國立臺中教育大學教育資訊與測驗統計研究所
碩士論文
指導教授：楊志堅 博士
國小學童文字表徵與線段圖表徵
於分數應用問題之解題能力探討
研究生：江秀紋 撰
中
華
民
國
一
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四
年
十
月
謝 辭
終於，到了篇章的最終回，不敢置信，自己竟然可以完成這本論文，儘管一 路跌跌撞撞，儘管遇到了很長的撞牆期，儘管一度想放棄，但因為身旁有好多好 多人的協助、關心與鼓勵，給了我繼續支撐下去的力量。這一路走來，要感謝的 人實在是太多太多了! 最最要感謝的，當然是我的指導教授-楊志堅博士，感謝教授一直以來悉心的 的指導與包容，協助我完成了這項對我來說幾近於不可能的任務，在此致上我最 深的謝意。 再者，要感謝施慶麟教授與王淑娟教授，仔細且耐心地閱讀我的論文，並給 了我許多寶貴的意見，讓我有修正的機會。 感謝重要的幕後推手-金雲，沒有她一直以來的耐心陪伴，並隨時扮演救火隊 的角色，這本論文不知何時才能誕生，謝謝妳，我親愛的好姐妹。 感謝我的研究所好夥伴們一直以來的鼓勵，並在我需要時，不吝伸出援手； 感謝我的好同事以及友校的老師們熱心協助幫忙施測，讓我的研究得以順利完成； 感謝我的好姐妹惠萍與文虹，在我最緊張的口考日，特地前來協助我，陪伴我， 給我精神上的支持，讓我彷彿吞下一顆定心丸，感謝有你們在我身旁。 要感謝的人實在太多太多了，還有很多好同事好姐妹好朋友，雖然你們的名 字沒有在這上面，但你們一定知道，你們一直以來的關心我真的很感激，很感動， 有你們真好! 最後要感謝我的家人們，你們一直都是我最強而有力的後盾，謝謝你們的支 持，並忍受我每當壓力來時不時的哇哇叫，讓我的焦慮情緒得以紓解，我終於完 成了，謝謝你們! 江秀紋 謹誌 一○四年十月
中文摘要
本研究在探討小六學童分數應用問題解題能力與問題表徵之間的關聯性，探 討內容包括學生在文字表徵、線段圖表徵、文字加線段圖表徵下，分數四則應用 問題的解題情形，以及小六學童在這三種表徵方式下之分數應用問題解題能力是 否會受到性別與解題習慣影響。本研究研究工具為自編的「分數應用問題測驗」， 施測對象為一○二學年度臺中市某兩所小學的六年級學生，有效樣本數男生 112 人，女生 96 人，共計 208 人。 研究結果發現，小六學童在分數應用問題測驗整體表現上，不論是文字表徵、 線段圖表徵、或是文字加線段圖表徵之解題表現均未達顯著差異。從分數四則方 面來看，加減法部分，學生在線段圖表徵的解題表現顯著優於文字表徵；乘法部 分，學生在文字表徵與文字加線段圖表徵的解題表現皆顯著優於線段圖表徵；除 法部分，學生在文字表徵、線段圖表徵、文字加線段圖表徵的解題表現均沒有顯 著差異。從運算類型來看，改變類型的答對率優於併加類型，併加類型的答對率 優於比較類型；分數四則中當量除的答對率最低。性別因素方面，整份測驗男女 生無顯著差異，但女生在線段圖表徵以及文字加線段圖表徵的解題表現優於男生； 解題習慣方面，有使用線段圖的學生在整份測驗、文字表徵、文字加線段圖表徵 這三部分之解題表現均優於未使用線段圖的學生。 關鍵詞：國小、文字表徵、線段圖表徵、分數II
The Problem-Solving Comprehension Ability
of Writing Representation and Line Segment
Drawings for the Elementary School Students
Abstract
The study is to investigate the relevance between fraction problem solving ability and problem representations for the sixth grade elementary school students. The contents include: the sixth graders’ problem solving methods of four fundamental operations of fraction with writing representation, line segment drawings and writing with line segment drawings; under these three, students’ fractional problem solving abilities are effected by gender and problem-solving habits or not. An evaluation questionnaire, Fraction Problem Solving Test, is applied in this study. The sixth graders of two elementary schools in Taichung city were tested, and the total is 208, which includes 112 boys and 96 girls as valid samples.
The major findings are: the sixth graders’ performance in fraction problem solving , including writing representation, line segment drawings and writing with line segment drawings, is not significantly different. In parts of addition and subtraction, students’ performance of line segment drawings is better than writing representation. In part of multiplication, students’ performance of writing representation and writing with line segment drawings is better than line segment drawings. In part of division, writing representation, line segment drawings and writing with line segment drawings are not significantly different. In part of computation types, the Change type rates of right answers are higher than the Combine, while the Combine type rates are better than the Compare. In part of extended partitive division, the rates of right answer are the lowest . By the factor of sex, boys and girls are not significantly different, but girls’ performance of line segment drawings and writing with line segment drawings is better than boys’. By the factor of problem-solving habits, the students who use line segment
III
drawings on the whole test, writing representation and writing with line segment drawings have better performance than the ones who don’t use.
IV
目 錄
