單根檢定

通常我們所面臨的決策中，時間往往是一個重要的變數。作預測時，亦常以 過去的歷史資料（historical data）為依據來預測將來的變數。過去的歷史資料，

我們稱之為時間序列（time series）。更明確的定義，時間序列是一群統計資料，

依其發生時間的先後順序排成的序列。

假如資料的隨機過程（stochastic process）不隨著時間變動而改變，則此時間 序列具有定態性（stationary）。一般而言，具有定態性的時間序列，當變數受到 外力的衝擊時，只會在平均值周圍有波動，且有回覆到平均值的傾向。

相反地，如果資料在隨機過程隨著時間變動而有所變動，則此時間序列具有 非定態性（nonstationary）。在非定態性時間序列下，有兩種主要模型：

(1)(1)

(1)(1) 趨勢趨勢趨勢定態趨勢定態定態定態模型模型模型模型（（（（Trend Stationary ModelTrend Stationary ModelTrend Stationary ModelTrend Stationary Model））））： y_t =c+δ ⋅t+ε_t

其中，ε_t為定態性序列，而^E

( )

^y_t =^c+δ ⋅^t且Var

( )

y_t =σ²，因此y_t為非定態 性 序 列 ； 但 是 如 果 將 時 間 趨 勢 項 從 模 型 中 去 除 ， 則 E

(

y_t −δ ⋅t

)

=c 且

( )

y_t =σ²

Var ，因此y_t即可成為定態性的隨機過程，我們稱此種模型為趨勢定態 模型。

(2)(2)

(2)(2) 差分差分差分定態差分定態定態定態模型模型模型模型（（（（Difference Stationary ModelDifference Stationary ModelDifference Stationary ModelDifference Stationary Model））））：

( )

t

( )

t

dY L

L =δ +θ ε

−

1 ； θ

( )

1 ≠0且d =1

此模型設定是由落後因子（lag operator）所形成的多項式方程式組成；其中，

εt為定態性序列，θ

( )

L =0的根落於單位圓之外（outside unit cycle）， d 為整數，

若d =1則成為單根模型（unit root model）。

將式子展開整理如下：

y_t = y_t−1+δ +θ

( )

Lε_t ； y_t = y₀ +t⋅δ +ε₀ +⋅⋅⋅+ε_t

又E

( )

y_t = y₀ +t⋅δ 且Var

( )

y_t =t⋅σ²，因此上述模型為非定態序列。傳統在 做迴歸模型時，均先假設變數是定態的，而且干擾項（disturbance）為白噪音（white noise）。然而大部分的總體經濟變數並非定態的狀態；有關於經濟變數為非定態 性序列的問題，在 1982 年由 Nelson and Polsser 首先應用 Dicky and Fuller（1979）

提出的單根檢定，針對美國 14 個總體經濟變數，檢定時間序列是否具有單根^I

( )

¹

的情況，而這項檢定結果也發現其中有 13 個總體經濟變數無法拒絕單根之虛無 假設，為非定態性的序列。因此若一開始就貿然的把資料假設成定態性的序列而 直接做迴歸分析，很有可能使得原本毫無因果關係的變數之間，卻出現了 Granger and Newbold（1974）所提出的假性迴歸（spurious regression）的問題。

在假性迴歸的模型之下，所得到的t或F檢定統計量非常顯著且其判定係數 R （coefficient of determination）值非常的高，但 DW 檢定（Durbin-Watson Test）2

檢定量之值卻接近於零；隱含模型中雖然拒絕了虛無假設，但是所做出的結論是 錯誤的，不具任何意義。此外，在這裡所指的 DW 檢定值為時間序列中判斷自 我相關的指標；當該值低於臨界值時，則代表該時間序列具有自我相關性

（autocorrelation）。

因此，當我們在進行時間序列的分析之前，必須先檢定資料的性質。倘若原 始資料不需要經過差分就具備定態性，則以^I

( )

⁰ 表示；假如資料經由一次差分才 具定態性，則以I

( )

1 表示，也就是資料有單根的性質，而且一般也以此作定態性 分析；假如資料差分 d 次之後才具定態性，則以^I

( )

