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探討高職ㄧ年級學生在PISA數學素養測驗之解題歷程與錯誤類型–以橫軸與縱軸皆是連續變數的統計圖試題為例

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Academic year: 2021

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(1)國立臺灣師範大學科學教育研究所碩士班 碩士論文. 指導教授:張文華 博士. 探討高職ㄧ年級學生在 PISA 數學素養測驗之解 題歷程與錯誤類型–以橫軸與縱軸皆是連續變數 的統計圖試題為例 Process and Error Types of Vocational High School Students in Solving PISA Mathematics Questions about Statistical Charts with Horizontal and Vertical Axis are both Continuous Variables. 研 究 生:林原充. 中 華 民 國 103 年 6 月.

(2) 致謝 首先誠摯的感謝指導教授張文華博士悉心的教導使我得以學習、成長並完成 這份碩士論文,老師總是耐心的同我討論並指點正確的方向,使我在這兩年中獲 益匪淺。 本論文的完成亦得感謝台灣師範大學數學系的左台益老師與臺北市大學數 學系的李源順老師的大力協助。因為有你們的建議及幫忙,使得本論文能夠更完 整而嚴謹。 也要感謝研究室裡的眾位學長姐、同學、學弟妹的共同砥礪與建言,大家的 幫助與陪伴都是我完成論文的基石。 還要感謝我的兄長適時給予我精神鼓勵,並讓我有方便的列印管道,最後, 謹以此文獻給我摯愛的雙親。. I.

(3) 探討高職ㄧ年級學生在 PISA 數學素養測驗之解題歷程與錯 誤類型–以橫軸與縱軸皆是連續變數的統計圖試題為例 摘要 我國九年一貫課程數學科能力指標關於統計圖表的教學主要是長條圖、折線 圖與圓形圖三種圖形,然而國際上的大型數學測驗題目,例如 The Programme for International Student Assessment 國際學生能力評量計劃,卻包含了不少橫軸與縱 軸皆是連續變數且資料變化率不斷在改變的統計圖試題,因此本研究的目的是要 了解我國高職一年級學生在九年一貫課程統計圖試題的表現與 PISA 連續變數統 計圖試題之表現之關係,以及其在解 PISA 連續變數統計圖試題的解題歷程為何 與錯誤類型。 本研究採用 Pearson 相關係數檢驗 53 名高職一年級學生在九年一貫課程統 計圖試題與 PISA 連續變數統計圖試題兩項測驗之表現的相關性;對 12 名學生 解 PISA 連續變數統計圖試題實施「放聲思考測驗」,將解題歷程分為「讀題、 分析、探索、計畫-執行、驗證」五階段,並根據 12 位學生在筆試與放聲思考之 原案等資料,比對專家解題歷程,以質性分析的方式探討高職一年級學生的解題 歷程與錯誤類型。 研究結果發現高職一年級學生在我國九年一貫數學統計圖試題的表現與 PISA 數學科連續變數統計圖試題的表現有顯著中度正相關;而分析學生放聲思 考解 PISA 連續變數統計圖試題的解題歷程發現: 1.學生閱讀題組情境與統計圖都不夠仔細,且讀題時不習慣在關鍵字做記 號。 2.學生花更多時間於分析階段來重新釐清題目條件與目標的關係。 3.大部分學生解這類題型時沒有經歷探索階段。 II.

(4) 4.解答這類題型後學生都沒有做驗證動作。 5.大部分學生都能讀出統計圖的一個點的資料或一段曲線的增、減資料。 6.中成就學生比高成就學生容易粗心讀錯統計圖位置。 7.全部學生都不會使用斜率概念判斷統計圖曲線之資料變化率。 分析高職一年級學生解 PISA 連續變數統計圖試題發現學生的錯誤類型有: 1.無法理解題目文字敘述或誤解題意。 2.不懂或誤解題目之脈絡情境。 3.只聚焦題目敘述中的數字而忽略其它資訊。 4.粗心讀錯統計圖或粗心沒注意統計圖兩軸代表物。 5.無法將統計圖一段曲線讀成一筆連續資料。 6.無法看懂統計圖一段曲線之連續資料變化率。 7.無法將情境轉化為統計圖曲線之連續資料變化率。. 關鍵字:高職一年級、PISA、連續變數統計圖、解題歷程、錯誤類型. III.

(5) Process and Error Types of Vocational High School Students in Solving PISA Mathematics Questions about Statistical Charts with Horizontal and Vertical Axis are both Continuous Variables Abstract In Taiwan, the Grade 1-9 Curriculum for teaching Statistical charts mainly focuses on bar charts, line graphs and pie charts. However, most international mathematic assessments, such as the Programme for International Student Assessment, contain many continuous variable statistical charts, which relate to the horizontal and vertical axis. This research will discuss whether and why the problem-solving process relates to error type when trying to solve these PISA continuous variable statistical chart questions. This research uses Pearson’s correlation coefficient to examine the performance of 53 first-year vocational high school students within the grade 1-9 curriculum on questions related to PISA continuous variable statistical charts. It also looks at 12 students solving PISA continuous variable statistical chart questions and examines the process using the experimental think aloud protocol research method. This divides the process of problem solving into five steps:reading, analysis, exploration, and plan-implement and verification. Then, after the exam, it uses Qualitative Analysis to discuss the problem solving processes and error types of first-year vocational high school students. The research results show a moderate positive correlation in the performances of first-year vocational school students within the grade 1-9 curriculum on their PISA continuous variable statistical chart exam. Through the analysis of think-aloud data from the problem solving process of PISA continuous variable statistical chart, I found: 1. Students are not careful enough when marking the keywords and reading the chart when they were reading the question set context. 2. Students took longer to understand the relationship between question conditions and objectives. 3. Most students do not know how to solve these questions by the exploration method. 4. Students did not normally verify their results after solving the questions. 5. Most students are able to read statistical chart points and curve data showing increase and decrease. IV.

(6) 6. The mid-level students make more mistakes than high-level students because of carelessness in solving questions. 7. Students do not know how to use the concept of slope when thinking about the rate of change of the statistical chart curve data. Error types in analysis by first-year vocational school students in PISA continuous variable statistical chart performances are: 1. Not understanding the description of the exam or misinterpreting the questions. 2. Misunderstanding the context of the questions 3. Only focusing on the numbers but ignoring other information in the questions. 4. Making mistakes while reading the statistic chart and not paying enough attention on the unit of the horizontal and vertical axis. 5. Not understanding the statistical chart curve as linear information. 6. Not understanding rate of change of the continuous data on the statistical chart. 7. Not changing context to the rate of change of continuous data on the statistical chart.. Keywords:First-year Vocational High School students, PISA, continuous variable statistical chart, problem-solving processes, Error type. V.

(7) 目. 錄. 致謝 …………………………………………………………ⅰ 中文摘要 ……………………………………………………ⅱ 英文摘要 ……………………………………………………ⅳ 目錄 …………………………………………………………ⅵ 表目錄 ………………………………………………………ⅷ 圖目錄 ………………………………………………………ⅹ 第壹章 緒論 .................................................................................. 1 第一節 第二節 第三節 第四節 第五節. 研究動機 .......................................................................................................... 1 研究目的 .......................................................................................................... 2 研究問題 .......................................................................................................... 2 名詞定義 .......................................................................................................... 2 研究範圍與限制 .............................................................................................. 4. 第貳章 文獻探討 .......................................................................... 5 第一節、各國數學領域統計單元之課程標準 .......................................................... 5 第二節、THE PROGRAMME FOR INTERNATIONAL STUDENT ASSESSMENT(PISA)之 數學素養評量的內涵 ................................................................................. 15 第三節、問題解決歷程(PROBLEM SOLVING PROCESSES)..................................... 21. 第叁章 研究方法 ........................................................................ 27 第一節 第二節 第三節 第四節 第五節. 研究設計 ........................................................................................................ 27 研究情境與對象 ............................................................................................ 28 研究資源與工具 ............................................................................................ 30 研究步驟與過程 ............................................................................................ 35 資料處理 ........................................................................................................ 37. 第肆章 結果與討論.................................................................... 41 第一節、高職一年級學生在九年一貫課程統計圖試題的表現與 PISA 連續變數 統計圖試題的表現之關係 ......................................................................................... 41 第二節、高職一年級學生在解 PISA 連續變數統計圖試題的解題歷程 ............ 44 第三節、高職一年級學生在解 PISA 連續變數統計圖試題的錯誤類型 ............ 81 VI.

