問題表徵之探究

第二章 文獻探討

本章主要探討問題表徵與分數應用問題解題之理論基礎及其相關研究。內容 分成三節，第一節為問題表徵之探究，第二節為分數應用問題之探討，第三節為 文字表徵與線段圖表徵相關研究。

第一節 問題表徵之探究

壹、 表徵的意義

張春興（1994）提到 Bruner 將人透過知覺把外在事物轉化成內在心理事件的 過程，稱之為知識表徵，人經由此過程獲得知識。黃芳玉、楊德清（2002）指出 數學表徵為內在數學思考的過程與外在數學形式的呈現。陳霈頡、楊德清（2005）

提及表徵可呈現數學概念與思維，並將數學概念外在具體化。蔣治邦（1994）則 提出表徵是透過某種型式，讓人們得以重新表現事物或想法，當解題者能確實掌 握表徵所呈現的意義後，表徵還可進身為運思的材料，表徵可說是溝通與解題的 工具，它可以是任何一種型式，不僅可用來與他人溝通，也可以與自己溝通；它 不僅可以記錄自己的數學活動，亦可以做為解題時的溝通工具，表徵與解題能力 的關係密不可分。由此可知，表徵在數學解題中扮演極重要的角色，幫助解題者 將外在事物或數學情境轉換成自身可以理解的型式，並將其具體呈現在外，表徵 亦可作為數學概念溝通和解題的工具。表徵對於學生的數學解題表現有很大的影 響（劉祥通，2007）。

貳、 表徵的功能

Bruner 從運思的觀點將被運思的材料，也就是表徵，分成以下三種（引自蔣 治邦，1994）：第一種為動作表徵，個體透過接收到刺激後所產生的外在反應來 掌握概念，例如花片、積木，可以讓兒童實際點數；第二種為圖像表徵，運用心

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像，也就是將腦海中仍留存的外在實物影像做為運思材料，進行內在的思考或學 習；第三種為符號表徵，透過符號掌握概念，符號是記號，和實物無相似之處，

代表實物或心像的抽象意義。

劉秋木（1996）舉例說明 Bruner 所指的三種運思材料：有兩堆星星，一堆三 個，另一堆兩個，幼兒透過動手數數，才能得知兩堆共有五個星星，這是動作表 徵的運用；待長大了些，可以透過圖畫的幫忙或是直接在腦海中形成心像得出答 案，這時已有圖像表徵的能力；再更大一些，可直接用心算的方式計算出 3＋2＝5，

已學會符號代表的概念，不需要透過具體物或圖像的輔助，符號表徵能力已具備。

蔣治邦（1994）提到 Lesh 從溝通的觀點將表徵的類別分成實物情境、操作具 體物、圖像、口語符號與書寫符號五種，以欲表徵數目 6 的意義為例：實物情境 是用 6 個蘋果代表 6；操作具體物則是用 6 片花片表示 6；圖像表徵可以藉由 6 個 圈圈來表徵 6；口語符號透過說出「ㄌㄧㄡヽ」的方式表達；書寫符號則是寫出數 字「6」來表示，上述的五種表徵方式均是表達 6 這個數目字的意義，接收訊息者 無論是接收到何種表徵的刺激，均能自行轉換不同的表徵方式，且不改其意義，

學生若能進行不同表徵間的轉換，表示已能掌握其概念，不同表徵之間轉換的能 力，對於數學學習以及問題解決很有助益。

Bruner 與 Lesh 雖然都在討論表徵型式，但觀點不同，Bruner 認為表徵是運 思的材料，動作表徵、圖像表徵與符號表徵表示運思的抽象程度，運思是個人活 動，因此形成的心像或符號不必然需與外界溝通；Lesh 的表徵則以溝通為目的，

因此含有某些格式的限制，例如線段圖為圖像表徵的一種，繪製時有一定的格式 限制，因此不符合 Bruner 圖像表徵所指的自然形成的心像（蔣治邦，1994）。

由此可知，表徵呈現的方式十分多元，可以是個人運思的材料，亦可以為與 人互動溝通的工具。教學者可以針對學習者的學習狀況，適時地運用多元表徵教 學策略，透過不同型式的表徵，幫助學習者掌握數學概念，提升問題解決的能力。

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參、 線段圖介紹

圖像表徵可以幫助學生理解題意，進而順利解題。其呈現的類型有很多，線 段圖是常被使用的其中一種，應用層面很廣，可將複雜的文字題用具體圖形分析 的特質，有助學生正確解題（楊馥如，2012）。因此，線段圖常在國小數學教材 中被用來說明解題策略或是數學概念（蔣治邦，2000）。運用線段圖表徵能直接 呈現應用問題中抽象的數量關係，幫助學生分析題意，解決問題，啟發學生思考

（林施君，2013）。

線段圖可稱作是分數問題的多重關係示意圖，由數條成比例的線段所構成，

用以呈現問題中的數量關係，線段圖使得題目中的數量關係具體化，這不僅可以 幫助學生對分數關係作進一步的運作或轉換，對無法掌握分數量感的學生而言，

亦提供相當大的幫助（陳竹村，2000）。楊馥如（2012）也指出線段圖可將抽象 的語言轉化成具體圖像，幫助學生準確找出題目的數量關係，將題目簡化，釐清 問題，並使思考過程透明且具體的呈現，降低概念學習或解題的難度，線段圖還 可培養一題多解、口語表達、表徵之間的轉換等多種能力。因此教師在教學時，

宜善用線段圖具體操作，並透過不斷反思逐步提升分數概念（陳竹村，2000）。

莊凱安（2003）指出隨著年齡增長，學生的解題表徵必須漸趨精簡，而線段圖符 合精簡、有意義的特質，適合高年級發展高層次解題表徵時使用。

線段圖表徵對於數學解題雖提供很大的助益，但正確解讀線段圖表徵對有些 學生來說，卻有很高的難度。蔣治邦（2001）參見 Cobb， Yackel &Wood 的文 獻後指出線段圖是精練的溝通工具，是文化的產物，繪製線段圖前，要先從文字 情境中擷取數量與關係這些重要訊息，再選擇線段的表徵型式，線段圖本身提供 的線索並不明顯。吳宗珮、游自達（2009）發現線段圖相當複雜，要準確解讀其 訊息需具備多方面的知識，因此教師在運用線段圖表徵教學策略時，需詳細的分 析該表徵，才能敏銳的覺察學生反應。蔣治邦（2000）建議教師運用線段圖幫助 學生解文字題時，需協助學生看到文字題中的數量關係在線段圖裡確實呈現，才 能讓學生將線段圖與原文字題相連結。

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綜上所述，線段圖可具體呈現分數應用問題的數量關係，幫助學生思考與解

決數學問題，但因線段圖相當複雜，本身提供的訊息並不明顯，教師使用時，須 指導學生判讀線段圖的方式，使其能將文字題中的數量關係與線段圖相連結。