2.5 实验研究
2.5.4 实验结果分析
−sinα cosα cosα sinα
(2-64)
它满足TT = T和T−1 = T。在这个局部任务坐标系中，如果各轴跟踪误差相比于期望轮 廓的曲率半径很小，则法向误差是轮廓误差的较好近似。基于该局部任务坐标系，两轴系 统在笛卡尔坐标(x, y)中的动力学可以被变换到任务坐标(εc, εt) 中。基于该局部任务坐标系 下的强耦合非线性动力学模型，同本章控制器设计步骤，可构造一个基于局部任务坐标系 的简易自适应鲁棒轮廓运动控制器，具体细节参见文献[65]。
C2: 本章所提的基于全局任务坐标系的简易自适应鲁棒轮廓运动控制器。
在C1和C2中，光滑函数Sf( ˙x) 和Sf( ˙y) 被选择为2πarctan(9000 ˙x)和2πarctan(9000 ˙y)。Λ 被设定为Λ = diag[100, 30]。理论上，(2-56)中的鲁棒控制项us2具体形式是us2 =−Ks2(q)s，
其中Ks2(q) 是非线性比例反馈增益[88]，以便于全局满足(2-57)。在实际执行中，Ks2用足 够大的常数反馈增益来代替。在这种简化下，鲁棒性能条件(2-57)即使不能被全局保 证，也能在足够大的工作范围内成立，这对于实际应用已经足够[65, 139]。因此，实验中选 取us =−JTKss，其中Ks = K0+ Kp 是足够大的常数对角矩阵：Ks= diag[100, 60]。参数 自适应率为Γ = diag[10000, 10000]。(2-49)中的FM的界为FM = [1.5, 1.5]T。
2.5.4 实验结果分析
2.5.4.1 高速圆轮廓运动控制
首先，为测试所提全局任务坐标系的实际轮廓运动性能，两轴直线电机系统被命令来 跟踪一个圆轮廓，其半径为4cm，角速度为w = 15rad/s ，速度为v = 0.6m/s。平台的初始 状态为q = [0, 0]T, ˙q = [0, 0]T。我们做了如下两种圆轮廓跟踪实验：
A. 零初始位置误差的情况，即e(0) = r(0)− rd(0) = [0, 0]T，r(0) = [0, 0]T 并且rd(0) =
38 第二章 正交全局任务坐标系研究
−0.04cos(15t) + 0.04 (m)
−0.04sin(15t) + 0.05 (m)
浙江大学博士学位论文 39
−0.04 −0.04 −0.04 −0.04 −0.04 −0.0399 −0.0399 −0.0399 0.038
0.04 0.042
x (m)
y (m)
0.0399 0.0399 0.0399 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04
0.038
40 第二章 正交全局任务坐标系研究 器，控制器C1的法向跟踪误差εn(t) （图2-11中的上图）与控制器C2的轮廓误差（图2-11中 的下图）相差不大— 最大误差均在±20µm左右。但是，C1由于采用局部任务坐标系，轮 廓误差还是与C2有明显的差距：如图2-11所示，C1的稳态轮廓误差有一个明显的整体漂 移；图2-12是C1、C2的实际轮廓和期望轮廓的局部放大图，与C2比较，C1的实际轮廓明 显远离期望轮廓。
情况B拥有较大的初始跟踪误差，即e(0) = [−0.04, −0.05]T(m)，无论对期望轮廓轨迹 是否进行初始化，C1的控制输入将很快变得饱和并且导致系统不稳定。而C2由于采用全 局任务坐标系，如图2-13所示，可以通过对期望轨迹进行初始化来克服控制输入饱和的问 题。其初始化后的参考轨迹ri(t)所对应的轮廓误差如图2-14所示，可以看出，轮廓误差在 初始启动时也是非常小的：rc− rci 在初始瞬态过程中小于70µm，这与C2在实验A中的表 现是一致的。由这些结果可知，实际轮廓误差rc = rci+ (rc− rci)的表现和轮廓误差参考轨 迹rci(t)几乎是一样的。因而，从图2-15所示的C2在实验B中的实际路径可以看出，所提出 的轮廓运动控制器可以获得良好的瞬态性能。以上实验结果显示了所提出的全局任务坐标 系的优越性。
2.5.4.2 高速大曲率椭圆轮廓运动控制
