高一學生的對數概念發展層次之研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：. 曹博盛博士. 高一學生的對數概念發展層次之研究. 研究生：. 中華民國. 王幸鵑. 一百零二. 年. 六. 月. a.

(2) 摘要本研究以 Pirie 與 Kieren (1989, 1992, 1994)所提出的數學理解動態理論作為描述個案概念學習過程的理論依據，透過分析個案在學習過程中所面對的問題與因應方式，嘗試了解高一學生在學習對數概念時，其數學理解層次的變化情形與發展過程。本研究採用質性研究中的個案研究法，由研究者任教的新北市某公立高中一年級學生中，依照分層立意抽樣的方式，挑出高程度與低程度學生各兩位，共四位個案做為研究對象，分別於課後時間進行每人四節課的一對一教學，以「對數概念」為實施的單元，將學生的學習過程都以影片拍攝方式來蒐集學習歷程等資訊。研究工具為研究者的教案與自編學習單，並依據 Pirie 與 Kieren (1989, 1992, 1994)數學理解的動態理論來設計對數概念發展的層次對照表，再利用此層次對照表來分析學生的學習歷程，以進一步探討不同程度的學生在學習對數時的概念發展情形。本研究結果如下： 1. 在教學過程中，四位個案均出現動態、非線性、遞迴的現象。 2. 高程度學生都有發展到「結構化(7.S)」；低程度學生都有發展到「觀察(6.O)」 3. 高程度學生能夠在學習過程中呈現主動，而低程度學生幾乎沒有。 4. 教師對於鞏固低程度學生的理解層次，採用的策略是多舉例；而對於高程度學生，採用的策略是搭配相同但稍微變化的題型來做說明。 5. 教師對於提升低程度學生的理解層次，採用的是提出一些運算上的反例；而對於高程度學生，採用的做法是提供機會讓其出現主動的行為。最後，本研究分別提出對教學與後續研究兩方面的建議。關鍵詞：對數概念、概念發展、數學理解、理解層次. i.

(3) 目. 錄. 第壹章緒論............................................................................................................. 1 第一節問題背景與研究動機 .......................................................................... 1 第二節研究目的與研究問題 .......................................................................... 4 第三節理論依據 ............................................................................................. 5 第四節名詞釋義 ............................................................................................. 8. 第貳章文獻探討 ..................................................................................................... 9 第一節數學概念的探究 .................................................................................. 9 第二節數學概念的理解 .................................................................................15 第三節對數之實徵性研究 .............................................................................20. 第參章研究方法 ....................................................................................................23 第一節研究過程與步驟 .................................................................................23 第二節研究對象 ............................................................................................26 第三節研究工具 ............................................................................................28 第四節資料蒐集與分析方法 .........................................................................34 第五節研究限制 ............................................................................................35. 第肆章研究結果之分析與探討 .............................................................................37 第一節原案分析，以 H1 為例 .......................................................................37 第二節「動態、非線性與遞迴」現象之特徵與差異 ...................................59 第三節學生理解情況與教師教學策略的關聯 ...............................................90. 第伍章結論與建議 ................................................................................................97 第一節結論 ....................................................................................................97 第二節檢討與建議 ........................................................................................99. 參考文獻 ........................................................................................................ 101 中文部分 ........................................................................................................ 101 英文部分 ........................................................................................................ 102 附錄……………………………………………………………………………105. ii.

(4) 表次表表表表表表表表表表表表表表表. 1 ....................................................................................................... 7 2 ..........................................................................................................13 3 ..........................................................................................................13 4 ..........................................................................................................31 5 ..........................................................................................................60 6 ..........................................................................................................65 7 ..........................................................................................................70 8 ..........................................................................................................71 9 ..........................................................................................................71 10 ........................................................................................................72 11 ........................................................................................................76 12 ........................................................................................................81 13 ........................................................................................................86 14 ........................................................................................................90 15 ........................................................................................................93. iii.

(5) 圖次圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27. 數學理解成長模型圖 ( Pirie & Kieren, 1992, p.246)。 ................ 5 Sfard 的概念發展過程：內化、壓縮與物化 ...............................17 研究過程流程圖 ...........................................................................23 概念發展路線圖 ...........................................................................33 概念發展路線圖的說明 ...............................................................38 學習單的例題 1 ............................................................................40 例題 1 及 H1 的答題過程 .............................................................41 H1 第一節課的理解歷程............................................................44 例題 4 及 H1 的答題過程 ...........................................................47 H1 的對數運算性質證明情形 1,2 ..............................................48 H1 的對數運算性質證明 3 .........................................................49 H1 第二節課的理解歷程............................................................51 例題 6 及 H1 的答題過程 ...........................................................54 H1 證明換底公式的延伸式子 ....................................................54 例題 7 及 H1 的答題過程 ...........................................................55 H1 第三節課的理解歷程............................................................55 例題 8 及 H1 的答題過程 ...........................................................56 例題 9 及 H1 的答題過程 ...........................................................57 例題 10 及 H1 的答題過程 .........................................................57 H1 第四節課的理解歷程............................................................58 H1 的概念發展路線圖...............................................................61 H2 的概念發展路線圖...............................................................66 H1 和 H2 的概念發展路線圖比較 .............................................74 L1 的概念發展路線圖 ................................................................77 L2 的概念發展路線圖 ................................................................82 L1 和 L2 的概念發展路線圖之比較 ..........................................87 H1、H2、L1、L2 的概念發展路線圖 .......................................88. iv.

(6) 高一學生的對數概念發展層次之研究第壹章緒論本章共分為四節，第一節為問題背景與研究動機，第二節為研究目的及研究問題，第三節為理論依據，第四節為名詞釋義。. 第一節問題背景與研究動機數學概念從無到有的學習是數學教育工作者關注的焦點，研究它們如何建立、如何作用更是數學學習心理學的中心議題 (Skemp, 1987/1995)。數學概念的理解包含許多複雜的心智活動，是不斷累積與修正的動態過程。研究者回溯自己學習數學的經驗，每當遇到新問題時，或許會停滯而往返思索，喚起舊有的知識再加以整理重組，當頓悟獲得重要啟示後，又能往前邁進而達成目標，舊概念的基礎更加扎實，而新的概念也可能因此產生；研究者在觀察學生的學習時，也經常發現他們可能會用自己過去學過的經驗來輔助新的學習，新舊概念來回修正，進而形成穩固的概念。可見，學生對每個數學概念的認識和理解並非一次到位，因此，在學習一個新概念時，學生的理解過程究竟發生甚麼變化? 我們又能以什麼標準來判定學生是否掌握某種數學概念呢？雖然國內外關於學生的學習理論眾多(張春興，1995；Skemp，1979, 1987)，但對於學習使學生的概念發生什麼變化、學生為何能成功學會等問題，都仍無法給出確切的答案。而 Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994) 所提出「數學理解成長的動態理論 ( A Dynamic Theory of the Growth of Mathematics Understanding) 」，將學生的理解過程細分成八個層次，當學生在數學學習的過程中，面臨困難而無法解決時，學. 生會試著回到先前的層次尋求幫助，這樣來回的過程，讓學生. 對問題有更深入的了解，並提出這樣的一個動態的 (dynamic)、非線性的 (nonlinear)、遞迴的 (recursive) 成長過程，能夠更細微的描述學生學習過程中的理解層次之變化。此理論與研究者的經驗和所觀察到學生的表現有些相關性，因此本研究將依據此理論來分析學生的學習歷程，並描述學生對一個數學概念的掌握程度。. 1.

