高一學生的對數概念發展層次之研究
第壹章 緒論
本章共分為四節，第一節為問題背景與研究動機，第二節為研究目的及 研究問題，第三節為理論依據，第四節為名詞釋義。
第一節 問題背景與研究動機
數學概念從無到有的學習是數學教育工作者關注的焦點，研究它們如何建 立、如何作用更是數學學習心理學的中心議題 (Skemp, 1987/1995)。數學概念的 理解包含許多複雜的心智活動，是不斷累積與修正的動態過程。研究者回溯自己 學習數學的經驗，每當遇到新問題時，或許會停滯而往返思索，喚起舊有的知識 再加以整理重組，當頓悟獲得重要啟示後，又能往前邁進而達成目標，舊概念的 基礎更加扎實，而新的概念也可能因此產生；研究者在觀察學生的學習時，也經 常發現他們可能會用自己過去學過的經驗來輔助新的學習，新舊概念來回修正，
進而形成穩固的概念。可見，學生對每個數學概念的認識和理解並非一次到位，
因此，在學習一個新概念時，學生的理解過程究竟發生甚麼變化? 我們又能以什 麼標準來判定學生是否掌握某種數學概念呢？
雖然國內外關於學生的學習理論眾多(張春興，1995；Skemp，1979, 1987)，
但對於學習使學生的概念發生什麼變化、學生為何能成功學會等問題，都仍無法 給出確切的答案。而 Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994) 所提出「數學理解成長的 動態理論 ( A Dynamic Theory of the Growth of Mathematics Understanding) 」，將 學生的理解過程細分成八個層次，當學生在數學學習的過程中，面臨困難而無法 解決時，學 生會試著回到先前的層次尋求幫助，這樣來回的過程，讓學生 對問題有更深入的了解，並提出這樣的一個動態的 (dynamic)、非線性的 (nonlinear)、遞迴的 (recursive) 成長過程，能夠更細微的描述學生學習過程中的 理解層次之變化。此理論與研究者的經驗和所觀察到學生的表現有些相關性，因 此本研究將依據此理論來分析學生的學習歷程，並描述學生對一個數學概念的掌 握程度。
然而，Pirie 與 Kieren (1989, 1992, 1994)雖然描述學生各個層次的理解特 徵，但並沒有說明教學如何提升學生的理解層次。李源順（1993）的實徵性研究 顯示，了解學生學習的動態理解層次固然重要，教師的介入對學生的理解也產生 莫大的影響，如果教師的問話具有關鍵性，學生亦能突破障礙、快速而有效的建 構概念。丁斌悅（2002）針對國二學生的實徵性研究也提到：學生在學習特定單 元時，可能會遇到一些「瓶頸」，這些「瓶頸」會阻礙學生的概念層次的發展；
因此，教師若能在教學時去除這些瓶頸，應該比較有機會提升學生的理解層次。
同時，教學並不總是依照教師的教學流程平穩的進行，經常會產生不如意、
非預期、有限制性等特殊因素的情況，因此除了一開始談到想要了解學生的數學 理解成長模型有哪些具體表現行為之外，老師根據不同學生的反應，能夠做哪些 調整可以幫助學生？這些有趣的問題都讓研究者想一窺究竟。
普通高級中學課程綱要 (高中數學學科中心，2009)經過多次調整，「對數」
一直是高中數學的重要概念之一。而且，高一數學課程中，如「數與式」、「多 項式函數」、「指數」等章節都還是國中課程的加深加廣，對高中學生而言不算 陌生，但對他們來說，「對數」卻是一個全新的概念、使用的數學符號也是一個 嶄新的符號。在高中數學課程中，「對數」對於學生來說，可說是非常富有挑戰 性的單元。此外，對數概念除了是對數函數的先備知識，也是往後學習指對數應 用的重要基礎，學生如果沒有先了解基本的對數概念意義，往後學習更高階數學 或其他領域時，如解決複雜的指數運算、求極大數或極小數的問題、銀行存款的 複利、地球科學領域的地震強度表示法或求放射性物質之半衰期等應用問題，都 非常容易產生學習困難。同時，根據研究者的任教經驗，對數單元因為新符號與 新運算規則的引進，這部分的學習經常讓學生感到混淆與挫折，如不清楚符號的 來龍去脈而弄錯對數符號中底數與真數的相對位置，也常看見許多學生雖能模仿 地解題，卻一直不清楚自己在學什麼。
國內許多實徵性研究皆指出，學生在學習對數會遇到許多困難是因為對數所 用的表徵符號及其意義，與過去所學的許多數學符號相較起來較為複雜且抽象 (陳建蒼，2000；劉怡蘭，2001；周淑梅，2002；洪榮平，2005；田銘舜，2007；
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廖純如，2012)。高一學生在學習對數時，很容易因為對符號的望形生義或未釐 清對數運算性質而錯用公式 (廖純如，2012)。既然研究指出，學生在學習對數 概念的過程中的確會遇到許多瓶頸，我們難道只能消極的在學生發生問題後再來 補救嗎？從積極面角度，研究者是否能基於先前的研究，從另一個角度去探討學 生在學習對數概念時，老師的教學引導與學生的理解層次究竟有何關聯？因此，
研究者決定以「對數概念」當作本研究的教學單元。
李源順（1993）的研究指出，學生的學習歷程中，其概念成長情形與教師的 教學、師生的互動、學生的先備知識等都有相關。面對現今常態分班、高低程度 學生均有的班級，教師為了使學生們的學習成效獲得增進，應在對數概念的教學 過程當中注意哪些細節?由於大班教學不易觀察與即時紀錄學生細微的行為特 徵，因此，本研究利用一對一個案教學的模式，探討高一學生學習「對數概念」
的理解層次變化情形。希望這份基礎研究可以讓教師看到不同程度學生在「對數」
單元的理解層次發展特徵，進而提供教材安排及教學程序之參考。