令 bθr为θr的估计值， eθr为估计误差（即 eθr = bθr− θr）。根据(6-13)，各个参数估计均是 有界的，因此我们采用如下的非连续投影式参数自适应律：
θ˙br = P rojθb
r(Γτ ) (6-14)
其中Γ > 0 为对角矩阵，τ 为自适应函数。非连续投影P roj的定义见第三章的(3-12)，显然 性质(P4)（即(3-13)）、性质(P5)（即(3-14)）均成立。
接下来详述高维系统的自适应鲁棒精密轮廓运动控制器的设计。首先定义一个类似滑 模面的变量为
s = ˙e + Λe = ˙r− ˙req, ˙req , ˙rd− Λe (6-15) 其中e = r(t)− rd(t) 为输出跟踪误差，Λ > 0 为对角矩阵。定义一个半正定函数
V (t) = 12sTMt(r)s (6-16) 微分V 可以得到
V (t) = s˙ T[ut− Mt¨req − Bt˙r− Ct˙req−Gt( ˙q) + dt+ e∆] (6-17) 其中¨req , ¨rd− Λ˙e，并且(P2)被用来消去12sTM˙ ts这一项。根据(P3)可定义
Mt¨req+ Bt˙r + Ct˙req + Gt− dt=−Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)θ (6-18)
98 第六章 基于全局任务坐标系的高维精密轮廓运动控制理论框架 其中Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req) 是已知函数矩阵，通常称为回归量。因此(6-17) 可被简写为
V (t) = s˙ T[ut+ Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)θ + e∆] (6-19)
考虑到(6-19)的结构，我们设计直接自适应鲁棒控制器如下：
ut = ua+ us, ua =−Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)bθ (6-20) 其中ua是可调模型补偿部分，用来对名义系统进行完美跟踪；us 是鲁棒控制项。将(6-20) 代入(6-19)，简化表达式可得
V (t) = s˙ T[us− Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)eθ + e∆] (6-21)
鲁棒控制项us由两项组成：
us = us1+ us2, us1 =−Ks (6-22) 其中us1是用来稳定名义系统的，它是一个具有对称正定矩阵K的简单比例反馈。us2是用 来减弱所有不确定性影响的鲁棒项。考虑到假设6.1和(P4)，存在us2使得下述两条件成立
i sT {
us2− Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)eθ + e∆
}≤ η
ii sTus2≤ 0 (6-23)
其中η 为任意小的常数。满足(6-23)条件的光滑函数范例是us2 = −4η1H2s，其中H是满 足H ≥ ||θM||||Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)|| + δ∆和θM = θmax− θmin的光滑函数。由此，我们可以得到 如下理论结果：
定理 6.1： 假设(6-14)中的自适应函数被选择为
τ = ΨT(r, ˙r, ˙req, ¨req)s (6-24) 那么，所提的高维系统自适应鲁棒轮廓运动控制器(6-20)(6-22) 可以保证：
A. 一 般 来 说 ， 闭 环 系 统 的 所 有 信 号 均 有 界 。 而 且 ， 在(6-16)中 定 义 的 半 正 定 函 数V (t)被界定如下
V (t)≤ exp(−λt)V (0) + ηλ[1− exp(−λt)] (6-25)
浙江大学博士学位论文 99
其 中λ = 2σmin(K)/µ2，σmin(·)表 示 矩 阵 的 最 小 特 征 值 。 注 意 到K是 对 称 正 定 的，σmin(K)是实数并且正定。