中文摘要 ... I 英文摘要 ... Ⅱ 目 錄 ... IV 表 次 ... V 圖 次 ... VI 第一章 緒論 ... 1 第一節 研究背景與動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 4 第三節 名詞定義 ... 5 第二章 文獻探討 ... 6 第一節 問題表徵之探究 ... 6 第二節 分數應用問題之探討 ... 9 第三節 文字表徵與線段圖表徵相關研究 ... 14 第三章 研究方法 ... 17 第一節 研究架構 ... 17 第二節 研究程序 ... 18 第三節 研究對象 ... 19 第四節 研究工具 ... 19 第五節 資料處理與分析 ... 24 第四章 結果與討論... 25 第一節 測驗工具分析 ... 25 第二節 學童於「分數應用問題測驗」之表現 ... 28 第三節 性別因素於分數應用問題測驗之差異 ... 32 第四節 解題習慣於分數應用問題測驗之差異 ... 33 第五章 結論與建議... 35 第一節 研究結論 ... 35 第二節 研究限制 ... 38 第三節 研究建議 ... 39 參考文獻 ... 42 附錄一：正式施測題本 ... 46V
表 次
表 3-4-1 國小六年級分數測驗表徵方式與運算類型試題分配表 ... 21 表 3-4-2 國小六年級分數測驗預試難度與鑑別度一覽表 ... 23 表 4-1-1 分數應用問題測驗三種表徵與測驗總分之相關係數表 ... 26 表 4-1-2 各試題之點二系列相關係數表 ... 26 表 4-1-3 國小六年級分數測驗正式施測難度與鑑別度一覽表 ... 27 表 4-2-1 國小六年級分數測驗正式施測各題答對率 ... 29 表 4-2-2 學生分數應用問題測驗不同表徵方式之表現 ... 30 表 4-2-3 學生分數應用問題測驗分數四則不同表徵方式之表現 ... 31 表 4-3-1 不同性別小六學童分數應用問題解題能力 t 檢定 ... 32 表 4-4-1 不同解題習慣小六學童分數應用問題解題能力 t 檢定 ... 33VI
圖 次
圖 3-1-1 研究架構圖 ... 17 圖 3-2-1 研究程序圖 ... 18
1
第一章 緒論
本研究主題在探討國小學童分數應用問題的解題，在文字表徵與線段圖表徵 上的表現，藉此探究線段圖表徵是否有助於國小學童分數應用問題解題能力之提 升。本章將就研究動機、研究目的以及待答問題提出說明，並對本研究涉及之特 定名詞加以定義。第一節 研究背景與動機
劉秋木（1996）提出分數是國小階段最高階的概念，最難的教材，卻也是日 後數學學習的基石；分數，好似基礎數學和高深數學之間的分水嶺。從教育部在 民國 92 年與民國 97 年發布的數學課程綱要亦可以看出，分數概念是國小數學教 育中極重要的概念，應用課題很廣。分數的學習如此重要，但對學生來說難度卻 很高。國內外均有研究報告指出，分數學習對兒童來說是困難的，因為分數包含 許多子概念，如：等分、單位量、等值分數…… 等，加上「連續量」與「離散量」 的差異，都讓分數學習變得更加困難，再加上部分學生學習分數時，有許多迷思 概念無法釐清，這些種種因素，讓不少學生即使花很長的時間學習，效果卻不好 （陳明宏、呂玉琴，2005）。 應用問題常常是很多學童的夢魘（劉秋木，1996）。吳昭容（2008）的研究 發現，要解決分數應用問題，首要需具備正確列式的能力，其後是理解運算法則， 不少學生面對整數乘除法應用問題時，能列出正確式子，但當數字從整數轉換成 分數時，列式就產生錯誤。吳昭容、黃一蘋（2003）指出有些學童無法理解文字 題的題意，只能將出現在題目裡的數字用加減乘除加以拼湊，或是勉強找關鍵字 當線索，但關鍵字的解法並不絕對，出現「倍」不一定是乘法，「比」也不見得 必定是減法，使得這些學童對文字題十分恐懼。分數除法直接相除的解題方式， 往往使學生能成功模仿其解題策略，當題目提供的兩個數值單位不同時，學生只2 需直接背誦題目問的單位是什麼，就把此單位的數值視為被除數，卻不一定理解 這麼做的理由（王志銘 2007；王志銘、劉祥通，2007）。吳昭容（2008）的研究 指出學生學習整數除法的經驗，會讓學生產生被除數必須比除數大的想法，因此 當遇到分數除法時，就易出現錯誤。 研究者擔任高年級導師有十年的時間，這十年同時也擔任班上的數學科教師。 在教學現場中，研究者發現分數對很多學生而言，學習難度很高，學生在學習分 數時，挫折感很重，有些學生甚至對分數感到恐懼。分數是很抽象的概念，學生 又缺乏類似的生活經驗，加上文字題本身就有一定的難度，因此，當遇到分數應 用問題時，很多學生不是硬記算法、運用關鍵字，就是用猜測的方式解題，於是 常會出現以下的情況：同一類型的文字題出現在分數單一概念的試卷上，與出現 在分數四則的試卷中，答題表現有明顯的差異，學生在分數單一概念的試卷上即 使不了解題意，大多也能列出正確算式，因同一單元所使用的運算符號相同，學 生可藉由猜測來列式，但這種方式遇到試卷內容包含分數四則時，學生就無法正 確解題，因此同一類型的文字題，出現在單一概念試卷的答對率比出現在分數四 則混合的答對率明顯來得高；有些學生對於熟悉的題目，可以正確解題，但當題 目稍作變化，用不同的語句表達，即使題目的概念相同，學生仍無法順利解題； 學生有時能正確解題，但當詢問如此列式的原因時，學生卻無法回答，因此，當 題目較多變化，或是分數四則混合在一起時，學生就不一定能正確解題；學生習 慣的除法列式是大數除以小數，但當遇到分數除法，被除數比除數小的情況有可 能出現時，學童就很難判斷，到底哪個數值是被除數？哪個數值又是除數？類似 的情況也發生在乘法，學生習慣的乘法是越乘越大，但當遇到分數乘法得出的答 案比被乘數小時，學生就容易感到困惑。 另外常見的情況是，教師在講解學生不會的分數應用問題時，有時僅需將分 數替換成整數，學生就可以正確解題，但當題目用分數呈現時，學生就無法列出 正確的算式。綜合上述可知，學生在學習分數四則應用問題時，光是要列出正確
3 的式子，就面臨極大的困難與挑戰，更別說後面運算的部分，因此，如何協助學 生正確列出分數四則應用問題的算式，就顯得格外重要了。 劉秋木（1996）指出解文字題的第一步是了解題意。表徵的運用，可以協助 學生了解文字題的題意，進而幫助學生數學解題。應用問題的表徵型式不同，會 影響學生的解題表現。國內一些研究（洪義德，2002；徐黎婷，2010；陳啟明， 2000）均發現，學生在圖像表徵上的解題表現明顯優於在文字表徵上的解題表現。 胡蕙芬、李源順（2005）在進行教學實驗後發現，圖像表徵可以協助學生理解概 念，多元布題可以增強學生解讀應用題的敏銳度，學生解決問題的能力也因而提 升；劉祥通、黃國勳、蘇逸潔（2010）的研究指出運用視覺化表徵進行教學，可 以幫助學生不需記誦解題算則，就可以順利解題；張熙明（2004）研究發現具體 及半具體的圖像表徵可以提升學生的分數概念；吳碧真（2012）的研究結果也支 持圖像表徵有助理解題意。由以上研究可以得知，圖像表徵可以提升學生的數學 解題能力。但也有研究指出，圖示教學雖能幫助學童不使用錯誤策略解題，但由 於此系統不易理解，因此對於解題能力的提升幫助不大，反倒是直接使用語文講 解，可以幫助學童解題（謝毅興，1991）。 線段圖表徵是圖像表徵的一種，可以幫助學童將抽象的文字轉化成具體圖像， 教學者可以使用線段圖清楚呈現文字表徵描述的問題，讓問題中的數量關係具體 化（陳竹村，2000；楊馥如，2012）。陳竹村（2000）指出線段圖可說是分數應 用問題的多重關係示意圖。教學者常使用線段圖幫助學童釐清問題。國內不少研 究（何明瑾，2007；林文彥，2007；林施君，2013；楊馥如，2012）均發現運用 線段圖表徵的教學策略，能提升學生應用問題的解題能力。林惠真（2005）的研 究也發現學生在線段圖表徵的解題表現明顯優於文字表徵與圖畫表徵；而圖畫表 徵的解題表現明顯優於文字表徵。上述研究均肯定線段圖可以幫助學生解題，但 也有研究持保留態度，蔣治邦（2000）的研究指出學童在沒有線段圖輔助的情況 下解題，表現優於有線段圖的輔助，可能是線段圖學生並不熟悉，因此使用線段 圖表達文字題的含義，效果沒有想像中的好；古明峰（1998）研究也發現有參與
4 語意結構圖示策略課程的學生在應用題的得分並未優於接受一般教學的學生。綜 上所述，雖然有學者表示不同意見，但較多學者肯定線段圖表徵對應用問題的解 題有實質的幫助。 依據上述研究與研究者的教學經驗，本研究希望編製一份分數應用問題測驗， 探討學生在文字表徵、線段圖表徵、文字加線段圖表徵這三種表徵方式下，分數 四則應用問題的解題情形，以深究線段圖表徵是否有助提升學生分數應用問題的 解題能力。
第二節 研究目的