(8) 第伍章 結論與建議.................................................................... 88 第一節 結論................................................................................................................. 88 第二節 建議................................................................................................................. 91. 參考文獻 ...................................................................................... 93 一、中文文獻 .............................................................................................................. 93 二、英文文獻 .............................................................................................................. 94. 附錄 ............................................................................................... 95 附錄一、受測學生一年級上學期第三次段考試題................................................ 95 附錄二、PISA 筆試試題 ............................................................................................ 97 附錄三、專家與學生解題歷程時間表…………………………………………109 附錄四、專家與學生於各題組之解題階段所花時間…………………………147. VII.

(9) 表目錄 表 2-1-1、九年一貫課程數學領域各階段能力指標………………………….………6 表 2-1-2、九年一貫課程數學領域「統計與機率」主題分年細目表………….………7 表 2-1-3、美國數學教師協會(NCTM) 「統計與機率」能力指標…………….………9 表 2-1-4、澳洲國定數學課程「機率與資料」各學習群組能力指標說明……..…….12 表 2-3-1、Deway、Polya、Mason 與 Schoenfeld 的解題歷程…………………...…….25 表 3-3-1、實用班一年級上學期第三次段考範圍之教學內容與教學時間…..…….31 表 3-3-2、九年一貫課程數學領域「統計與機率」主題各階段能力指標……..…….32 表 3-3-3、一年級上學期第三次段考數學科雙向細目表……………………..…….32 表3-3-4、解題歷程分析表…………………………………………………….……..34 表 3-5-1、S03 放聲思考測驗錄影檔分析解題歷程說明表…………………………38 表 4-1-1、PISA 正式測驗筆試各小題難度與鑑別度…………………………..……42 表 4-1-2、九年一貫課程統計圖試題與 PISA 連續變數統計圖試題測驗結果分 析…………………………………………………………………………44 表 4-2-1、林老師成長題組解題歷程時間表…………………………………..……45 表 4-2-2、S03 成長題組解題歷程時間表……………………………………..….…46 表 4-2-3、S03 賽車速度題組解題歷程時間表………………………………..….…46 表 4-2-4、S03 水箱題組解題歷程時間表……………………………………..….…47 表 4-2-5、總結專家與學生如何經歷的解題階段……………………………..……51 表 4-2-6、專家於成長題組之解題階段所花時間……………………………..……52 表 4-2-7、高成就學生於成長題組之解題階段所花時間……………………..……53 表 4-2-8、專家與學生於成長題組之解題階段平均時間……………………..……54 表 4-2-9、專家與學生於賽車速度題組之解題階段平均時間表……………..……54 表 4-2-10、專家與學生於水箱題組之解題階段平均時間 …………………..……55 表 4-2-11、專家與學生解各題組與小題平均時間 …………………………..……56 表 4-2-12、答對者與答錯者成長題組解題階段平均時間 …………………..……60 表 4-2-13、答對者與答錯者賽車速度題組解題階段平均時間 ……………..……60 表 4-2-14、答對者與答錯者水箱題組解題階段平均時間 …………………..……61 表 4-2-15、總結專家與學生如何經歷解題階段與各階段解題時間表 ……..……62 表 4-2-16、成長題組專家共同解題歷程特徵表 ……………………………...……63 表 4-2-17、賽車速度題組專家共同解題歷程特徵表..………………………...……64 表 4-2-18、水箱題組專家共同解題歷程特徵表.……………………………………65 表 4-2-19、成長解題歷程特徵表 ……………………………………………...……66 表 4-2-20、賽車速度解題歷程特徵表 …………………………..…………….……67 表 4-2-21、水箱解題歷程特徵表 …………………………….…………………..…68 VIII.

(10) 表 4-2-22、三個題組解題歷程特徵平均表 ……………………………………...…69 表 4-2-23、總結解題歷程特徵表(以各題組小題敘述)……………………….……76 表 4-2-24、總結解題歷程特徵表(整合各題組的敘述)……………………….……77 表 4-2-25、總結學生解題歷程為何 ……………………………………….………80 表 4-3-1、53 名筆試學生主要具體錯誤類型………………………………………82 表 4-3-2、成長題組錯誤類型分析……………………………………….…………84 表 4-3-3、賽車速度題組錯誤類型分析表………………………………….………85 表 4-3-4、水箱題組錯誤類型分析……………………………………….…………85 表 4-3-5、總結學生於各小題缺乏的資源之人數表……………………….………86 表 4-3-6、學生解 PISA 連續變數統計圖試題錯誤類型表………………….………87. IX.

(11) 圖目錄 圖 2-2-1、數學歷程循環……………………………………………………………17 圖 2-2-2、PISA 數學素養之成分圖…………………………………………………18 圖 2-2-3、數學化(Mathematisation) 之循環 ………………………………………..19 圖 2-2-4、PISA 數學素養評量之「內容領域」 、 「數學歷程」 、 「情境脈絡」與「評 量試題類型」關係圖……………………………………………………20 圖 2-3-1、Polya 的解題歷程示意圖…………………………………………………23 圖 3-1-1、研究架構…………………………………………………………………28 圖 3-4-1、研究流程…………………………………………………………………36. X.

(12) 第壹章 緒論. 第一節 研究動機. 在現代生活中,不論是報章媒體、工作與生活都有機會遇到不少與統計相關 的圖表,尤其在這資訊暴增的年代,具有統計素養,能將複雜的資料化為有系統、 有規則、有意義的統計圖表並能識讀統計圖表是必要的,在此趨勢之下,世界各 國之國民教育中的數學領域皆包含了”機率與統計”這個主題,因此現代國民教育 勢必要包含統計這門學問。我國的國民中小學九年一貫課程綱要便將數學領域分 為五大主題,其中的一個主題便是「統計與機率」,而從能力指標與分年細目表 都可以看出,我國學生在國中階段所學的統計圖表內容,主要局限於長條圖、折 線圖與圓形圖三種圖形,而且統計圖(長條圖、折線圖)中的橫軸資料幾乎都是 非連續變數或是類別、項目,即便兩軸單位都是連續變數(例如:橫軸代表時間、 縱軸代表身高),其統計圖上的資料曲線亦是以幾筆點資料用直線連接的方式呈 現,並沒有針對橫軸與縱軸皆是連續變數且統計圖曲線上的資料變化率不斷在改 變的統計圖(即統計圖曲線非單純幾條直線相接而是呈現出真正的曲線)做教 學,高中的數學則是到高二才會學到更高階的機率與統計概念。然而,國際上的 大型數學測驗題目,例如 The Programme for International Student Assessment 國際學 生能力評量計劃(以下簡稱 PISA,針對 15 歲也就是國三畢業或高一的學生之測 驗),卻包含了不少橫軸與縱軸皆是連續變數且統計圖曲線上的資料變化率不斷 在改變之統計圖試題。PISA 的題目是經過國際專家編寫與測試後具有高專家效 度之題目,因此非常適合將之作為研究學生解題歷程的素材。 基於培養學生統計素養的理念,研究者希望探討國中畢業程度的學生在面對 兩軸皆是連續變數且資料變化率不斷在改變之統計圖的情境化問題時,其解題歷 1.

(13) 程如何運作,以及學生常犯的錯誤類型為何,藉以提供國中數學教師之教學參 考,或高中、職數學教師之銜接教學的借鏡。. 第二節 研究目的. 在國中階段,數學科少有關於兩軸皆是連續變數的統計圖教學,更沒有曲線 變化率不斷在改變的統計圖教學,而國際上的大型學生數學評量(例如:PISA) 卻有兩軸皆是連續變數且統計圖曲線上的資料變化率不斷在改變的統計圖試題, 因此國中剛畢業的學生在面對此類題目的解題歷程與錯誤類型是值得分析研究 的。尤其 PISA 的試題又是以具備脈絡情境的方式呈現,從中更能看出學生在學 過九年一貫課綱下的數學統計課程後,是否能順利解決此類生活情境的問題、以 及學生的錯誤類型有哪些?因此本研究之目的主要希望可以改善學生解橫軸與縱 軸皆是連續變數的統計圖試題的答對率,以利提升學生於國際數學測驗之表現, 研究結果也可以供課程編排與教師教學之參考。. 第三節 研究問題. 1.高職一年級學生在九年一貫課程統計圖試題的表現與 PISA 連續變數統計圖試 題之表現之關係? 2.高職一年級學生在解 PISA 連續變數統計圖試題的解題歷程? 3.高職一年級學生在解 PISA 連續變數統計圖試題的錯誤類型?. 第四節 名詞定義. 2.