B. 假设在有限时间t0后，系统只存在参数不确定性，即 e∆ = 0，∀t ≥ t0。那么，除了 能得到结果A，还能在理论上保证最终稳态轮廓误差趋近于零，即在t → ∞的时 候，e→ 0和s → 0。
证明： 由(P1) 可得
1
2µ1||s||2 ≤ V ≤ 12µ2||s||2 (6-26) 由(6-21), (6-22)，(6-23) 的条件i和(6-26)，可以得到
V (t) =˙ −sTKs + sT[us2− Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)eθ + e∆]
≤ −σmin(K)||s||2 + η
= −λV + η (6-27)
由此可得到(6-24)，定理6.1的结果A证毕。现考虑结果B，即 e∆ = 0,∀t ≥ t0的情况。选择正 定函数Vθ(t) 如下
Vθ(t) = V (t) + 12eθTΓ−1eθ (6-28) 由(6-27)，(6-23)的条件ii以及(P5)，可得
V˙θ(t) ≤ −sTKs− sTΨ(r, ˙r, ˙req, ¨req)eθ + eθTΓ−1˙bθ
= −sTKs + eθT[Γ−1˙bθ− ΨT(r, ˙r, ˙req, ¨req)s]
≤ −sTKs (6-29)
可知s∈L2∩L∞。易知˙s有界且s一致连续，则根据Barbalat引理可知，当t→ ∞时，s → 0。
证毕。
6.4 本章小结
1、提出了高维系统（n维）的任务坐标系构建方法。将期望轮廓曲线看做是m个曲面 相交的结果，由此构造全局任务坐标系，它由轮廓误差矢量和路程矢量组成。其中，轮廓 误差矢量是实际运动点到各个曲面的最短距离，用以约束实际运动点准确地运行在期望轮 廓曲线上；路程矢量则用以驱动实际运动点跟踪期望运动点。
2、将笛卡尔坐标系里的系统动力学转换到任务坐标系中，考虑到任务空间中的动力 学具有强耦合、参数不确定性、不确定非线性以及外干扰，设计出针对高维系统的基于全
100 第六章 基于全局任务坐标系的高维精密轮廓运动控制理论框架 局任务坐标系的自适应鲁棒精密轮廓运动控制器。理论上，该控制器能保证系统的轮廓运 动控制具有一定的鲁棒瞬态性能和稳态控制精度。此外，若系统只存在参数不确定性，所 设计的控制器还能够实现轮廓运动跟踪的渐近稳定性，即轮廓误差和跟踪误差均趋近于 零。
3、针对高维系统提出的基于全局任务坐标系的轮廓运动控制器有如下优点：a. 轮廓 误差计算模型具有准确、简单、适宜实时控制的特点。b. 所采用的控制方法不再局限于线 性系统，可以有效处理高维轮廓运动控制中的强耦合非线性的影响。c. 所提出的控制器具 有较强的抗干扰能力和性能鲁棒性。所提的高维轮廓控制思路具有普遍意义，它的应用不 仅限于多轴机床，也可以用于其它多自由度系统，比如多轴机械臂等。所提方法的缺点 是：所构建的全局任务坐标系目前还没有保证在期望轮廓上各个任务坐标的正交性，即坐 标变换的雅克比矩阵不是单位酉矩阵。这也是我们以后的研究工作需要解决的一个重点。
第 七 章 总结与展望
7.1 论文总结
本论文针对工业界高速高精度大曲率轮廓加工的难题，提出了一种基于全局任务坐标 系的精密轮廓运动控制方法。该方法首先给出一种新的适用于实时控制的轮廓误差精确计 算模型，并基于该模型构建出新的正交全局任务坐标系，然后考虑实际机电系统动力学模 型所具有的参数不确定性、不确定非线性以及干扰，直接基于全局任务坐标系下的强耦合 非线性系统动力学模型，设计出具有强协调能力和抗干扰能力的高性能轮廓运动控制器。
该方法所采用的任务坐标系较之传统的任务坐标系具有轮廓误差计算准确、便于速度规 划、适宜实时控制等优点，所采用的控制算法较之当前多轴系统常用的控制算法具有协调 能力强、抗干扰能力强、轮廓运动控制精度高等优点，解决了两维系统的高速高精度大曲 率轮廓运动控制问题，并为高维系统的精密轮廓运动控制提供了理论框架。所提轮廓运动 控制方法有望被广泛应用于各种精密多轴运动系统中。
论文首先通过绪言归纳出“基于全局任务坐标系的精密轮廓运动控制研究”面临的主 要问题：