基於上述研究動機，本研究自編一份包含文字表徵和線段圖表徵的「分數應 用問題測驗」，藉以探究國小學童分數應用問題的解題能力與問題表徵之間的關 係，並更進一步探討性別、解題習慣在不同問題表徵的呈現下對學童分數應用問 題解題能力的影響。基於此研究目的，故本研究待答問題如下： 一、自編測驗「分數應用問題測驗」的信效度、難度和鑑別度為何？ 二、國小六年級學童在「分數應用問題測驗」中不同運算類型之解題表現為何？ 三、國小六年級學童在「分數應用問題測驗」中文字表徵、線段圖表徵、文字加 線段圖表徵的表現為何？是否有顯著差異? 四、性別因素與文字表徵和線段圖表徵之相關？ 五、解題習慣與文字表徵和線段圖表徵之相關？5
第三節 名詞釋義
以下為研究者針對本研究中涉及之特定名詞的定義： 一、小六學童 本研究的施測對象為一○二學年度第二學期臺中市某兩所國小之六年級學童， 以下簡稱「小六學童」。 二、線段圖 本研究指的線段圖為陳竹村（2000）提到的成比例線段圖，線段圖為圖像表 徵的一種，用數條成比例的線段呈現問題中的數量關係，圖中每一段線段所代表 的意義均須明確標示出來。 三、分數應用問題解題能力 本研究之分數應用問題範圍包含分數加法、減法、乘法、除法的單步驟解題。 本研究指的「分數應用問題解題能力」，係指受試者在「分數應用問題測驗」的 表現得分愈高，表示分數應用問題的解題能力愈好。 四、解題習慣 本研究的解題習慣指的是平時學生在解數學文字題時，是直接解題亦或是會 自行將題目敘述用線段圖方式呈現，再進行解題。6
第二章
文獻探討
本章主要探討問題表徵與分數應用問題解題之理論基礎及其相關研究。內容 分成三節，第一節為問題表徵之探究，第二節為分數應用問題之探討，第三節為 文字表徵與線段圖表徵相關研究。第一節 問題表徵之探究
壹、 表徵的意義
張春興（1994）提到 Bruner 將人透過知覺把外在事物轉化成內在心理事件的 過程，稱之為知識表徵，人經由此過程獲得知識。黃芳玉、楊德清（2002）指出 數學表徵為內在數學思考的過程與外在數學形式的呈現。陳霈頡、楊德清（2005） 提及表徵可呈現數學概念與思維，並將數學概念外在具體化。蔣治邦（1994）則 提出表徵是透過某種型式，讓人們得以重新表現事物或想法，當解題者能確實掌 握表徵所呈現的意義後，表徵還可進身為運思的材料，表徵可說是溝通與解題的 工具，它可以是任何一種型式，不僅可用來與他人溝通，也可以與自己溝通；它 不僅可以記錄自己的數學活動，亦可以做為解題時的溝通工具，表徵與解題能力 的關係密不可分。由此可知，表徵在數學解題中扮演極重要的角色，幫助解題者 將外在事物或數學情境轉換成自身可以理解的型式，並將其具體呈現在外，表徵 亦可作為數學概念溝通和解題的工具。表徵對於學生的數學解題表現有很大的影 響（劉祥通，2007）。貳、 表徵的功能
Bruner 從運思的觀點將被運思的材料，也就是表徵，分成以下三種（引自蔣 治邦，1994）：第一種為動作表徵，個體透過接收到刺激後所產生的外在反應來 掌握概念，例如花片、積木，可以讓兒童實際點數；第二種為圖像表徵，運用心7 像，也就是將腦海中仍留存的外在實物影像做為運思材料，進行內在的思考或學 習；第三種為符號表徵，透過符號掌握概念，符號是記號，和實物無相似之處， 代表實物或心像的抽象意義。 劉秋木（1996）舉例說明 Bruner 所指的三種運思材料：有兩堆星星，一堆三 個，另一堆兩個，幼兒透過動手數數，才能得知兩堆共有五個星星，這是動作表 徵的運用；待長大了些，可以透過圖畫的幫忙或是直接在腦海中形成心像得出答 案，這時已有圖像表徵的能力；再更大一些，可直接用心算的方式計算出 3＋2＝5， 已學會符號代表的概念，不需要透過具體物或圖像的輔助，符號表徵能力已具備。 蔣治邦（1994）提到 Lesh 從溝通的觀點將表徵的類別分成實物情境、操作具 體物、圖像、口語符號與書寫符號五種，以欲表徵數目 6 的意義為例：實物情境 是用 6 個蘋果代表 6；操作具體物則是用 6 片花片表示 6；圖像表徵可以藉由 6 個 圈圈來表徵 6；口語符號透過說出「ㄌㄧㄡヽ」的方式表達；書寫符號則是寫出數 字「6」來表示，上述的五種表徵方式均是表達 6 這個數目字的意義，接收訊息者 無論是接收到何種表徵的刺激，均能自行轉換不同的表徵方式，且不改其意義， 學生若能進行不同表徵間的轉換，表示已能掌握其概念，不同表徵之間轉換的能 力，對於數學學習以及問題解決很有助益。
Bruner 與 Lesh 雖然都在討論表徵型式，但觀點不同，Bruner 認為表徵是運 思的材料，動作表徵、圖像表徵與符號表徵表示運思的抽象程度，運思是個人活 動，因此形成的心像或符號不必然需與外界溝通；Lesh 的表徵則以溝通為目的， 因此含有某些格式的限制，例如線段圖為圖像表徵的一種，繪製時有一定的格式 限制，因此不符合 Bruner 圖像表徵所指的自然形成的心像（蔣治邦，1994）。 由此可知，表徵呈現的方式十分多元，可以是個人運思的材料，亦可以為與 人互動溝通的工具。教學者可以針對學習者的學習狀況，適時地運用多元表徵教 學策略，透過不同型式的表徵，幫助學習者掌握數學概念，提升問題解決的能力。
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參、 線段圖介紹
圖像表徵可以幫助學生理解題意，進而順利解題。其呈現的類型有很多，線 段圖是常被使用的其中一種，應用層面很廣，可將複雜的文字題用具體圖形分析 的特質，有助學生正確解題（楊馥如，2012）。因此，線段圖常在國小數學教材 中被用來說明解題策略或是數學概念（蔣治邦，2000）。運用線段圖表徵能直接 呈現應用問題中抽象的數量關係，幫助學生分析題意，解決問題，啟發學生思考 （林施君，2013）。 線段圖可稱作是分數問題的多重關係示意圖，由數條成比例的線段所構成， 用以呈現問題中的數量關係，線段圖使得題目中的數量關係具體化，這不僅可以 幫助學生對分數關係作進一步的運作或轉換，對無法掌握分數量感的學生而言， 亦提供相當大的幫助（陳竹村，2000）。楊馥如（2012）也指出線段圖可將抽象 的語言轉化成具體圖像，幫助學生準確找出題目的數量關係，將題目簡化，釐清 問題，並使思考過程透明且具體的呈現，降低概念學習或解題的難度，線段圖還 可培養一題多解、口語表達、表徵之間的轉換等多種能力。因此教師在教學時， 宜善用線段圖具體操作，並透過不斷反思逐步提升分數概念（陳竹村，2000）。 莊凱安（2003）指出隨著年齡增長，學生的解題表徵必須漸趨精簡，而線段圖符 合精簡、有意義的特質，適合高年級發展高層次解題表徵時使用。 線段圖表徵對於數學解題雖提供很大的助益，但正確解讀線段圖表徵對有些 學生來說，卻有很高的難度。蔣治邦（2001）參見 Cobb， Yackel &Wood 的文 獻後指出線段圖是精練的溝通工具，是文化的產物，繪製線段圖前，要先從文字 情境中擷取數量與關係這些重要訊息，再選擇線段的表徵型式，線段圖本身提供 的線索並不明顯。吳宗珮、游自達（2009）發現線段圖相當複雜，要準確解讀其 訊息需具備多方面的知識，因此教師在運用線段圖表徵教學策略時，需詳細的分 析該表徵，才能敏銳的覺察學生反應。蔣治邦（2000）建議教師運用線段圖幫助 學生解文字題時，需協助學生看到文字題中的數量關係在線段圖裡確實呈現，才 能讓學生將線段圖與原文字題相連結。9 綜上所述，線段圖可具體呈現分數應用問題的數量關係，幫助學生思考與解 決數學問題，但因線段圖相當複雜，本身提供的訊息並不明顯，教師使用時，須 指導學生判讀線段圖的方式，使其能將文字題中的數量關係與線段圖相連結。
第二節 分數應用問題之探討
劉秋木（1996）指出學生具備計算能力，但卻無法順利解決應用問題的其中 一個因素是學生無法將情境與計算方式加以聯結，因此當遇到應用問題時，便無 法判斷該如何列式，這也是學生感到最困難的地方，解決問題是數學學習的主要 目標，我們要幫助學生瞭解應用問題的運算類型，破除迷思概念，培養學生解題 的能力。呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009）認為分數四則應用問題的運 算類型，可用整數四則應用問題的運算類型來說明。以下將分別就加減法、乘法、 除法加以分析：壹、 分數加減法應用問題分析
