共整合檢定

根據 Engle and Granger（1987），所謂共整合（cointegration）的定義，是指一組非定態的時間序列變數，透過線性組合而得到定態的時間序列，我們稱這些變數之間具有共整合關係；一序列要進行共整合檢定的前提是原始序列必須為非定態，且需以同階做整合(即以同階差分使成定態)檢定；而本文中共整合檢定的目

的在於確保(3.12)式所估出來的消費偏向θˆ 具有經濟涵義。

至於如何檢定共整合的時間序列，茲分別介紹如下：

(1) (1) (1)

(1) Engle and Granger（1987）所提出的兩階段估計法（two-stage estimation），主要是將兩個變數以普通最小平方法（OLS）做迴歸，並利用所獲得的殘差項來檢定兩變數的共整合關係，若殘差項呈現 ^I

( )

⁰ 序列，則表示兩變數有共整合關係存在。

兩階段共整合檢定法用來檢定非同條件程序間是否存在著長期的趨勢均衡關係。若序列X 須經過 d 次差分過後成為同條件程序，則稱其整合級次為 d ，_t 表示為X_t～I

( )

d 。若符合兩個條件，則X 與_t Y 共整合關係存在：(i)序列_t X 與_t Y_t 的整合級次相同，皆為 d 。(ii)存在一X 與_t Y 的線性組合_t Z_t =Y_t −AX_t，其整合 級次為 b ，且b< 。則此時序列d X 與_t Y 的共整合級次為_t

(

^d^,^b

)

^，表示為^CI

(

^d^,^b

)

^，

其中(1,−A)為共整合向量（cointegration vector）。此方法是以最小平方法估計共 整合向量。當 n 個變數組成的向量都具有同階的整合級次時，最多可存在n−1條共整合向量。但在兩階段共整合檢定中只能估計出至多一條共整合向量存在，且為n−1條共整合向量中的線性組合，因此最小平方法得到的共整合向量只能代表變數間確實存在共整合關係，並不代表只存在一條共整合關係，亦即二階段共整合檢定法只適用於尋找兩變數之間的共整合向量，對於多個變數則不適用。

(2) (2) (2)

(2) Johansen（1988）則是將 Engle and Granger 觀念做延伸，提出軌跡檢定（trace test）以及最大特性根檢定（max-eigen test）兩種概似比檢定統計量，來檢定共整合向量的個數，以判斷變數間有無存在共整合關係。分述如下：

(i) (i) (i)

(i) 軌軌軌軌跡跡跡跡（（（（tracetracetracetrace））））統計量統計量統計量統計量：：：：

( ) ∑ ( )

−

r i

trace r T

1 ln λ

λ ⁾ ； r= rank

( )

Π 其中，T 代表樣本總數，而λ⁾_i是第 i 個特性根的估計值。

用以檢定 H_o:rank

( )

Π ≤r（至多有 r 個共整合向量）

H₁:rank

( )

Π >r（最少有r+1個共整合向量）

這個檢定的原理是，如果沒有任何共整合向量存在（即r=0），隠含

2 0

1 =λ =⋅⋅⋅=λ_n =

λ ，這將使得λ_trace =0；而如果有 r 個共整合向量存在，λ₁ ≠0,λ₂ ≠0,⋅⋅⋅,λ_r ≠0但是λ_r₊₁ =λ_r₊₂ =⋅⋅⋅=λ_n =0，則檢定統計量之值會接近零。

(ii) (ii) (ii) (ii) 最大特性根最大特性根最大特性根最大特性根（（（（max eigenmax eigenmax eigenmax eigen））））統計量統計量統計量統計量：：：：λmax

(

r,r+1

)

=−Tln

(

1−λ⁾_r₊1

)

用以檢定 ^Ho:^rank

( )

Π =^r則 H1^:rank

( )