(7) 然而，Pirie 與 Kieren (1989, 1992, 1994)雖然描述學生各個層次的理解特徵，但並沒有說明教學如何提升學生的理解層次。李源順（1993）的實徵性研究顯示，了解學生學習的動態理解層次固然重要，教師的介入對學生的理解也產生莫大的影響，如果教師的問話具有關鍵性，學生亦能突破障礙、快速而有效的建構概念。丁斌悅（2002）針對國二學生的實徵性研究也提到：學生在學習特定單元時，可能會遇到一些「瓶頸」，這些「瓶頸」會阻礙學生的概念層次的發展；因此，教師若能在教學時去除這些瓶頸，應該比較有機會提升學生的理解層次。同時，教學並不總是依照教師的教學流程平穩的進行，經常會產生不如意、非預期、有限制性等特殊因素的情況，因此除了一開始談到想要了解學生的數學理解成長模型有哪些具體表現行為之外，老師根據不同學生的反應，能夠做哪些調整可以幫助學生？這些有趣的問題都讓研究者想一窺究竟。普通高級中學課程綱要 (高中數學學科中心，2009)經過多次調整，「對數」一直是高中數學的重要概念之一。而且，高一數學課程中，如「數與式」、「多項式函數」、「指數」等章節都還是國中課程的加深加廣，對高中學生而言不算陌生，但對他們來說，「對數」卻是一個全新的概念、使用的數學符號也是一個嶄新的符號。在高中數學課程中，「對數」對於學生來說，可說是非常富有挑戰性的單元。此外，對數概念除了是對數函數的先備知識，也是往後學習指對數應用的重要基礎，學生如果沒有先了解基本的對數概念意義，往後學習更高階數學或其他領域時，如解決複雜的指數運算、求極大數或極小數的問題、銀行存款的複利、地球科學領域的地震強度表示法或求放射性物質之半衰期等應用問題，都非常容易產生學習困難。同時，根據研究者的任教經驗，對數單元因為新符號與新運算規則的引進，這部分的學習經常讓學生感到混淆與挫折，如不清楚符號的來龍去脈而弄錯對數符號中底數與真數的相對位置，也常看見許多學生雖能模仿地解題，卻一直不清楚自己在學什麼。國內許多實徵性研究皆指出，學生在學習對數會遇到許多困難是因為對數所用的表徵符號及其意義，與過去所學的許多數學符號相較起來較為複雜且抽象 (陳建蒼，2000；劉怡蘭，2001；周淑梅，2002；洪榮平，2005；田銘舜，2007； 2.

(8) 廖純如，2012)。高一學生在學習對數時，很容易因為對符號的望形生義或未釐清對數運算性質而錯用公式 (廖純如，2012)。既然研究指出，學生在學習對數概念的過程中的確會遇到許多瓶頸，我們難道只能消極的在學生發生問題後再來補救嗎？從積極面角度，研究者是否能基於先前的研究，從另一個角度去探討學生在學習對數概念時，老師的教學引導與學生的理解層次究竟有何關聯？因此，研究者決定以「對數概念」當作本研究的教學單元。李源順（1993）的研究指出，學生的學習歷程中，其概念成長情形與教師的教學、師生的互動、學生的先備知識等都有相關。面對現今常態分班、高低程度學生均有的班級，教師為了使學生們的學習成效獲得增進，應在對數概念的教學過程當中注意哪些細節?由於大班教學不易觀察與即時紀錄學生細微的行為特徵，因此，本研究利用一對一個案教學的模式，探討高一學生學習「對數概念」的理解層次變化情形。希望這份基礎研究可以讓教師看到不同程度學生在「對數」單元的理解層次發展特徵，進而提供教材安排及教學程序之參考。. 3.

(9) 第二節研究目的與研究問題本研究主要目的是藉由觀察學生的學習歷程，並依據 Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994)的數學理解成長的動態理論，來描述學生的對數概念之理解成長情形。根據以上的研究目的，本研究提出下列研究問題：. 一、探究高、低程度學生在學習對數概念的過程中，所出現的「動態、非線性、遞迴」現象有何特徵及差異?. 二、探討此研究中，老師的教學行為與學生的理解層次，兩者有何關聯?. 4.

(10) 第三節理論依據本研究為了描述學生的學習歷程中其概念改變情形，採取 Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994) 提出的「數學理解成長的動態理論 ( A Dynamic Theory of the Growth of Mathematics Understanding)」來分析學生學習「對數概念」之變化情形。 Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994) 認為理解本身會不斷地成長與改變，不斷地自我參照，以便逐漸逼近正在思考的問題、情境。當學生要達成學習目標的過程中，需經歷「起始知識(1.PK)」、「製造心像(2.IM)」、「擁有心像(3.IH)」、「注意性質(4.PN)」、「形式化(5.F)」、「觀察(6.O)」、「結構化(7.S)」、「創造與發明(8.IN)」等八個層次，才能獲得較完整的數學概念與技巧。而此模型的每一個層次都用一個圓表示，八個圓內嵌於同一點，層層套疊有如洋蔥模型，如圖 1。. Ⅰ.Primitive Knowing Ⅱ.Image Making Ⅲ.Image Having Ⅳ.Property noticing Ⅴ.Formalizing Ⅵ.Observing Ⅶ.Stucturing Ⅷ.Inventising. 1.PK 起始知識 2.IM 製造心像 3.IH 擁有心像 4.PN 注意性質 5.F 形式化 6.O 觀察 7.S 結構化 8.IN 創造發明. 圖 1 數學理解成長模型圖 ( Pirie & Kieren, 1992, p.246)。圖 1 是 Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994)發展出的數學理解成長模型。它有三條標示特別粗的線，稱為”不需要”的界線(“Don’t need“ Boundaries, 簡記為 DNB1, DNB2, DNB3)。此模型之所以特別標示並加粗這三條線，是認為學習者一旦超越該界線之後，就”不需要”一再地折回、”不需要”一再地依靠較內層的理解也能面對問題，但學習者有需要時，仍可隨時返回內層的理解。Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994)指出，DNB1 在「製造心像(2.IM)」與「擁有心像(3.IH)」之間； DNB2 在「注意性質(4.PN)」與「形式化(5.PN)」之間；而 DNB3 則在「觀察(6.O)」以及「結構化(7.S)」之間。. 5.

(11) 另外，此數學理解成長的動態理論還認為數學理解是一個動態的(dynamic)、非線性的(nonlinear)、遞迴的(recursive)的成長過程。「動態」的意思是數學理解並非ㄧ次到位的靜態成果，而是持續在層次間來回移動的過程。「非線性」的意思為數學理解不一定是直線式的發展，也就是說，每個層次之間都有其路徑可以來回，沒有一定要完成某特定層次才能進到下一層，它有可能是突然頓悟而直接跨越到較外的層次，也可能遇到阻礙而回到更內層加以思索，如此反覆的建構其理解過程。「遞迴」則是指理解的每一個層次內容都會與它之前的層次內容結構相似，但卻又超越之前的層次。不同程度的學生皆有學習軌跡可循，經由來回的過程，讓學生對問題有更深刻的理解。學生沿著這樣的學習路徑，配合對數學知識與概念的基礎進行學習，遇到困難時，或許會停滯而往返到內層加以思索，當頓悟獲致重要啟示後，即能往前擴展到達最後目標；有些學生資質聰穎、能力經驗豐富，在某些歷程的層次上即可跨越，無須按部就班、循序而上。因此研究者想透過數學理解成長的動態理論來了解學生概念的層次改變情況，適時給予學生引導，幫助學生確實了解所面對的數學概念與問題並達到教師授課的教學目標。下表，則再針對每一個層次的特徵進行說明（見表 1）：. 6.

(12) 表 1 數學理解層次之特徵說明(整理自 Pirie & Kieren，1994；吳淑琳，2001) 層次/名稱 1 起始知識 (primitive knowing). 特徵起始知識（primitive）並非意指低層次的數學，而是開始的地方。即是一個觀察者（通常是老師）在給予一個新作業時，假定學習者「在他頭腦中」已存有的知識，即先備知識。. 2 製造心像 (image making). 學習者透過一連串獨特的、指引的活動或問題，發展出與起始知識不同的心像。「製造心像」是理解的開始，必須與學習者以前擁有的能力有所不同，甚至是超越。. 3 擁有心像 (image having) 4 關注性質 (property noticing). 以內在形式取代一連串的活動。不需要實際操作即能進行回顧，能察覺並說出某些概念的規律(patten)。學生能回顧前三個階段，以特定的性質檢驗心像，注意心像之間的區別（distinction）、組合（combination）與連結（connection），同時具有紀錄及預測此類關係的能力。. 5 形式化 (formalizing). 學生能對層次五所注意到的性質作有意識的思考，從眾多的「心像」中抽象出共同的性質或方法，並察覺到像類別般的心理物件（aclass-likementalobject），也就是說，學生能將其心理的物件歸類（class-like），形成群集。. 6 觀察(observing). 學生能夠觀察自己的形式化思考，組織與比較這些觀察的結果。. 7 結構化(structuring). 學生能夠正確且條理清楚地解釋前述觀察的結果，意識到自己的基本假設與觀察結果，邏輯化的建立相互之間的關係。. 8 創造發明 ( inventising ). 學生在這個階段擁有完整結構的理解，能夠自由與想像的穿梭各個層次，創造新的問題或衍生新的概念。. 7.

