各國學生數學能力、數學態度與國家指標的 HLM 分析

壹、帶有非隨機變化之斜率的模式

在本模式中，其階層線性方程式如下：

Y_ij = β_0j +β_1jX_ij +r_ij,

r

_ij

~ N

(0,σ²) 階層一

j j

j γ γ W u

β₀ = ₀₀+ ₀₁ + ₀ 階層二

j

j γ γ W

β₁ = ₁₀ + ₁₁ 階層二

一、GDP (一)數學觀點

Y

ij是學生的數學能力，X 是指學生數學觀點，_ij

W

_j則是 GDP，其結果如表 4-4-1 所示。

表 4-4-1 GDP 與數學觀點帶有非隨機變化之斜率的模式的結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

p

值 數學能力之整體平均數(γ ) ₀₀ 13.580 1.319 10.292 .000 GDP 對數學平均數學能力之

影響效果(γ ) ₀₁ .125 .046 2.716 .010 各國學生數學觀點對數學能力

影響的平均數(γ ) ₁₀ - .145 .037 -3.921 .000 GDP 對「各國學生數學觀點影

響數學能力」的影響(γ ) ₁₁ - .002 .001 -1.195 .232 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 6.251 39 23082.824 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 69.710

從表 4-4-1 可知γ 未達顯著水準，表示 GDP 無法解釋「各國學生的數學觀₁₁ 點對其數學能力之影響」。

此外，除去 GDP 所能解釋的變異量後，各國之平均數學能力仍然有顯著的 差異(τ ＝6.251,

^ˆ

₀₀

df

=39, χ ＝23082.824, ²

p

< .001)，此表示除了 GDP 之外，各 國之平均數學能力的差異，尚待國家階層的其他變項來解釋，此與以階層一方程 式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式的結論一致。

(二)數學自信心

Y

ij是學生的數學能力，X 是指學生數學自信心，_ij

W

_j則是 GDP，其結果如表 4-4-2 所示。

表 4-4-2 GDP 與數學自信心帶有非隨機變化之斜率的模式的結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

p

值 數學能力之整體平均數(γ₀₀) 19.813 1.496 13.242 .000 GDP 對數學平均數學能力之

影響效果(γ ) ₀₁ .128 .046 2.779 .009 各國學生數學自信心對數學能

力影響的平均數(γ ) ₁₀ - .523 .062 -8.403 .000 GDP 對「各國學生數學自信心

影響數學能力」的影響(γ ) ₁₁ - .004 .002 -2.031 .042 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 5.144 39 19403.702 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 63.632

從表 4-4-2 可知γ 達顯著水準，表示 GDP 可以解釋「各國學生的數學自信₁₁ 心對其數學能力之影響」，由於γ ＜0，所以可得知 GDP 越低，則其「各國學生₁₁ 數學自信心影響數學能力」的程度越高。

此外，除去 GDP 所能解釋的變異量後，各國之平均數學能力仍然有顯著的 差異(τ ＝5.144,

^ˆ

₀₀

df

=39, χ ＝19403.702, ²

p

< .001)，此表示除了 GDP 之外，各 國之平均數學能力的差異，尚待國家階層的其他變項來解釋，此與以階層一方程 式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式的結論一致。

(三)數學想法

Y

ij是學生的數學能力，X 是指學生數學想法，_ij

W

_j則是 GDP，其結果如表 4-4-3 所示。

表 4-4-3 GDP 與數學想法帶有非隨機變化之斜率的模式的結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

p

值 數學能力之整體平均數(γ ) ₀₀ 2.876 .527 5.462 .000 GDP 對數學平均數學能力之

影響效果(γ ) ₀₁ .068 .025 2.744 .010 各國學生數學想法對數學能力

影響的平均數(γ ) ₁₀ .333 .028 11.775 .000 GDP 對「各國學生數學想法影

響數學能力」的影響(γ ) ₁₁ .0002 .001 .184 .855 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 5.517 39 20395.359 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 66.609

從表 4-4-3 可知γ 未達顯著水準，表示₁₁ GDP 無法解釋「各國學生的數學想 法對其數學能力之影響」。

此外，除去 GDP 所能解釋的變異量後，各國之平均數學能力仍然有顯著的 差異(τ ＝5.517,

^ˆ

₀₀

df

=39, χ ＝20395.359, ²

p

< .001)，此表示除了 GDP 之外，各 國之平均數學能力的差異，尚待國家階層的其他變項來解釋，此與以階層一方程 式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式的結論一致。

