（例如椭圆），所定义的曲线任务坐标都无法保证局部正交性。由于以上两个主要 缺陷，Yao的全局任务坐标系没有被广泛的认可，其研究工作在90年代就停滞了。因此，

如何解决这两个难点就成为构造全局任务坐标系的关键问题。