(13) 第四節名詞釋義本研究所提及的重要名詞，茲將說明如下：一、對數概念：本研究焦聚在「對數的定義」、「對數的運算性質」。. 二、對數與對數運算：主要是依據教育部 2010 年所公布普通高級中學必修科目「數學」課程綱要的要點與龍騰版高中數學第一冊第三章第三節對數單元中的核心內容來設計。內容主要是有關於對數定義與符號使用，以及能利用對數的性質來求對數值及運算，而不涉及對數函數的圖形、查表及對數表的應用。對數運算主要以下面四個公式為主： (1) log a r  log a s  log a rs r (2) log a r  log a s  log a   s. (3) log a r t  t  log a r (4) log a r . log c r log c a. 三、學習歷程：資料分析時所探討的個案學習歷程，僅限定於本研究中，研究者與個案學生進行一對一之四節課的學習過程。. 四、理解層次：依據 Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994)的「數學理解成長的動態模型」，將理解過程細分為八個層次，分別是：起始知識、製造心像、擁有心像、注意性質、形式化、觀察、結構化、創造與發明。. 8.

(14) 第貳章文獻探討本研究是探討高一學生在「對數概念」的學習歷程中，其概念理解層次的變化情形。首先，當我們欲探討概念發展的過程時，我們要先了解何謂數學概念，因此第一節為「數學概念的探究」；除此之外，還有一個很重要的研究重點就是我們如何去理解數學概念，故第二節為「數學概念的理解」；最後則聚焦到與本研究相關單元的實徵性研究，而形成第三節「對數的相關實徵性研究」。. 第一節數學概念的探究本節共分四個部分，先了解何謂概念，以及大家對於概念所進行的分類，然後逐漸聚焦於數學「數學概念」，最後則是談論「對數概念」。一、何謂概念 Skemp (1987/1995, p.15)認為「概念」這個字眼雖然用得很廣泛，但不容易精確定義，而且直接去定義概念，並不是讓人對它有正確概念的好方法。因此 Skemp (1987/1995)藉由談論分類(classifying)以及歸檔(fitting)這兩種活動的連續性，用來說明概念：當我們將注意力集中於一組事物的某一個共同特性，暫時不去看它們的個別差異，我們會藉由分類的能力將具有相似性、共通性的經驗歸類在一起，若我們能更進一步地用已經分類的相似性、共通性來認知新經驗，這樣的心智活動過程就為抽象化(abstraction)，而「抽象」則泛指抽象化的結果與過程。為了區分起見，「抽象」改稱為「概念」。. ( Skemp, 1987/1995, p.18) 也就是說，Skemp (1987/1995, p.25)認為概念是人處理資料的依據，能夠讓我們把新情況套入舊經驗之中，找出共通性，進而做出適當反應。國內的學者張春興與林清山（1973）指出，概念是具有共同屬性(attributes) 的同類事物之總名稱。換言之，每個概念都有其屬性，如形狀、顏色、大小、輕重等，均可成為概念的屬性，屬性愈明顯，概念愈容易學習。陳忠志（2000）主張概念的屬性是指概念可辨認的特性，概念中的屬性越少，限制越少，其包含的範圍越大，其含意越抽象。總結來說，屬性對於概念學習非常重要，教師在進行教學時，必須注意到屬性間的關係。. 9.

(15) 二、概念的分類 Henderson(1970)則把概念分為具體概念(concrete concept)和抽象概念 (abstract concept)，其中具體概念是指具有物理上實質的例子，如代數書、幾何板、尺；而抽象概念為不具上述具有物理上實質的例子，如數學上會遇到的分數、複數、極限、多項式、機率等都是屬於抽象概念。而 Ghatala 與 Frayer（1972）所提出的 CLD 理論（概念學習與發展理論）認為「具體概念」可於學習前經過非正式的方式學習，而「抽象的概念」一般仍須經過正式的教學學習才可得到。 Vinner (1991) 將概念分為概念心像以及概念定義兩種，概念心像的意思是，當學生在學習概念時，他們就會建構自己所屬的概念心像，概念心像會跟著概念形成一起發展的，而這個概念心像卻往往是不完整的。隨著學習的深入，概念心像也越來越完整；而概念定義的意思是對原有概念進行重新組織和加工，有利於解答問題。值得注意的是，在進行某些概念的推理時，定義並不是活躍的因素，甚至可能被忽略掉。對於概念形成，概念心像的功用高過概念定義 (Vinner1991)。 Skemp (1987/1995，p. 22)把概念分成兩種概念，從肌肉、感官對外在世界經驗後先得到所謂的初級概念 (primary concept)，再由數個概念再繼續抽象化成為二級概念 (secondary concept)，許多的概念甚至還要經歷多次的抽樣才能形成。從上述想法可以看出 Skemp (1987/1995)認為概念是有階級之分，就如同 Klausmeier、Ghatala 與 Frayer（1974）將概念分成四個層級，分別描述如下： 1. 具體的層級（Concrete level）：學生可以認出稍早已經歷過的一個例子。 2. 辨識的層級（Identity level）：學生對於稍早學過的例子，即使經過時空轉換或以不同的形式出現，亦能認出。 3. 分類的層級（Classificatory level）：學生能分辨例子與非例。 4. 形式化層級（Formal level）：學生能敘述概念的定義。而 Sowder (1980) 在探討以上分層之後，認為應該要在分類的層級與形式化層級之間，新增生產的層級（Production level），意思是學生可以給出這個概念的任何例子或新的例子。. 10.

(16) Gray 與 Tall (1993) 提出過程概念（procept），所謂過程概念，則特別強調過程（process）、概念（concept）與符號（symbol）三者之間的關係，因而具有以下三種特質： 1. 雙重性（duality） 2. 模糊性（ambiguity 3. 彈性（flexibility） 3 3 3 例如，這個符號，既代表 3 除以 4 的過程，也代表分數的概念，因此 4 4 4. 這個符號是過程也是概念，這是所謂的「雙重性」。而. 3 這個符號也在過程與概 4. 念間游移，視人類如何看待它而定，則是所謂的「模糊性」。也就是說，具備了過程概念才能掌握符號所代表的意義。更具體的說，過程概念是一種以「彈性」的方法使過程意義化的能力，它能讓過程和概念在心中相互轉換，而二者之間沒有任何差別。. 三、數學概念田万海 (1992)提到就廣泛的數學概念意涵來看，認為內涵和外表是構成數學概念的兩個重要面向，而數學概念是揭示現實世界形式與數量關係本質屬性的思維形式。它的產生一般有兩種情形:一種是對客觀事物的空間形式或數量關係的反映而得到；另一種是在已有的數學基礎上，經過多次的抽象概括而形成。 Fischbein (1996) 認為數學概念是更為抽象，並且存在著階級之分。舉例來說，初級概念可直接由感官經驗得來，如三角形，但次級概念則要再多一階的抽象如圖形或數的進位。喻平，馬再鳴 (2002)試著從靜態角度去闡述個別數學概念的特性，認為數學概念具有抽象化、形式化、邏輯化和簡明化的特徵。 Skemp (1987/1995, p. 28；1989/1995, p. 50)特別指出，由於數學概念的抽象本質，使得數學學習出現了問題(但也是力量)，相較於其他科目，數學概念的問題就出在過於抽象和一般化。謝育博(2002)藉由整理有關數學概念的文獻之後，指出許多的數學概念都是由實際經驗所抽象化形成初級概念，再繼續抽象化成為次級概念，而這些經過多次抽象化的數學概念具有高度的濃縮性，因此數學概念變得很困難。. 11.