分數加減法的運算類型依據呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009），可區 分成改變、併加、比較、平衡四種類型，在本研究當中，取改變、併加、比較三 種類型： 一、 改變(Change) 改變類是指起始量因某個動態行為因素，使其增加或減少，產生結果量。不 論是增加或減少，均各包含三種類型:起始量改變、改變量改變與結果量改變。茲 舉起始量改變的減少類型為例：媽媽準備了一些西瓜汁，全家人喝了 7 4 1 公升的西 瓜汁後，還剩下 3 1 2 公升，請問媽媽準備了多少公升的西瓜汁? 二、 併加(Combine) 併加類是指一個大集合和兩個互補子集合的關係，此類問題的關係是靜態的10 ，包含兩種類型：一種是已知大集合的總數與其中一個子集合的元素個數，求另 一個子集合的元素個數；另一種是已知兩個子集合的元素個數，求大集合的總數。 茲舉求其中一個子集合的元素個數為例：一箱水果重 5 公斤，哥哥買蘋果和棗子 共 3 2 3 箱，其中蘋果買了 5 2 1 箱，請問哥哥棗子買了多少箱? 三、 比較(Compare) 比較類是指比較兩數量的大小或多寡，亦屬靜態的描述，比較的兩數量分別 稱為基準量與比較量，兩數之間的差稱為差量，分成比多與比少兩種，各包含三 個類型：基準量未知、比較量未知、差量未知。茲舉求比較量比少問題為例：一 桶油漆重 5 公斤，伯父下午賣了 2 1 7 桶油漆，上午比下午少賣 4 3 2 桶油漆，請問伯 父上午賣了幾桶油漆? 劉秋木（1996）提出改變類題目可直接拿具體物操作，對學生來說最容易理 解，併加類的問題則較難一些，最感困難的是比較類的題目。而未知數位置的不 同，會影響其運算方式以及學生解決數學應用問題的能力（劉秋木，1996）。另 外，呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009）研究發現部分的五、六年級學生 在異分母分數加減法應用問題出現解題性迷思，看到「比多」就用加法，看到「比 少」就用減法，分數的多餘訊息也會讓學生無法做出正確判斷。運算類型和運算 方式的不相符是造成迷思概念的原因之一，例題：小忠本來有一些糖果，媽媽又 給他 4 顆糖果，他現在總共有 10 顆糖果，請問他本來有多少顆糖果? 吳宗珮、游 自達（2009）提及這道題目是屬於改變類中起始量未知類型，運算類型為增加(本 來有…又給)，屬於加法類型，但運算時卻須使用減法才能解出正確答案，這對學 生而言是較為困難的。吳宗珮、游自達（2009）提到 Lewis＆Mayer 指出像這類「不 一致語言」的題目類型，會使問題難度加深。比較類也有「不一致語言」的狀況 出現。例題:小可有 7 張卡片，他的卡片比小新少 5 張，請問小新有多少張卡片? 這道題目的關係句敘述是「少」，但運算時卻須使用加法才能求出正確解答，學 生若只注意關鍵字「比…少」而使用減法，表示學生無法從「不一致語言」中找
11 到訊息的呈現順序，學生會用「一致語言」的模式重新排列關係句裡的訊息順序 （何縕琪、林清山，1994）。 呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009）指出教師在進行分數加減法應用 問題教學時，可以運用等分的份數、單位量、內容物、以及圖像表徵等方式來說 明題意，表示問題情境，以及呈現合成或分解的結果。而在解改變類中起始量未 知類型的題目時，學生必須能理解數量的部份整體關係，才能列出正確算式，線 段圖表徵可以提供學生這方面的協助（吳宗珮、游自達，2009）。由上述研究可 以發現，教師能透過線段圖表徵來幫助學生解題，迷思概念也得以釐清。
貳、 分數乘法應用問題分析
分數乘法的運算類型依據呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009），可區分 成等組型、倍型、面積型三種類型，在本研究當中，取等組型、倍型兩種類型： 一、 等組型 每組的數量相同，求出總量。例題:一個盤子裝 5 4 塊蛋糕， 4 3 盤可以裝多少塊 蛋糕? 二、 倍型 一數量為基準量，求此基準量的幾倍關係。例題:小張吃了 5 2 公斤的麵條，大 寶吃的麵條是小張的 9 2 1 倍，請問大寶吃了多少公斤的麵條? 吳昭容（2008）研究發現有些學童面對整數乘法應用問題可以列出正確算式， 但當數字從整數轉換成分數時，只好開始亂猜，會造成這種現象的主要因素是整 數乘法中的乘法常被解釋成重複累加，這樣的解題經驗讓學童誤以為乘法會越乘 越大，也就是積必定比被乘數和乘數都大，因此，當面對的乘數是真分數時，就 會產生列式上的困難。呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009）的研究則發現 應用問題裡，字句中的關鍵字常造成學生的解題性迷思，學生看到「用去」就用12 減法，看到「變少」就用除法，另外，文字題中的多餘資訊，有時也會讓學生產 生錯誤判斷。 92 與 97 課綱均提及，為了破除學生的迷思概念「乘積一定比被乘數大」，教 師需在學生最易理解的乘數為單位分數的狀況下，建立正確的分數概念。運用圖 示，可以幫助學生理解題意，減少解題性迷思的出現（吳昭容，2008）。設計應 用問題進行評量時，分數四則以及多餘資訊的問題均可加入，避免學生猜測教師 的出題方向（呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009）。
參、 分數除法應用問題分析
整數除法的運算類型依據呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009），可區 分成以下兩種類型： 一、 等分除 等分除的題目是已知總量和新單位數，求新單位量。可將等分除用下列式子 表示：總量÷新單位數=新單位量。例題:妹妹將 5 2 2 公升的牛奶平分成 6 杯，每一杯 牛奶為多少公升?在這道題目中， 5 2 2 公升是總量，6 杯是新單位數，所要求的答案 「每一杯牛奶多少公升」即為新單位量。 二、 包含除 包含除的題目是已知總量和新單位量，求新單位數。可將包含除用下列式子表 示：總量÷新單位量=新單位數。例題：妹妹有 5 2 2 公升的牛奶，每 10 3 公升裝成一杯， 要全部裝完，請問妹妹可以把牛奶裝成幾杯?在這道題目中， 5 2 2 公升是總量， 10 3 公 升是新單位量，所要求的答案「可以裝成幾杯」即為新單位數。 等分除和包含除這兩種類型可包含整數除法一般的問題情境，但當擴展至分 數時，有些問題情境無法解釋，因此，須新增一個類型「當量除」來加以解釋（呂13 玉琴，1998）。例題： 7 4 公尺長的鋼條重 2 公斤，同樣的鋼條一公尺重多少公斤? 這題的解法為 2÷ 7 4 = 2 1 3 。這題無法用包含除解釋，因為 2 公斤不包含 7 4 公尺，這 題也無法用等分除來解釋，因為等分需分成整數份，因此，需賦予新的除法意義， 將起初單位量轉換的觀點轉變成當量轉換的觀點，以上一題為例， 7 4 公尺長的鋼條 重 2 公斤，不是把鋼條等分成非整數的 7 4 份，而是視 1 單位為 1 公尺，2 公斤的鋼 條相當於 7 4 單位（呂玉琴，1998）。當量除又可細分成兩個式子： 當量值÷單位當量=當量數；當量值÷當量數=單位當量 依據上述，本研究自編的「國小六年級分數測驗」的除法運算類型部分，包 含「等分型」、「包含除」與「當量除」三種類型。 呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009）的研究指出許多小六學童遇到分 數除法問題，直接放棄不作答，有作答的答對率也很低。吳昭容（2008）指出有 些學童整數除法應用問題可以列出正確算式，但當數字從整數轉換成分數時，只 好用猜的，因為整數除法的解題經驗讓學童會產生「被除數必定比除數大」、「商 必定小於被除數」的迷思概念。王志銘、劉祥通（2007）提及有些分數除法應用 問題，學生會直接背誦解法，成功模仿教師解題，但學生卻不理解如此列式的理 由。甯自強（1993）提出成功模仿不等於理解的概念，教師在課堂上進行的解題 策略是經過一群具備知識的人溝通、協調後的結果，較有效率，但學生卻未必能 理解。
92 與 97 課綱均提到，分數應用問題中除數為分數的題目，學生常因認為被除 數必定比商大而出現錯誤，教師應在除數為單位分數時即破除此迷思概念。吳昭 容（2008）指出圖示可幫助學生理解。甯自強（1993）認為教師須透過問答來評 估學生的解題策略是純粹由模仿而得，或是已真正理解，在教學現場，教師應扮 演佈題者的角色，僅提出問題，學生扮演解題者的角色，讓學生自行發展出有效 的解題策略。呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009）則建議評量時題目需加
14 入多餘資訊，並混合分數四則的題型，降低學生猜測的可能性，教學時應引導學 生對運算類型的理解，了解分數問題是整數問題的推廣。
