本節主要是將個案 H1、H2、L1、L2 共四位學生的學習歷程，以 Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994)在其「數學理解成長的動態理論」中所提出的各層次特徵進行 分析，並於每一節課的說明之後附上「對數概念發展的歷程圖」，其包括兩個向 度，橫軸是採取本研究理論依據中有關「對數概念」的八個層次，由左至右依序 是：起始知識（Primitive Knowing，簡記為 1.PK）、製造心像(Image Making，簡 記為 2.IM)、形成心像(Image Having，簡記為 3.IH)、注意性質(Property noticing，
簡記為 4.PK)、形式化(Formalizing，簡記為 5.F)、觀察(Observing，簡記為 6.O)、
結構化(Structuring，簡記為 7.S)和創造發明(Inventizing，簡記為 8.IN)；縱軸則是 依教師的教學序列來做編號。
圖中我們用「○」表示教師的教學行為，若教師預期將個案的理解層次推前 至層次二，就在層次二的地方做「○」的記號，圖形和原案分析的時間序都是以
「○」做分段，並以「＋」表示個案所處的層次，若所觀察到學生的行為表現可 以界定在層次三，就在層次三的地方做「＋」的記號。以圖 5 來做說明，圖中有 四個「○」，第一個「○」代表教師預期學生到達層次一，而學生也真的表現出 層次一的行為，因此以「＋」做代表。第二個「○」代表教師預期學生到達層次 二，而學生為了進展到層次二，能先主動折回層次一，然後再到達層次二，因此 以兩個「＋」的記號分別標記學生所經歷的層次，所以，若一個「○」對應到多 個「＋」，則代表學生出現主動的行為。
圖 5 概念發展路線圖的說明
所以，本研究的原案分析在每個段落都會交代三件事情：教師的意圖、教學 引導方式以及個案的理解層次。內文的中括號是用來代表教師的意圖，如：
「[2.IM]，即表示教師的意圖是希望將個案引導到層次二的製造心像(2.IM)」；而 內文的小括號則用來代表學生當下的理解層次，如：「(3.IH)，即代表個案的行為 表現被研究者界定為層次三的擁有心像(3.IH)」。最後，圖形的呈現中，再以虛線 表示教師的意圖、以實線表示個案的理解路徑，成為整節課的對數概念理解路線 圖。以下將以 H1 為例，針對其「對數概念」的四節課表現作原案分析。
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一、H1 的第一節課共可分成 13 個部份：
1. 課堂一開始，教師要檢驗 H1 是否有足夠的指數概念，所以先帶著 H1 複習舊有的指數概念[1.PK]。教師先寫出指數記號，請 H1 說明此記號 的意義，並回想關於指數單元學過哪些內容。
H1 能說出：「解方程式吧!同底則指數相同」，也能用描點法畫出指數 函數的圖形(1.PK)。教師再根據 H1 所回答內容繼續追問或補充，如指 數定義、指數函數的圖形特色以及底數限制的原因等，藉由問答讓 H1 的先備知識更加穩固，並為新的對數概念做準備。
2. 教師確認 H1 在指數單元有足夠的先備知識後，想要進一步引出和先前 指數單元有所不同的對數問題，目的是希望帶著 H1 製造對數概念的心 像[2.IM]。因此，教師先以指數單元的「海藻蔓延」活動作銜接，要 H1 回憶、列表並畫出圖形，然後再用簡單的數字例子
2
x 8
，讓 H1 算出x
就是 3 以後，接著，改變其中一個數字使題目變成
2
x 3
，利用類似但 新的問題來引起其學習動機，並詢問 H1：「2 的幾次方等於 3？」希望 藉由此關鍵問題讓他去思考此 x 值的存在性與唯一性。H1 回答：「應該可以算…只是現在算不出來」，並繼續說：「2 的 1 次 方 2，2 的 2 次方是 4，3 比 4 小，所以
x