(17) Skemp (1987/1995, p. 69)指出，數學的力量當然是很大的，而符號是這個力量的主要來源，但如果沒有人教你符號的意義和用法，它也等於一堆廢物。並且 Skemp (1989/1995, p. 89)更精確地指出，數學的功能是建基於知識結構，而符號是顯現數學功能的工具。Kuchemann（1981）提到學生對文字符號是否了解是影響學生代數學習非常重要的因素，數學學習以建構一套符號系統來代表數學概念為重點，並以溝通和問題解決為目標。謝育博(2012)藉由探討與數學概念相關的研究後指出，由於數學概念本身就十分抽象，加上用符號表示，從而使概念更加抽象化，所以數學教師在數學概念教學中，必須重視對符號的說明、分析。因為符號只是代表數學概念的外在表徵，如果學生不了解符號的含義，就容易造成數學學習的混亂與迷失。總結來說，數學符號在學習數學概念的過程中相當重要，所以教師在教學中，符號的引入與說明時，就需要相當的謹慎與用心。. 四、對數概念及其發展史在 16 世紀末至 17 世紀初，航海事業及自然科學領域（特別是天文學）的發展上經常遇到大量精密而又龐大的數值計算，於是數學家們努力尋求化簡的計算方法。對數就是在這樣的歷史背景下產生的。而蘇格蘭業餘的數學家及天文學家納皮爾(John Napier，1550-1617)對數值的計算頗有研究，他所製造的 Napier’s Bones 計算器化簡了乘、除法運算，其原理就是以加、減來代替乘、除法運算，而他在經過二十幾年的苦心研究後，在 1614 年發表了對數及其性質。納皮爾出身貴族，為愛丁堡附近墨奇斯頓堡(Merchiston Castle)的第八代地主，未曾有過正式的職業。年輕時正值歐洲掀起宗教革命。在蘇格蘭轉向新教時，他也成了寫文章攻擊舊教（天主教）的急先鋒。當時傳出天主教的西班牙要派無敵艦隊來攻打，納皮爾就研究拏砲、裝甲馬車、潛水艇等兵器準備與其拚命。雖然納皮爾的兵器還沒製成英國已把無敵艦隊擊垮，他還是成了英雄人物。只不過使納皮爾留名青史的，正是對數的發明。然而，早在納皮爾之前，就有人注意到幾何數列的各項與這些項所對應的指數之間，存在一種簡單的關係。德國數學家史基弗里(Michael Stifel,1487-1567) 在他的《整數算數》中，把這個關係用幾何數列與等差數列進行比較，如表 2：. 12.

(18) 表 2 2 的乘方. 2 或○ 3 的乘除關係可以轉為數列○ 1 的加減關係。而且他還史基弗里發現數列○ 2 或○ 3 的乘方與開方關係也可以轉化為數列○ 1 的乘除關係。這便是對數發現數列○. 思想的萌芽。但是當時史基弗里僅僅發現這一性質而已，他並沒有根據此性質作進一步研究，更沒有編製出對數表來。如果我們把史基弗里所發現的性質用現在的對數符號來表示的話，就是 a . b . ab.  . . . l 2obg. 2. l o g2 a . l ao bg. 這可以說是最早、最原始的對數表。如表 3 表 3 想像中最早、最原始的對數表. 但因為它的間隔太大，有許多數無法在表中查到。而且人們在實作中發現，真正有使用價值的對數表一定要使真數 N 的間隔很密才行。因為在利用對數做乘法或除法運算時，不僅要從真數表中查出其相對應的對數來，而且還要將查到的對數經過加減運算後的和、差，然後再反查出它所對應的真數。因此一張真正的有使用價值的對數表，不僅要使其真數的間隔很密，而且連對數值的間隔也必須很密。只有這樣，不論是由真數查對數值，還是由對數值查真數，都. 13.

(19) 比較精準。英國的布里格斯( Henry Briggs) 在 1615 年前往愛丁堡造訪納皮爾，二人在這次會談中終於看清對數的本質，雙方同意「對數」在十進位計算中，以十為底的對數表最為方便，這就是常用對數了。可惜這時納皮爾年事已高，最後，布里格斯在 1624 年製作出常用對數表。對數能將乘除、乘方與開方轉化為加減、乘除，於是繁雜的計算可以大大的簡化，而這促進了生產技術與科學的發展。而對數、解析幾何與微積分更被人們視為 17 世紀數學領域裡最偉大的三大成就，義大利物理學家伽利略說:「給我空間，時間及對數，我可以創造一個宇宙!」。恩格斯稱「對數」方法是歷史上「最重要的數學方法之一。」。著名的天體力學專家拉普拉斯( Laplace， 1749-1827）更說：「納皮爾對數的發明，不僅是減少了天文學家的工作，而且是相當於倍增其壽命。(The invention of logarithms by shortening the labors doubled the life of the astronomer.)」。至於最早傳入中國的對數著作是《比例與對數》，它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656）和中國的薛鳳祚在 17 世紀中葉合編而成的。當時符號的表示法，在 lg2=0.3010 中，2 叫「真數」，0.3010 叫做「假數」，真數與假數對列成表，故稱對數表。中國清代的數學家戴煦（1805-1860）發展了多種的求對數的捷法，著有《對數簡法》（1845）、《續對數簡法》（1846）等。. 14.

(20) 第二節數學概念的理解本節從各種不同觀點探討關於數學概念的理解理論，以下我們分別介紹：「Skemp 的理解理論」、「Herscovics 的四面體模型」、「Sfard 的概念發展理論」，和「Piere 與 Kieren 的數學理解成長模型」。. 一、 Skemp 的理解理論 Skemp（1987/1995）認為「理解一件事情就是把這件事情同化入一個適當的心靈影像中」（p.44-45），也就是說，能將目標與現存的心靈影像連結，知道要怎麼做了就是理解了。他所認為的數學理解有下列三種： (一) 機械性理解(instrumental understanding) 這種理解是只要會運算正確答案就好，學生只是操作一些數學符號。換言之，即是能夠將硬背的公式、招數應用於特定問題，但不知背後原因。 (二) 因果性理解(relational understanding) 這種理解是要建立整體的概念結構，並通曉其中相互關連。新的概念透過教學同化到適當的基模中，概念結構又成長一點。即是知道數學概念的原因、原理，並能自行推理、推廣。 (三) 邏輯性理解(logical understanding) 這種理解是能夠熟練地以數學化符號、術語，搭配邏輯推理規則，進行形式化的數學概念證明或推演。邏輯式推理用到的基模，似乎是一群由敘述呈現的概念，而敘述之中均含有邏輯推論的過程。從 Skemp (1987/1995)的觀點來看，他認為：邏輯性理解在本質上與因果性理解並無太大差異。因此，嚴格上來說，數學的理解即可分為機械性理解與因果性理解兩類。機械性理解之下，認知個體所產生的知識是片段而沒有連結的。而因果性理解下的認知個體，各個概念間有ㄧ套完整而有結構的關係。. 15.

(21) 二、 Herscovics 的四面體模型 Herscovics (1979) 探討了有關學習概念的學習模式，他認為理解有四種模式，而提出四面體的模式( The Tetrahedral Model)，分別是： (一) 工具性理解（instrumental understanding）：能運用一個背熟的公式去解題，而沒有去知道這個公式是怎麼來的。 (二) 關係性理解（relational understanding）：能夠從普遍性的數學關係中去推演出具體、確切的規則或程序。 (三) 直覺性理解（Intuitive understanding）：不必事先分析題目，直接就能解題。 (四) 形式性理解（Formal understanding）：連結數學符號、代數和相關的數學想法，組合成為一系列的邏輯推理。 Herscovics (1979) 談到這四種理解的模式並非靜態存在，理解無法單靠其中的一種模式，而是隨著時間的改變，運用這四種不同的功能，達到學習的目的。所以，為了達到學習的效果，老師應致力於整合這四個模式的理解。然而，從 Skemp (1987/1995) 的理解理論和 Herscovics (1979) 的四面體模型來看，這兩種理論都只是描述理解的類型，無法描述學生學習過程中概念動態的轉變情形，也無法描述學生的概念成長。. 三、 Sfard 的概念發展理論 Sfard（1991）由歷史與心理學的觀點描述數學概念分兩種： (一) 操作性概念：數學概念可以被過程或行動所表徵。 (二) 結構性概念：數學概念可視為物件。她認為數學概念的理解對許多人來說，經常是先產生操作性概念，然後發展成一種可操弄，不須在涉及過程或行動的結構性的概念。然而從操作性概念轉換至抽象的結構性概念需要一段的歷程。Sfard（1991）將過程分為三層次：「內化」、「壓縮」、「物化」，這個發展過程一定要按照內化→壓縮→物化的順序進行。若某一層次尚未達成，即無法前進至下一個層次。而且，當一個概念達到物化時，這個概念又可以當做一個物件被操作，再次經過內化→壓縮→物化等過程，形成一個更高階的概念，如此概念得以不斷發展，如圖 2 所示：. 16.