Π =r+¹

同理，如果有 r 個共整合向量存在，則 λ₁ ≠0,λ₂ ≠0,⋅⋅⋅,λ_r ≠0 但是

2 0

1 = ₊ =⋅⋅⋅= =

+ r n

r λ λ

λ ，因為第r+1個特性根λ_r₊₁ =0，故檢定統計量之值也應該接近零。

上述兩種統計量的漸進分配（asymptotic distribution）皆為布朗移動（Brownian motion）的函數。其臨界值可參閱 Johansen–Juselius（1990）以及 Osterwald–Lenum

（1992）所建立之模型分配表。

這兩種檢定方法事先假設變數間不存在共整合關係。若拒絕該假設則依次增加向量個數再行檢定，直到完全無法拒絕假設為止；檢定結果若存在有一個或多個顯著的特性根，則表示相關變數之間具有長期均衡的關係。

(3) (3) (3)

(3) Philip and Loretan（1990）則是提出在估計長期均衡關係時，單一方程式的誤差修正模型並不是一個漸進的有效估計法，在所有單一方程式模型 single-equation method）估計法中，唯有完全修正最小平方統計量（Fully Modified OLS estimator）

才能符合完全效率性（fully efficient）與漸進中位數不偏性（asymptotically median unbiased）。

FM-OLS 估計法在時間序列資料為非恆定時估計較為準確。因為完全修正估計法修正了共整合關係中模型誤差項與自變數誤差項的的長期回饋效果

（feedback effect）。而且完全修正最小平方法可直接利用非恆定資料做迴歸分析，並自動修正解釋變數與模型誤差項的序列相關偏誤及內生性偏誤問題。在本文所用到的變數裡，變數之間的確存在相互影響的問題，例如：當暫時性所得增加時∆Y_t =1，消費也會增加0<∆C_t <1，故經常帳也會增加0<∆CA_t <1，也因此我們必須注意序列相關偏誤及內生性偏誤的問題。

本文採用了 Philips and Hansen（1990）提出的完全修正最小平方估計法（Fully Modified OLS，FM-OLS）來估計(3.12)式單一方程式的共整合關係，同時也採用 Hansen（1992）提出的參數穩定性檢定法來檢定期共整合關係是否存在。

第三節向量自我迴歸模型

傳統上計量模型的建立，皆事先判定變數是外生或是內生，然後再建立模型，但是實際上變數之間會相互影響，若不分辨因果關係，則模型參數估計之後所做的推論，其正確性將大受影響。

Sims（1980）認為根據先驗理論建立的模型，估計得到的實證結果並無法證明是來自所有經濟變數的聯合過程（joint process）之特性，亦即無法確定是否表現真正資料的特性，因此便提出向量自我迴歸模型（Vector Autoregressive Model，

VAR），其主要特點在於 Sims 假設各個變數皆為內生的，並建立 VAR 型來觀察變數之間互動關係，來反應模型參數內真實的互動效果，避免結構設定上的錯誤。

但是 Sims 的方法限定所有的變數皆為穩定的或是在小樣本之下才可以使用，然而我們所使用的資料透過檢定不一定能符合穩定的性質，因此若貿然的將變數直接以傳統的 VAR 來估計，可能會誤導所估計的結果，因此本文中我們改用 Phillips（1995）所發展的完全修正向量自我迴歸模型（FM-VAR），我們以矩陣表達 VAR（p）如下：

t t p t p t

t y y y x

y = Λ₁ ₋₁ +Λ₂ ₋₂ +L+Λ ₋ +ψ +ε (4.12) 式(4.12)中y 為 k 個內生變數所組成的向量；_t Λ ，₁

Λ ，……..，Λ 為_p

(

^k^×^k

)

^的係

數矩陣；x 為外生變數所組成的向量，也可包含時間趨勢項，季節或是結構虛擬_t 變數；ψ為x 所對應的係數矩陣；_t ε_t為誤差項，誤差項之間可同期相關，但是不 可跨期相關，並且與解釋變數獨立。至於落後期數 p 的選取標準，則以 SBC