(14) 一、連續變數(Continuous Variable)、非連續變數(Discontinuous Variable) 在統計學中,變數按變數值是否連續可分為連續變數與離散變數(或稱非連 續變數)兩種。在一定區間內可以任意取值的變數叫連續變數,其數值是連續不 斷的,相鄰兩個數值可作無限分割,即可取無限個數值。例如:體重、身高、時 間等均為連續變數。 反之,變數的任何兩數值之間只有有限個(或零個)介於兩者之間、大小不 同的數值時,則稱為非連續變數。例如:牛隻個數、年級、座號等均為非連續變 數。. 二、解題歷程(Problem Solving Processes) 一般所謂的「解題歷程」是指:運用個人已有的知識、技能或靈光一現的巧 思,以解決一個不熟悉且尚未有明確解法之問題的過程。 在本研究中,「解題歷程」專指解題者運用已有的數學知識和技能解決數學 問題之過程,過程中會有「讀題」 、 「分析」 、 「探索」 、 「計畫」 、 「執行」與「驗證」 六個主要步驟。. 三、統計圖 統計圖是指利用各種圖像表徵明顯地表示出蒐集到的資料、資料特徵或資料 間關係的的圖形,有別於函數圖形,統計圖是利用蒐集到的資料繪製而成,而函 數圖形可以在沒有蒐集資料的情況下自訂產生,常見的統計圖有長條圖、折線 圖、圓形圖、直方圖與盒狀圖等。. 四、九年一貫課程之統計圖 各國國民教育數學領域常見的統計圖表有長條圖、折線圖、圓形圖、直方圖 與盒狀圖等,我國的九年一貫課程數學統計課程也不例外,本研究所謂九年一貫 課程之統計圖專指長條圖、折線圖與直方圖,這些統計圖常利用來表示兩種變數 3.

(15) (通常一種是類別變數,一種是數值變數)之間的關係圖,通常以橫軸代表類別 變數(非連續變數),以縱軸代表數值變數(可以是非連續變數、也可以是連續 變數),因此長條圖、折線圖與直方圖呈現的統計資料大部分至多只有其中一條 軸線(常使用縱軸)會代表連續變數;即便兩軸單位都是連續變數(例如:橫軸 代表時間、縱軸代表身高),其統計圖上的資料曲線亦是以有限筆點資料間用直 線連接的方式呈現,故各筆點資料之間的資料變化率為常數,本研究稱之為九年 一貫課程之統計圖。. 五、PISA 連續變數統計圖 與上述不同的,本研究所挑選的 PISA 數學試題,每一題組都包含一個橫軸 與縱軸皆是連續變數的統計圖,且其統計圖上的資料曲線的變化率不斷在改變, 故其統計圖曲線不是直線,而是有彎曲的曲線,故有別於我國九年一貫課程內所 含的統計圖試題,本研究稱之為 PISA 連續變數統計圖。. 第五節 研究範圍與限制. 一、研究範圍 本研究受限於研究者的時間與條件,因此研究對象只針對台北市公立高職之 實用技能班一年級的學生,而研究中的測驗內容則全部來自PISA總部釋出之數 學樣本試題,挑選橫軸與縱軸皆是連續變數之統計圖試題作為本研究測驗試題。. 二、研究限制 本研究因時間、人力及施測學校等因素之限制,僅以台北市公立高職之實用 技能班一年級學生為受測樣本,因此無法達到全面性與完全隨機取樣的理想方 式,研究結果可作為更進一步擴大研究之參考,但不宜做過度的推論。 4.

(16) 第貳章 文獻探討. 第一節、各國數學領域統計單元之課程標準. 一、台灣之統計課程 我國的國民中小學九年一貫課程綱要將數學領域分為五大主題:數與量、幾 何、代數、統計與機率、連結,分別以字母 N、S、A、D 與 C 表示,其中「統 計與機率」之代號為 D,而數學學習領域將九年國民教育區分為四個階段:第一 階段為國小一至三年級,第二階段為國小四至五年級,第三階段為國小六年級至 國中一年級,第四階段為國中二至三年級。 九年一貫課程綱要針對數學領域「統計與機率」主題的說明(國民教育社群 網,2007)中提到”統計和機率知識的成長確實與學生對「數與量」 、 「代數」 、 「幾 何」主題能力的掌握有關,其教學應與相關主題的教學相互配合。”可見「統計 與機率」主題的學習牽涉到其它主題的學習。而根據九年一貫課程綱要的說明, 各年級或階段之「統計與機率」學習說明以及與其它主題之關係描述如下: 「(1)三年級之前:先藉由簡易表格的製作,協助學生建立資料的整理 與分組的概念,進而練習報讀與說明資料,並建立個別資料出現頻率概 念的認識。再藉著直接和交叉對應表格的介紹,並配合「數與量」的教 學,希望學生能掌握對表格的認識,並能加以運用。 (2)四年級:經由簡易幾何圖形的前置經驗,引進長條圖、折線圖與圓 形圖作為認識統計圖表教學的開始。藉由報讀生活中的資料統計圖,進 而引進若干較簡易的變形長條圖,培養學生對長條圖的認識。這階段的 教學尚不宜引進百分率、小數或分數來表現資料的量。 (3)五年級:統計圖形的製作是由長條圖的製作開始,再經由有序資料 5.

(17) 的引進,來進行折線圖的報讀與製作。 (4)六年級:配合「數與量」對比值和扇形面積的教學,再經由生活中 資料的整理,來製作圓形圖。 (5)九年級: 配合國中階段「先代數、後幾何」的主題式教學方式,由 次數逐漸進階至累計次數、累計相對次數、百分位數、中位數、全距、 四分位距等統計量及直方圖、盒狀圖等統計圖形,來了解資料表現的特 質。」 下表為九年一貫數學領域「統計與機率」之各階段能力指標。階段能力指標 以三碼編排,其中第一碼為主題代號(D 代表統計與機率);第二碼為各階段, 共有 1、2、3、4 階段;第三碼為各階段流水號,表示該階段下之能力指標的序 號。. 表 2-1-1 九年一貫課程數學領域各階段能力指標 階段. 能力指標. 第一階段 (國小一至三年級). D-1-01 能將資料做分類與整理,並說明其理由。 D-1-02 能報讀生活中常見的直接對應(一維)表格。 D-1-03 能報讀生活中常見的交叉對應(二維)表格。. 第二階段 (國小四至五年級). D-2-01 D-2-02 D-2-03 D-2-04. 能認識生活中資料的統計圖。 能報讀較複雜的長條圖。 能整理生活中的資料,並製成長條圖。 能整理有序資料,並繪製成折線圖。. 第三階段 D-3-01 能整理生活中的資料,並製成圓形圖。 (國小六年級至國中一 年級) 第一階段 (國中二至三年級). D-4-01 能報讀百分位數,並認識個體在群體中相對地位的 情形。 D-4-02 能利用統計量,例如:平均數、中位數及眾數等, 來認識資料集中的位置。 D-4-03 能利用統計量,例如:全距、四分位距等,來認識 資料分散的情形。 D-4-04 能在具體情境中認識機率的概念。 6.

(18) 下表為各年級表列其能力細目。分年細目以三碼編排,第一碼表示年級,分 別以 1,2,…,9 表示一至九年級;第二碼表示主題,小寫字母 d 表示「統計 與機率」主題;第三碼則是分年細目的流水號,表示該細項下分年細目的序號。. 表 2-1-2 九年一貫課程數學領域「統計與機率」主題分年細目表 統計與機率 分年細目. 說. 明. 對照指標. 1-d-01. 能對生活中的事件或活動做初步的分類與紀錄。. D-1-01. 1-d-02. 能將紀錄以統計表呈現並說明。. D-1-01. 3-d-01. 能報讀生活中常見的直接對應(一維)表格。. D-1-02. 3-d-02. 能報讀生活中常見的交叉對應(二維)表格。. D-1-03. 4-d-01. 能報讀生活中資料的統計圖,如長條圖、折線圖與圓形圖等。 D-2-01. 4-d-02. 能報讀較複雜的長條圖。. D-2-02. 5-d-01 能整理生活中的資料,並製成長條圖。. D-2-03. 5-d-02 能報讀生活中有序資料的統計圖。. D-2-04. 5-d-03 能整理有序資料,並繪製成折線圖。. D-2-04. 6-d-01 能整理生活中的資料,並製成圓形圖。. D-3-01. 9-d-01. 能將原始資料整理成次數分配表,並製作統計圖形,來顯 示資料蘊含的意義。. D-4-01. 9-d-02. 能理解百分位數的概念,認識第 10、25、50、75、90 百分 位數,並製作盒狀圖。. D-4-01. 9-d-03. 能利用較理想化的資料說明常見的百分位數,來認識一筆 或一組資料在所有資料中的位置。. D-4-01. 9-d-04. 能認識平均數、中位數與眾數均可以某個程度地表示整筆 資料集中的位置。. D-4-02. 9-d-05. 能認識平均數、中位數與眾數在不同狀況下,被使用的需 求度有些微的差異。. D-4-02. 9-d-06. 能認識全距,並理解全距大小的意義。. D-4-03. 9-d-07. 能認識第 1、2、3 四分位數,及四分位距。. D-4-03 (續下頁). 7.