也要比 2 小(1.PK)。…所以它一定 存在，而且只有一個(2.IM)」。表示 H1 能用目前他擁有的指數知識來回答 所面對的問題。3. 接著，教師透過提問讓 H1 開始思考，該用什麼新符號來代表未知的指 數，目的是要讓他開始製造關於對數概念的心像[2.IM]。教師逐一介紹 對數符號的各元素名稱，如：「對數」、「底數」、「真數」、「以 a 為底
b
的 對數」等。在介紹對數符號的過程中，研究者也不斷提醒 H1，底數一 定要寫小、寫低，真數則和 log 平行，強調：○1 對數符號的底數，也是原本指數式的底數；
○2 對數符號的真數，為原本指數式的值；
○3 整個對數符號，則用來代表原本的未知指數。
最後，介紹以 10 為底的對數為「常用對數」，而數學上習慣將 10 省略不寫，並強調對數符號的正確讀法。
H1 知道當指數無法心算出來的時候，可以用新介紹的對數符號
「log 3 」來代表、能正確唸出並寫出這些專有名詞，也能區分不同符2 號「 loga
b 」與「 log ab
」的正確讀法(2.IM)。4. 在一系列製造對數符號的心像活動後，教師希望 H1 能察覺指對互換的 規律，了解對數符號「 loga
b 」有意義的前提是「 a
> 0,a
? 1,b
0」， 進而歸納出對數的定義[3.IH]。教師先複習指數函數的底數限制，接著 反問 H1 此對數式的底數與真數是否也有限制？希望用這個問題先讓 H1 去做猜測，並強調對數問題都是由指數過來的，因此才會沿用底數 大於零且不等於 1 的限制。教師也更進一步地用11
1, 12
1,…等例子讓 H1 感受由於記號「log 1」對應的值不唯一，利用此矛盾的現象讓 H11 更清楚為何底數不能是 1。在教師的引導下，H1 能說出底數必須大於零且不等於 1 的原因，
而對數符號的真數也必須也是正數，並以此方式判斷題目給定的對數符 號是否有意義(3.IH)。
5. 接著，教師為了讓 H1 熟練指、對數的互換，因此利用指數來反推對數，
這可以幫助 H1 在一開始接觸對數概念之初，就先感受到對數的內涵 [3.IH]。清楚對數的定義之後，教師請 H1 逐一讀出並寫下例題 1 的對 數符號，再利用表格對照讓 H1 清楚指對互換是一體兩面的事。教師藉 由問答的方式，舉出例題 1(如圖 5)讓 H1 去觀察指數式與對數式的互換 規律，用這樣的佈題來鞏固 H1 對數概念的心像。
圖 6 學習單的例題 1
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在教師引導 H1 填入前三格的對數符號以後，H1 能熟練地自行完 成後續的表格填答(如圖 7)，而教師蓋住部份表格，直接詢問對數符號 所對應到的值，他也都能正確地回應。此時，H1 已能察覺到指對互換 的規律，因為，即使沒有實際寫出指對互換的關係式，他也能直接在心 裡進行互換而求出對數值 (3.IH)。
圖 7 例題 1 及 H1 的答題過程
6. 配合學習單的設計，教師接著想強調，形如「log 8 」不僅是符號，也2 要整體看成一個數字，不能拆開約掉，目的是為了讓 H1 感受這個數的 特質，擁有較好的數感[3.IH]。所以，研究者以舉例的方式，強調像
2 2
log 8
log 4，不能看到分子、分母都有共同的「log 」就把它約掉，此題應2 該要將分子、分母先分別化簡。
H1 點頭表示同意，並得出答案為
3
2
(3.IM)。於是，教師再將原本 的對數式「3 log 8
2 」寫出來，對應的指數式則為「2
3= 8
」，把次 方 3 直接用剛剛的「log 8 」代換掉，而寫出「22
log 82 」。這裡的教學安 排主要是想要再次強調，我們要將「log 8 」看成一個整體，它是一個2「數字」，因此當然也能將這個「數字」放在指數位置，藉以鞏固 H1 的數感。但當時並未打算先在此介紹對數性質「
a
logab b
