在本节，我们基于全局任务坐标系下的强耦合非线性系统动力学模型，并考虑实际多 轴系统所具有的模型参数不确定性、不确定非线性以及外干扰，设计出直接自适应鲁棒轮 廓运动控制器。该控制器所设计的控制器在系统有参数不确定性、不确定非线性和干扰的 情况下，能保证一定的鲁棒瞬态性能和稳态轮廓控制精度；在系统只存在参数不确定性 时，理论上能保证轮廓跟踪的渐近稳定性和实际中趋于零的稳态轮廓误差。首先我们设计 非连续投影式参数自适应律以保证参数估计始终处于已知的界内。
3.3.1 非连续投影式参数自适应律设计
令bθ表示θ的估计值，eθ为估计误差，即eθ = bθ− θ。根据（3-10），各个参数均是有界 的，因此我们采用如下的非连续投影式参数自适应律：
˙bθ = Projbθ(Γτ ) (3-11)
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其中Γ > 0是对角常数矩阵，也即自适应率，τ 是自适应函数。非连续投影P rojbθ(•) = [P rojbθ
1(•1), ..., P rojbθ
8(•8)]T定义如下[87]：
P rojbθ
i(•i) =
0 if bθi = θimax &•i > 0 0 if bθi = θimin &•i < 0
•i otherwise
(3-12)
对于任意参数自适应函数τ ，上式(3-12)定义的投影有如下性质[86]： (P4)
bθ ∈ Ωθ ,{
bθ : θimin≤ bθ ≤ θimax
}
(3-13) (P5)
eθT(Γ−1Projbθ(Γτ )− τ) ≤ 0, ∀τ (3-14)
3.3.2 直接自适应鲁棒轮廓运动控制器(DARC)设计
定义一个类似滑模面的变量为
s = ˙e + Λe = ˙r− ˙req, ˙req , ˙rd− Λe (3-15) 其中e = r(t)− rd(t)是输出轮廓误差和跟踪误差，并且Λ > 0是对角常量矩阵。定义一个半 正定函数
V (t) = 1
2sTMt(r)s (3-16) 微分V 可以得到
V (t) = s˙ T[ut− Mt¨req− Bt˙r− Ct˙req−AtSf( ˙q)+dt+ e∆] (3-17)
其中¨req , ¨rd− Λ˙e，并且(P2)被利用来消去12sTM˙ ts这一项。根据(P3)可定义Mt¨req+ Bt˙r + Ct˙req+ AtSf( ˙q)− dt = −Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)θ，其中Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)是2× 8已知函数矩阵，
通常也称为回归量，则等式(3-17)可以被简写为
V (t) = s˙ T[ut+ Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)θ + e∆] (3-18)
考虑到(3-18)的结构，我们设计直接自适应鲁棒轮廓运动控制器如下：
ut= ua+ us, ua =−Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)bθ (3-19)
48 第三章 基于全局任务坐标系的自适应鲁棒轮廓运动控制研究 其中ua 是可调模型补偿部分，用来实现对名义系统的完美跟踪；us 是鲁棒控制项。
将(3-19)代入(3-18)，可得
V (t) = s˙ T[us− Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)eθ + e∆] (3-20)
而鲁棒控制输入项us则包括两部分，即
us = us1+ us2, us1 =−Ks (3-21) 其中us1是用来稳定名义系统的，它是一个含对称正定矩阵K增益的简单比例反馈。us2是 用来处理所有各种不确定性影响的鲁棒项。考虑到(P4)，可以设计出us2以同时满足下面两 个条件：
i sT {
us2− Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)eθ + e∆
}≤ η
ii sTus2≤ 0 (3-22)
其中η是一个任意小的常数。满足(3-22)条件的光滑函数范例是us2 =−4η1 H2s，其中H是满 足H ≥ ||θM||||Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)|| + δ∆和θM = θmax − θmin的光滑函数。由此，我们可以得到 如下理论结果：
定理 3.1： 假设在(3-12)中的自适应函数被选择为
τ = ΨT(r, ˙r, ˙req, ¨req)s (3-23) 那么，所设计的直接自适应鲁棒轮廓运动控制器(3-19)(3-21)可以保证：
A. 一般来说，闭环系统的所有信号均有界，并且在(3-16)中定义的半正定函数V (t)被 界定如下
V (t)≤ exp(−λt)V (0) + η
λ[1− exp(−λt)] (3-24) 其中λ = 2σmin(K)/µ2，σmin(·)表示矩阵的最小特征值。注意到K是对称正定的，因 此σmin(K)是正定实数。
B. 假 设 在 有 限 时 间t0后，系统只存在参数不确定性，即 e∆ = 0，∀t ≥ t0，那么，
除了能得到结果A，还能在理论上保证最终轮廓误差和跟踪误差趋近于零，即 在t→ ∞的时候，e → 0和s → 0。
证明： 由(P1)可知
1
2µ1||s||2 ≤ V ≤ 12µ2||s||2 (3-25)
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联立(3-20)、(3-21)、(3-22)的条件i和(3-25)，可得
V (t) =˙ −sTKs + sT[us2− Ψ(r, ˙r, ˙req, ¨req)eθ + e∆]
≤ −σmin(K)||s||2 + η
= −λV + η (3-26)
由上式即可推得(3-24)，定理3.1的结果A证毕。现在考虑定理3.1中的结果B，即 e∆ = 0,
∀t ≥ t0的情况。选择一个正定函数Vθ(t)如下
Vθ(t) = V (t) + 12eθTΓ−1eθ (3-27) 联立(3-26)、(3-22)中的条件ii以及(P5)，可知Vθ(t)的导数满足
V˙θ(t) ≤ −sTKs− sTΨ(r, ˙r, ˙req, ¨req)eθ + eθTΓ−1˙bθ
= −sTKs + eθT[Γ−1˙bθ− ΨT(r, ˙r, ˙req, ¨req)s]
≤ −sTKs (3-28)
由此可知s∈L2∩ L∞，由于s是一致连续的，由Barbalat引理可知当t→ ∞ 时，s → 0。