第一章 緒論
本研究主題在探討國小學童分數應用問題的解題，在文字表徵與線段圖表徵 上的表現，藉此探究線段圖表徵是否有助於國小學童分數應用問題解題能力之提 升。本章將就研究動機、研究目的以及待答問題提出說明，並對本研究涉及之特 定名詞加以定義。
第一節 研究背景與動機
劉秋木（1996）提出分數是國小階段最高階的概念，最難的教材，卻也是日 後數學學習的基石；分數，好似基礎數學和高深數學之間的分水嶺。從教育部在 民國 92 年與民國 97 年發布的數學課程綱要亦可以看出，分數概念是國小數學教 育中極重要的概念，應用課題很廣。分數的學習如此重要，但對學生來說難度卻 很高。國內外均有研究報告指出，分數學習對兒童來說是困難的，因為分數包含 許多子概念，如：等分、單位量、等值分數…… 等，加上「連續量」與「離散量」
的差異，都讓分數學習變得更加困難，再加上部分學生學習分數時，有許多迷思 概念無法釐清，這些種種因素，讓不少學生即使花很長的時間學習，效果卻不好
（陳明宏、呂玉琴，2005）。
應用問題常常是很多學童的夢魘（劉秋木，1996）。吳昭容（2008）的研究 發現，要解決分數應用問題，首要需具備正確列式的能力，其後是理解運算法則，
不少學生面對整數乘除法應用問題時，能列出正確式子，但當數字從整數轉換成 分數時，列式就產生錯誤。吳昭容、黃一蘋（2003）指出有些學童無法理解文字 題的題意，只能將出現在題目裡的數字用加減乘除加以拼湊，或是勉強找關鍵字 當線索，但關鍵字的解法並不絕對，出現「倍」不一定是乘法，「比」也不見得 必定是減法，使得這些學童對文字題十分恐懼。分數除法直接相除的解題方式，
往往使學生能成功模仿其解題策略，當題目提供的兩個數值單位不同時，學生只
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需直接背誦題目問的單位是什麼，就把此單位的數值視為被除數，卻不一定理解 這麼做的理由（王志銘 2007；王志銘、劉祥通，2007）。吳昭容（2008）的研究 指出學生學習整數除法的經驗，會讓學生產生被除數必須比除數大的想法，因此 當遇到分數除法時，就易出現錯誤。
研究者擔任高年級導師有十年的時間，這十年同時也擔任班上的數學科教師。
在教學現場中，研究者發現分數對很多學生而言，學習難度很高，學生在學習分 數時，挫折感很重，有些學生甚至對分數感到恐懼。分數是很抽象的概念，學生 又缺乏類似的生活經驗，加上文字題本身就有一定的難度，因此，當遇到分數應 用問題時，很多學生不是硬記算法、運用關鍵字，就是用猜測的方式解題，於是 常會出現以下的情況：同一類型的文字題出現在分數單一概念的試卷上，與出現 在分數四則的試卷中，答題表現有明顯的差異，學生在分數單一概念的試卷上即 使不了解題意，大多也能列出正確算式，因同一單元所使用的運算符號相同，學 生可藉由猜測來列式，但這種方式遇到試卷內容包含分數四則時，學生就無法正 確解題，因此同一類型的文字題，出現在單一概念試卷的答對率比出現在分數四 則混合的答對率明顯來得高；有些學生對於熟悉的題目，可以正確解題，但當題 目稍作變化，用不同的語句表達，即使題目的概念相同，學生仍無法順利解題；
學生有時能正確解題，但當詢問如此列式的原因時，學生卻無法回答，因此，當 題目較多變化，或是分數四則混合在一起時，學生就不一定能正確解題；學生習 慣的除法列式是大數除以小數，但當遇到分數除法，被除數比除數小的情況有可 能出現時，學童就很難判斷，到底哪個數值是被除數？哪個數值又是除數？類似 的情況也發生在乘法，學生習慣的乘法是越乘越大，但當遇到分數乘法得出的答 案比被乘數小時，學生就容易感到困惑。
另外常見的情況是，教師在講解學生不會的分數應用問題時，有時僅需將分 數替換成整數，學生就可以正確解題，但當題目用分數呈現時，學生就無法列出 正確的算式。綜合上述可知，學生在學習分數四則應用問題時，光是要列出正確
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的式子，就面臨極大的困難與挑戰，更別說後面運算的部分，因此，如何協助學 生正確列出分數四則應用問題的算式，就顯得格外重要了。
劉秋木（1996）指出解文字題的第一步是了解題意。表徵的運用，可以協助 學生了解文字題的題意，進而幫助學生數學解題。應用問題的表徵型式不同，會 影響學生的解題表現。國內一些研究（洪義德，2002；徐黎婷，2010；陳啟明，
