問題（problem）和解題（problem solving）的定義，根據不同的學者與不同 的學科領域都有不盡相同的看法，但其關鍵元素與內容則大同小異。若在解題的 前面加上數學兩個字，表示所牽涉到的是數學問題，或在解題時需要用到的是數 學的知識或方法，因本研究為數學領域的解題，故以下討論之問題和解題皆以數 學問題和數學解題為重點。
一、數學問題（Mathematical Problem）
蔡坤憲（2006）在怎樣解題一書中提到問題可以分成「求解題」（Problems to find）與「求證題」（Problems to prove）兩類，求解題的主要元素是已知數（data）、 條件（Condition）和未知數（Unknown），求解題的目標是尋找問題的未知數
（Unknown），這未知數要能夠符合問題的條件（Condition），把問題未知數和已 知數（data）的條件聯繫起來；求證題的主要元素是假設與結論，求證題的目標 是證明某個敘述明確的結論是正確的或證明它是錯誤的。
數學問題可以分成「例行性問題」與「非例行性問題」兩類。例行性問題
（Routine problem）是指我們比較熟悉其解法或比較常接觸的問題，這些問題可 能來自課本的例題或是老師講解過的例題，或者自己曾經演算過的題目及類似 題；這類題目的解題比較需要的是熟練、固定的技巧，或是模仿別人的解法，並 不是將已有的知識或技巧做綜合使用，也不需要深入的數學思考。而非例行性的
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問題（Non-routine problem）是指我們不曾經歷或經歷過但是次數不多，而且已 經遺忘解題方法的問題，因此常常無法馬上想到解題策略，因此解題者面對非例 行性的問題時需要從已經學過的數學知識和技巧做搜尋並綜合使用之，而且常需 要做較深入的數學思考。（黃招華，2000）本研究之 PISA 測驗試題對本研究的 樣本學生來說偏向「非例行性問題」。
二、數學解題歷程（Mathematical Problem Solving）
美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM ）
（1980）強調「解題是數學教育的中心」，1989 年 NCTM 在其出版的中小學課 程及評量標準中第一個項目就是「Mathematics as problem solving」（數學就是解 題），而 NCTM 在接下來幾次公佈的課程標準和評量標準，都延續 1989 年的精 神把「Mathematics as problem solving」列為一個重點（NCTM，2000）。
以下簡述幾位重要學者的數學解題理論：
美國學者杜威（Dewey，1910）在他很有名著作「思維術」（How We Think）
一書中提到解題的五個步驟為：1.遭遇問題；2.分析問題，確認困難所在；3.假 設可能的解決方法；4.由假設推理並蒐集資料直到問題解決 5.檢驗所得結果是否 正確。之後相關學者提出的解題步驟與杜威多有類似之處。
G. Polya（1974）在如何解題（How To Solve It）一書中將解題歷程分成以下 四個步驟：
1.了解問題：了解問題的文字敘述，並從題目所給的資料中，找尋已知數、未知 數、條件和解題的目標等。
2.擬訂計畫：依據現有的資料，找出已知數和未知數的聯繫，進行解題計畫。
3.執行計畫：將解題計畫付諸實現，並仔細的檢查每一個步驟。
4.驗算與回顧：回顧所完成的解答，並檢驗論證過程，是否有其他更好的方法，
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此結果能應用到別的問題上嗎？
第一步驟（了解問題）是必要的，因為學生無法正確回答一個他不了解的問 題，然而並非每個步驟都是必要的，例如：有時解題者可能靈光一閃就從了解問 題直接跳到執行計畫，略過了擬訂計畫；波利亞認為執行計畫相對於擬訂計畫簡 單的多，因為擬訂計畫已經提供了解題的大方向與策略，因此執行計畫時學生只 需要耐心及細心即可完成計畫，而且他認為學生不需要去完整的證明執行計畫的 每個算式或推導過程之正確性，只要算式與推導過程都合情合理符合邏輯即可；
而關於驗算與回顧的部分，波利亞認為大部分學生都會忽略這個步驟，而錯失了 加深數學理解與培養解題能力的機會，因為回顧解答的過程中，我們有機會探索 眼前問題與其他問題或事物之間的關聯性以及能否用同樣的方法解答其他問題。
值得一提的是，自從 1945 年數學家 Polya 出版「怎樣解題」（How to Solve It）
一書後，解題歷程便成為教育學者與數學家的研究重點。
圖 2-3-1 Polya 的解題歷程示意圖
在 Schoenfeld（1985）的相關研究中，提出解題原案巨觀分析架構的解題模 式，認為影響數學解題的四項要素是：資源、捷思、控制與信念，其中控制要素 是指解題歷程可分為以下六個階段：
（1）讀題：閱讀題目之文字、圖表、情境與其它題目資訊
（2）分析：簡化及重述問題，了解問題條件與問題目標之關係
（3）探索：利用相關的問題或是類比法來找出新的資訊
（4）計劃：擬定解題計劃，檢視計劃可行性與適當性 擬訂計畫
執行計畫 驗算與回顧
了解問題
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（5）執行：執行計劃，並了解是否有按照計劃執行
（6）驗證：對解題過程及解題結果的檢視。