(22) 圖 2. Sfard 的概念發展過程：內化、壓縮與物化. 由 Sfard (1991)的理論可以看出理解並不是單一的分類，而是要端看其所處的情境，即依學生的年級程度而定，例如在國中的時候，學生的學習目標在於會操作簡單的代數運算，只要達到這個目標就是處於高層級。但在高中會操作簡單的代數運算算是基本要求，也就是基礎，這對學生而言，又是另一個新的循環的開始。因此，對於一個數學物件的產生，它可視為是一個學習活動的終極目標，但也可能是另一個活動的基本認知。. 四、 Piere 與 Kieren 的數學理解成長模型數學理解成長模型對於解釋個案學生學習時的表現是很好的依據，讓研究者能對學生的理解層次做更細微的判定，並細部地觀察學生在理解數學概念的移動過程，以了解學生的概念發展狀況。而 Piere 與 Kieren (1994，p. 172-175)提出的數學理解成長之動態理論有三個特徵（feature）： (一) 不需要的界線(Don’t need bounded) 雖然此模型的理解層次是一層層內嵌的形式，但學習者不需要一再地察覺或受限於內層的理解，學習者來回穿梭於各層次時，不需受限於層次的次序，對於已經擁有的內層理解層次，可以自由的召喚。強調有些理解層次之間的界線不是必要的，Pirie 與 Kieren (1989, 1992, 1994)用粗線來讓讀者注意到有三條界線是相對模糊不清、比較不容易區分的，分別是製造心像與擁有心像的界線、注意性質與形式化的界線、觀察與結構化的界線。. 17.

(23) (二) 來回穿梭(fold back) 理解過程中，為了延伸到更高階的理解層次，他可能會先折返，再次組織(重建)先前的理解。學生這種主動折返內層的心智活動，主要是受到外層理解的影響，並不等同於原先的內層活動，而且理解並非全有或全無，每個學習者來回穿梭的頻率和方式各有不同。. (三) 行動與陳述互補學習者展現的「行動」，包含心智與實際的活動，而「陳述」，是以某種形式的表徵方式，對他人或學習者解釋。不同層次的「陳述」具有不同的實質意義。學習者利用兩種互補的方式促使理解的成長。另外，以上 Piere 與 Kieren (1992)在數學理解成長的動態理論中都是由學習者的觀點來解釋，但他們也提到，從教師的觀點，有三種型態的介入(intervention) 對於學習者的數學理解成長是重要的： (一) 確認的介入（validating）是一種藉由利用代數式、口語、符號化、或圖形等方式，使學生的概念在當下層次理解更加穩固。 (二) 拉回的介入（invocative）是讓學習者回到內部的層次，用意是讓學生知道他有必要回到內層的理解去收集資料，之後才能繼續外層的理解。 (三) 推前的介入（provocative）試圖延伸學生的理解到外層的提問。從 Pirie 與 Kieren (1992)所提出關於教師影響學習者的數學理解成長之介入型態來看，確認的介入目的在於讓學習者展現他身處何處以及他為何如此思考，以提供教師確認學習者的先備知識，而且也可做為教師教學引導的開始。由於概念理解並非單調直線的進行，單一次的學習可能無法構造完整的概念，因此，學生在學習歷程中應多接觸該概念不同類型的問題，促進折返、澄清與整合後再向外推展的動態成長歷程。在學生學習的過程中，教師應了解折返現象可能是深層理解的前兆，若能適時搭設鷹架輔助，或許可以協助學生達到更外面的理解層次。而 Pirie 與 Kieren (1989, 1992, 1994) 和 Sfard (1991)的理論都可以看出理解並不是單一的分類，應該要由學習者所處的情境來判斷。但是，Pirie 與 Kieren 18.

(24) (1989, 1992, 1994) 與 Sfard (1991) 最大的不同點在於，Pirie 與 Kieren (1989, 1992, 1994)認為概念發展是非線性的，而且其層次的發展不一定要低階發展完才能往前發展高階的概念，是屬於動態非線性的成長理論。而且，研究者認為 Pirie 與 Kieren (1989, 1992, 1994)將概念發展的層次細分成八個，更適合用來描述學生在短時間內學習數學概念層次改變的情形，所以，研究者選擇以 Pirie 與 Kieren (1989, 1992, 1994)的理論當作本研究的理論依據。接下來將由實徵研究中探討學生實際學習對數的情形。. 19.

(25) 第三節對數之實徵性研究二十世紀以後，在數學教育中也開始強調對數的重要，如 Haper (1942)強調中學教師應注重對數的教學。Thomas (1974)指出隨著電腦與電算器的出現，對數在學校課程中的角色改變。所以關於對數的概念及對數的教學也開始有了相關的研究。國外方面，Hammack 與 Lyons (1995)提到如何用簡易的方法教「對數」，他們是利用指數函數與對數函數互為反函數的關係，所以由指數的運算求出對數值。這和研究者在本研究中的教學，盡量由指數概念及指數律來引導學生求出對數式的方式一樣。 Weber (2002a)指出指數函數與對數函數在數學概念的重要，由分析學生在指、對數的概念得知，學生對於簡易指數的計算可以輕易的完成，但卻無法說出計算過程的理由，所以他利用先給學生做求值運算的練習，待學生學會了求值運算之後，再由所設計的問題如：描述出這些符號及運算的意義，待學生能正確答出後再進行下一個概念，如此學生的指數及對數的概念學習，可以得到較好的成效。Weber (2002b)更進一步地，以大學學生為研究對象，他先引導一組學生做課前的準備，如利用電腦程式設計指數函數的求值，及指數的運算，學生為寫出合宜的程式須先了解指數概念，而對數的部分則讓學生利用上課講義，讓學生找出對數與指數的對應關係，並要求他們去描述出。結果發現，對照於另一組只用傳統教學法的學生，學生在計算上並無太大的差異，但對於指、對數的概念的了解，明顯比較好。國內方面，陳建蒼(2001)在研究高中學生對數之概念、運算、圖形另有概念的類型有從以上對數的實徵性研究中，可以發現以往研究者並未對學生學習對數概念的層次發展加以探討，因此本研究先參考以上學生可能發生的錯誤類型，再進一步地探討，老師的教學如何促進學生學習對數概念時的理解發展。劉怡蘭（2001）在以高雄地區的高二、三中學生為研究對象，經由實徵性研究後發現，高中學生在學習對數運算單元常見的錯誤類型有以下五項：. 20.

(26) (一) 對數基本定義及符號使用錯誤 (二) 指數運算錯誤 (三) 對數基本性質錯誤 (四) 忽略對數符號或底數 (五) 未運算完成 (六) 其他錯誤類型周淑梅（2002）研究中指出，當對數題目以無理數為底時、真數與底數的關係為分數次方、或題目形式明顯與規則相似時，尚記得定義的高二學生，較易發生不用定義改用規則解題的情形。而大多數高二學生認為：對數的符號、想法不容易理解、學習。運算規則容易背錯或使用混淆，即使已背熟規則也無法順利解題。廖純如（2012）的研究，詳列了學生的錯誤類型，分析學生錯誤的原因並進行對數概念的補救教學，讓我們對於學生學習對數概念可能犯錯的地方有更清楚的了解。以上的研究主要是利用二階段試題來蒐集並闡述對數的相關錯誤類型，以及如何進行對數概念補救教學的相關研究(陳建蒼，2001；劉怡蘭，2001；周淑梅， 2002；廖純如，2012)，但並無涉及到學生是如何學習和掌握對數概念，因此本研究希望利用個案學習時的數學理解成長的動態模型圖來分析他們對於對數概念的理解情況。. 21.

(27) 22.

(28) 第參章研究方法本章共有四節，第一節說明本研究的研究過程與步驟，第二節介紹研究對象，第三節介紹研究工具，第四節說明本研究的限制。. 第一節研究過程與步驟本研究為「個案研究」。目的為探討四位高一學生最初始學習對數概念的理解層次的發展情形。因此研究的實施過程分為三階段，包含研究準備期、研究執行期、研究完成期，流程如下：. 擬定研究主題和理論依據. 研究準備期 (2011.06~2011.10). 編製研究工具(層次對照). 文獻探討. 確認研究對象與研究方法. 研究執行期 (2011.10~2011.12). 教學介入與觀察. 分析資料與探討研究問題. 撰寫研究結論與提出建議. 研究資料分析期 (2011.12~2013.06). 圖 3 研究過程流程圖. 23.