第三節 文字表徵與線段圖表徵相關研究
林惠真（2005）探討國小五年級學生分數加減法在不同表徵類型下的解題表 現，發現有顯著差異。在其研究中發現學生在線段圖表徵的解題表現顯著優於文 字表徵與圖畫表徵，學生在圖畫表徵的解題表現也顯著優於文字表徵，表示應用 問題用不同表徵方式呈現，學生的解題表現也會有所不同，圖示可幫助學生提升 解題表現；在解文字題時，學生還是會抓取關鍵字解題，當題目以線段圖或圖畫 表徵方式呈現時，此情形有稍微改善，當學生越能理解題意，解題表現也會隨之 提升。 林文彥（2007）研究發現線圖以及圈圖表徵教學策略可以提升六年級數學高 成就與數學低成就學生代數比較類型文字題之解題能力，且學生使用線圖表徵數 位教材的學習效果明顯優於使用圈圖表徵數位教材，因此，教師在進行教學時， 可培養學生運用線圖表徵解題。類似的研究還有林施君（2013）探討五年級學生 在接受線段圖教學後代數解題之表現，結果發現有接受線段圖表徵教學的學生在 代數解題測驗，不論在整體、基礎題或延伸題，表現皆優於未接受線段圖表徵教 學的學生，有接受線段圖表徵教學的學生在解題時，對敘述較複雜或出現不一致 語言的題目，會嘗試畫線段圖判斷數量間的關係，幫助自己了解題意；未接受線 段圖表徵教學的學生易使用關鍵字解題策略，造成解題失敗。 楊馥如（2012）對兩位國小二年級學習障礙學生實施比較類加減法文字題線 段圖表徵教學後，能有效提升其解題成效。何明瑾（2007）也發現線段圖教學對 國小四年級學生學習時間加減文字題亦有助益，有接受時間線段圖教學的學生之 解題表現顯著優於未接受時間線段圖教學的學生。研究發現時間文字題對學生而 言難度較高，運用線段圖表徵教學策略，有助題意理解，不受關鍵字句影響，並 能正確解題。張淵揚（2014）指出國小六年級學生透過線段圖表徵可提升倍數應15 用問題之解題能力，學生有可能會運用線段圖來理解問題，因這可以協助自己清 楚分辨題型，較易理解兩數量間的關聯性與乘除法的差異，但學生依文字題敘述 畫出正確的線段圖之能力還有待提升，若能教會學生如何使用線段圖解題，學生 解題表現會更傑出。 上述研究指出線段圖表徵有助於提升國小學生在二年級比較類加減法文字題、 四年級時間加減文字題、五年級分數加減法文字題、五六年級代數文字題、六年 級倍數應用問題的解題能力，這顯示國小學童在解應用問題時，若有線段圖的輔 助，將有助於增進學生的解題表現，但也有研究持保留的態度。蔣治邦（2000） 進行中年級學生文字題與線段圖間轉譯能力之相關探討，研究結果顯示學童無線 段圖輔助的解題表現優於有線段圖輔助，學生對線段圖的不熟悉，是造成此現象 的可能原因，導致學童要將文字題轉化成線段圖時產生困難；而學生在文字題附 加線段圖的解題表現，雖有增加答對率 5%，但四下和三下學童的答錯率分別為 10% 與 17%，附加的線段圖再次呈現文字題中的數量關係，部分學生卻仍無法正確解 題。因此，教師要運用線段圖表徵引導學生解文字題時，須指導學生透過線段圖 呈現的訊息得到兩數量間的關係，將線段圖與文字敘述相連結，避免學生從文字 敘述與線段圖兩邊理解到的數量關係是不相符的。類似的觀點在楊馥如（2012）、 林施君（2013）的研究中亦發現教師運用線段圖表徵進行教學時，須強調線段圖 與解題的關聯，運用線段圖來組織整理題目中的文字敘述，使文字敘述和線段圖 能更加結合。古明峰（1998）研究發現有參與語意結構圖示策略課程的學生在加 減法應用題測驗的表現並未優於接受一般教學的學生，可能因為課程進行時間有 限，學生缺乏使用動機與習慣，使用圖示策略解題的學生不多，圖示策略解題只 對部分兒童有幫助。 陳啟明（2000）探討國小五年級學生在不同題目表徵類型下數學應用問題之 解題表現，發現有顯著差異，學生在圖畫題的解題表現明顯優於短語題及文字題， 在短語題的解題表現也明顯優於文字題。洪義德（2002）探討國小六年級學生在 不同表徵類型下面積問題之解題表現，研究結果顯示學生在圖畫題的解題表現明
16 顯優於短語題及文字題，短語題與文字題的解題表現無顯著差異。徐黎婷（2010） 研究則發現國小六年級學童的體積概念題型在不同題目表徵形式下的解題表現， 圖示題顯著優於短語題及文字情境題，短語題則略優於文字情境題。由上述研究 可以得知，圖示題比文字題及短語題更有助於學生解題，文字題與短語題則因為 研究的不同而產生不同的結果。因此，教師在進行數學應用問題的教學時，若能 適當運用圖示表徵策略，相信對學生的解題表現會有助益。 性別因素是否會影響學童的解題表現，不同研究有不同結果。黃俊仁（2003） 、 林文彥（2007）指出不同性別在數學文字題學習表現上無顯著差異；徐黎婷（2010） 亦指出不同體積概念之解題表現與性別變項並無顯著相關，而不同題目表徵形式， 不論是圖示題、短語題或是文字情境題之解題表現與性別變項亦無顯著相關。也 有研究持不同觀點，認為數學文字題解題，女生表現優於男生（陳世杰，2005）； 不同表徵形式的面積問題解題表現，女生在圖畫題、短語題、文字題皆優於男生 （洪義德，2002）；國二學生在解讀 3D 圖形的平面表徵之作答情形上，男生表現 比女生來得好（左台益、梁勇能，2001）。 綜上所述，許多研究證實線段圖表徵有助於學生數學學習成效的提升，但也 有少數研究結果顯示，線段圖教學的學習成效並未優於一般教學，分數部分除了 林惠真（2005）使用自編的「題目表徵型式測驗」裡有使用線段圖表徵外，皆未 有分數應用問題藉由線段圖表徵呈現，而林惠真的「題目表徵型式測驗」的線段 圖表徵僅單獨呈現，並未與文字表徵相結合，其「題目表徵型式測驗」內容也只 包含分數加減法，並未涉及乘除法部分，另外，性別因素究竟是否會影響學生數 學解題表現，目前尚無定論。因此，研究者參考文獻後，自編「分數應用問題測 驗」，探討線段圖表徵是否有助於學生解題能力的提升，並將性別、解題習慣兩 個變項納入研究範圍，探討與表徵之間的關係，因本研究對象為一般生，一般生 並不特別著重智商因素，因此本研究排除智力因素，僅將性別與解題習慣納入研 究範圍。
17
第 三 章 研 究 方 法
本研究欲探究小六學童在不同表徵下的分數應用問題解題能力，使用的研究 工具為研究者自編的「分數應用問題測驗」。本章共分為五節，依序為研究架構、 研究程序、研究對象、研究工具、資料處理與分析。第一節 研究架構
本研究架構根據研究動機、目的、待答問題以及相關文獻，編製「分數應用 問題測驗」，藉以探討小六學童的分數應用問題解題能力在文字表徵與線段圖表 徵之表現，以及不同性別與解題習慣的學童，在分數應用問題測驗的表現差異情 形。本研究架構如圖 3-1-1 所示。 圖 3-1-1 研究架構圖 分數應用問題測驗 運算類型 加減法 乘法 除法 表徵型式 ˙文字表徵 ˙線段圖表徵 ˙文字加線段 圖表徵 性別 解題習慣18
第二節 研究程序
本研究之程序如圖 3-2-1 所示： 圖 3-2-1 研究程序圖 整理研究結論撰寫報告 根據預試分析結果進行試題修正 選取樣本進行正式施測 蒐集相關文獻資料 訂定研究題目 編製施測工具 預試 分析整理測驗資料19
第三節 研究對象
本研究以一○二學年度國小六年級學生做為研究對象，因考量到經費及人力 等因素限制，故本研究採方便抽樣。預試樣本為臺中市某國小一個班級的學生， 共 25 人；正式施測的抽樣對象為臺中市某兩所學校，各四個班級的學生，有效樣 本數為男生 112 人，女生 96 人，共計 208 人。第四節 研究工具
本研究所使用的施測工具為研究者參考相關文獻後，所自編的「分數應用問 題測驗」，此份測驗包含「文字表徵」、「線段圖表徵」、「文字加線段圖表徵」 三部分，以下分別就測驗目的、測驗編製、測驗內容以及預試結果加以說明：壹、 測驗目的
本測驗欲探究小六學童分數應用問題解題能力與文字表徵、線段圖表徵、文 字加線段圖表徵之間的關聯性，以及性別與解題習慣的影響下，小六學童在面對 不同的表徵方式時，分數應用問題之解題情形。貳、 測驗編製
