第貳章 文獻探討
本研究是探討高一學生在「對數概念」的學習歷程中，其概念理解層次的變 化情形。首先，當我們欲探討概念發展的過程時，我們要先了解何謂數學概念，
因此第一節為「數學概念的探究」；除此之外，還有一個很重要的研究重點就是 我們如何去理解數學概念，故第二節為「數學概念的理解」；最後則聚焦到與本 研究相關單元的實徵性研究，而形成第三節「對數的相關實徵性研究」。
第一節 數學概念的探究
本節共分四個部分，先了解何謂概念，以及大家對於概念所進行的分類，然 後逐漸聚焦於數學「數學概念」，最後則是談論「對數概念」。
一、 何謂概念
Skemp (1987/1995, p.15)認為「概念」這個字眼雖然用得很廣泛，但不容易 精確定義，而且直接去定義概念，並不是讓人對它有正確概念的好方法。因此 Skemp (1987/1995)藉由談論分類(classifying)以及歸檔(fitting)這兩種活動的連續 性，用來說明概念：
當我們將注意力集中於一組事物的某一個共同特性，暫時不去看它們的個別差異，我們會 藉由分類的能力將具有相似性、共通性的經驗歸類在一起，若我們能更進一步地用已經分類的相 似性、共通性來認知新經驗，這樣的心智活動過程就為抽象化(abstraction)，而「抽象」則泛指抽 象化的結果與過程。為了區分起見， 「抽象」改稱為「概念」 。
(Skemp, 1987/1995, p.18) 也就是說，Skemp (1987/1995, p.25)認為概念是人處理資料的依據，能夠讓 我們把新情況套入舊經驗之中，找出共通性，進而做出適當反應。
國內的學者張春興與林清山（1973）指出，概念是具有共同屬性(attributes) 的同類事物之總名稱。換言之，每個概念都有其屬性，如形狀、顏色、大小、輕 重等，均可成為概念的屬性，屬性愈明顯，概念愈容易學習。陳忠志（2000）主 張概念的屬性是指概念可辨認的特性，概念中的屬性越少，限制越少，其包含的 範圍越大，其含意越抽象。總結來說，屬性對於概念學習非常重要，教師在進行 教學時，必須注意到屬性間的關係。
二、 概念的分類
Henderson(1970)則把概念分為具體概念(concrete concept)和抽象概念 (abstract concept)，其中具體概念是指具有物理上實質的例子，如代數書、幾何 板、尺；而抽象概念為不具上述具有物理上實質的例子，如數學上會遇到的分 數、複數、極限、多項式、機率等都是屬於抽象概念。而 Ghatala 與 Frayer（1972）
所提出的 CLD 理論（概念學習與發展理論）認為「具體概念」可於學習前經 過非正式的方式學習，而「抽象的概念」一般仍須經過正式的教學學習才可得 到。
Vinner (1991) 將概念分為概念心像以及概念定義兩種，概念心像的意思 是，當學生在學習概念時，他們就會建構自己所屬的概念心像，概念心像會跟 著概念形成一起發展的，而這個概念心像卻往往是不完整的。隨著學習的深入，
概念心像也越來越完整；而概念定義的意思是對原有概念進行重新組織和加 工，有利於解答問題。值得注意的是，在進行某些概念的推理時，定義並不是 活躍的因素，甚至可能被忽略掉。對於概念形成，概念心像的功用高過概念定 義 (Vinner1991)。
Skemp (1987/1995，p. 22)把概念分成兩種概念，從肌肉、感官對外在世界經 驗後先得到所謂的初級概念 (primary concept)，再由數個概念再繼續抽象化成為 二級概念 (secondary concept)，許多的概念甚至還要經歷多次的抽樣才能形成。
從上述想法可以看出 Skemp (1987/1995)認為概念是有階級之分，就如同
Klausmeier、Ghatala 與 Frayer（1974）將概念分成四個層級，分別描述如下：
1. 具體的層級（Concrete level）：學生可以認出稍早已經歷過的一個例子。
2. 辨識的層級（Identity level）：學生對於稍早學過的例子，即使經過時空轉換 或以不同的形式出現，亦能認出。
3. 分類的層級（Classificatory level）：學生能分辨例子與非例。
4. 形式化層級（Formal level）：學生能敘述概念的定義。
而 Sowder (1980) 在探討以上分層之後，認為應該要在分類的層級與形式化 層級之間，新增生產的層級（Production level），意思是學生可以給出這個概念的 任何例子或新的例子。
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3. 彈性（flexibility）例如，
Skemp (1987/1995, p. 28；1989/1995, p. 50)特別指出，由於數學概念的抽象 本質，使得數學學習出現了問題(但也是力量)，相較於其他科目，數學概念的問 題就出在過於抽象和一般化。謝育博(2002)藉由整理有關數學概念的文獻之後，
指出許多的數學概念都是由實際經驗所抽象化形成初級概念， 再繼續抽象化成 為次級概念，而這些經過多次抽象化的數學概念具有高度的濃縮性，因此數學概 念變得很困難。