(29) 一、研究準備期 1. 擬定研究主題和理論依據：尋找與閱讀文獻，並和指導教授討論研究的方向，以確定本研究的研究主題所採用的理論依據。 2. 編製研究工具：研究者與指導教授數次討論後，開始著手設計對數概念應用於數學理解成長理論的「層次對照表」、「教案」、「對數概念上課講義」，並由研究團隊共同檢查修正。 3. 找尋適合之研究對象：與研究對象就讀的學校聯絡，尋求學校的同意與支援，並在研究執行前多次與研究對象的班級導師洽談，以求對個案有更深入的了解。. 二、研究執行期 1. 進行指數教學與確定個案：研究者與同事及其學生協商後，於2011年10月開始的放學時間先進入其班級，統一為有意願參與研究的學生進行六節課的指數單元教學，以補足學生在學習對數之前所應具備的完整先備知識。學生的學習過程都有用錄影機紀錄下來，研究者也經由行間巡視觀察每個學生的學習狀況，讓個案學生適應被觀察，而能於正式研究期間觀察出他們最真實的表現行為。六節課的指數單元結束後，根據研究者的觀察、學生的意願以及導師的建議下，選出高（H1、H2）、低程度(L1、L2)各兩位學生，總共四位個案。 2. 進行對數概念的教學與觀察：由於大班教學不易觀察與紀錄學生細微的行為特徵，因此本研究欲藉由一對一的個案教學模式，深入探討高一學生學習「對數概念」的理解層次變化情形。實施對數概念的教學為2011年11月的課餘時間(放學或假日)。研究者針對六位個案學生分別進行四節課的對數概念的教學，整個活動的過程都用數位錄影機、照相機、錄音機記錄。錄影時，鏡頭的焦點主要在學生的表情及其所寫下的任何細節（如口述、寫下、畫圖、動作、肢體及表. 24.

(30) 情等），練習的過程中，也注意學生所寫或所說的任何蛛絲馬跡，不清楚時即追問「你剛剛是怎麼做的?」或「為什麼會想要這樣做?」。若學生正在思考，則等待片刻再追問，以免打斷或扭曲他的思考。事後將每位學生的每一節上課流程轉譯成文字稿，並以一般語言逐條敘述的方式呈現。. 三、研究資料分析期 1. 分析資料與探討研究問題：將學生的上課講義、教學時所拍攝畫面、錄音都轉譯逐字稿之後，則進入本研究分析教學與學生數學理解層次的階段。此時以 Pirie 與 Kieren (1989, 1992, 1994)所提出「數學理解成長的動態理論」作為分析的參考依據，將原案的各條敘述，歸類到此理解模型的八個層次。 2. 撰寫研究結論與提出建議：根據探討的結果回答研究問題，並對教學及後續的研究提出建議，以提供老師教學之參考。. 25.

(31) 第二節研究對象一、研究對象的挑選不同於量化研究，質性研究選取樣本的主要考量因素為樣本能否為研究主題提供豐富且切題的資訊，故通常會採用立意取樣（王文科，1995；吳芝儀、李奉儒，1995）。因此本研究也採用立意抽樣的方式選擇新北市立某高中一年級常態班的四位學生，作為本研究的研究對象。研究的時間點選在高一課程尚未進入指對數單元之前，且為避免學生因補習所產生的超前學習，研究前均先確認過，有補習的個案學生皆尚未學習指對數的單元。研究者於第一次月考後的放學時間，先對有意願參與研究的學生統一進行六堂指數單元的教學，再參考第一次月考的數學成績、上課的參與度、導師的建議和以下的考量標準來選出四位合適個案進行「對數概念」的教學： 1.. 研究對象在他所屬的班級中，學習態度必須積極且自願參與學習，如此較能從研究對象身上看到較多概念發展層次的出現。. 2.. 研究對象必須口齒清晰且樂於溝通，如此在做教學互動時才能獲得較多且正確的訊息，而有助於研究分析與判斷。. 二、研究對象描述研究對象的學校為新北市立某高中，學生程度中等，100 學年入學的 PR 值約 65~80。以下為每個研究對象的描述： 1.. H1 高程度(男)：兩次段考成績為 88、92 分。安靜沉穩，對於老師提出的問題都能不疾不徐的回答，上課時間為 2011 年的 10/31(1 節)、11/01(1 節)、11/02(1 節)、11/03(1 節)共四節課。. 2.. H2 高程度(女)：兩次段考成績為 86、83 分。管樂隊成員之一。個性內向，上課較安靜。上課時間為 2011 年的 11/12(1 節)、11/13(1.5 節)、12/06(1.5 節)共四節課。. 3.. L1 低程度(男)：兩次段考成績皆為 55 分。上課認真、學習態度積極，會對老師的提問迅速做出回應。上課時間為 2011 年的 11/05(2 節)、11/06(2 節)共四節課。 26.

(32) 4.. L2 低程度(女)：兩次段考成績為 52、54 分。管樂隊成員之一。對數學常有莫名的焦慮，看到題目比較無法自行解讀題意，口語表達能力很不錯。上課時間為 2011 年的 11/13(1 節)、11/14(1.5 節)、12/07(1.5 節)共四節課。. 本研究希望探討學生首次學習對數概念時的數學理解成長情形，也就是說，必須在學校上指對數單元之前進行研究，因此研究者於十月底、十一月初的課後時間，先統一進行指數概念與指數函數的小班教學，並從中選出四位自願的學生做為研究個案。H1、L1 這兩位個案都於十一月底、第二次段考以前完成對數概念的學習，其中 H2 和 L2 是學校的管樂隊成員，研究期間遇到管樂練習與比賽，因此於管樂比賽結束、第二次段考後、學校教學之前，再繼續對 H2 和 L2 進行對數單元的教學，為避免因為中斷太久，研究者在對數教學前都有先為其複習指數內容。此外，研究期間皆以錄音和錄影的方式將四位個案的學習過程記錄下來，再於事後將錄影內容逐一轉成逐字稿，以便資料分析。. 27.

(33) 第三節研究工具本研究基於研究目的、研究限制及時間、人力的考慮下，以個案研究的方式進行一對一教學。為能確實探討高一學生對數概念的發展情形，利用下面幾項工具來蒐集相關的資料，茲將內容說明如下：. 一、研究者研究者在質性研究中扮演主要的研究工具之一（Patton, 2002a /吳芝儀、李奉儒譯，2008）。除了觀察、紀錄個案的言行舉止之外，研究者還須適時的以非指導性用語，例如「你是怎麼知道的？」、「能解釋詳細一點嗎？」、「能實際操作、畫圖或用其他方式說明嗎？」、「還有其他想法或解法嗎？」，以深入澄清個案的想法。研究者畢業於師範大學數學系，有三年的高中教學經驗。由於高中數學越來越抽象化，所以如何將課程內容具體化，一直是研究者的首要教學想法，除此之外，應該要多讓學生去進行思考，給予他們主動思考的學習機會，可以有助於學生完善自己的數學概念以及想法。而個人在本研究中的進行角色為：(1)研究者：持續進行研究。 (2)教學活動發展者：設計教案與安排教學活動。(3)教學者：以提問、一對一討論的方式來進行教學。 (4)觀察者與資料蒐集者：以錄影方式蒐集學生課堂表現、動作，以及學習過程中的所有相關書面資料。. 二、錄影資料及其他相關書面資料研究者於事前先取得個案的同意，在教學過程中進行錄音、錄影，隨後立即將影音資料轉譯成逐字稿，以利事後分析個案的概念發展情形。本研究所蒐集的相關書面資料還有：個案的上課講義、回家作業、課堂中所有計算練習過程的紙稿，以及研究者的筆記，其為教學過程中觀察個案當下的反應所做的簡短記錄，如：態度是肯定或是猶豫、是立即反應還是思索良久、答案是否搖擺不定…等。. 三、對數概念的教案與上課講義對數概念的四節課教案與上課講義內容主要是研究者根據自己的教學. 28.

(34) 經驗、參考龍騰版教師手冊、龍騰版第一冊課本、毛起來說 e (Maor, 1993/2007)、自然對數漫談(宋秉信，1999)、和廖純如(2012)的補救教學之教案，並與教授及多位數學教師組成的研究團隊進行討論、評估及修正所編製出，以確保教學活動之可行性。根據研究者的教學經驗，如果學生只是聽課而沒有動手寫，專注力將無法持久，因此事先自編將上課講義的重要概念挖空，計算過程則留白讓學生自行填寫。另外，此上課講義的特點還有： (一) 強調對數定義的概念：許多老師認為此單元只需要稍加帶過學生就可以明白，但根據自己的教學經驗以及許多國內研究結果與顯示，學生在此部分其實很容易產生錯誤，無論是讀法、符號表徵、底數的限制、真數的限制，都有極多的錯誤類型，因此，這部分的每一個細節，在此都逐一討論並加強學生觀念的思考。. (二) 以指數的先備知識為基準來推導對數的運算性質：由於國中已學過簡易的指數、指數律，對於指數有較高的熟悉度，因此由指數著手，加上對數的定義慢慢推導每一個運算性質，以加強指數與對數之間的連結。四、對數概念的教學活動教學活動分成四節課進行，高、低程度學生各兩位，以一對一模式上課，由於此教學內容未在學生當時的段考範圍，擔心學生疏於練習，因此課堂前後會預留部分時間讓學生寫指派的作業。詳細的對數概念之教案請參考附錄二，而以下則簡述本研究中四節「對數概念」的活動設計理念與教學目標：. (一) 第一節課：對數的定義藉由回顧指數的題目，得知指數方程式中，確實有表示困難的情況發生，因此引入對數符號「log」，指出對數符號是為了方便表示實數指數而建立的。並且藉由實數指數轉換成對數式，讓學生了解對數式的底數、真數及對數值在對數式中所代表的意義，並且能夠用正確的讀法來表示對數符號「 log a b 」。 29.