民國 92 年九年一貫數學領域課程綱要教學總體目標其中之一為：學習應用問 題的解題方法，另外，課綱亦提及要培養學生數學溝通的能力，不論是透過文字、 圖像、或口語，均能瞭解他人欲傳遞的數學資訊。本測驗內容結合上述目標，共 設計有 30 道單步驟分數四則應用問題，希望透過文字表徵、線段圖表徵、文字加 線段圖表徵三種表徵方式，測驗學生分數四則應用問題的解題情形，學生只需依 據題意選出正確的列式，不需將正確答案計算出來。測驗題 1～10 題使用文字表 徵；11～20 題使用線段圖表徵；21～30 題使用文字加線段圖表徵，每種表徵依不20 同運算類型分別設計加減法 3 題、乘法 2 題、除法 5 題，採分散排列，避免學生 猜測可能的出題方向。另外，因研究者曾經擔任高年級導師十年，那段期間任教 班上的數學課，在教學現場，常可發現類似的現象:例如，現在正在教分數乘法單 元，學生不需判斷，就得知運算符號是乘法，因此學生即使不理解題意，大多還 是能正確列出應用問題的算式，但當遇到分數四則混合的應用問題時，學生就易 困惑混亂，無法做出正確判斷。為了得知學生是否能列出正確算式，這份試卷每 一道應用問題均提供五個選項，除第 11、14、24、25 題配合線段圖另外設計列式 選項外，前四個選項分別為加法、減法、乘法、除法、第五個選項為第四個選項 被除數與除數順序交換，選項盡量呈現所有可能出現的列式方式，提供學生選擇， 降低學生對選項使用刪去法的機率。 本測驗線段圖的繪製原則，是依據陳竹村（2000）提出的線段圖製圖三原則： 一、每一段線段代表的意義須明確標示出來。 二、每一段線段的長度需成比例。 三、線段圖需具體呈現問題中的數量關係。 為了讓測驗呈現的題目類型更多元，更能判斷學生分數應用問題的解題情形， 研究者自編的「分數應用問題測驗」的運算類型，加減法與乘法應用問題是參考 呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009）的分類方式；分數除法應用問題是參 考呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009）與呂玉琴（1998）的分類方式，表 3-4-1 呈現本測驗每一道試題的運算類型及其表徵類型。
21 表3-4-1國小六年級分數測驗表徵方式與運算類型試題分配表 分數四則 運算類型 文字表徵 線段圖表徵 文字加線段圖表徵 加減法 比較類型 1 12 29 併加類型 8 19 21 改變類型 10 16 26 乘法 等組型 5 11 25 倍型 6 15 22 除法 包含除 分數÷整數 2 18 27 分數÷分數 7 20 30 等分除 3 13 23 當量除 整數÷分數 4 14 24 分數÷整數 9 17 28 表中數字代表試題題號。
參、 測驗內容
「分數應用問題測驗」共計 30 道選擇題，包含「文字表徵」、「線段圖表徵」、 「文字加線段圖表徵」三種表徵方式，每種表徵各 10 道題目，以下就分數加減法 應用問題比較類型為例，呈現三種表徵方式的題目： 一、文字表徵:（ ）
1.欣欣農場，玫瑰花花圃面積為3
5 6公畝，鬱金香花圃面積比玫瑰花花圃面 積少3
4
公畝，鬱金香花圃面積是多少公畝? ○１3
5 6＋3
4
○２3
5 6－3
4
○３3
5 6×3
4
○４3
5 6÷3
4
○53
4
÷3
5 622 二、線段圖表徵: （ ）12. 果汁有多少公升？ ○１17 9 ＋ 1 2 ○２ 7 1 9 － 1 2 ○３ 7 1 9 × 1 2 ○４ 7 1 9 ÷ 1 2 ○ 5 1 2 ÷ 7 1 9 三、文字加線段圖表徵 （ ）29.黃色緞帶長
12
59公尺，藍色緞帶比黃色緞帶短3
2 5公尺，藍色緞帶長多少 公尺?○１
12
5 9＋3
2 5 ○２12
5 9－3
2 5 ○３12
5 9×3
2 5 ○４12
5 9÷3
2 5 ○53
2 5÷12
5 9肆、 預試結果
一、預試樣本 臺中市某國小六年級一個班級的學生，共 25 人。 二、信度分析 本測驗以 Cronbach's α 係數進行試題內部一致性檢定，預試的 Cronbach's α 係 數值為.91，本測驗工具具有良好的信度。果汁？公升
公升
牛奶
公升
藍色緞帶？公尺
3
2 5公尺
黃色緞帶
12
59公尺
23 三、難度與鑑別度分析 本測驗難度與鑑別度依據古典測驗理論的計算方式，計算結果見表 3-4-2。本 測驗的難度介於.38～1.00 之間，鑑別度介於 0.00～1.00 之間。若以余民寧（2011） 提出的試題評鑑標準—難度指標介於.40～.80 之間，鑑別度指標大於.25 以上為優 良試題的挑選標準來篩選試題，第 3、6、13、16、18、21、23、24、25、26、29 題不符合標準，但因第 6、16、18、21、23、26、29 的難度皆僅高於標準.01，而 且鑑別度皆為.38，達優良標準，因此不予修改。第 3 題難度 1.00，鑑別度 0.00， 表示此道試題無法篩選高分組和低分組的學生；第 13 題難度值偏高，第 24、25 題鑑別度偏低，因此修改第 3、13、24、25 題。 表 3-4-2 國小六年級分數測驗預試難度與鑑別度一覽表 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 難度 .60 .65 1.00 .50 .71 .81 .75 .50 .58 .69 鑑別度 .46 .54 0.00 .50 .42 .38 .50 1.00 .67 .63 題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 難度 .48 .75 .88 .60 .52 .81 .52 .81 .69 .75 鑑別度 .71 .50 .25 .46 .29 .38 .79 .38 .63 .50 題號 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 難度 .81 .65 .81 .58 .65 .81 .75 .38 .81 .71 鑑別度 .38 .54 .38 .17 .04 .38 .50 .75 .38 .42
24
第五節 資料處理與分析
本研究將「分數應用問題測驗」收回後，彙整有效樣本，將受試者填寫的基 本資料及作答情形整理建檔，並根據研究目的，對所得到的研究資料進行統計分 析。統計分析方式如下： 一、以 Cronbach's α 係數進行試題內部一致性檢定。 二、以內部一致性分析法之相關分析法檢驗個別試題二元化得分和測驗總分間的 點二系列相關係數。 三、依據古典測驗理論，運用學生作答結果計算施測工具之試題難度與鑑別度。 四、以皮爾遜積差相關（Pearson’s Product-Moment Correlation）檢驗分數應用問 題測驗與分數應用問題測驗中文字表徵、線段圖表徵、文字加線段圖表徵之 相關。五、以單因子變異數分析（one way analysis of variance）檢驗小六學童在分數應用 問題測驗之表現是否因表徵形式不同而有顯著差異，並進行 Scheffe's 法事後 比較。
六、以獨立樣本 t 檢定（Independent samples t-test）檢驗性別因素與解題習慣在小 六學童分數應用問題測驗的表現是否有顯著差異。
25
第四章 結果與討論
本研究依據第三章提出的研究方法進行施測，將得到的研究資料進行統計分 析，得到的研究結果，在本章分成四節呈現。第一節進行測驗工具分析，第二節 探究學童在「分數應用問題測驗」之表現，第三節則探討性別因素於分數應用問 題測驗之差異，第四節為解題習慣於分數應用問題測驗差異性之探究。第一節 測驗工具分析
壹、 測驗工具信度分析
信度方面，以Cronbach's α係數進行測驗題目內部一致性檢定。正式施測結果 顯示，整份測驗的Cronbach's α係數為.90，「文字表徵」、「線段圖表徵」、「文 字加線段圖表徵」三種表徵方式之Cronbach's α係數分別為.71、.72、.80，由此得 知，本研究之測驗工具具有良好的信度。貳、 測驗工具效度分析
就質性效度而言，本研究使用之測驗工具「分數應用問題測驗」，是研究者參 考民國 92 年九年一貫數學領域課程綱要教學總體目標與欲培養的學生數學能力， 國內學者呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩（2009）和呂玉琴（1998）提出的分 數四則應用問題運算類型，以及陳竹村（2000）提出的線段圖繪製三原則來命題， 經由專家及教學年資超過十年以上的三位資深小學教師審核，並根據預試結果加 以修改試題。施測前，請協助施測的老師進行作答方式說明，避免因受試者不清 楚作答方式而影響施測結果的情況產生。26 表 4-1-1 分數應用問題測驗三種表徵與測驗總分之相關係數表 表徵方式 分數應用問題總分 文字表徵 .899(**) 線段圖表徵 .908(**) 文字加線段圖表徵 .915(**) **p <.01 就
量化
