n维全局任务坐标系研究

以刚性连接的n自由度的机械臂（或多轴机床）为例，其动力学方程在笛卡尔坐标里 可被描述为

M(q, θ)¨q + C(q, ˙q, θ) ˙q + G(q, θ) = u + f (q, ˙q, t) (6-2) 其中q ∈ Rⁿ是位置矢量，θ ∈ R^p是未知参数，u∈ Rⁿ是控制输入，M(q, θ) ∈ R^n×n 是惯 量，C(q, ˙q, θ) ˙q ∈ Rⁿ是Coriolis力和离心力，G(q, θ)∈ Rⁿ 是重力，f(q, ˙q, t)∈ Rⁿ 是表示 未知不确定性总集的矢量，包括外部干扰和建模误差等。该数学表达式具有一定的普遍 性，也适用于我们前面所讨论两维直线电机系统。

设n维空间里的期望轮廓轨迹曲线可以被m个曲面的相交线表示，即

Φ(q) = [f1(q), f2(q)..., fm(q)]^T = 0, m < n (6-3) 其中f₁(q), f₂(q), ..., f_m(q) 在任意空间位置q均彼此不相关。设[g₁(q), g₂(q), ..., g_n−m(q)] 是 由n-m个非线性函数所组成的矢量，并且[f_i(q); g_j(q)]在任意空间位置q均彼此不相关。则 全局任务空间可被定义为

r = [r_c^T; r_m^T]^T = h(q), r_c =

[ f₁(q)/

√

f_1q²₁ + f_1q²₂ + ... + f_1q²_n, f₂(q)/

√

f_2q²₁ + f_2q²₂ + ... + f_2q²_n, ..., f_m(q)/

√

f_mq² ₁ + f_mq² ₂ + ... + f_mq² _n ]T

∈ R^m,

r_m = [g₁(q), g₂(q), ..., g_n−m(q)]^T ∈ R^n−m (6-4) 其中，f_1q1 = ^∂f_∂q¹

1，f_1q2 = ^∂f_∂q¹

2，...，f_mqn = ^∂f_∂q^m

n。在所定义的任务空间(6-4)中，r_c实质上就 是轮廓误差矢量— 期望轮廓可被表示为r_c = 0，并且曲线坐标r_c的方向与所构建的空间面 法向一致，因而可以通过控制rc使之尽可能地趋近于零，即约束实际运动点尽可能不偏离 期望轮廓；而r_m则是当前时刻的轮廓误差点与起始点之间沿期望轮廓的曲线路程长度，用 来驱动实际运动点沿着期望轮廓跟踪期望运动点，其数学描述式依赖于期望轮廓的具体形 状。

以下我们以球面轮廓线加工为例做具体说明。如图6-1所示，圆球面为f₁(x, y, z) =

浙江大学博士学位论文 95

96 第六章 基于全局任务坐标系的高维精密轮廓运动控制理论框架 由于期望轮廓轨迹处于圆球面与平面相交线上，其中平面过Z轴且与X轴、Y轴均成π/4的 夹角，因此可构造路程坐标r_m如下

rm(x, y, z) = Rdatan2(√

x²+ y², z) (6-7) 任 给R_d一 个 正 常 数 值 ， 式(6-5)(6-6)(6-7) 所 定 义 的 全 局 任 务 坐 标 系(r_c1, r_c2, r_m)大 致 如 图6-1所示。其中，rc1 =−1, 0, 1, 2、rc2 =−1, 0, 1, 2、rm = 0, R_dπ/12, R_dπ/6分别代表蓝色 圆球面系列、绿色平面系列以及粉色平面系列。

6.2.2 系统动力学

n自由度刚性连接的机械臂动力学方程（也即式(6-4)）也可以被写为

M(q, θ)¨q + C(q, ˙q, θ) ˙q + G(q, θ) = u + d_l+ ed (6-8) 其中d_l = [d_l1, d_l2, ..., d_ln]^T是f(q, ˙q, t)的名义值矢量，且ed = f − dl。所提的全局任务坐标 系r满足

˙r = J ˙q, ¨r = J¨q + ˙J ˙q (6-9) 其中J = ∂h(q)/∂q ∈ R^n×n是雅克比矩阵。假设在有限空间q ∈ Ωq，映射h(q) : Ω_q → Ωr是 一一对应关系，并且雅克比矩阵J是非奇异的。联立(6-8)和(6-9)，可将笛卡尔坐标系里的 动力学变换到所提的全局任务坐标系中，得到任务空间下的系统动力学如下：

M_t(r, θ)¨r + B_t(r, θ) ˙r + C_t(r, ˙r, θ) ˙r + G_t(r, θ) = u_t+ d_t+ e∆ (6-10) 其中

M_t= J^−TMJ⁻¹, B_t= J^−TCJ⁻¹, C_t =−J^−TMJ⁻¹˙JJ⁻¹,

G_t = J^−TG, u_t = J^−Tu, d_t= J^−Td_n, e∆ = J^−Ted (6-11) 易知动力学(6-10)中有如下特性^[158]：

(P1) 在任何有限工作空间q∈ Ωq内，M_t是对称正定矩阵，其中

µ₁I≤ Mt≤ µ2I, ∀q ∈ Ωq, (6-12) 其中，µ₁和µ₂是两个正标量。

(P2) 根据在(6-11)的定义式，Nt= ˙M_t− 2Ct是斜对称矩阵，也即，s^TN_ts = 0,∀s。

(P3) 在(6-10)中，M_t，B_t，C_t，G_t，d_t和u_t等相关的多项式可以被未知参数矢量θ ∈ R^p线性参数化。

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一般来说，参数矢量θ未知，比如机械臂的负载常常根据加工任务而改变。然而，参 数不确定性的范围却是可以预知的。所以，我们可以做如下假设：

　　 假设 6.1： 参数非线性和不确定非线性的范围是已知的，具体表现为 θ ∈ Ωθ , {θ : θmin ≤ θ ≤ θmax}

∆e ∈ Ω∆ ,{

∆ :e ||e∆|| ≤ δ∆

} (6-13)

其中θ_min和θ_max是已知的常数向量，并且δ_∆是已知函数。

控制目标是构建一个控制输入u_t，使得实际运动点q渐近跟踪期望轮廓上的期望 运动点q_d(t)。在所提的任务坐标系(6-4)中，此目标通过使r_c逼近于零、r_m跟踪期望轨 迹r_md(t) = r_m(q_d(t))来实现。