第三節 理論依據
本研究為了描述學生的學習歷程中其概念改變情形，採取 Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994) 提出的「數學理解成長的動態理論 ( A Dynamic Theory of the Growth of Mathematics Understanding)」來分析學生學習「對數概念」之變化情形。
Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994) 認為理解本身會不斷地成長與改變，不斷 條標示特別粗的線，稱為”不需要”的界線(“Don’t need“ Boundaries, 簡記為 DNB1, DNB2, DNB3)。此模型之所以特別標示並加粗這三條線，是認為學習者 一旦超越該界線之後，就”不需要”一再地折回、”不需要”一再地依靠較內層的理 解也能面對問題，但學習者有需要時，仍可隨時返回內層的理解。Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994)指出，DNB1 在「製造心像(2.IM)」與「擁有心像(3.IH)」之間；
DNB2 在「注意性質(4.PN)」與「形式化(5.PN)」之間；而 DNB3 則在「觀察(6.O)」
以及「結構化(7.S)」之間。
Ⅰ.Primitive Knowing
Ⅱ.Image Making
Ⅲ.Image Having
Ⅳ.Property noticing
Ⅴ.Formalizing
另外，此數學理解成長的動態理論還認為數學理解是一個動態的(dynamic)、
非線性的(nonlinear)、遞迴的(recursive)的成長過程。「動態」的意思是數學理解 並非ㄧ次到位的靜態成果，而是持續在層次間來回移動的過程。「非線性」的意 思為數學理解不一定是直線式的發展，也就是說，每個層次之間都有其路徑可以 來回，沒有一定要完成某特定層次才能進到下一層，它有可能是突然頓悟而直接 跨越到較外的層次，也可能遇到阻礙而回到更內層加以思索，如此反覆的建構其 理解過程。「遞迴」則是指理解的每一個層次內容都會與它之前的層次內容結構 相似，但卻又超越之前的層次。
不同程度的學生皆有學習軌跡可循，經由來回的過程，讓學生對問題有更深 刻的理解。學生沿著這樣的學習路徑，配合對數學知識與概念的基礎進行學習，
遇到困難時，或許會停滯而往返到內層加以思索，當頓悟獲致重要啟示後，即能 往前擴展到達最後目標；有些學生資質聰穎、能力經驗豐富，在某些歷程的層次 上即可跨越，無須按部就班、循序而上。因此研究者想透過數學理解成長的動態 理論來了解學生概念的層次改變情況，適時給予學生引導，幫助學生確實了解所 面對的數學概念與問題並達到教師授課的教學目標。
下表，則再針對每一個層次的特徵進行說明（見表 1）：
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表 1
數學理解層次之特徵說明(整理自 Pirie & Kieren，1994；吳淑琳，2001)
層次/名稱 特徵 1 起始知識
(primitive knowing)
起始知識（primitive）並非意指低層次的數學，而是開始的地方。
即是一個觀察者（通常是老師）在給予一個新作業時，假定學習者「在 他頭腦中」已存有的知識，即先備知識。
2 製造心像 (image making)
學習者透過一連串獨特的、指引的活動或問題，發展出與起始知 識不同的心像。「製造心像」是理解的開始，必須與學習者以前擁有 的能力有所不同，甚至是超越。
3 擁有心像 (image having)
以內在形式取代一連串的活動。不需要實際操作即能進行回顧，
能察覺並說出某些概念的規律(patten)。
4 關注性質
(property noticing)
學生能回顧前三個階段，以特定的性質檢驗心像，注意心像之間
第四節 名詞釋義
依據 Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994)的「數學理解成長的動態模型」，將理 解過程細分為八個層次，分別是：起始知識、製造心像、擁有心像、注意性 質、形式化、觀察、結構化、創造與發明。