效度而言，從表 4-1-1 可知，分數應用問題測驗之測驗總分與「文 字表徵」、「線段圖表徵」、「文字加線段圖表徵」這三種表徵之相關係數均符 合統計中.01 顯著水準；從表 4-1-2 可知，個別試題二元化得分和測驗總分間的相 關係數在統計中.01 的顯著水準下，皆達顯著相關。由此可知，本測驗工具具有良 好的內部一致性，具備建構效度。 表 4-1-2 各試題之點二系列相關係數表 題號 點二系列 相關係數 題號 點二系列 相關係數 題號 點二系列 相關係數 1 .429** 11 .497** 21 .558** 2 .566** 12 .386** 22 .703** 3 .431** 13 .384** 23 .481** 4 .482** 14 .626** 24 .532** 5 .491** 15 .414** 25 .455** 6 .429** 16 .524** 26 .489** 7 .451** 17 .609** 27 .583** 8 .586** 18 .390** 28 .537** 9 .493** 19 .560** 29 .594** 10 .442** 20 .449** 30 .622** ** p <.0127
參、 測驗工具難度及鑑別度分析
正式施測測驗之難度與鑑別度見表 4-1-3。本測驗試題難度介於.59～.89 之間， 試題鑑別度介於.19～.81 之間。第 6、7、8、16、18、19、21、27 題，雖難度值 稍微偏高，但第 6、7、8、19、27 題鑑別度值.32～.38 之間，屬優良等級，而第 16、18、21 題鑑別度亦在.25 以上。難度大於.81 且鑑別度小於.25 的試題為第 3、 10、12、13、20、23、26 題。其中，第 3、13、23 題為除法中的等分除類型，此 三題各代表一種表徵類型，第 10、26 題為加減法中的改變類型，分別為文字表 徵及文字加線段圖表徵。由此可推論，在此測驗中，除法中的等分除類型和加減 法中的改變類型，對學生而言是較易理解的問題類型。第 12 題為線段圖表徵， 屬於加減法中的比較類型，第 20 題為線段圖表徵，屬於包含除中分數除以分數 的部分，此 7 題若刪掉其中一題，會使各個表徵與運算類型的搭配不完整，況且， 這幾道題在整份測驗中，本就屬於偏易的題目。因此，施測結果將完整留作分析。 表 4-1-3 國小六年級分數測驗正式施測難度與鑑別度一覽表 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 難度 .74 .75 .88 .59 .76 .84 .84 .83 .63 .89 鑑別度 .38 .49 .24 .64 .48 .32 .32 .35 .60 .19 題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 難度 .72 .87 .89 .60 .62 .87 .62 .87 .81 .89 鑑別度 .56 .22 .22 .81 .55 .27 .73 .25 .38 .22 題號 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 難度 .87 .78 .88 .67 .72 .89 .83 .59 .79 .78 鑑別度 .25 .44 .24 .67 .52 .22 .35 .76 .38 .4128
第二節 學童於「分數應用問題測驗」之表現
本節先探究小六學童在分數應用問題測驗的表現，再以單因子變異數分析檢 驗表徵形式不同以及運算方式的不同，學童作答是否會有顯著差異。壹、 小六學童分數應用問題測驗的表現
由表 4-2-1 得知，整份測驗答對率介於.54～.92 之間，第 3、7、10、13、16、 20、21、23、26 題的平均答對率高於.90，表示學生大多均能選出正確的列式。 其中，第 3、13、23 題為除法中的等分除類型，第 10、16、26 題為加減法中的 改變類型，第 7、20 題為除法中包含除分數除以分數的部分，而同類型第 30 題 的答對率亦高達.85，第 8、19、21 題為加減法中的併加類型，答對率均高於.88， 表示學生等分除、改變、包含除分數除以分數的部分，這些類型能充分理解。因 此，無論是文字表徵、線段圖表徵、文字加線段圖表徵，學生均能正確作答。 由表 4-2-1 得知，這份試卷中答對率不到七成的題目共有七題，分別是第 4、 9、14、15、17、24、28 題，這七題除了第 15 題為乘法中的倍型類型外，其他六 題均為除法的當量除類型，當量除部分的整體答對率約為.60，表示有四成的學 生對於當量除這種問題類型，無法充分理解，當量除在分數應用問題中，仍是學 生感到較困難的部分。另外，乘法中的倍型類型為第 6、15、22 題，第 6 題文字 表徵以及第 22 題文字加線段圖表徵的答對率皆為.86、第 15 題線段圖表徵答對 率為.63，第 15 題答對率明顯低於第 6 題及第 22 題，造成此結果的原因可能是 倍型問題為學生平時常接觸的題目，因此對其文字表徵相當熟悉，而倍型關係的 線段圖表徵對學生而言比較陌生，因此第 22 題，當有文字表徵輔助時，學生可 藉由文字表徵做判斷，但第 15 題單獨線段圖表徵時，學生就無法掌握題意。
29 表4-2-1國小六年級分數測驗正式施測各題答對率 分數四則運算類型 文字表徵 線段圖表徵 文字加線段圖表徵 題號 答對率 題號 答對率 題號 答對率 加減法 比較類型 1 .77 12 .88 29 .85 併加類型 8 .88 19 .88 21 .91 改變類型 10 .92 16 .91 26 .91 乘法 等組型 5 .80 11 .76 25 .75 倍型 6 .86 15 .63 22 .86 除法 包含除 分數÷整數 2 .80 18 .88 27 .88 分數÷分數 7 .90 20 .91 30 .85 等分除 3 .91 13 .90 23 .90 當量除 整數÷分數 4 .54 14 .59 24 .66 分數÷整數 9 .62 17 .62 28 .55
貳、 不同表徵方式小六學童分數應用問題表現情形
由表 4-2-2 可以得知，小六學童在分數應用問題測驗的文字表徵、線段圖表 徵、文字加線段圖表徵的平均得分分別為 8.00、7.97、8.13，表示學生在這三種 表徵方式下的得分僅有些微差異，進一步用單因子變異數分析，得到 F 值顯著性 為.732>.05，沒有達統計上的顯著水準，表示小六學童在三個分測驗上的表現未 達統計上的顯著差異。 線段圖表徵對學生的解題表現並沒有明顯的助益，這部分的研究結果和蔣治 邦（2000）、古明峰（1998）的研究結果相符，和林文彥（2007）、何明瑾（2007）、 楊馥如（2012）、林施君（2013）、張淵揚（2014）的研究結果不相符，推測可 能原因是研究者在施測前，並未特別進行線段圖表徵教學，若教師平時在進行教 學時，又較少使用線段圖表徵教學策略，學生在對線段圖不熟悉的情況下，要將 線段圖所欲呈現的數量關係與文字題相連結，進而理解題意，並列出正確算式，30 的確有很高的難度。相較對線段圖的不熟悉，學生對文字表徵就熟悉許多，但文 字表徵的解題表現亦未明顯優於線段圖表徵，可見分數應用問題對學生而言是比 較困難的。較令研究者驚訝的是，原先預測學生在文字加線段圖表徵的解題表現 應會是三種表徵方式中最好的一種，因它結合了兩種表徵，對題意的表達應更加 清楚才是，但結果並非如此，推測是文字加線段圖表徵的題目呈現過長，學生可 能缺乏耐性詳加判讀，或者是訊息太多，反而不知從何抓取重點，類似情況出現 在陳啟明（2000）、徐黎婷（2010）的研究所提及的，學生在短語題解題表現明 顯優於文字題。 表 4-2-2 學生分數應用問題測驗不同表徵方式之表現 文字表徵 線段圖表徵 文字加線段圖表徵 F 檢定 顯著性 平均數 標準差 平均數 標準差 平均數 標準差 8.00 2.006 7.97 2.031 8.13 2.214 .313 .732 由表 4-2-3 可以得知，分數四則加減法部分，以線段圖表徵得分最高，文字加 線段圖表徵次之，文字表徵得分最低，以單因子變異數加以分析，F 值顯著性為.011 ＜.05，達統計上的顯著水準，進一步用 Scheffe's 法事後比較分析，發現小六學童 在分數加減法部分，線段圖表徵的表現優於文字表徵的表現；分數四則乘法部分， 以文字表徵得分最高，文字加線段圖表徵次之，線段圖表徵得分最低，以單因子 變異數加以分析，F 值顯著性為.000＜.05，達統計上的顯著水準，進一步用 Scheffe's 法事後比較分析，發現小六學童在乘法部分，文字表徵的表現優於線段圖表徵的 表現，文字加線段圖表徵的表現亦優於線段圖表徵的表現；分數四則除法部分， 以線段圖表徵得分最高，文字加線段圖表徵次之，文字表徵得分最低，以單因子 變異數加以分析，F 值顯著性為.581＞.05，未達統計上的顯著水準，表示小六學 童在除法部分，文字表徵、線段圖表徵、文字加線段圖表徵三種表徵的表現，並 沒有明顯差異。