^{d )表示。}

有關於單根檢定的相關文獻眾多，最早是由 Fuller（1976）與 Dickey and Fuller

（1979） 所提出的 Dickey-Fuller 單根檢定法（DF）與 Augmented Dickey-Fuller 單根檢定法（ADF），藉由此單根檢定，可以了解模型中變數的動態走勢，更可

以透過變數是否為恆定的性質來進行各項計量問題之探討。之後單根檢定陸續發 展，包括有 PP、 KPSS與近期發展的 Ng-Perron...等等。茲分別將一般常用的 ADF、 PP與 KPSS三種單根檢定方法說明如下：

(1)(1)

(1)(1) ADFADFADFADF 檢定法檢定法檢定法檢定法（（（（Augmented DickeyAugmented DickeyAugmented Dickey----Fuller TestAugmented DickeyFuller TestFuller TestFuller Test））） ）

Fuller（1976 ）， Dickey and Fuller（1979 ）所提出的時間序列單根檢定，稱 為 DF檢定（Dickey-Fuller Test），其建構未包括截距和時間趨勢項的模型如下：

（independent and identically distributed），一但違反此假設，即殘差序列存在自我 相關，則檢定力將會大幅下降。

為了解決這個問題， Dickey and Fuller（1979 ）、 Said and Dickey Said（1984 ） 修改為修正的 DF 檢定（Augmented DF Test，ADF）；當序列殘差項並非白色噪 音時，為了消除殘差項的自我相關，可在迴歸模型等號的右邊加入被解釋變數本

ADF假設檢定為：

Phillips and Perron（1988 ）為了克服殘差項所發生的自我相關使得檢定結果 無效的問題，透過修正檢定統計量，再由選擇合適落遲期數，以及採用無母數

（Nonparametric）的調整方式，藉以消除自我迴歸模型殘差項之自我相關及異質 變異的問題。

Phillips（1987 ）、 Phillips and Perron（1988 ）應用函數化之中央極限定理

（Functional Central Limit Theorem），經由標準化累積和（Normalized Summation）

過程收斂於檢定量之漸近分配，分別以Z 統計量、_µ Z 統計量修正DF檢定法之_t τ_α

於S 與常態分配之變異數_ε² σ²。因為Z 及_µ Z 統計量與 DF 統計量具有相同的漸_t 進分配，因此可根據 Dickey and Fuller所列之檢定表值予以檢定。

(3) (3) (3)

(3) KPSSKPSSKPSSKPSS 單根檢定單根檢定單根檢定單根檢定（（（（Kwiatkowski,Phillips,Schmidt, andKwiatkowski,Phillips,Schmidt, andKwiatkowski,Phillips,Schmidt, andKwiatkowski,Phillips,Schmidt, and Shin's TestShin's TestShin's TestShin's Test）：）：）： ）：

如果一

{ }

Y 序列包含了確定趨勢、隨機漫步和穩定的誤差項，如下所示： t 且隨機漫步的資料產生過程（data generating process，DGP）為：

t

正，由於(4.8)式的 LM 統計量與 ADF檢定一樣，都是來自於ε

_~ (

^0,σε²

)

iid

t 的假

設，在這樣的情況下，除非要有很顯著的證據，否則很難不去拒絕H ，因此，₀ 為了更容易接受H ，就必須弱化對殘差的假設， Kwiatkowski et al.（1992）根₀ 據 Phillips（1987）， Phillips and Perron（1988）對 Newey and West（1987）長 期變異數ε_t的處理方式，即允許殘差估計值e 存在自我相關，將_t σ⁾_ε²修改為：

SSE 為殘差平方和（sum of squared residuals）， k 為待估參數的總數。

由於落後期數愈多，會使最大概似值愈大，且遞延期數的增加會減損自由 度，對模型的估計會有負面的影響。而 AIC與 SC的不同在於 SC對自由度的減 損較具影響力，因此本研究取 SC的最小值做為落後期數選取之標準。

在文檔中 貨幣存量對經常帳動態之影響-G4工業化國家之研究 (頁 43-49)