(35) 教學目標：能了解對數的必要性及新符號「log」的由來。能正確的表示出指數與對數的轉換。能了解底數大於 0 且底數不等於 1 之限制的由來。能了解真數大於 0 之限制的由來。能正確讀出記號「 log a b 」是「以 a 為底， b 的對數」。能了解「 log a b 」是代表某一實數。 (二) 第二節課：對數律先讓學生依序說出正確的指數律，再舉數字例讓學生思考，猜測到對數的三個運算性質「 log a r  log a s  log a  rs  」、. r 「 log a r  log a s  log a   」、「o gl s. a. r so gl s. a. r 」後，再對此三個對數律. 進行證明，並舉例講解、學生隨堂練習。教學目標：能明白對數律的原因，並利用 log a r  log a s  log a  rs  做出正確的計算。. r 能明白對數律的原因，並利用 log a r  log a s  log a   做出正確的計算。 s 能明白對數律的原因，並利用 log a r s  s log a r 做出正確的計算。. (三) 第三節課：換底公式先拋問，讓學生思考如何求 log125 25 的對數值，當學生無法做出回應時，研究者用提示的方式，提醒學生可以先令所求為 x ，再換回指數式求答案。接著，繼續引導學生去發現底數與真數都跟質數 5 有關，可以先得到指數式 53 = 125 、 52 = 25 ，並利用對應式子 3 = log5 125 、. 2 = log5 25 ，去推測此式的合理性（ log125 25 = 學生所熟悉的指數律來證明換底公式 log a b  教學目標：能利用換底公式 log a b . 2 log5 25 ），最後再用 = 3 log5 125. log c b ，接著舉例說明。 log c a. log c b 做出正確的計算。 log c a 30.

(36) (四) 第四節課：對數概念的複習與應用再次強調對數符號「 log a b 」代表一常數，是個整體，不可以拆開。接著利用範例加強對數運算性質的熟練度，並舉出對數在其他領域的應用。教學目標：能根據不同題目找出適當的對數運算公式並做出正確的計算。知道「 log a 」是整個對數記號的局部，不可視為文字符號來約分。. 五、對數概念的理解層次對照表：研究者依據 Pirie 與 Kieren (1989, 1992, 1994)在其「數學理解成長的動態理論」中，提出的各層次特徵來編訂此研究所需的對數概念的層次對照表，以界定個案學生學習期間所處的層次。下表 4 為各層次的特徵與對數概念的詳細對照內容：. 表 4 各層次的特徵與對數概念的詳細對照內容層次名稱特徵「對數概念」理解層次對應學習者在理解成長模型中的表現特徵 3 1 起始知識 1.觀察者假設當 x 4 3 4 1. 能把指數式與根式作正確互換，如。 a 2  2 (primitive 學生要開始新 knowing) 的課題時，其 2. 有正確操作指數律，並能解釋三個指數律的理由。 x 腦海中已擁有 3. 當底數 a  0 ，能說出 a 算出來一定是大於 0 的實數，並正確畫出指數函數的圖形。的東西。 2.針對特定數學 4. 能正確解出指數方程式。主題理解發展的起點，也就是所謂的先備知識。 2 製造心像學生透過一連串 1.面對實數指數式 2 x  3, 時，能利用畫圖或口頭解釋 x 是 (image 獨特的、指引的唯一存在。 making) 活動或問題，發 2.學生認同 x  log 3 的對數式表示法及其讀法，也可以歸 2 展出與起始知識納出 log 就是用來表示未知指數的符號。不同的心像。 3.學生能將個別的指數式轉換成對數式，並熟悉對數式的表示法。 3 擁有心像學生不需要實際 1. 能正確說出 log a b 是「以 a 為底 b 的對數」。 (image 操作即能進行回 2. 能看出或寫出 log 1  0 、 log a  1 (任意的 a  0, a  1 ) a a having) 顧，並察覺某些 3. 指數式與對數式的互換已經相當清楚與熟練，不需要寫概念的規律出指數式也能直接算出對數式的答案。如：. 31.

(37) (patten)。以內在形式取代一連串的活動。 4 注意性質 (property noticing). 5 形式化 (formalizing). 6 觀察 (observing). 7 結構化 (structuring). 8 創造發明 (inventing). 1 1 1 1  3 、 log 2 3 2  、 log 2 3   3 8 3 2 log 2 1  0 ， log 2 8  x 、 log3 x  1 、 log x 5  1. log 2 8  3 、 log 2. 學生能以特定的性質檢驗心像，注意心像之間的區別、組合與連結，同時具有紀錄及預測此類關係的能力。. 1.能明確指出對數式有意義的前提是 a  0 ，且 a  1 。如：面對 log ( 3) 2 、 log1 3 、 log3 (2) 皆能指出這些符號. 學生能有意識的思考顯著性質，從眾多「心像」中抽象出共同的性質或方法。學生能夠觀察自己的形式化思考，組織與比較這些觀察的結果。. 1.能從眾多的例子關注到 log a b 的表示法可以代表正數、負數、分數、無理數，抽象出 log a b 本身就是一個實數。. 學生能夠正確且條理清楚地解釋前述觀察的結果，能夠意識到自己的基本假設與觀察結果，邏輯化的建立相互之間的關係。學生在這個階段擁有完整結構的理解，能夠自由與想像的穿梭各個層次，創造新的問題或衍生新的概念。. 無意義的原因是因為不符合前提，並說出理由。 2.能說出當底數 a  0 ，真數 b 一定大於 0。 ( log a b  c  ac  b  0 ) 3.學生能有意識的檢驗每個對數式的限制。. 2. 能從眾多的例子，歸納得到ㄧ系列的對數運算性質。 1.能隨著老師的引導，組織自己的回答，並關注到對數的運算性質、換底公式都是由指數律推導過來的 2.面對繁雜的乘、除、次方及開方問題，能用”取 log”的方式，化乘除為加減。 3.能應用自己關注到的對數性質正確求對數值或化繁為簡的算式。 1. 能正確求對數值或化繁為簡的算式且條理清楚地用指數律解釋前述觀察的結果(可獨立寫出或說明對數律的證明過程)。 2. 能由看似不相關的表格，經由取 log 發現之間的關係式(可以用對數建立數學模型). 能從不同以往的角度去發展對數的其他概念，譬如在老師還未教予對數函數的概念之前，就能自行想像對數函數的特性和圖形。. 32.

(38) 六、對數概念的理解層次圖：由於此研究目的主要是了解學生的對數概念發展歷程，因此依據 Pirie 與 Kieren (1989, 1992, 1994)的數學理解動態模型對各層次的描述來製作對數概念的層次對照表並畫出「對數概念發展的路線圖」。「概念發展路線圖」包括兩個向度，橫軸是採取本研究理論依據中有關「對數概念」的八個層次，由左而佑依序是：起始知識（Primitive Knowing，簡記為 1.PK）、製造心像(Image Making，簡記為 2.IM)、形成心像(Image Having，簡記為 3.IH)、注意性質(Property noticing，簡記為 4.PK)、形式化(Formalizing，簡記為 5.F)、觀察(Observing，簡記為 6.O)、結構化(Structuring，簡記為 7.S)和創造發明(Inventizing，簡記為 8.IN)。縱軸由上而下則是教學過程的時間順序。圖中我們用「＋」表示個案於該教學進行順序時所處的層次，用「○」表示研究者意圖所在的層次，並以實線和虛線分別代表個案與研究者概念轉變之移動路徑。為了要確切地表達個案的概念在層次間究竟是如何移動，研究者會於原案分析中呈現個案每節課的概念發展路線圖，並分段說明。先將逐字稿進行分段，再由研究者與協同分析者 R2 分別進行層次分析，最後進行比對、討論而達成一致性的結論。一. 1.PK. 1. 2.. ⊕ ＋. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 圖 4. 2.IM. 3.IH. 4.PN. 5.F. 6.O. 7.S. 8.IN. ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ＋ ○ ＋ ⊕. ＋ ⊕. ○ ⊕. 概念發展路線圖. 33.