（Schwarz’s Bayesian Criterion）作為判斷的準則。

我們將(4.12)式以誤差修正模型（Vector Error Correction Model ，VECM）來表示如下：

t t t p t p t

t y y y y x

y =Φ₁∆ ₋₁+Φ₂∆ ₋₂ +⋅⋅⋅+Φ ₋₁∆ ₋ ₊₁+ς ₋₁+ψ +ε (4.13)

其中，

第四節因果關係檢定(Granger Causality Test)

早期經濟學家對因果關係的定義爭論不已，但一般而言，至少同意因果需要有三個條件：第一是變數間的相關；第二為現象之間（即時間先後順序）暫時不對稱；第三則是消除另一個現象會產生觀察到的共變數之機率。

直至 Granger（1969）從「預測能力（Predictability）」的角度來定義變數的因果關係，亦即欲預測X_t時，除考慮變數X 過去的所有資料以外，若將變數Y的

式(4.15)中每一列共有 k 個變數，具有 n 期；γ_i為常數項，β_ij為係數參數，其中 k

i, =1,2,⋅⋅⋅, ， ε_i為誤差項其必須符合白噪音的假設。我們可由式中發現到y_it不但可以由自己的過去值來解釋，也可由其他變數的過去值來解釋，假如第j個變 數之落後期可以解釋現在第 i 個變數，那麼參數β_ij則會明顯的異於零。因此，倘若y 可以解釋_jt y_it，那麼則稱y_jt Granger-Causes y_it。其假設檢定以及檢定統計

量如下：

虛無假設 H₀：有p個β_ij為0

對立假設 H₁：上面p個β_ij至少有一個不為零

當H₀成立時，表示變數y_jt不會對變數y_it造成 Granger 因果關係；假如拒絕掉虛

無假設H₀，則表示變數y_jt Granger-Causes 變數y_it。對此所使用的 F 檢定統計量如下：

) 1 ( /

/ ) (

−

= −

k k n SSE

p SSE F SSE

R ～F

(

p,n−k(k+1)

)

(4.16)

(4.16)式中SSE 表示受限制模型（restricted model）的誤差平方和，_R SSE 表示未受_u 限制模型（unrestricted model）之迴歸的殘差平方和。

若單一β_ij的檢定，H₀:β_ij =0，因為 FM-VAR 之估計參數巳達效率性

（efficiency），因此， Phillips and Hansen（1990）以及 Phillips（1995）建議可 以一般的 t 檢定來做參數係數值的檢定；是以，本文即以簡單個別估計參數之 t 值

來做為Granger因果關係的檢定，其檢定結果與(4.16)式之 F 檢定結果是一致的。

第五節 Wald 檢定

Wald 檢定（Wald test）主要的目的在於檢視是否將模型適當的限制其參數，

由於本文主要是檢驗根據模型所估計出來的經常帳的預測值與實際的預測值是

⇒

[ ] [ ]

_^ ^Φ_^

第六節預測模型的檢定

依循 Diebold and Mariano（1995）中所介紹的六種主要檢定方法，來比較不同模型間的預測能力，以期希望能找出預測誤差相對比較小的一組模型，來做為

= 為預測誤差（forecast error），而損失函數（loss function）為預測誤差的函數；

( ) ( ) ∑ ( )

k 為向前預測值之期數（k-step-ahead forecast）。

若檢定出的統計量S 太大而拒絕了虛無假設，就表示₁

{ }

y)_it ^T_t₌₁這一組所對應的預測誤差e 相對比較大，因此_i

{ }

y)_it ^T_t₌₁的預測能力比較差；反之，若檢定出的統計量太小落入了左尾的拒絕域，就表示

{ }

yjt ^T_t

) 這一組所對應的預測誤差e 相對比較大，_j

因此

{ }

yjt ^T_t

) 的預測能力比較差；但若檢定統計量無法拒絕虛無假設，則表示

{ }

y)_it ^T_t₌₁

與

{ }

y)_jt ^T_t₌₁

之預測能力不分軒輊。故藉由符號檢定可以檢定出哪一個模型的預測值比較好。

(2) (2) (2)