2000）均發現，學生在圖像表徵上的解題表現明顯優於在文字表徵上的解題表現。
胡蕙芬、李源順（2005）在進行教學實驗後發現，圖像表徵可以協助學生理解概 念，多元布題可以增強學生解讀應用題的敏銳度，學生解決問題的能力也因而提 升；劉祥通、黃國勳、蘇逸潔（2010）的研究指出運用視覺化表徵進行教學，可 以幫助學生不需記誦解題算則，就可以順利解題；張熙明（2004）研究發現具體 及半具體的圖像表徵可以提升學生的分數概念；吳碧真（2012）的研究結果也支 持圖像表徵有助理解題意。由以上研究可以得知，圖像表徵可以提升學生的數學 解題能力。但也有研究指出，圖示教學雖能幫助學童不使用錯誤策略解題，但由 於此系統不易理解，因此對於解題能力的提升幫助不大，反倒是直接使用語文講 解，可以幫助學童解題（謝毅興，1991）。
線段圖表徵是圖像表徵的一種，可以幫助學童將抽象的文字轉化成具體圖像，
教學者可以使用線段圖清楚呈現文字表徵描述的問題，讓問題中的數量關係具體 化（陳竹村，2000；楊馥如，2012）。陳竹村（2000）指出線段圖可說是分數應 用問題的多重關係示意圖。教學者常使用線段圖幫助學童釐清問題。國內不少研 究（何明瑾，2007；林文彥，2007；林施君，2013；楊馥如，2012）均發現運用 線段圖表徵的教學策略，能提升學生應用問題的解題能力。林惠真（2005）的研 究也發現學生在線段圖表徵的解題表現明顯優於文字表徵與圖畫表徵；而圖畫表 徵的解題表現明顯優於文字表徵。上述研究均肯定線段圖可以幫助學生解題，但 也有研究持保留態度，蔣治邦（2000）的研究指出學童在沒有線段圖輔助的情況 下解題，表現優於有線段圖的輔助，可能是線段圖學生並不熟悉，因此使用線段 圖表達文字題的含義，效果沒有想像中的好；古明峰（1998）研究也發現有參與
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語意結構圖示策略課程的學生在應用題的得分並未優於接受一般教學的學生。綜 上所述，雖然有學者表示不同意見，但較多學者肯定線段圖表徵對應用問題的解 題有實質的幫助。
依據上述研究與研究者的教學經驗，本研究希望編製一份分數應用問題測驗，
探討學生在文字表徵、線段圖表徵、文字加線段圖表徵這三種表徵方式下，分數 四則應用問題的解題情形，以深究線段圖表徵是否有助提升學生分數應用問題的 解題能力。
第二節 研究目的
基於上述研究動機，本研究自編一份包含文字表徵和線段圖表徵的「分數應 用問題測驗」，藉以探究國小學童分數應用問題的解題能力與問題表徵之間的關 係，並更進一步探討性別、解題習慣在不同問題表徵的呈現下對學童分數應用問 題解題能力的影響。基於此研究目的，故本研究待答問題如下：
一、自編測驗「分數應用問題測驗」的信效度、難度和鑑別度為何？
二、國小六年級學童在「分數應用問題測驗」中不同運算類型之解題表現為何？
三、國小六年級學童在「分數應用問題測驗」中文字表徵、線段圖表徵、文字加 線段圖表徵的表現為何？是否有顯著差異?
四、性別因素與文字表徵和線段圖表徵之相關？
五、解題習慣與文字表徵和線段圖表徵之相關？
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第三節 名詞釋義
以下為研究者針對本研究中涉及之特定名詞的定義：
一、小六學童
本研究的施測對象為一○二學年度第二學期臺中市某兩所國小之六年級學童，
以下簡稱「小六學童」。
二、線段圖
本研究指的線段圖為陳竹村（2000）提到的成比例線段圖，線段圖為圖像表 徵的一種，用數條成比例的線段呈現問題中的數量關係，圖中每一段線段所代表 的意義均須明確標示出來。
三、分數應用問題解題能力
本研究之分數應用問題範圍包含分數加法、減法、乘法、除法的單步驟解題。
本研究指的「分數應用問題解題能力」，係指受試者在「分數應用問題測驗」的 表現得分愈高，表示分數應用問題的解題能力愈好。
四、解題習慣
本研究的解題習慣指的是平時學生在解數學文字題時，是直接解題亦或是會 自行將題目敘述用線段圖方式呈現，再進行解題。
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