(39) 第四節資料蒐集與分析方法一、資料來源個案研究是採用各種方法蒐集有效的完整資料，對單一的個人或社會單位作縝密而深入的研究（郭生玉， 2002 )。因此研究者在研究歷程中參照文獻、教室觀察、文件蒐集（上課講義、現場筆記和學校的段考考卷 )、拍攝錄影…等，希望能夠透過多方面的資料，從不同面向彌補單一方法的缺陷，以顯現出研究現場的本質。本研究於實驗教學、整理資料、撰寫論文三個階段的期間內，皆致力於進行蒐集資料、資料分析與撰寫報告的工作，反覆進行直到論文發表。. 二、資料分析 (一) 統整口語資料：將每節課的師生對話依照時間順序打成逐字稿，並搭配上課的計算紙、上課講義以及研究者的筆記等書面資料，加以搭配、剪輯及統整。 (二) 標上學生理解層次：根據「對數概念理解層次對照表」加以分析與編碼。 (三) 分析及統整學生的數學理解層次：依據原案分析資料的層次編碼，畫出每位學生每節課的對數概念發展的路線圖。. 三、可信性(credibility)：質性分析的嚴謹性取決於研究者的洞察力與概念化能力，而分析的過程也易讓人猜疑分析者是否是依據先前的理解和偏見形成推論，又研究者的訓練、經驗、自我呈現等是否足以對事實詳實的描述，這些皆為阻撓研究可信性的阻礙（Patton, 2002 / 2008）。因此，本研究為了降低個人的主觀對資料詮釋所產生的偏失，研究者將所轉錄的原案內容以電子郵件分別寄給個案學生們檢視，確認原案並無誤解或扭曲實際情形；為確保能持續蒐集資料，研究者與研究對象維持良好的關係。此外，資料分析初期，也先請另外一位數學教育組的研究生幫忙做「對數概念發展層次對照表」的信度分析，先向對方解釋各層次的特徵，兩人達成共識後，再請他對個案學生 H1 的第一節課進行層次界定與歸類，並多次向指導教授請教與適度調整層次內容，藉由以上等方法來提升本研究的可信性。. 34.

(40) 第五節研究限制一、研究對象的限制本研究須親自進行個案教學，也必須隨時分別與個案溝通、協調上課時間與地點，因此無法將研究樣本擴大及考慮區域差異等因素，僅以新北市某公立高中之四位自願的一年級學生作為研究個案，而本研究結果也僅說明個案的表現情形，無法推廣至所有的高中生。. 二、學習內容的限制本研究盡力對所蒐集的資料進行分析，研究結論也是根據本研究設定之對數概念進行探討，與個案學習其他數學內容的概念成長情形不一定相符。. 三、理解層次的判定本研究利用一對一教學，藉由觀察個案的外顯行為來判斷其所在層次。錄影時，鏡頭的焦點主要在個案寫所下的任何細節及其表情（如口述、寫下、畫圖、動作、肢體及表情等），不清楚時即追問「你剛剛是怎麼做的?」或「為什麼會想要這樣做?」。但我們都是觀察學生的外顯行為，並且以研究者的主觀意識加以詮釋，所以可能會與個案內心真正想法不一定相符合。. 四、詮釋資料之主觀因素由於本研究由教學過程對話、互動行為等資料內容進行深入分析，難免因個人詮釋角度不同及主觀因素造成不同分析結果之呈現。但研究者仍盡量依據文句所述，與指導教授進行討論，以呈現較為客觀之研究結果。. 35.

(41) 36.

(42) 第肆章研究結果之分析與探討本研究為探討學生學習對數的概念發展情形，根據 Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994)在其「數學理解成長的動態理論」中提出的各層次特徵(請參考表 1)來界定學生的層次，分別畫出四位個案(H1、H2、L1、L2)在四節課的對數概念發展路線圖，進而探討教學進行中，研究者的教學介入與學生的對數概念在各層次發展或折回的影響。. 第一節原案分析，以 H1 為例本節主要是將個案 H1、H2、L1、L2 共四位學生的學習歷程，以 Pirie & Kieren (1989, 1992, 1994)在其「數學理解成長的動態理論」中所提出的各層次特徵進行分析，並於每一節課的說明之後附上「對數概念發展的歷程圖」，其包括兩個向度，橫軸是採取本研究理論依據中有關「對數概念」的八個層次，由左至右依序是：起始知識（Primitive Knowing，簡記為 1.PK）、製造心像(Image Making，簡記為 2.IM)、形成心像(Image Having，簡記為 3.IH)、注意性質(Property noticing，簡記為 4.PK)、形式化(Formalizing，簡記為 5.F)、觀察(Observing，簡記為 6.O)、結構化(Structuring，簡記為 7.S)和創造發明(Inventizing，簡記為 8.IN)；縱軸則是依教師的教學序列來做編號。圖中我們用「○」表示教師的教學行為，若教師預期將個案的理解層次推前至層次二，就在層次二的地方做「○」的記號，圖形和原案分析的時間序都是以「○」做分段，並以「＋」表示個案所處的層次，若所觀察到學生的行為表現可以界定在層次三，就在層次三的地方做「＋」的記號。以圖 5 來做說明，圖中有四個「○」，第一個「○」代表教師預期學生到達層次一，而學生也真的表現出層次一的行為，因此以「＋」做代表。第二個「○」代表教師預期學生到達層次二，而學生為了進展到層次二，能先主動折回層次一，然後再到達層次二，因此以兩個「＋」的記號分別標記學生所經歷的層次，所以，若一個「○」對應到多個「＋」，則代表學生出現主動的行為。. 37.

(43) 圖 5 概念發展路線圖的說明所以，本研究的原案分析在每個段落都會交代三件事情：教師的意圖、教學引導方式以及個案的理解層次。內文的中括號是用來代表教師的意圖，如：「[2.IM]，即表示教師的意圖是希望將個案引導到層次二的製造心像(2.IM)」；而內文的小括號則用來代表學生當下的理解層次，如：「(3.IH)，即代表個案的行為表現被研究者界定為層次三的擁有心像(3.IH)」。最後，圖形的呈現中，再以虛線表示教師的意圖、以實線表示個案的理解路徑，成為整節課的對數概念理解路線圖。以下將以 H1 為例，針對其「對數概念」的四節課表現作原案分析。. 38.

(44) 一、H1 的第一節課共可分成 13 個部份： 1. 課堂一開始，教師要檢驗 H1 是否有足夠的指數概念，所以先帶著 H1 複習舊有的指數概念[1.PK]。教師先寫出指數記號，請 H1 說明此記號的意義，並回想關於指數單元學過哪些內容。 H1 能說出：「解方程式吧!同底則指數相同」，也能用描點法畫出指數函數的圖形(1.PK)。教師再根據 H1 所回答內容繼續追問或補充，如指數定義、指數函數的圖形特色以及底數限制的原因等，藉由問答讓 H1 的先備知識更加穩固，並為新的對數概念做準備。 2. 教師確認 H1 在指數單元有足夠的先備知識後，想要進一步引出和先前指數單元有所不同的對數問題，目的是希望帶著 H1 製造對數概念的心像[2.IM]。因此，教師先以指數單元的「海藻蔓延」活動作銜接，要 H1 回憶、列表並畫出圖形，然後再用簡單的數字例子 2 x  8 ，讓 H1 算出 x 就是 3 以後，接著，改變其中一個數字使題目變成 2 x  3 ，利用類似但新的問題來引起其學習動機，並詢問 H1：「2 的幾次方等於 3？」希望藉由此關鍵問題讓他去思考此 x 值的存在性與唯一性。 H1 回答：「應該可以算…只是現在算不出來」，並繼續說：「2 的 1 次方 2，2 的 2 次方是 4，3 比 4 小，所以 x 也要比 2 小(1.PK)。…所以它一定存在，而且只有一個(2.IM)」。表示 H1 能用目前他擁有的指數知識來回答. 所面對的問題。 3. 接著，教師透過提問讓 H1 開始思考，該用什麼新符號來代表未知的指數，目的是要讓他開始製造關於對數概念的心像[2.IM]。教師逐一介紹對數符號的各元素名稱，如：「對數」、「底數」、「真數」、「以 a 為底 b 的對數」等。在介紹對數符號的過程中，研究者也不斷提醒 H1，底數一定要寫小、寫低，真數則和 log 平行，強調： 1 對數符號的底數，也是原本指數式的底數； ○ 2 對數符號的真數，為原本指數式的值； ○ 3 整個對數符號，則用來代表原本的未知指數。 ○. 39.