(四)數學態度

由於X 有三個的緣故，將階層線性方程式擴展如下： _ij

Y_ij = β_0j +β_1jX_1ij +β_2jX_2ij +β_3jX_3ij +r_ij,

r

_ij

~ N

(0,σ²) 階層一

j j

j γ γ W u

β₀ = ₀₀+ ₀₁ + ₀ 階層二

j

j γ γ W

β₁ = ₁₀ + ₁₁ 階層二

j

j γ γ W

β₂ = ₂₀+ ₂₁ 階層二

j

j γ γ W

β₃ = ₃₀+ ₃₁ 階層二

Y

ij是學生的數學能力，X_1ij指的是學生數學觀點、X_2ij指的是學生數學自信 心、X_3ij指的是學生數學想法，

W

_j則是 GDP，其結果如表 4-4-4 所示。

表 4-4-4 GDP 與數學態度帶有非隨機變化之斜率的模式的結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

^p

值 數學能力之整體平均數(γ₀₀) 9.795 1.901 5.152 .000 GDP 對數學平均數學能力之

影響效果(γ₀₁) .179 .062 2.878 .007 各國學生數學觀點對數學能力

影響的平均數(γ₁₀) .174 .027 6.469 .000 GDP 對「各國學生數學觀點影

響數學能力」的影響(γ ) ₁₁ - .001 .001 -1.149 .251 各國學生數學自信心對數學能

力影響的平均數(γ ) ₂₀ - .461 .055 -8.427 .000 GDP 對「各國學生數學自信心

影響數學能力」的影響(γ ) ₂₁ - .003 .002 -1.989 .046 各國學生數學想法對數學能力

影響的平均數(γ ) ₃₀ .242 .023 10.452 .000 GDP 對「各國學生數學想法影

響數學能力」的影響(γ ) ₃₁ - .002 .001 -2.169 .030 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 4.408 39 15294.200 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 63.283

從表 4-4-4 可知：

1、γ 未達顯著水準，表示₁₁ GDP 無法解釋「各國學生的數學觀點對其數學能力之 影響」；

2、γ 達顯著水準，表示 GDP 可以解釋「各國學生的數學自信心對其數學能力之₂₁ 影響」，由於γ ＜0，所以可得知 GDP 越低，則其「各國學生數學自信心影響₂₁ 數學能力」的程度越高；

3、γ 達顯著水準，表示 GDP 可以解釋「各國學生的數學想法對其數學能力之影₃₁ 響」，由於γ ＜0，所以可得知 GDP 越低，則其「各國學生數學想法影響數學₃₁ 能力」的程度越高。

此外，除去 GDP 所能解釋的變異量後，各國之平均數學能力仍然有顯著的 差異(τ ＝4.408,

ˆ

₀₀

df

=39, χ ＝15294.200, ²

p

< .001)，此表示除了 GDP 之外，各 國之平均數學能力的差異，尚待國家階層的其他變項來解釋，此與以階層一方程 式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式的結論一致。

二、GCI (一)數學觀點

Y

ij是學生的數學能力，X 是指學生數學觀點，_ij

W

_j則是 GCI，其結果如表 4-4-5 所示。

表 4-4-5 GCI 與數學觀點帶有非隨機變化之斜率的模式的結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

p

值 數學能力之整體平均數(γ ) ₀₀ -6.758 5.566 -1.214 .233 GCI 對數學平均數學能力之影

響效果(γ ) ₀₁ 4.764 1.097 4.342 .000 各國學生數學觀點對數學能力

影響的平均數(γ ) ₁₀ .227 .153 1.484 .138

表 4-4-5 GCI 與數學觀點帶有非隨機變化之斜率的模式的結果摘要表(續) GCI 對「各國學生數學觀點影

響數學能力」的影響(γ ) ₁₁ - .085 .031 -2.695 .007 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 2.375 39 18590.360 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 69.779

從表 4-4-5 可知γ 達顯著水準，表示 GCI 可以解釋「各國學生的數學觀點對₁₁ 其數學能力之影響」，由於γ ＜0，所以可得知 GCI 越低，則其「各國學生數學₁₁ 觀點影響數學能力」的程度越高。

此外，除去 GCI 所能解釋的變異量後，各國之平均數學能力仍然有顯著的差 異(τ ＝2.375,

^ˆ

₀₀

df

=39, χ ＝18590.360, ²

p

< .001)，此表示除了 GCI 之外，各國 之平均數學能力的差異，尚待國家階層的其他變項來解釋，此與以階層一方程式 的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式的結論一致。

(二)數學自信心

Y

ij是學生的數學能力，X 是指學生數學自信心，_ij

W

_j則是 GCI，其結果如表 4-4-6 所示。

表 4-4-6 GCI 與數學自信心帶有非隨機變化之斜率的模式的結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

p

值 數學能力之整體平均數(γ ) ₀₀ 1.214 6.508 .187 .853 GCI 對數學平均數學能力之影

響效果(γ ) ₀₁ 4.417 1.247 3.542 .001 各國學生數學自信心對數學能

力影響的平均數(γ ) ₁₀ - .113 .257 - .437 .662

表 4-4-6 GCI 與數學自信心帶有非隨機變化之斜率的模式的結果摘要表(續) GCI 對「各國學生數學自信心

影響數學能力」的影響(γ ) ₁₁ - .101 .049 -2.080 .037 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 4.136 39 14396.831 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 63.716