31 表 4-2-3 學生分數應用問題測驗分數四則不同表徵方式之表現 分數 四則 表徵方式 平均數 標準差 F 檢定 顯著性 Scheffe's 法事後比較 加減 文字表徵 2.57 .739 4.517 .011 線段圖表徵 ＞文字表徵 線段圖表徵 2.76 .508 文字加線段 圖表徵 2.67 .735 乘法 文字表徵 1.66 .576 9.648 .000 文字表徵＞線 段圖表徵 文字加線段圖 表徵＞線段圖 表徵 線段圖表徵 1.39 .721 文字加線段 圖表徵 1.61 .643 除法 文字表徵 3.78 1.208 .544 .581 線段圖表徵 3.90 1.184 文字加線段 圖表徵 3.85 1.276
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第三節 性別因素於分數應用問題測驗之差異
本節在探討不同性別的小六學童在分數應用問題測驗之表現，並進行獨立樣 本 t 檢定以探究不同性別的小六學童在分數應用問題測驗的表現是否有差異。茲將 不同性別小六學童在分數應用問題測驗之表現整理於表 4-3-1。 表 4-3-1 不同性別小六學童分數應用問題解題能力 t 檢定 表徵類型 性別 平均數 標準差 t 值 顯著性 整份測驗 男 23.88 6.200 -.595 .096 女 24.35 5.016 文字表徵 男 7.96 2.055 -.383 .579 女 8.06 1.956 線段圖表徵 男 7.94 2.243 -.262 .021 女 8.01 1.762 文字加線段 圖表徵 男 7.99 2.455 -.961 .037 女 8.28 1.896 （樣本數：男生 112 位，女生 96 位。） 由表 4-3-1 可知，無論是整份測驗，或是文字表徵、線段圖表徵、文字加線段 圖表徵，女生的平均得分均略高於男生，進一步用獨立樣本 t 檢定加以分析，發現 整份測驗與文字表徵這兩部分的顯著性分別為.096 以及.579，皆＞.05，未達統計 上的顯著水準，表示不同性別的小六學童在整份測驗以及文字表徵的表現上並無 顯著差異；至於線段圖表徵與文字加線段圖表徵這兩部分的顯著性分別為.021 以 及.037，皆＜.05，達統計上的顯著水準，表示不同性別的小六學童在線段圖表徵 以及文字加線段圖表徵的表現上，有達到顯著差異，女生表現優於男生。由此結 果可以推測，分數應用問題線段圖表徵對小六女生學童解題幫助高於小六男生學 童。33
第四節 解題習慣於分數應用問題測驗之差異
本節在探討不同解題習慣的小六學童在分數應用問題測驗之表現，並進行獨 立樣本 t 檢定以探究不同解題習慣的小六學童在分數應用問題測驗的表現是否有 差異。 表 4-4-1 不同解題習慣小六學童分數應用問題解題能力 t 檢定 表徵類型 使用線段圖 平均數 標準差 t 值 顯著性 整份測驗 是 24.34 5.131 .857 .022 否 23.47 6.928 文字表徵 是 8.07 1.821 .630 .031 否 7.84 2.441 線段圖表徵 是 8.04 1.904 .792 .095 否 7.79 2.343 文字加線段 圖表徵 是 8.23 2.025 1.005 .045 否 7.84 2.651 （樣本數：使用線段圖解題 151 位，未使用線段圖解題 57 位。） 由表 4-4-1 可知，受測的小六學童在解分數應用問題時，有使用線段圖的習慣 的比率佔全部受測學生約七成三。無論是整份測驗，或是文字表徵、線段圖表徵、 文字加線段圖表徵，有使用線段圖的小六學童平均得分均高於未使用線段圖的小 六學童，進一步用獨立樣本 t 檢定加以分析，發現整份測驗、文字表徵、文字加線 段圖表徵這三部分的顯著性分別為.022、.031 與.045，皆小於.05，達統計上的顯著 水準，表示解題習慣不同的小六學童在整份測驗、文字表徵、文字加線段圖表徵 的表現上有顯著差異，有使用線段圖的小六學童在整份測驗、文字表徵、文字加 線段圖表徵表現優於未使用線段圖的小六學童；至於線段圖表徵這部分的顯著性 為.095＞.05，未達統計上的顯著水準，表示解題習慣不同的小六學童在線段圖表 徵的表現上，未達到顯著差異。34 有使用線段圖幫助自己解題的學生，在整份測驗，文字表徵、文字加線段圖 表徵方面均優於解題時未使用線段圖的學生，但在面對線段圖表徵時，表現卻未 明顯優於未使用線段圖的學生，造成此現象的可能原因為學生在繪製線段圖幫助 自己解題時，是因為有文字說明輔助其畫線段圖，因此表現會比未使用線段圖的 學生來得好；但當沒有文字輔助，只能單從線段圖理解題意，判斷問題中的數量 關係，選出正確的列式時，對學生來說就有難度了。
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第五章 結論與建議
本章將本研究結果加以歸納，提出結論，並就研究過程中遭遇到的限制，以 及對教學與未來研究的建議提出說明。本章共分成三節，依序為研究結論、研究 限制與研究建議。第一節
研究結論
本研究希望透過研究者自編的「分數應用問題測驗」探討小六學童在不同表 徵型式下的分數應用問題解題能力，以及性別因素與解題習慣對解題表現的影響。 以下分別就測驗工具分析、小六學童分數應用問題解題表現、性別因素及解題習 慣對分數應用問題解題表現之影響進行結論說明。壹、 測驗工具分析
本研究施測工具「分數應用問題測驗」是參考 92 數學課綱以及國內多位學者 的研究編製而成，經過專家及教學年資超過十年以上的三位資深小學教師審題， 並參考預試結果加以修改。施測前，有清楚說明作答方式，避免受試題本身以外 的因素干擾影響施測結果。 本研究整份測驗的 Cronbach's α 係數為.90，三種表徵方式之 Cronbach's α 係 數分別為.71、.72、.80，顯示本研究測驗工具有良好的信度。效度部分，在統計中.01 顯著水準下，分數應用問題測驗之測驗總分與三種表徵之相關係數以及個別試題 二元化得分和測驗總分間的相關係數全部達顯著相關。由此可知，本測驗工具具 有良好的內部一致性，具備建構效度。貳、 小六學童分數應用問題解題表現
以分數四則應用問題運算類型來看，學生在改變、併加、等分除、包含除分 數除以分數等類型，不論是文字表徵、線段圖表徵或是文字加線段圖表徵，學生36 均能充分理解。加減法部分的答對率，改變類型高於併加類型高於比較類型，這 樣的研究結果和劉秋木（1996）提出的觀點相符合。王志銘、劉祥通（2007）在 研究中提到 Walle（2001/2005）曾提出分數除法是分數之中最難理解的；除法當 中的當量除，更讓學生困惑（王志銘、劉祥通，2007），這樣的論點和本研究結 果相符。學生在「分數應用問題測驗」中，除法的答對率最低，除法之中，又以 當量除的答對率最低，可見分數除法的當量除類型，仍是學生最感困惑的部分。 小六學童在分數應用問題測驗整體表現上，文字表徵、線段圖表徵、文字加 線段圖表徵的解題表現未達顯著差異。 小六學童在分數應用問題加減法、乘法、除法不同運算方式下，不同表徵的 解題情形說明如下： 在加減法部分，線段圖表徵的解題表現顯著優於文字表徵；進一步探究發現， 併加與改變類型不論是何種表徵方式，答對率都很高，差異不大，差異較明顯的 是改變類型，線段圖表徵的答對率.88 明顯優於文字表徵.77，顯示線段圖表徵在 比較類型較文字表徵能更清楚呈現兩數量間的關係。 在乘法部分，文字表徵的表現顯著優於線段圖表徵的表現，文字加線段圖表 徵的表現亦顯著優於線段圖表徵的表現。乘法的運算類型分為等組及倍型兩類， 等組部分三種表徵類型的答對率差距不大，倍型部分文字表徵以及文字加線段圖 表徵的答對率皆為.86、線段圖表徵答對率僅.63，答對率明顯低了許多， 在除法部分，文字表徵、線段圖表徵、文字加線段圖表徵三種表徵的表現， 沒有明顯差異。等分除以及包含除分數除以分數的類型答對率很高，對學生而言 較能掌握，無表徵方式的差別；當量除部分對學生而言均有較高的難度，普遍較 難掌握，亦無表徵方式的差別，因此除法部分，三種表徵的呈現方式無顯著差異。
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