1、如何得到适用于实时控制的轮廓误差精确计算模型和相应的全局任务坐标系。
轮廓误差是依赖于期望轮廓形状的几何概念，与期望运动点和跟踪误差没有关系。目 前实时控制所用到的轮廓误差计算模型均是对实际轮廓误差的近似计算，而且往往依赖于 期望运动点与各轴跟踪误差，从本质上将原本与期望运动没有关系的轮廓误差变成了一个 与时间和期望运动相关的量；现有的任务坐标系也往往是基于期望运动点所构建的局部任 务坐标系，导致坐标系中的轮廓误差计算不准而且与时间和期望运动相关。因而，现有的 轮廓误差计算模型与任务坐标系都是在各轴的位置跟踪误差非常小（与期望轮廓曲率半径 相比较）的前提下才适用，无法满足高速大曲率轮廓运动控制时的高性能要求。
2、如何设计切实有效的基于全局任务坐标系的精密轮廓运动控制器。
现有的轮廓运动控制器往往是基于传统的线性时不变控制理论，没有综合考虑实际机 电系统模型所具有的参数不确定性、不确定非线性以及外干扰，也无法有效应对任务坐标 系下的非线性系统动力学中的强耦合影响，导致最终的轮廓运动控制器的性能鲁棒性不 强、实际轮廓运动控制精度不高，无法满足高性能的轮廓运动控制要求。
3、如何在精密轮廓运动控制中对实际多轴系统常具有的典型非线性进行有效补偿。
实际机械系统模型中存在着许多典型的非线性，比如直线电机中的定位力、机械连接 件中的死区，容易导致系统控制精度低、极限环甚至系统不稳定，在精密运动控制中更是
101
102 第七章 总结与展望 不可轻易忽略。如何对多轴机械系统中的典型非线性进行有效补偿以进一步提高轮廓运动 控制精度，是一个值得重视的问题。
基于以上分析，本论文在以下研究方面取得了进展：
一、适用于实时控制的轮廓误差精确计算模型和正交全局任务坐标系研究
1、提出了一种新的适用于实时控制的轮廓误差精确计算模型— 该模型精确到真实轮 廓误差的一阶近似值，对比传统实时轮廓运动控制上常用的近似计算模型，具有简单、准 确的特点。该轮廓误差计算模型只依赖于期望轮廓的几何形状，与期望运动点和各轴的跟 踪误差无关，真实的反映了轮廓误差的本质特性。
2、建立了一种新的全局任务坐标系。给出了全局任务曲线坐标的数学表达式— 与传 统常用的局部任务坐标系依附于期望运动点不同，该全局任务坐标系只与期望轮廓的几何 形状有关。该任务坐标系能保证各任务曲线坐标在期望轮廓上的局部正交性，其中一个任 务坐标轴直接对应轮廓误差，便于保证实际运动点准确的运行在期望轮廓上，而另外一个 任务坐标轴对应运动路程，便于保证运动点能够沿着期望轮廓跟踪期望运动点。该任务坐 标系的优点如下：a. 轮廓误差计算模型准确；b. 便于速度规划；c. 适宜实时控制；d. 便于 控制器设计以分配各个任务坐标的动力学，使轮廓误差动力学的刚性较强以保证轮廓误差 尽可能小，使运动路程跟踪动力学的刚性较弱以节省硬件资源和避免潜在的不稳定因素的 影响。
3、设计了简易自适应鲁棒轮廓运动控制器。该控制器能较好的处理模型不确定性和 强耦合的影响，理论上该控制器可以实现一定的鲁棒瞬态性能，并且在模型不确定性为常 数时可实现渐近轮廓跟踪和实际中趋于零的稳态轮廓误差。
4、基于所提的全局任务坐标系的轮廓运动控制器在实验中能达到良好的轮廓跟踪 性能：在高速圆轮廓运动控制中，该控制器在初始状态误差很大的情况下依然跟踪良 好，而局部任务坐标系对应的轮廓控制器则会不稳定；在高速大曲率椭圆轮廓运动控制 中亦能取得良好效果— 直线电机系统以角速度w = 7rad/s、最大速度vmax = 1.4m/s、
最大加速度amax = 9.8m/s2来跟踪一个长轴0.2m、短轴0.02m的椭圆时，局部任务坐标系 能取得的轮廓误差的均方根值为5.66µm，而全局任务坐标系能取得的轮廓误差的均方 根值为2.20µm，最大轮廓误差为6.73µm，其轮廓误差均方根值比局部任务坐标系降低
最大加速度amax = 9.8m/s2来跟踪一个长轴0.2m、短轴0.02m的椭圆时，局部任务坐标系 能取得的轮廓误差的均方根值为5.66µm，而全局任务坐标系能取得的轮廓误差的均方 根值为2.20µm，最大轮廓误差为6.73µm，其轮廓误差均方根值比局部任务坐标系降低