這六個步驟與 Polya 的解題四階段有異曲同工之妙。他更利用這六個步驟來 分析解題者的原案，並發現以下現象：
1.如果解題者有使用基模解題，有可能略過分析階段；
2.解題者有可能會在探索階段發現像是使用類比的啟示，而使解題過程更順利；
3.基模導向（Schema-driven）的解題方式常由讀題階段跳至計劃執行階段。
Mason 認為數學解題的歷程可以分成兩種活動，即特殊化（Specializing）和 一般化（Generalizing）。特殊化是指剛解題的時候，可以從問題的特定例子著手，
因為特定例子可以設定成比較容易解決的情形；而一般化則指在完成幾個類似問 題的解題時，能夠將此類問題的解法推廣至其他類似問題。上述這兩種重要的解 題活動中，Mason 再將解題歷程分成三個階段：
1.進入（Entry）：這個階段，解題者聚焦在有哪些訊息是已知的？該達成什麼目 標？該加入什麼訊息？
2.攻擊（Attack）：在了解問題的訊息及解題目標後，提出解題的所有可能的解法，
並執行可能的解法。
3.回顧（Review）：最後階段則是檢驗答案的正確性，並反思解題過程的關鍵點，
以便推廣正確解法至類似的問題。黃招華（2000）
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研究者總結 Deway、Polya、Mason 與 Schoenfeld 的解題歷程如下表：
表 2-3-1
Deway、Polya、Mason 與 Schoenfeld 的解題歷程
學者
Deway Polya Mason Schoenfeld
解 題 歷 程
遭遇問題
了解問題 進入
讀題 分析問題，確
認困難所在 分析
假設可能的
解法 擬訂計畫
攻擊
探索
計畫 執行假設與
蒐集資料 執行計畫 執行
檢驗結果 驗算與回顧 回顧 驗證
從表中可以看出各學者的解題歷程都有同樣的主要結構與順序（順序不是單 向的），故本研究採用 Polya 的解題歷程四步驟，即 1.了解問題 2.擬訂計畫 3.
執行計畫 4.驗算與回顧。
三、影響數學解題的變項
Schoenfeld（1985）在其所著的「數學解題」（Mathematical Problem Solving）
一書中，強調數學解題的研究需要考慮四個變項：
1.資源（Resources）：解題者已經學會的數學知識，包括數學事實、解題程序、
與解題技巧等。
2.捷思（Heuristics）：一種解題解題者用來解決不熟悉或是困難題目的策略。例
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如：畫表格，尋找規律、猜測、簡化問題。
3.控制（Control）：控制指的是解題者在閱讀完題目之後，進行的解題歷程，例 如如何計畫、如何選擇目標、採用何種策略與監控和評估解 題結果，所以控制是解題的中心靈魂。而 Schoenfeld（1985）
以控制的觀點將解題歷程分如成（1）讀題（2）分析（3）探 索（4）計劃（5）執行（6）驗證 六個步驟。
4.信仰系統（Belief system）：解題者對於數學的態度，解題者的數學態度將會影 響其解題行為。
Kilpatrick 探討八年級學生解非例行文字題的策略，發覺受試者使用的策略 約有：(1)畫圖；(2)使用連續漸進；(3)詢問問題解決方法的存在性與唯一性；(4) 演繹；(5)運用算式；(6)嘗試錯誤；(7)檢查答案等（顏榮義，2001）。
四、總結數學解題歷程理論的心得
綜合以上問題解決歷程理論之文獻，有關解題歷程方面，研究者將採用 Schoenfeld 的巨觀分析架構分析原案，即 Schoenfeld 之影響數學解題變項中的”
控制”變項將解題歷程分成六個步驟：1.讀題 2.分析 3.探索 4.計畫 5.執行 6.驗 證，但因為本研究之題型與題目內容幾乎都是判讀統計圖即可得解，不需要冗長 的數學計算或數學推理過程，因此本研究擬將計畫與執行兩階段合併為”計畫-執行”一階段，故本研究將解題歷程分為：1.讀題 2.分析 3.探索 4.計畫-執行 5.
驗證，共五個階段。
而關於數學解題成敗的因素，本研究採取 Schoenfeld 之影響數學解題的四個 變項：資源、捷思、控制與信仰系統，但對本研究之測驗題目與分析方式來說，
僅”資源”變項較明顯可以分析研究，故分析學生解 PISA 之錯誤類型時將以資源 變項的觀點分析之。
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第叁章 研究方法
本研究之研究問題一採用 Cronbach's Alpha 係數值檢驗九年一貫統計圖試題
（受測學生之一年級上學期第三次段考）與 PISA 連續變數統計圖測驗各自的一 致性與可靠性，採用 Pearson 相關係數檢驗兩項測驗的相關性；而研究問題二與 研究問題三則屬於質性分析研究，因為近來有關解題歷程的研究上多使用放聲思 考，因此研究者將以放聲思考晤談法（thinking aloud interviews）分析學生的解 題歷程，方式是在正式施測之後，挑選測驗表現高成就與中成就的學生代表進行 放聲思考測驗並輔以晤談，利用錄影的方式將學生放聲思考測驗與晤談的過程記 錄成數位檔案，事後便可利用數位檔案將學生的解題歷程製作成有時間順序的文 字稿原案以供研究者做解題歷程與錯誤類型的分析，分析採用 Schoenfeld 的解題 歷程理論。本章將就研究設計、研究情境與對象、研究資源與工具、研究步驟與 過程與資料分析分成五節說明。