(19) 9-d-08. 能理解當存在少數特別大或特別小的資料時,四分位距比 全距更適合來描述整組資料的分散程度。. D-4-03. 9-d-09. 能以具體情境介紹機率的概念。. D-4-04. 9-d-10. 能進行簡單的實驗以了解抽樣的不確定性、隨機性質等初 步概念。. D-4-04. 從九年一貫有關數學主題的說明、能力指標以及分年細目表中都可以看出: 我國學生在國中、小階段所學的統計圖表內容主要局限於長條圖、折線圖與圓形 圖三種圖形,而且統計圖表(長條圖、折線圖)中的橫軸資料都是類別、項目、 非連續變數或連續變數但只取其整數點資料(例如單位:歲,但資料只取整數隻 歲數),並沒有針對橫軸與縱軸皆是連續變數的統計圖做教學。 而九年一貫課程綱要針對數學領域「統計與機率」主題的說明(教育部,2003) 中提到”統計和機率的知識背景來自生活環境,因此以學生的生活經驗為主,從 學生感興趣的主題出發,使其學會敘述統計所呈現出的數字和圖表的意義,強調 圖表的表達和溝通,並了解抽樣、機率的初步概念,且能正確地運用各項統計資 料於實際的生活中,應是這個主題教學的藍本。”這段話非常符合 PISA 之數學 脈絡試題的內涵,因此藉由 PISA 脈絡試題的測驗,正可以讓我們瞭解學生在接 受完九年一貫教育之後是否能解決有關生活情境的統計問題。. 二、美國之統計課程 美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics,NCTM)於 西元 2000 年公布的課程標準,將數學領域分成:數與數的運算、代數、幾何、 測量、資料分析與機率(即統計與機率)與過程(Process)六大主題,除了「測 量」之外,其餘五個主題恰對應我國之數學領域五大主題。因為美國學制將義務 教育分為 12 個年級,前六年為小學、第七、八年為初中,最後的四年則是高中, NCTM 將數學領域分成四個學習階段,第一階段:幼稚園至二年級、第二階段: 三至五年級、第三階段:六至八年級、第四階段:九至十二年級。因為本研究討 8.

(20) 論的課程是 15 歲以前的部分,也就是美國學制之幼稚園至九年級的部分,但是 NCTM 之課程標準將九年級分配在第四階段,因此我們主要聚焦在 NCTM 前三 個階段的課程標準之討論。 下表為美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM)於 2000 年發布之課程標準有關各階段「統計與機率」能力指標的部分:. 表 2-1-3 美國數學教師協會(NCTM)「統計與機率」能力指標 階段及對應年級. NCTM 課程標準. 第一階段 幼稚園-2 年級. 1.提出問題並蒐集關於自身與週遭環境的資料 2.根據物件的屬性排序並分類物件,並且組織關於物件的資 料。 3.使用具體的物件,圖案,和圖表來表達資料。 4.描述資料的各部分以及資料的整體來決定呈現資料的哪一 部分。 5.討論關於學生可能發生或不可能發生之事件的經驗。. 第二階段 3-5 年級. 1.設計調查方法來解釋題目,並思考資料收集的方法如何影 響資料集合的本質。 2.用觀察,調查,和實驗來收集資料。 3.用表格和圖表來表達資料,例如描線圖(line plots)、長條圖 (bar graphs)、和折線圖(line graphs)。 4.理解表達類別資料與數值資料之間的差異。 5.描述資料的型態與重點並比對相關的資料集合,並把重點 放在資料分布的方式。 6.使用中心點的測量,並聚焦在平均數上,了解資料集合的 指標與非指標。 7.比較相同資料的不同表達方式,並對各種表達方式展現資 料重點的優劣作出評價。 8.提出與驗證基於資料與研究的結論和預測以用來進一步的 偵查結論和預測。 9.描述可能與不可能發生的事件。並用可能,相當可能,和 不可能的字眼來討論可能程度。 (續下頁). 9.

(21) 10.預測簡單實驗結果的機率並驗證預測。 11.了解對於事件可能程度的測量可使用 0 至 1 的數字表達。 第三階段 6-8 年級. 第三階段 6-8 年級. 第四階段 9-12 年級. 1.整理問題,設計研究方式,並收集關於兩個族群之相同特 性的資料或是同一族群之不同特性的資料 2.選擇、創造、使用適當的圖形表達方式來表現資料,包含 分布圖、盒狀圖(parallel box plots)和描點圖(line plots)。 3.尋找、使用與解譯中心點與分佈點的測量結果,包含平均 數與等分範圍。 4.討論並了解資料集合的相關係數,及其圖形表達方式,特 別是分布圖、樹狀描點圖、方塊描點圖與描點圖。 5.利用兩種以上的樣本之間相異的觀察,以提出對於樣本資 料來源的推論。 6.基於資料描點圖與漸進線來推論樣本資料中兩種特性間的 可能關係。 7.使用推論來表達新的題目並且規劃解題的研究計畫。 8.了解並使用適當的術語來描述互補與互斥的事件。 9.使用比例並且具備對機率讀基本了解,以建立與測試關於 實驗結果與模擬的推論。 10.計算簡單的複合事件機率,利用例如組織清單,樹狀圖和 區域模型的方法。 1.了解不同種類研究之間的差異,以及哪一種類型的推論可 以被合理的推導出來。 2.了解良好設計的研究的特性,包含調查中的亂數取樣與實 驗。 3.了解測量資料與分類資料的意義,了解單變數與雙變數資 料的意義,了解變數的意義。 4.了解直方圖(histograms),盒狀圖(parallel box plots),描點圖 (line plots)並用來表達資料。 5.計算基本的統計,了解統計和參數之間的關係。 6.對於單變數(univariate)的測量資料,能夠表達分布狀態,描 述其型態,並且選擇與計算摘要之統計。 7.對於雙變數(bivariate)的測量資料,能與以描點圖表示,描 述其型態,並使用科技工具來決定其回歸係數、回歸方程 式以及相關係數。 8.表達並討論雙變數資料,而其至少有一個變數是類別資料。 9.了解單變數資料的線性轉換如何影響型態,中心點與分布 型態。 (續下頁) 10.

(22) 10.辨識出雙變數資料的趨勢,並找出能表現資料模型的數學 函數,或是將資料做轉換以便能夠模型化。 11.利用模擬來探索樣本資料統計的變異性並建構樣本分布。 12.了解樣本統計如何反應取樣參數的價值,並使用樣本分布 作為非正式推論的基礎。 13.評估已出版的報告,對其研究方法作檢視,評估其資料分 析的正確性以及結論的有效性 14.了解基本統計技巧如何使用來監控工作場所的流程特性。 15.了解樣本空間的觀念和機率分布,並用簡單範例來建構樣 本空間與分布。 16.使用模擬來建構經驗機率分布範例來。 17.計算並解譯隨意變數的期望值。 18.了解條件機率和獨立事件的觀念。 19.了解如何計算複合事件的機率。. 從美國 NCTM 課程標準中可以發現,在幼稚園至八年級的統計與機率單元 與我國一樣主要是用到長條圖、折線圖與圓形圖,並且沒有其它特別不一樣的統 計圖表,尤其沒有特別提到橫軸與縱軸皆是連續變數之統計圖。. 三、澳洲之統計課程 澳洲學校數學國家報告書(A National Statement on Mathematics for Australian Schools, Australian Education Council, 1991)在「機率與資料」主題中,依照教學 內容與學習層次之深度分成 Band A、Band B、Band C 與 Band D 四個學習群組 (類似我國九年一貫課綱之數學領域的四個學習階段,但階段年級略有不同), Band A 是一至三年級(相當於我國之國小一至三年級) ,Band B 是四到六年級(相 當於我國之國小四至六年級) ,Band C 是七至九年級(相當於我國之國中階段), Band D 則是十至十二年級(相當於我國之高中階段) ,雖然澳洲國定課程以 Band A、B、C 與 D 來規劃學習內容與學童年級的關係,但是考慮到學生的個別差異 還有學習速度之不同,所以沒有硬性規定各學習群組與學習年級的關係。 根據 Australian Education Council(1991)澳洲的數學課程內容分成八個大 11.

