Yao于2003年提出了一种直接/间接集成自适应鲁棒控制策略（DIARC）[89]。在这种自 适应鲁棒控制方法中，参数自适应律的设计可以完全独立于鲁棒控制算法的设计，从而可 以选择不同的参数估计算法，比如具有更快收敛率和估计准确性的最小二乘法[151]。本章 将利用直接/间接集成自适应鲁棒控制策略灵活的参数估计方式和死区可被局部线性参数化 的特性，针对一类含未知死区输入的不确定非线性系统，在死区未知并且输出不可测、系 统具有参数不确定性和不确定非线性的情况下，提出了一种含死区补偿的直接/间接集成自 适应鲁棒控制器。该控制器通过对实际工作区间的实时监测，只在持续激励（PE）条件满 足时做参数自适应，一旦系统仅具有参数不确定性和死区，其参数估计将收敛于参数的真 实值，即死区的参数可以被准确的辨识出来，由此可以实现对死区的理想补偿，并最终实 现理论上的输出渐近稳定跟踪，即输出跟踪误差趋于零— 这是目前控制方法均没有达到的 理论结果（虽然Zhou采用自适应变结构控制实现了渐近稳定跟踪[116]，但该控制方法在实 际应用中存在输入抖振问题）。不仅如此，在持续激励条件未满足并且整个系统可能含有 其它不确定非线性和时变干扰时，理论证明该DIARC算法依然可以获得鲁棒的的瞬态性能 和稳态跟踪精度。实验研究是在直线电机系统上进行的— 在直线电机的输入端加了一个模 拟的不对称未知死区，实验结果表明，所提的含自适应死区补偿功能的直接/间接集成自适 应鲁棒控制策略明显优于Zhou所提出的自适应控制方法[116]。实验结果也证明了所提的死 区补偿的有效性— 在有死区和没有死区两种情况下，实际输出轨迹跟踪性能差不多。
以上方法可被应用在含死区的多轴轮廓运动控制中：先针对每个单轴设计含死区补偿 的直接/间接集成自适应鲁棒控制器，得到死区的各个参数的估计值，然后直接利用该估计
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74 第五章 精密轮廓运动控制器中的死区补偿研究 值设计每个单轴的死区逆以消除死区的影响，之后的轮廓控制器设计与第三章、第四章所 述内容完全一致。比如当多轴系统中的死区和定位力均不可忽略时，可先通过本章的方法 辨识出死区参数以直接构造死区逆，然后可完全按第四章的步骤设计含定位力补偿的轮廓 运动控制器。
5.2 问题阐述
5.2.1 系统动力学
本章研究一类含非对称死区的不确定非线性系统，与Wang、Zhou、Ibrir等研究的系
统[109, 113, 103]一样，具体系统描述如下：
x(n) =
∑p i=1
aiYi(
x(t), ˙x(t), . . . , x(n−1)(t))
+ Ew(t) + fu
y = x(t), w(t) = D(v(t)) (5-1)
其中，Yi, i = 1, 2, ..., p 为已知非线性连续函数，参数ai 和b为未知常数，v(t) 为控制输 入，w(t) 是被控对象（plant）的实际输入，y(t)是系统输出。fu 表示包括外部干扰在内 的不确定性总集。死区非线性D(v(t)) 的模型见图5-1中的(1)。当输入为v(t)、输出为w(t) 时，死区可被描述为[101]
w(t) = D(v(t)) =
mrv(t)− mrbr if v(t)≥ br
0 if bl< v(t) < br mlv(t)− mlbl if v(t)≤ bl
(5-2)
其中，参数mr，ml，br和bl 为常量，分别是死区的右边斜率、左边斜率、与X轴的右交点 以及左交点。
因为E的作用可以在未知的斜率mr和ml中考虑，可令E=1。为了表述简便，令θ ∈ Rp+4为所有未知参数的矢量，即θ = [a1, a2, ..., ap, mr, mrbr, ml, mlbl]T。另外，•min和•max分 别为•(t) 在其整个定义域里的最大值和最小值；b•代表•的估计值；e• = b• − •代表估计误 差 ， 如eθ = bθ − θ ；•i 是• 的 第i个 元 素 ；X = [x(t), ˙x(t), . . . , x(n−1)(t)] 为 实 际 状 态 矢 量；Xd = [xd(t), ˙xd(t), . . . , x(nd−1)(t)] 是期望状态矢量。控制器的目标是设计一个控制输 入v(t)以确保所有的闭环信号都有界，并且系统的状态矢量X能够渐近跟踪期望轨迹Xd， 即当t→ ∞时，X → Xd，并且具有鲁棒的瞬态响应。
结合实际情况，我们做出如下假设：
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mr
ml
br
bl
0 w t( )
( ) v t
1/mr
1/ml br
bl
0 v t( )
( ) w t
图 5-1 (1) 死区模型 (2) 完美的死区逆
假设 5.1： 死区输出w(t)不可测。
假设 5.2： 死区 参 数mr、ml、br和bl均 未 知 ， 但 它 们 的 正 负 号 是 已 知 的 ， 即mr >
0，ml > 0，br > 0，bl < 0。
假设 5.3： 未知参数矢量θ中的参数均有界，其界集为Ωθ。不失一般性，假设∀θ ∈ Ωθ，ai ∈ [aimin, aimax]，i = 1, 2, ..., p 并 且0 < mrmin ≤ mr ≤ mrmax，0 < mlmin ≤ ml ≤ mlmax，0 < (mrbr)min ≤ mrbr ≤ (mrbr)max，(mlbl)min ≤ mlbl ≤ (mlbl)max < 0，
其 中aimin、 aimax、 mrmin、 mrmax、 mlmin、 mlmax、 (mrbr)min 、 (mrbr)max、 (mlbl)min 和(mlbl)max均为已知常数。
假设 5.4： 不确定非线性量fu可以被界定如下：
|fu| ≤ δ(X)fd(t) (5-3)
其中，δ(X) 是一个已知的正函数，fd(t) 是一个有界的时变正函数。
5.2.2 死区补偿研究
死 区 补 偿 的 本 质 在 于 利 用 一 个 完 美 的 死 区 逆v(t) = DI(w(t)) （ 如 图5-1中 的(2)所 示），使得D (DI(w(t))) = w(t),∀w(t)。我们提出的死区逆如下
v(t) = κ+(wd)wd(t) + \(mrbr) c
mr + κ−(wd)wd(t) + \(mlbl) c
ml (5-4)
76 第五章 精密轮廓运动控制器中的死区补偿研究
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78 第五章 精密轮廓运动控制器中的死区补偿研究 由此可以证明(5-9)第二行所示的上界。
联立Case I和Case II，可以证明(5-7)和(5-8) 成立，并且d(t)被式(5-9)界定。由于(5-12) 和(5-15)分别等效于 d(t)∈ (0, − ^(mrbr) +mfr(m\mcrbr)
r ]和 d(t)∈ [−^(mlbl) +mfl(m\mclbl)
l , 0)，故
∀t, |d(t)| ≤ max{
| ^(mrbr)| + |fmr|(mmrbrminr)max, |^(mlbl)| + |fml||(mmlblminl)min|}
。由eθ ∈ L2[0,∞)，可知 (m^rbr),mfr, ^(mlbl),mfl ∈ L2[0,∞) ，因而推知d(t) ∈ L2[0,∞)。同理，当t → ∞时，eθ(t) → 0
可推知d(t)→ 0。证毕。