为进一步证明所提全局任务坐标系的优越性，两轴直线电机系统被命令来跟踪一个高 速大曲率椭圆轮廓，具体描述式如下：
qd(t) =
xd(t) yd(t)
=
0.2sin(7t) (m)
−0.02cos(7t) + 0.02 (m)
(2-68)
其角速度为ω = 7rad/s，椭圆长轴与短轴之比为10:1。接下来我们测试两种情况：
C. 初始位置跟踪误差为零情况，也即e(0) = r(0)−rd(0) = [0, 0]T且r(0) = [0, 0]T，rd(0) = [0, 0]T。
D. 初始位置跟踪误差为零，但实验系统被命令在t = 6π时刻停0.004s。这种情况用来 近似模拟机器因突发事故而短暂停止，比如机械加工中切削力突然骤大的情况。
||εc||rms(µm) εcM(µm) ||ux||rms(V ) ||uy||rms(V ) C1 (C) 5.66 22.37 0.91 0.46 C2 (C) 2.20 6.73 0.91 0.51 C1 (D) 5.76 68.50 0.92 0.51 C2 (D) 2.29 23.43 0.92 0.51
表 2-2 高速大曲率椭圆轮廓运动控制实验结果
浙江大学博士学位论文 41
−0.2001 −0.2 −0.2 −0.1999 −0.1999 −0.1998 −0.1998
0.0195 0.02 0.0205
x (m)
y (m)
0.1998 0.1999 0.2 0.2001
0.0195
42 第二章 正交全局任务坐标系研究
2.6 本章小结
1、提出了一种新的适用于实时控制的轮廓误差精确计算模型。该模型精确到真实轮 廓误差的一阶近似值，对比传统实时轮廓运动控制上常用的近似计算模型，具有简单、准 确的特点。该轮廓误差计算模型只依赖于期望轮廓的几何形状，与期望运动点和各轴的跟 踪误差无关，真实的反映了轮廓误差的本质特性。
2、建立了一种新的全局任务坐标系。给出了全局任务曲线坐标的数学表达式— 与传 统常用的局部任务坐标系依附于期望运动点不同，该全局任务坐标系只与期望轮廓的几何 形状有关。该任务坐标系能保证各任务曲线坐标在期望轮廓上的局部正交性，其中一个任 务坐标轴直接对应轮廓误差，便于保证实际运动点准确运行在期望轮廓上，而另外一个任 务坐标轴对应运动路程，便于保证运动点能够沿着期望轮廓跟踪期望运动点。该任务坐标 系的优点如下：a. 轮廓误差计算模型准确；b. 便于速度规划；c. 适宜实时控制；d.便于控 制器设计以分配各个任务坐标的动力学，使轮廓误差动力学的刚性较强以保证轮廓误差尽 可能小，使运动路程跟踪动力学的刚性较弱以节省硬件资源和避免潜在的不稳定因素的影 响。
3、设计了简易自适应鲁棒轮廓运动控制器。该控制器能较好的处理模型不确定性和 强耦合的影响，理论上该控制器可以实现一定的鲁棒瞬态性能，并且在模型不确定性为常 数时可实现渐近轮廓跟踪和实际中趋于零的稳态轮廓误差。
4、基于所提的全局任务坐标系的轮廓运动控制器在实验中能达到良好的轮廓跟踪 性能：在高速圆轮廓运动控制中，该控制器在初始状态误差很大的情况下依然跟踪良 好，而局部任务坐标系对应的轮廓控制器则会不稳定；在高速大曲率椭圆轮廓运动控制 中亦能取得良好效果— 直线电机系统以角速度w = 7rad/s、最大速度vmax = 1.4m/s、
最大加速度amax = 9.8m/s2来跟踪一个长轴0.2m、短轴0.02m的椭圆时，局部任务坐标系 能取得的轮廓误差的均方根值为5.66µm，而全局任务坐标系能取得的轮廓误差的均方 根值为2.20µm，最大轮廓误差为6.73µm，其轮廓误差均方根值比局部任务坐标系降低 了61.1%。实验结果证明所提的全局任务坐标系是解决高速高精度大曲率轮廓运动控制问 题的良好途径。
第 三 章 基于全局任务坐标系的自适应鲁棒轮廓运 动控制研究