(23) 主題:態度與欣賞(Attitudes and Appreciations)、數學探索(Mathematical inquiry) 、選擇與應用數學(Choosing and using mathematics) 、空間(Space) 、數 字(Number)、測量(Measurement)、機率與資料(Chance and Data)和代數 (Algebra) ;其中機率與資料主題又分為三部份(Australian Education Council, 1991): 一、機率(Chance):了解隨機的概念,並利用機率大小來描述日常生活事件的 發生可能性。 二、資料處理(Data handling):能夠收集、組織、整理和表徵資料,以便於解 釋說明和溝通。 三、統計推論(Statistical inference):能夠根據資料、機率概念作推論及預測。 下表為澳洲國定數學課程「機率與資料」主題中關於資料處理(Data handling)各學習群組能力指標說明:(引自 A National Statement on Mathematics for Australian Schools). 表 2-1-4 澳洲國定數學課程「機率與資料」各學習群組能力指標說明 學習群組與 對應年級 Band A (1-3 年級). 能力指標 A4 形成與自己、家人、朋友等相關的問題,並蒐集、分類、組 織資訊,以解決問題: 1.找出分類物品的規則,並使用分類規則(例如:將鉛筆盒中的 物品分類) 2.思考該選擇蒐集哪些資料,以解決問題熟悉的問題(例如:哪 種寵物最受歡迎?蝸牛一天吃多少片葉子?) 3.將人與物品(玩具動物、建築物、硬幣、圖片)一對一對應, 以解決問題(例如:喜歡章魚的比較多還是麵條的比較多?) 4.計算以獲得資料出現的次數(例如:一天之內看多哪些動物? 多少次?) 5.思考如何收集測量數據,以解決與自己相關的問題(例如:我 們如何找到班上有最長手臂的同學) (續下頁) 12.

(24) 6.組織資料,以解決與自己相關的問題(例如:組織資料找出班 上有最長手臂的同學) A5 表徵並解釋訊息,以解決與自己、家人、朋友等相關的問題: 1.利用具體的符號、圖象符號、箭頭圖和樹狀圖,表徵人和物品。 2.利用物品或圖片(例如:一張章魚的圖片代表一位學童最喜歡 章魚)表徵離散型資料,以作比較(例如:圖像格圖 pictorial block graph) 3.利用貼紙(例如:貼紙的長度與頭圍的長度一樣)表徵連續型 資料,以作比較(例如:誰的頭最大?) 4.表徵與生活相關地調查(例如:利用貼紙表徵學童的高度), 並思考比較時的底線。 5.從統計表、清單或其他簡單的資料表徵中擷取資訊(例如:從 統計表中讀出數值) Band B (4-6 年級) Band C (7-9 年級). B4 有系統地收集、組織、記錄資料,以解決自己或他人提出的 問題: 1.提出與生活相關的問題(例如:什麼是使我們開心?學校餐廳 中哪一種食物最受歡迎/最不受歡迎?) 2.提出簡單的題組(二或三個簡單問題)並收集資料,並討論問 題與資料的呈現是否一致及解釋問題的另一種方法。 3.設計資料收集的清單,並利用它來記錄、組織資料(例如:紀 錄同學家的車子種類及數量) B5 表徵、解釋並說明資料,以解決自己或他人提出的問題: 1.簡短地說明資料(例如:班上同學這禮拜每天走路上學的有超 過一半) 2.在統計圖表中呈現資料,並比較不同的圖表如何呈現資料(例 如:正確、清楚、誤導) 3.討論並解釋報紙、雜誌、參考資料中的統計圖表要表達的訊息 4.準備並呈現口頭或書面報告描述收集的資料,衣料的來源、如 何選擇樣本、如何取得測量值 5.討論並根據紀錄的資料作結論(例如:熱門運動的前 40 名) C5 使用、評價與詮釋各種以不同形式呈現的資訊來源 1.尋找資料的來源,例如年刊、期刊或雜誌 2.從各種媒體或官方文件的圖表中提煉出資訊 3.詮釋以統計結算呈現在媒體的資訊(例如雪梨的平均房價) 4.在準備好的電腦資料庫裡使用與分類資訊 5.批判性地評價可能影響關聯性與詮釋的資料特色 (續下頁) 13.

(25) C6 為了實用性的目的有系統地組織、收集與紀錄資料 1.形成關鍵問題以便調查學生感興趣的議題(例如:若要調查最 新的流行與音樂趨勢,你應該問什麼問題?) 2.設計簡單的問卷與承辦試驗來測試所問問題是否能達到目 的,並調查問題的不同用字遣詞對答案的影響。 3.結構化並記錄資料於電腦資料庫使資料可以各種方式分類,以 便促進回答特殊問題。 4.收集與組織有時間性的資料。(例如:交通狀況、天氣) 5.設計並實施簡單的實驗來比較不同的操作方式。(例如:種子 的成長與供水量的關係) 6.留意資料的可信度。(例如:學生如何正確地認出並記錄資料 頁面中的排印錯誤) C7 使用視覺表徵與位置或範圍的測量來總結與詮釋資料 1.非正式地辨別非連續與連續資料、類別資料(例如國家)與順 序資料(例如喜愛程度) 2.發展關於製作簡單或分類之次數統計表的技術 3.在標準的統計圖表(例如:描線圖、直方圖、莖葉圖與盒狀圖) 描繪單變數資料,選擇最適合的做法、尺度與軸線。 4.比較同一筆資料的不同表徵方式,認識不同表徵方式的優缺 點。. 四、總結臺灣、美國與澳洲之統計課程標準 總結臺灣、美國與澳洲之九年級以前的統計課程標準,統計圖表皆以長條 圖、直方圖、描線圖、折線圖為主,而這些圖表的通常是橫軸為類別或順序變數 (即非連續變數) ,而縱軸是數量變數(可能是非連續變數、也可能是連續變數) , 因此若按照課程標準所提到的統計圖表來看,臺灣、美國與澳洲九年級以前的統 計課程皆沒有強調橫軸與縱軸皆是連續變數之統計圖。 另外,值得注意的是,臺灣的統計課程標準都集中在使學生能夠收集、組織、 整理和表徵資料(及製作統計圖表) ,以便於解釋說明和溝通問題;而美國 NCTM 與澳洲之統計課程標準除了規定收集、組織、整理和表徵資料,以便於解釋說明 和溝通問題外,也很注重學生可以從自己的生活環境中觀察、形成問題,並且自 14.

(26) 己動手收集資料,甚至更進一步地還包含了「統計推論」的教學,也就是根據資 料、機率概念作推論及預測的能力。. 第二節、The Programme for International Student Assessment (PISA)之數 學素養評量的內涵. 一、The Programme for International Student Assessment The Programme for International Student Assessment(簡稱 PISA)國際學生能 力評量計劃,為 OECD(Organisation for Economic Co-operation and Development) 經濟合作暨發展組織自 1997 年起籌劃之跨國性計畫機構,計劃重點在評估接近 完成基礎教育的十五歲學生,對於未來生活可能面對的問題情境,準備的程度以 及他們習得多少必備的知識和技能。之所以選擇十五歲學生,是因為多數 OECD 國家這個年齡的學生正處於義務教育完備的階段,此時的評量可以獲得教育在技 能及態度方面累積近十年的成果。PISA 目前已有超過 68 個 OECD 會員國與夥 伴國(地區)參與計劃,約略涵蓋了 87%的世界經濟體,有超過一百萬名學生接 受評量,除了紙筆測驗外亦有開發線上評量系統。 臺灣 PISA 國家研究中心於其網站中(2010)指出,PISA 每三年舉行一次針 對 15 歲學生的閱讀、數學和科學「素養」之跨國性評量研究,臺灣 PISA 國家 「素養的概念 研究中心(2011 年 12 月)於臺灣 PISA2009 結果報告一書中提到: 是指學生能在真實情境應用所習得知能,以及當他們形成、解釋、解決不同情況 問題時,能有效分析、推理、和溝通的能力」。 每三年舉行一次的跨國性評量,各國家約有 4500- 10000 名學生受測,這些 學生是選自公私立學校的隨機樣本,且是依據年齡 (介於 15 歲 3 個月至 16 歲 2 個月的學生)而非依據年級做選擇,且不論學生是國中、高中、高職日校、高 職夜校或實用技能班,也不論公立學校或私立學校,只要年齡範圍符合即可成為 15.