(2) 符號檢定符號檢定符號檢定符號檢定（（（The Sign Test（The Sign TestThe Sign Test）The Sign Test）））

用以檢定兩組預測模型是否一樣好（即med

[

( )

eit ⁻g

( )

ejt

]

⁼⁰）的虛無假設是否成立。若檢定出的統計量S₂_a其值太大而拒絕了虛無假設，就表示

{ }

y)it ^T_t₌₁這一組所對應的預測誤差e 相對比較大，因此_i

{ }

y)_it ^T_t₌₁

的預測能力比較差；反之若檢定出的統計量其值太小落入了左尾的拒絕域，就表示

{ }

yjt ^T_t

) 這一組所對應的預測

誤差e 相對比較大，因此_j

{ }

yjt ^T_t

) 的預測能力比較差；但若檢定統計量無法拒絕虛

無假設，則表示

{ }

y)it ^T_t₌₁與

{ }

yjt ^T_t 1

) 之預測能力不分軒輊。故藉由符號檢定可以檢定

出哪一個模型的預測值比較好。其檢定統計量介紹如下：

s

²^a⁼ ²₀⁻_.₂₅⁰^.⁵ ^～^N

^{( )}

⁰^,¹ (4.23)

其中， ^T

( )

d I

∑

= + 1

2 且 dt ≡

[

( )

eit −g

( )

ejt

]

( )

 >

+ =

otherwise d d if

I _t ^t

0 1

((((3333)))) 魏克森符號排序檢定魏克森符號排序檢定（魏克森符號排序檢定魏克森符號排序檢定（（（Wilcoxon's SignedWilcoxon's SignedWilcoxon's SignedWilcoxon's Signed----Rank TestRank TestRank Test）Rank Test）））

預測能力比較好。

若檢定出的統計量 MR 顯著大於 0，拒絕了虛無假設，就表示

{ }

y)it ^T_t₌₁這一組所對應的預測誤差e 相對比較大，因此_i

{ }

y)it ^T_t₌₁的預測能力比較差，

{ }

yjt ^T_t

) 的預測

能力表現較佳；反之若檢定出的統計量太小落入左尾的拒絕域，就表示

{ }

yjt ^T_t

) 這

一組所對應的預測誤差e 相對比較大，因此_j

{ }

yjt ^T_t

) 的預測能力比較差；但若檢定

統計量無法拒絕虛無假設，則表示

{ }

y)it ^T_t₌₁

與

{ }

y_jt ^T_t

) 之預測能力不分軒輊。

第伍章實證分析與結果

第一節實證資料的選取與處理

資料來源資料來源資料來源資料來源：：：：

本研究所採用的資料來源取自於國際貨幣基金（International Monetary Fund，

IMF）之國際金融統計資料庫（International Financial Statistics），IFS CD-ROM，

Version 1.1.53。所擷取的時間序列（time series data）資料詳列如下：

在文檔中貨幣存量對經常帳動態之影響-G4工業化國家之研究 (頁 49-0)

( )

( )

(

)

(

)

( ) ∑ ( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

第三節 向量自我迴歸模型

(

)

第四節 因果關係檢定(Granger Causality Test)

(

)

第五節 Wald 檢定

[ ] [ ]

第六節 預測模型的檢定

( ) ( ) ∑ ( )

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

[

( )

( )

]

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

s

s

( )

( )

∑

[

( )

( )

]

( )

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

第伍章 實證分析與結果

第一節 實證資料的選取與處理

第三節向量自我迴歸模型

第四節因果關係檢定(Granger Causality Test)

第六節預測模型的檢定

^{( )}

第伍章實證分析與結果

第一節實證資料的選取與處理