Skemp (1987/1995, p. 69)指出，數學的力量當然是很大的，而符號是這個力 量的主要來源，但如果沒有人教你符號的意義和用法，它也等於一堆廢物。並且 Skemp (1989/1995, p. 89)更精確地指出，數學的功能是建基於知識結構，而符號 是顯現數學功能的工具。Kuchemann（1981）提到學生對文字符號是否了解是影 響學生代數學習非常重要的因素，數學學習以建構一套符號系統來代表數學概念 為重點，並以溝通和問題解決為目標。謝育博(2012)藉由探討與數學概念相關的 研究後指出，由於數學概念本身就十分抽象，加上用符號表示，從而使概念更加 抽象化，所以數學教師在數學概念教學中，必須重視對符號的說明、分析。因為 符號只是代表數學概念的外在表徵，如果學生不了解符號的含義，就容易造成數 學學習的混亂與迷失。
總結來說，數學符號在學習數學概念的過程中相當重要，所以教師在教學 中，符號的引入與說明時，就需要相當的謹慎與用心。
四、 對數概念及其發展史
在 16 世紀末至 17 世紀初，航海事業及自然科學領域（特別是天文學）
的發展上經常遇到大量精密而又龐大的數值計算，於是數學家們努力尋求化簡 的計算方法。對數就是在這樣的歷史背景下產生的。而蘇格蘭業餘的數學家及 天文學家納皮爾(John Napier，1550-1617)對數值的計算頗有研究，他所製造的 Napier’s Bones 計算器化簡了乘、除法運算，其原理就是以加、減來代替乘、
除法運算，而他在經過二十幾年的苦心研究後，在 1614 年發表了對數及其性 質。納皮爾出身貴族，為愛丁堡附近墨奇斯頓堡(Merchiston Castle)的第八代地 主，未曾有過正式的職業。年輕時正值歐洲掀起宗教革命。在蘇格蘭轉向新教 時，他也成了寫文章攻擊舊教（天主教）的急先鋒。當時傳出天主教的西班牙 要派無敵艦隊來攻打，納皮爾就研究拏砲、裝甲馬車、潛水艇等兵器準備與其 拚命。雖然納皮爾的兵器還沒製成英國已把無敵艦隊擊垮，他還是成了英雄人 物。只不過使納皮爾留名青史的，正是對數的發明。
然而，早在納皮爾之前，就有人注意到幾何數列的各項與這些項所對應的 指數之間，存在一種簡單的關係。德國數學家史基弗里(Michael Stifel,1487-1567) 在他的《整數算數》中，把這個關係用幾何數列與等差數列進行比較，如表 2：
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表 2 2 的乘方
史基弗里發現數列○2 或○3 的乘除關係可以轉為數列○1 的加減關係。而且他還 發現數列○2 或○3 的乘方與開方關係也可以轉化為數列○1 的乘除關係。這便是對數 思想的萌芽。但是當時史基弗里僅僅發現這一性質而已，他並沒有根據此性質作 進一步研究，更沒有編製出對數表來。如果我們把史基弗里所發現的性質用現在 的對數符號來表示的話，就是
2 2 2
l o g l o g l o g
a b a b
a b a b
這可以說是最早、最原始的對數表。如表 3 表 3
想像中最早、最原始的對數表
但因為它的間隔太大，有許多數無法在表中查到。而且人們在實作中發現，
真正有使用價值的對數表一定要使真數 N 的間隔很密才行。因為在利用對數做 乘法或除法運算時，不僅要從真數表中查出其相對應的對數來，而且還要將查 到的對數經過加減運算後的和、差，然後再反查出它所對應的真數。因此一張 真正的有使用價值的對數表，不僅要使其真數的間隔很密，而且連對數值的間 隔也必須很密。只有這樣，不論是由真數查對數值，還是由對數值查真數，都
比較精準。英國的布里格斯( Henry Briggs) 在 1615 年前往愛丁堡造訪納皮爾，
二人在這次會談中終於看清對數的本質，雙方同意「對數」在十進位計算中，
以十為底的對數表最為方便，這就是常用對數了。可惜這時納皮爾年事已高，
最後，布里格斯在 1624 年製作出常用對數表。
對數能將乘除、乘方與開方轉化為加減、乘除，於是繁雜的計算可以大大 的簡化，而這促進了生產技術與科學的發展。而對數、解析幾何與微積分更被 人們視為 17 世紀數學領域裡最偉大的三大成就，義大利物理學家伽利略說:「給 我空間，時間及對數，我可以創造一個宇宙!」。恩格斯稱「對數」方法是歷史 上「最重要的數學方法之一。」。著名的天體力學專家拉普拉斯( Laplace，
1749-1827）更說：「納皮爾對數的發明，不僅是減少了天文學家的工作，而且 是相當於倍增其壽命。(The invention of logarithms by shortening the labors doubled the life of the astronomer.)」。
至於最早傳入中國的對數著作是《比例與對數》，它是由波蘭的穆尼斯
（1611-1656）和中國的薛鳳祚在 17 世紀中葉合編而成的。當時符號的表示 法，在 lg2=0.3010 中，2 叫「真數」，0.3010 叫做「假數」，真數與假數對列 成表，故稱對數表。中國清代的數學家戴煦（1805-1860）發展了多種的求對數 的捷法，著有《對數簡法》（1845）、《續對數簡法》（1846）等。