(27) 受測樣本。以臺灣的學制來說,這個年齡的學生大約是就讀國中三年級、高中一 年級和高中一年級。PISA 之評量內涵側重在 15 歲學生面對社會挑戰的準備狀 態,也就是希望了解學生學習與問題解決的「素養」,評量的焦點在於學生應用 知能面對真實挑戰的表現,而不是只有對學校課程之精熟度。每次評量皆包含閱 讀、數學和科學三個學科領域,但會詳細測試其中一個學科領域,大約佔全部施 測時間的三分之二,另外兩科為輔,學科週期的排列如下: 2000 年閱讀為主科;科學和數學為輔 2003 年數學為主科;閱讀和科學為輔 2006 年科學為主科;閱讀和數學為輔 2009 年又回到閱讀主科,科學和數學為輔 2012 年則是數學為主科,閱讀和科學為輔,另加測線上問題解決能力(Problem Solving)。. 二、PISA 數學素養評量的內涵 PISA 數學素養評量的內涵可分為「內容領域」、「數學歷程」、「情境脈絡」 與「評量試題類型」四個項目來說明: (一)內容領域 PISA 數學素養評量之數學內容分面,可以分成四大概念,分別是數量、空 間與形狀、改變與關係、不確定性。這四個數學內容恰可大略對照國內九年一貫 數學課程之數與量、幾何、代數、統計與機率,其中 PISA 數學素養評量有關「不 確定性」的內容即對應到九年一貫數學課程之「統計與機率」,而本研究的學生 受測試題是從 PISA 總部釋出的數學素養評量裡,挑選包含橫軸與縱軸皆是連續 變數之統計圖的題組,當然這些題組皆至少包含了 PISA 之四種情境的其中一種。 (二)數學歷程 臺灣 PISA 國家研究中心(2010 年 7 月)於 PISA 數學應試指南中指出:數 學歷程主要是指從問題的釐清與解決問題的過程中,學生需要將情境和數學所做 16.

(28) 的連結,以及歷程背後為了解決問題所需要被引導出來的能力。PISA 2012 的數 學歷程最主要步驟有三項: 1.轉化(translation):此歷程包括將生活情境中的問題轉換成數學模式、將計 算後的數學答案換成生活情境的用語以及驗證數學答案是否適用於情境裡。 2.解題(solution):此歷程包括計算、數學模式或方程式的分析、圖表資訊的 解讀、數學推理或論證。 3.建模(modeling):此歷程即是整個數學建模循環(參見下圖)。即根據一些實 證經驗將情境中的問題轉化成數學,經計算後得到數學答案,再將數學答案轉 化回原問題的答案,並確認此答案在真實情境中是否合宜。. 圖 2-2-1 數學歷程循環. 臺灣 PISA 國家研究中心(2011 年 12 月)指出,在數學能力方面,PISA 數 學素養以三層能力群組(Competency Clusters)來表示,分別是「再製」 、 「連結」 與「反思」三種層次。其中「再製」是所學知識的複製,例如事實或一般問題表 徵的知識記憶,計算能力或在熟悉情境下之解題技巧的應用。「連結」是建立在 「再製」之上的一種能力,用來解決非例行性問題,但仍包含了熟悉或半熟悉的 17.

(29) 情境。「反思」則包含學生對於不熟悉之問題解決所必需的歷程以及運用的反思 性能力,相對於連結,反思的情境包含較多元素或是較不熟悉的情境。. 圖 2-2-2. PISA 數學素養之成分圖. 臺灣 PISA 國家研究中心(2011 年 12 月)於臺灣 PISA2009 結果報告一書中 指出:在 PISA 中,學生運用來解決真實生活問題的基本解題歷程稱之為數學化 (Mathematisation) ,數學化分成五個步驟:1.開始於一個真實情境中的問題;2. 依據重要的數學概念找出相關的數學並重新組織問題;3.透過假設、一般化和形 式化將現實世界的問題轉化成可以忠實呈現情境的數學問題;4.解決數學問題; 5.根據真實情境來對數學解法產生意義化,包含找出解法的限制。. 18.

(30) 真實世界 的解法. 5. 5. 真實世界 的問題. 數學世界 的解法. 4 1、2、3. 數學世界 的問題. 圖 2-2-3 數學化(Mathematisation)之循環 註:箭頭中的數字代表數學化的五個步驟. (三)情境脈絡 洪碧霞、蕭嘉偉與林素微(2009)指出:PISA 數學素養評量設計與一般成 就測驗略有不同,側重學生運用評量情境線索解題能力的評量,情境描述通常需 要較多的文字,圖表資訊比例也較高。PISA 數學素養評量與其它數學成就測驗 主要不同之處在於「情境」,PISA 數學素養評量設定的情境有:個人生活、學 校生活、工作及休閒、日常生活中所會碰到社區及社會與科學情境。PISA 針對 這些情境界定和使用的問題,於是將情境分為:個人、教育/職業、公共、以及 科學四種。(臺灣 PISA 國家研究中心,2011 年 12 月). (四)評量試題類型 PISA 數學素養評量試題使用了四種題型:選擇題、多重是非題、封閉式問 答題以及開放式問答題,其中選擇題、多重是非題+封閉式問答題、開放式問答 題的比例各約為 1/3。根據臺灣 PISA 國家研究中心(2010 年 7 月)於 PISA 數 學應試指南分述如下:(臺灣 PISA 國家研究中心,2010 年 7 月) 1.選擇題:每個選擇題有四~五個選項,只有一個正確答案。 2.多重是非題:多重是非題包括由二~四題是非題所組成的,通常必須全對才能 得分。選擇題與多重是非題可以用來測量數學的理解歷程,然而卻無法讓學生 19.

(31) 進一步解釋和提出支持或反對的論點,因此,PISA 除選擇題外還有問答題。 3.封閉式問答題:封閉式問答題通常會先要求學生從「是」或「否」兩個正反陎 的立場中圈選出合理的答案,再要求提供計算或數學論證來支持自己所選擇的 答案。 4.開放式問答題:開放式問答題的主要目的在於讓學生自己建構答案,由作答者 提出自己的觀點以及支持的理由和論證。開放式問答題由數學領域專家進行人 工閱卷,根據學生的作答反應進行評分。評分時,依據學生理解的程度,評判 為滿分、部分分數、或零分,不會因為書寫表達能力不好而扣分。. 總結以上四項 PISA 數學素養評量之內涵,四項內涵的相對關係如下圖所示:. 數學內容: 數量、空間與形狀、 改變與關係、不確定. 情境(Situation)與 脈絡(Context). 問題(Problem) 與解決(Solution) 問題型式 (Problem Format) 數學歷程(Process)與 數學能力群組 (Competency Clusters) 圖 2-2-4. PISA 數學素養評量之「內容領域」 、 「數學歷程」 、 「情境脈絡」與「評 量試題類型」關係圖. 三、總結 PISA 數學素養評量的內涵之文獻心得 PISA 數學試題與一般傳統數學試題主要不同是其情境脈絡,因此學生解 PISA 試題特別需要用到 PISA 數學素養所謂數學歷程中的”轉化”能力,因此本研 20.

(32) 究之資料分析階段也會將學生是否能達成”轉化”歷程納入考量,尤其本研究的試 題常需在情境與數學統計圖間互相”轉化”;另外 PISA 數學素養提到的三層能力 群組中,本研究挑選的試題主要需要利用”連結群組”來解題,也就是本研究試題 對學生來說偏向非例行性問題,但仍包含了熟悉或半熟悉的情境。. 第三節、問題解決歷程(Problem Solving Processes). 問題(problem)和解題(problem solving)的定義,根據不同的學者與不同 的學科領域都有不盡相同的看法,但其關鍵元素與內容則大同小異。若在解題的 前面加上數學兩個字,表示所牽涉到的是數學問題,或在解題時需要用到的是數 學的知識或方法,因本研究為數學領域的解題,故以下討論之問題和解題皆以數 學問題和數學解題為重點。. 一、數學問題(Mathematical Problem) 蔡坤憲(2006)在怎樣解題一書中提到問題可以分成「求解題」 (Problems to find)與「求證題」 (Problems to prove)兩類,求解題的主要元素是已知數(data) 、 條件(Condition)和未知數(Unknown),求解題的目標是尋找問題的未知數 (Unknown) ,這未知數要能夠符合問題的條件(Condition) ,把問題未知數和已 知數(data)的條件聯繫起來;求證題的主要元素是假設與結論,求證題的目標 是證明某個敘述明確的結論是正確的或證明它是錯誤的。 數學問題可以分成「例行性問題」與「非例行性問題」兩類。例行性問題 (Routine problem)是指我們比較熟悉其解法或比較常接觸的問題,這些問題可 能來自課本的例題或是老師講解過的例題,或者自己曾經演算過的題目及類似 題;這類題目的解題比較需要的是熟練、固定的技巧,或是模仿別人的解法,並 不是將已有的知識或技巧做綜合使用,也不需要深入的數學思考。而非例行性的 21.