摘要： 本章直接基于上章所提的全局任务坐标系下的强耦合非线性系统动力学模型，并考 虑实际多轴系统所具有的模型参数不确定性、不确定非线性以及外干扰，设计出了一系列 能有效处理强耦合和各种不确定性的高性能非线性自适应鲁棒轮廓运动控制器。所设计的 控制器在系统存在参数不确定性、不确定非线性和干扰的情况下，能保证一定的鲁棒瞬态 性能和稳态轮廓控制精度。在系统只存在参数不确定性时，该控制器理论上能保证轮廓运 动控制的渐近稳定性和实际中趋于零的稳态轮廓误差。除了能取得良好的轮廓运动控制性 能外，该控制器的参数自适应律可运用实际中参数估计收敛快的算法（如最小二乘法）进 行在线参数估计，理论上，一旦持续激励（PE）条件满足，在线参数估计将收敛于物理参 数的真实值。以上结论在实验研究中均得到了有效验证。
3.1 引言
在轮廓加工任务中，缺少协调性会导致轮廓误差的退化，Koren据此提出了交叉耦 合控制[17]。后来，研究人员提出“任务坐标系”，比如Yao等人提出的曲线任务坐标
系[70, 64, 73]和Chiu等人提出的依附在期望运动点上的局部任务坐标系[20]。在任务坐标系中，
可以通过控制器设计来对各个任务坐标分配动力学，以增强各个任务坐标的带宽。任务坐 标系在提出后引起了广泛的关注，与其相关的研究成果层出不穷[68, 19]。然而，这些基于任 务坐标系的轮廓运动控制器不能同时考虑参数不确定性、不确定非线性以及外干扰的影 响，无法满足高性能轮廓运动控制的要求。
在过去的十几年，Yao提出并发展了一种自适应鲁棒控制（ARC）方法[87, 88]，针对存 在参数不确定性和不确定非线性的机电系统的精密运动控制，提供了一种严格的理论框 架。这个方法有效地结合了传统的鲁棒自适应控制和确定性鲁棒控制的本质运作机理，在 在没有失去自适应控制的优点的情况下，能保证一定的鲁棒瞬态性能和稳态跟踪精度。我 们先期将Yao所提出的自适应鲁棒控制（DARC）方法[87, 140, 89, 141]与Chiu提出的局部任务坐 标系[20]结合起来，构建了一系列基于局部任务坐标系的轮廓运动控制器[65, 137, 138, 142]，这些 控制器考虑了参数不确定性和不确定非线性，在高速两轴直线电机系统上也取得了较好的 轮廓跟踪效果。然而，这些轮廓运动控制器都是基于传统上常用的局部任务坐标系，而局 部任务坐标系的缺点在上一章已做详细探究— 它只在各轴的跟踪误差远小于期望轮廓的曲 率半径时才实用，因此这些基于局部任务坐标系的自适应鲁棒轮廓运动控制器无法应用于 高速高精度大曲率轮廓运动控制的实际场合。
43
44 第三章 基于全局任务坐标系的自适应鲁棒轮廓运动控制研究 鉴于上章设计的简易自适应鲁棒轮廓运动控制器没有考虑参数不确定性的影响，本章 将全面考虑实际多轴系统所具有的强耦合、参数不确定性、不确定非线性以及外干扰等，
设计出了一系列高性能非线性自适应鲁棒轮廓运动控制器。首先，将笛卡尔坐标系的系统 动力学模型变换到所构建的全局任务坐标系中[143]，得到一个强耦合的具有参数不确定性 的非线性系统动力学模型，然后参照直接自适应鲁棒控制（DARC）[87]和直接/间接集成自 适应鲁棒控制（DIARC）的设计思路[89, 144, 145]，分别设计了直接自适应鲁棒轮廓运动控制 器和直接/间接集成自适应鲁棒轮廓运动控制器。DARC和DIARC轮廓运动控制器在系统在 系统存在参数不确定性、不确定非线性和干扰的情况下，均能保证一定的鲁棒瞬态性能和 稳态轮廓控制精度；在只存在参数不确定性时，还能保证轮廓运动控制的渐近稳定性和实 际中趋于零的稳态轮廓误差。除了能取得良好的轮廓控制性能外，DIARC轮廓运动控制器
设计出了一系列高性能非线性自适应鲁棒轮廓运动控制器。首先，将笛卡尔坐标系的系统 动力学模型变换到所构建的全局任务坐标系中[143]，得到一个强耦合的具有参数不确定性 的非线性系统动力学模型，然后参照直接自适应鲁棒控制（DARC）[87]和直接/间接集成自 适应鲁棒控制（DIARC）的设计思路[89, 144, 145]，分别设计了直接自适应鲁棒轮廓运动控制 器和直接/间接集成自适应鲁棒轮廓运动控制器。DARC和DIARC轮廓运动控制器在系统在 系统存在参数不确定性、不确定非线性和干扰的情况下，均能保证一定的鲁棒瞬态性能和 稳态轮廓控制精度；在只存在参数不确定性时，还能保证轮廓运动控制的渐近稳定性和实 际中趋于零的稳态轮廓误差。除了能取得良好的轮廓控制性能外，DIARC轮廓运动控制器