」。但此時，H1 卻能馬上回應：「這個題目的答案是 8 吧! (在旁邊寫下2log 82 = 8)」
(4.PN) 。
7. 上述顯示出 H1 的層次超乎教師的預期，不僅還能舉一反三地注意到對 數性質「
a
logab b
」[4.PN]，但令人好奇的是，H1 如何關注到這個性質？教師先請他進一步解釋他的觀察。
而他能說出「這裡只是把它(指數)換掉，答案又不變，一樣是 8。所以 這兩個數應該可以相消。(4.PN)」雖然他的說法有問題，但結論是正確的，
於是教師先請他將此關係用符號表示，接著，再進一步地澄清「直接相 消得答案」並非此性質的理由，理由應該是要由定義推導。這裡可以看 出 H1 雖然有發展出層次四的理解，但並不完整。而這個性質本來是安 排在下節課才會介紹，因此點到為止。
8. 接著，例題 2 是一系列求對數值的問題，目的是要讓 H1 鞏固指、對互 換的概念[3.IH]。因此，研究者先放手讓 H1 去觀察題目以及思考如何 求值。
學生看完題目後就愣住了，並表達他不知如何下手(2.IM)。
9. 上述顯示 H1 的層次三仍未鞏固，教師推斷，H1 會產生折回，除了底 數不一樣之外，因為前面的題目都是先給指數式，再寫出對應的對數符 號，而現在則直接請學生求出「對數值」，是不同的問題情境。所以，
教師想先確認 H1 是否能了解對數符號的意涵[2.IM]，於是要求 H1 念出 題目「
log 81
3 」 。H1 點點頭並回答：「求出以 3 為底，81 的對數的值。」接著，教師再 次強調此對數符號會出現就是用來表示一個未知「指數」的值，先引導 H1 將所求令成 x ，把相對應的指數式寫出之後，再來解出 x 。此時，
H1 也能用同樣的方法完成例題 2 的四個小題(2.IM)。
10. 接著，教師欲鞏固 H1 關於指對互換的能力[3.IH]，於是，教師進一步 追問 H1，是否有更直觀的方法來看出答案。
此時，他能回答出：「先去看真數是底數的幾次方，答案就是幾。」並 利用此方法正確預測出練習 2 的四個答案，顯示他已觀察到指對互換的 規律，不僅了解對數符號，而且可以應用(3.IH)。
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11. 而例題 3 是非常典型要利用對數定義的限制來求未知數 x 範圍的問題：
「若logx1
2x
5
有意義，試求x
的範圍。」希望藉由這個練習讓 H1 更清楚對數定義的限制部分，此亦為本節課的教學目標之一，因此教師 要求 H1 先將定義寫在旁邊提醒自己[3.IH]。此時，H1 能清楚說明底數與真數的範圍限制和原因，並完成例題 3 的內容，表示 H1 除了會用，對於剛才課程所介紹的對數定義也都有 確實思考其理由(3.IH)。
12. 接著，教師再次藉由舉例來強調對數符號本身是個數字，要整體一起看 成一個數字[4.PN]。
由 H1 的回答：「我知道，這兩個數字(底數和真數)不能分開，要 一起看，不然答案會不一樣。」顯示 H1 知道要把對數符號看成一個整 體，在分別得到log 82 = 3和
log 4
2= 2
之後，他也能從「 22
log 8 3 log 4= 2」和
「
8 2
4 =
」兩個不同答案的式子中注意到，不能直接把局部的「log 」2 約掉，一定把符號「log 8 」看成一個整體(4.PN)。 213. 因為 H1 在第一節課的學習速度比教師預計快，因此總結第一節課之 前，教師再進一步藉由問答，讓 H1 去思考「log 3 」這個數是有理數2 還是無理數，希望 H1 對於對數符號能更有數感[5.F]。
思考了約 30 秒，H1 回答「log 3 」是個無理數，並試著說出反證2 法的雛形，雖然當下並無使用形式化的證明，但教師仍順著他的想法繼
思考了約 30 秒，H1 回答「log 3 」是個無理數，並試著說出反證2 法的雛形，雖然當下並無使用形式化的證明，但教師仍順著他的想法繼