(33) 問題(Non-routine problem)是指我們不曾經歷或經歷過但是次數不多,而且已 經遺忘解題方法的問題,因此常常無法馬上想到解題策略,因此解題者面對非例 行性的問題時需要從已經學過的數學知識和技巧做搜尋並綜合使用之,而且常需 要做較深入的數學思考。(黃招華,2000)本研究之 PISA 測驗試題對本研究的 樣本學生來說偏向「非例行性問題」。. 二、數學解題歷程(Mathematical Problem Solving) 美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics,NCTM ) (1980)強調「解題是數學教育的中心」 ,1989 年 NCTM 在其出版的中小學課 程及評量標準中第一個項目就是「Mathematics as problem solving」(數學就是解 題) ,而 NCTM 在接下來幾次公佈的課程標準和評量標準,都延續 1989 年的精 神把「Mathematics as problem solving」列為一個重點(NCTM,2000)。 以下簡述幾位重要學者的數學解題理論:. 美國學者杜威(Dewey,1910)在他很有名著作「思維術」 (How We Think) 一書中提到解題的五個步驟為:1.遭遇問題;2.分析問題,確認困難所在;3.假 設可能的解決方法;4.由假設推理並蒐集資料直到問題解決 5.檢驗所得結果是否 正確。之後相關學者提出的解題步驟與杜威多有類似之處。. G. Polya(1974)在如何解題(How To Solve It)一書中將解題歷程分成以下 四個步驟: 1.了解問題:了解問題的文字敘述,並從題目所給的資料中,找尋已知數、未知 數、條件和解題的目標等。 2.擬訂計畫:依據現有的資料,找出已知數和未知數的聯繫,進行解題計畫。 3.執行計畫:將解題計畫付諸實現,並仔細的檢查每一個步驟。 4.驗算與回顧:回顧所完成的解答,並檢驗論證過程,是否有其他更好的方法, 22.

(34) 此結果能應用到別的問題上嗎? 第一步驟(了解問題)是必要的,因為學生無法正確回答一個他不了解的問 題,然而並非每個步驟都是必要的,例如:有時解題者可能靈光一閃就從了解問 題直接跳到執行計畫,略過了擬訂計畫;波利亞認為執行計畫相對於擬訂計畫簡 單的多,因為擬訂計畫已經提供了解題的大方向與策略,因此執行計畫時學生只 需要耐心及細心即可完成計畫,而且他認為學生不需要去完整的證明執行計畫的 每個算式或推導過程之正確性,只要算式與推導過程都合情合理符合邏輯即可; 而關於驗算與回顧的部分,波利亞認為大部分學生都會忽略這個步驟,而錯失了 加深數學理解與培養解題能力的機會,因為回顧解答的過程中,我們有機會探索 眼前問題與其他問題或事物之間的關聯性以及能否用同樣的方法解答其他問題。 值得一提的是,自從 1945 年數學家 Polya 出版「怎樣解題」(How to Solve It) 一書後,解題歷程便成為教育學者與數學家的研究重點。. 了解問題. 擬訂計畫. 驗算與回顧. 執行計畫. 圖 2-3-1. Polya 的解題歷程示意圖. 在 Schoenfeld(1985)的相關研究中,提出解題原案巨觀分析架構的解題模 式,認為影響數學解題的四項要素是:資源、捷思、控制與信念,其中控制要素 是指解題歷程可分為以下六個階段: (1)讀題:閱讀題目之文字、圖表、情境與其它題目資訊 (2)分析:簡化及重述問題,了解問題條件與問題目標之關係 (3)探索:利用相關的問題或是類比法來找出新的資訊 (4)計劃:擬定解題計劃,檢視計劃可行性與適當性 23.

(35) (5)執行:執行計劃,並了解是否有按照計劃執行 (6)驗證:對解題過程及解題結果的檢視。 這六個步驟與 Polya 的解題四階段有異曲同工之妙。他更利用這六個步驟來 分析解題者的原案,並發現以下現象: 1.如果解題者有使用基模解題,有可能略過分析階段; 2.解題者有可能會在探索階段發現像是使用類比的啟示,而使解題過程更順利; 3.基模導向(Schema-driven)的解題方式常由讀題階段跳至計劃執行階段。. Mason 認為數學解題的歷程可以分成兩種活動,即特殊化(Specializing)和 一般化(Generalizing) 。特殊化是指剛解題的時候,可以從問題的特定例子著手, 因為特定例子可以設定成比較容易解決的情形;而一般化則指在完成幾個類似問 題的解題時,能夠將此類問題的解法推廣至其他類似問題。上述這兩種重要的解 題活動中,Mason 再將解題歷程分成三個階段: 1.進入(Entry):這個階段,解題者聚焦在有哪些訊息是已知的?該達成什麼目 標?該加入什麼訊息? 2.攻擊(Attack) :在了解問題的訊息及解題目標後,提出解題的所有可能的解法, 並執行可能的解法。 3.回顧(Review) :最後階段則是檢驗答案的正確性,並反思解題過程的關鍵點, 以便推廣正確解法至類似的問題。黃招華(2000). 24.

(36) 研究者總結 Deway、Polya、Mason 與 Schoenfeld 的解題歷程如下表:. 表 2-3-1 Deway、Polya、Mason 與 Schoenfeld 的解題歷程. 學者. Deway. Polya. Mason. 遭遇問題. 解 題 歷 程. 分析問題,確 認困難所在. Schoenfeld. 讀題 了解問題. 進入 分析 探索. 假設可能的 解法. 擬訂計畫. 執行假設與 蒐集資料. 執行計畫. 檢驗結果. 驗算與回顧. 攻擊. 計畫 執行. 回顧. 驗證. 從表中可以看出各學者的解題歷程都有同樣的主要結構與順序(順序不是單 向的),故本研究採用 Polya 的解題歷程四步驟,即 1.了解問題 2.擬訂計畫 3. 執行計畫 4.驗算與回顧。. 三、影響數學解題的變項 Schoenfeld(1985)在其所著的「數學解題」 (Mathematical Problem Solving) 一書中,強調數學解題的研究需要考慮四個變項: 1.資源(Resources):解題者已經學會的數學知識,包括數學事實、解題程序、 與解題技巧等。 2.捷思(Heuristics):一種解題解題者用來解決不熟悉或是困難題目的策略。例 25.

(37) 如:畫表格,尋找規律、猜測、簡化問題。 3.控制(Control):控制指的是解題者在閱讀完題目之後,進行的解題歷程,例 如如何計畫、如何選擇目標、採用何種策略與監控和評估解 題結果,所以控制是解題的中心靈魂。而 Schoenfeld(1985) 以控制的觀點將解題歷程分如成(1)讀題(2)分析(3)探 索(4)計劃(5)執行(6)驗證 六個步驟。 4.信仰系統(Belief system) :解題者對於數學的態度,解題者的數學態度將會影 響其解題行為。. Kilpatrick 探討八年級學生解非例行文字題的策略,發覺受試者使用的策略 約有:(1)畫圖;(2)使用連續漸進;(3)詢問問題解決方法的存在性與唯一性;(4) 演繹;(5)運用算式;(6)嘗試錯誤;(7)檢查答案等(顏榮義,2001)。. 四、總結數學解題歷程理論的心得 綜合以上問題解決歷程理論之文獻,有關解題歷程方面,研究者將採用 Schoenfeld 的巨觀分析架構分析原案,即 Schoenfeld 之影響數學解題變項中的” 控制”變項將解題歷程分成六個步驟:1.讀題 2.分析 3.探索 4.計畫 5.執行 6.驗 證,但因為本研究之題型與題目內容幾乎都是判讀統計圖即可得解,不需要冗長 的數學計算或數學推理過程,因此本研究擬將計畫與執行兩階段合併為”計畫執行”一階段,故本研究將解題歷程分為:1.讀題 2.分析 3.探索 4.計畫-執行 5. 驗證,共五個階段。 而關於數學解題成敗的因素,本研究採取 Schoenfeld 之影響數學解題的四個 變項:資源、捷思、控制與信仰系統,但對本研究之測驗題目與分析方式來說, 僅”資源”變項較明顯可以分析研究,故分析學生解 PISA 之錯誤類型時將以資源 變項的觀點分析之。. 26.