從表 4-4-6 可知γ 達顯著水準，表示 GCI 可以解釋「各國學生的數學自信心₁₁ 對其數學能力之影響」，由於γ ＜0，所以可得知 GCI 越低，則其「各國學生數₁₁ 學自信心影響數學能力」的程度越高。

此外，除去 GCI 所能解釋的變異量後，各國之平均數學能力仍然有顯著的差 異(τ ＝4.136,

^ˆ

₀₀

df

=39, χ ＝14396.831, ²

p

< .001)，此表示除了 GCI 之外，各國 之平均數學能力的差異，尚待國家階層的其他變項來解釋，此與以階層一方程式 的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式的結論一致。

(三)數學想法

Y

ij是學生的數學能力，X 是指學生數學想法，_ij

W

_j則是 GCI，其結果如表 4-4-7 所示。

表 4-4-7 GCI 與數學想法帶有非隨機變化之斜率的模式的結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

p

值 數學能力之整體平均數(γ ) ₀₀ -5.128 2.934 -1.748 .089 GCI 對數學平均數學能力之影

響效果(γ ) ₀₁ 1.962 .638 3.077 .004 各國學生數學想法對數學能力

影響的平均數(γ ) ₁₀ .198 .134 1.485 .137

表 4-4-7 GCI 與數學想法帶有非隨機變化之斜率的模式的結果摘要表(續) GCI 對「各國學生數學想法影

響數學能力」的影響(γ ) ₁₁ .028 .027 1.065 .287 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 4.879 39 16365.892 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 66.721

從表 4-4-7 可知γ 未達顯著水準，表示 GCI 無法解釋「各國學生的數學想法₁₁ 對其數學能力之影響」。

此外，除去 GCI 所能解釋的變異量後，各國之平均數學能力仍然有顯著的差 異(τ ＝4.879,

^ˆ

₀₀

df

=39, χ ＝16365.892, ²

p

< .001)，此表示除了 GCI 之外，各國 之平均數學能力的差異，尚待國家階層的其他變項來解釋，此與以階層一方程式 的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式的結論一致。

(四)數學態度

由於數學態度包含三個變項X 的緣故，所以階層線性方程式擴展如下： _ij Y_ij = β_0j +β_1jX_1ij +β_2jX_2ij +β_3jX_3ij +r_ij,

r

_ij

~ N

(0,σ²) 階層一

j j

j γ γ W u

β₀ = ₀₀+ ₀₁ + ₀ 階層二

j

j γ γ W

β₁ = ₁₀ + ₁₁ 階層二

j

j γ γ W

β₂ = ₂₀+ ₂₁ 階層二

j

j γ γ W

β₃ = ₃₀+ ₃₁ 階層二

Y

ij是學生的數學能力，X_1ij指的是學生數學觀點、X_2ij指的是學生數學自信 心、X_3ij指的是學生數學想法，

W

_j則是 GCI，其結果如表 4-4-8 所示。

表 4-4-8 GCI 與數學態度帶有非隨機變化之斜率的模式的結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

p

值 數學能力之整體平均數(γ ) ₀₀ -12.422 9.175 -1.354 .184 GCI 對數學平均數學能力之影

響效果(γ ) ₀₁ 5.410 1.851 2.923 .006 各國學生數學觀點對數學能力

影響的平均數(γ ) ₁₀ .339 .120 2.821 .005 GCI 對「各國學生數學觀點影

響數學能力」的影響(γ ) ₁₁ - .039 .025 -1.565 .117 各國學生數學自信心對數學能

力影響的平均數(γ ) ₂₀ - .144 .0252 -.572 .567 GCI 對「各國學生數學自信心

影響數學能力」的影響(γ ) ₂₁ - .081 .050 -1.629 .103 各國學生數學想法對數學能力

影響的平均數(γ ) ₃₀ .380 .133 2.857 .005 GCI 對「各國學生數學想法影

響數學能力」的影響(γ ) ₃₁ - .037 .027 -1.351 .177 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 3.508 39 11171.372 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 63.389 從表 4-4-8 可知：

1、γ 未達顯著水準，表示 GCI 無法解釋「各國學生的數學觀點對其數學能力之₁₁ 影響」；

2、γ 未達顯著水準，表示 GCI 無法解釋「各國學生的數學自信心對其數學能力₂₁ 之影響」；

在文檔中 階層觀點下的PISA 2003國際性評量資料庫之數學能力探討 (頁 76-126)