(38) 第叁章 研究方法. 本研究之研究問題一採用 Cronbach's Alpha 係數值檢驗九年一貫統計圖試題 (受測學生之一年級上學期第三次段考)與 PISA 連續變數統計圖測驗各自的一 致性與可靠性,採用 Pearson 相關係數檢驗兩項測驗的相關性;而研究問題二與 研究問題三則屬於質性分析研究,因為近來有關解題歷程的研究上多使用放聲思 考,因此研究者將以放聲思考晤談法(thinking aloud interviews)分析學生的解 題歷程,方式是在正式施測之後,挑選測驗表現高成就與中成就的學生代表進行 放聲思考測驗並輔以晤談,利用錄影的方式將學生放聲思考測驗與晤談的過程記 錄成數位檔案,事後便可利用數位檔案將學生的解題歷程製作成有時間順序的文 字稿原案以供研究者做解題歷程與錯誤類型的分析,分析採用 Schoenfeld 的解題 歷程理論。本章將就研究設計、研究情境與對象、研究資源與工具、研究步驟與 過程與資料分析分成五節說明。. 第一節 研究設計. 本研究欲以質性分析的方式研究學生對於 PISA 數學素養評量試題的解題歷 程,方法則採用放聲思考晤談法。研究者根據文獻探討與欲研究問題選定 PISA 釋出的數學素養評量試題裡包含橫軸與縱軸皆是連續變數的統計圖的題組作為 試測與正式施測試題,茲將研究架構圖示如下:. 27.

(39) 各國統計 課程標準. 九年一貫課程 統計圖試題. PISA 數學 素養評量 研究問題一: 比較學生在兩 測驗的表現. 問題解決歷程 理論: 1.了解問題 2.擬定計畫 3.執行計畫 4.驗算與回顧. PISA 數學連續 變數統計圖試題. PISA 放聲思 考測驗及晤談. 質性分析. 研究問題三: 學生錯誤類型. 研究問題二: 學生解題歷程. 圖 3-1-1 研究架構. 第二節 研究情境與對象. 一、研究情境 研究者目前是台北市立某高職夜間部數學科教師,因此論文的研究主題便以 提升任職學校之學生的數學能力為大方向,再搭配指導教授的建議,擇定以 The Programme for International Student Assessment(PISA)之數學素養評量試題為測 驗試題,以任教高職夜間部學生對施測對象,對學生進行數學解題歷程與錯誤類 型的研究,期望能了解學生的數學解題歷程與錯誤類型。. 28.

(40) 二、研究對象 本研究之測驗的進行分為試測與正式施測兩個階段。茲將兩階段選取的研究 對象敘述如下。 (一)試測對象 本研究的試測對象是先從研究者任教學校(公立高職夜間部)的普通科七個 科中挑選錄取分數最低的兩個班級,再從兩個班級裡挑選數學程度屬於中等或中 等偏下且表達能力良好的四名學生,挑選的四位學生分別是陳 XX 同學(簡稱 A 同學) 、解 XX 同學(簡稱 B 同學) 、周 XX 同學(簡稱 C 同學) 、鄭 XX 同學(簡 稱 D 同學) ,其中僅 B 同學為高職夜間部重機科一年級學生、其餘三位學生為夜 間部冷凍科一年級學生。因為本校夜間部冷凍科與重機科錄取分數與夜間部其它 科系相比是相對低分群,且四名學生在班上數學程度屬於中等或中等偏下,所以 理論上四位同學的數學程度與正式施測對象(實用技能班一年級學生)的數學程 度相差不遠。. (二)正式施測對象 本研究的正式施測分為第一步驟筆試測驗與第二步驟放聲思考晤談測驗兩 個步驟,第一步驟筆試測驗的對象是以研究者任教之公立高職夜間部實用技能班 一年級兩個班級的全體學生為主要施測對象,共有 57 人,只有一名女學生,其 餘皆為男學生;兩個班級分別是實用技能班水電科一年級與實用技能班汽車科一 年級。實用技能班大多是國中時就讀技藝班的學生、國中時學業成績表現不理想 想學習一技之長的學生或是國中時學業成績普通但家境不好想半工半讀並盡快 就業的學生,因此大部分學生學習意願較低,但大部分學生的學習態度並不差, 少數學生甚至比普通科班級學生還認真,其中不乏高職畢業後仍欲升學者。 而正式施測第二步驟放聲思考晤談的對象則是從第一步驟的施測結果,從高 成就(前 27%)與中成就(中間 46%)學生群中挑選出各六名代表學生,盡可 能是表達能力較佳者優先,以便進行放聲思考晤談。 29.

(41) 第三節 研究資源與工具. 本研究的研究工具有受測學生之一年級上學期第三次段考考卷(即九年一貫 統計圖試題,見附錄一)及其雙向細目表、PISA筆試試題(見附錄二)、具備 錄音錄影功能之智慧型手機一支、原案分析工具(解題歷程分析表)與研究者本 身,茲說明如下:. 一、受測學生一年級上學期第三次段考考卷(附錄一)及其雙向細目表 (一)測驗說明 本測驗是南港高工實用技能班一年級上學期的期末考試(第三次段考),而 實用技能班係指臺北市轄內各公私立高級職業學校附設,以培養學生實用技術能 力為主要目標而招生的班級,因此相較於普通高中、職,其國文、英文與數學等 科目的上課內容較簡化、上課時數也較少,以數學一科為例,實用技能班一年級 一週僅一節數學課,教材為教育部編之實用技能學程試用版課本(僅編列一、二 冊),且內容大半是複習國中課程的數學內容,事實上任課老師也常會依學生情 況調整上課內容與進度。. (二)測驗內容架構 1.測驗目的:本測驗屬於總結性測驗,目的在了解學生的學生的學習成果,以確 定學生是否精熟,而達成教學預期目標,評量所得之結果除了用於 計算學生之數學科學期總成績,也可做為教師加強與補救教學的參 考依據。 2.測驗時間:45 分鐘 3.測驗範圍:九年一貫課程數學領域「統計與機率」主題之統計部分(含統計值 30.

(42) 與統計圖)。 4.測驗內容: (1)次數分配表、長條圖、折線圖 (2)百分比、圓形圖 (3)算術平均數、中位數、眾數 (4)全距、四分位差 (5)百分位數、PR 值 5.測驗對象:南港高工實用技能班一年級學生共 57 名. (三)單元教學時數與試卷配分比例分析. 表 3-3-1 實用班一年級上學期第三次段考範圍之教學內容與教學時間 單元名稱. 教材內容. 教學時間 (節). 測驗佔分. 1.統計圖表. 次數分配表、長條圖、折線圖. 90 分鐘 (2 節). 40 分. 2.百分比&圓 形圖. 百分比&圓形圖. 45 分鐘 (1 節). 30 分. 3.統計值(集 中數量). 算術平均數、中位數、眾數. 45 分鐘 (1 節). 30 分. 4.統計值(離 差數量). 全距、四分位差. 45 分 (1 節). 10 分. 5.百分位數、 PR 值. 百分位數、PR 值. 45 分 (1 節). 10 分. 合計. 270 分 (6 節). 120 分. 31.

(43) (四)測驗暨教學預期目標(參照九年一貫課程數學領域「統計與機率」主題各 階段能力指標). 表 3-3-2 九年一貫課程數學領域「統計與機率」主題各階段能力指標 D-2-01 能認識生活中資料的統計圖。 D-2-02 能報讀較複雜的長條圖。 D-2-03 能整理生活中的資料,並製成長條圖。 D-2-04 能整理有序資料,並繪製成折線圖。 D-3-01 能整理生活中的資料,並製成圓形圖。 D-4-01 能報讀百分位數,並認識個體在群體中相對地位的情形。 D-4-02 能利用統計量,例如:平均數、中位數及眾數等,來認識資料集中的位置。 D-4-03 能利用統計量,例如:全距、四分位距等,來認識資料分散的情形。 (五)測驗題型與配分 全部 12 題皆填充題;每題 10 分;共 120 分。. (六)總結三位高職數學老師討論的雙向細目表. 表 3-3-3 一年級上學期第三次段考數學科雙向細目表 教材內容(節數). 評量目標 應用. 合計. 教學目標. 知識. 理解. 長條圖、 折線圖. 10:D-2-01. 8. D-2-04 9. D-2-04. 百分比&圓形圖. 4: D-3-01 11: D-3-01. 7: D-2-03. 算術平均數、中 位數、眾數. 1: D-4-02. 3: D-4-02. 全距、四分位差. 2: D-4-03. 10 分(1 題). 百分位數、 百分等級. 12: D-4-01. 10 分(1 題). 合計. 60 分 (6 題). 20 分 (2 題). 5: D-2-02. 20 分 (2 題) 32. 分析 40 分(4 題) 30 分(3 題) 6: D-4-02. 20 分 (2 題). 30 分(3 題). 120 分 (12 題).

參考文獻

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