第四章 研究結果與討論
第二節 各國學生數學能力與數學態度的 HLM 分析
壹、隨機效果單因子變異數分析模式
本模式其階層線性方程式如下：
Y
ij=
β0j+ r
ij,r
ij~ N
(0,σ2) 階層一j 0 00 j
0 γ u
β = + 階層二
Y
ij是學生的數學能力，其結果如表 4-2-1 所示。表 4-2-1 41 個國家隨機效果單因子變異數分析模式的結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤
SE
t值p
值 各國平均數學能力之平均數) γ
( 00 12.698 .439 28.923 .000 隨機效果 變異數 自由度
df
卡方值χ2p
值 階層二之隨機效果(u
0j) 8.081 40 35874.184 .000階層一之隨機效果(r ) ij 70.225
從表 4-2-1 可知各國平均數學能力的平均數估計值是 12.698，估計標準誤 是 .439，其 95％的信賴區間為：
[12.698-1.96( .439), 12.698+1.96( .439)]=(11.837, 13.558)
此外，從表 4-2-1 可以看出國家間之變異τ 達顯著水準，代表各國在數學能00 力上有顯著的變異。由國家間變異(τ00)及國家內變異(σ2)可以算出內在組別相關 係數 ρˆ：ρ
ˆ =
τˆ
00/(
τˆ
00+
σˆ
2)
=8.081/(8.081+70.225)=10.32%。代表數學能力的總變異量中有 10.32％是由國家階層變項所造成的，也就是 說有國家階層變項會對學生的數學能力造成影響。以下將用其他的次模式來進行 更一步的研究。
貳、隨機效果單因子共變數分析模式
在本模式中，其階層線性方程式如下：
Yij = β0j +β1jXij +rij ,
r
ij~ N
(0,σ2) 階層一j 0 00 j
0 γ u
β = + 階層二
10
1 =γ
β j 階層二
一、數學觀點
Y
ij是學生的數學能力，X 則是學生數學觀點，則可得如表 4-2-2 所示之結果。 ij 表 4-2-2 數學觀點隨機效果單因子共變數分析模式的結果摘要表固定效果 係數 估計標準誤
SE t
值p
值 各國平均數學能力的平均值(γ ) 00 16.439 .730 22.508 .000 各國學生數學觀點對數學
能力影響的平均數(γ ) 10 - .186 .019 -9.453 .000 隨機效果 變異數 自由度
df
卡方值χ2p
值 階層二之隨機效果(u
0j) 9.191 40 38526.506 .000階層一之隨機效果(r ) ij 69.725
從表 4-2-2 可得知各國學生數學觀點對數學能力平均影響之
p
值達顯著水 準，亦即對各國而言，學生數學觀點是有效解釋數學能力的變項。因為γ ＜0，所以可以知道，學生之數學觀點若傾向正面，則數學能力越高，10 若傾向負面，則數學能力越低。至於學生數學觀點能解釋學生數學能力變異的百 分比為：(70.225-69.725)/70.225=0.71 %。
此外，在隨機效果中，τ
ˆ
00＝9.191,df
=40, χ ＝38526.506，達顯著水準，2 表示參加 PISA 之國家在數學能力上有顯著差異，此與隨機效果單因子變異數分析模式的結論一致。
二、數學自信心
Y
ij是學生的數學能力，X 則是學生自信心，則可得如表 4-2-3 所示之結果。 ij 表 4-2-3 數學自信心隨機效果單因子共變數分析模式的結果摘要表固定效果 係數 估計標準誤
SE t
值p
值 各國平均數學能力的平均值(γ ) 00 22.717 .758 29.955 .000 各國學生數學自信心對數
學能力影響的平均數(γ ) 10 - .606 .029 -20.773 .000 隨機效果 變異數 自由度
df
卡方值χ2p
值 階層二之隨機效果(u
0j) 6.479 40 28630.950 .000階層一之隨機效果(r ) ij 63.691
從表 4-2-3 可得知各國學生數學自信心對數學能力平均影響之
p
值達顯著水 準，亦即對各國而言，學生數學自信心是有效解釋數學能力的變項。因為γ ＜0，所以可以知道，學生對數學越有自信心，則數學能力越高，若10 越沒有自信心，則數學能力越低。至於學生數學自信心能解釋學生數學能力變異 的百分比為：(70.225-63.691)/70.225=9.30 %。
此外，在隨機效果中，τ
ˆ
00＝6.479,df
=40, χ ＝28630.950，達顯著水準，2 表示參加 PISA 之國家在數學能力上有顯著差異，此與隨機效果單因子變異數分 析模式的結論一致。三、數學想法
Y
ij是學生的數學能力，X 則是學生想法，則可得如表 4-2-4 所示之結果。 ij表 4-2-4 數學想法隨機效果單因子共變數分析模式的結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤
SE t
值p
值 各國平均數學能力的平均值(γ ) 00 4.440 .427 10.407 .000 各國學生數學想法對數學
能力影響的平均數(γ ) 10 .338 .013 26.940 .000 隨機效果 變異數 自由度
df
卡方值χ2p
值 階層二之隨機效果(u
0j) 7.229 40 30515.082 .000階層一之隨機效果(r ) ij 66.609
從表 4-2-4 可得知各國學生數學想法對數學能力平均影響之
p
值達顯著水 準，亦即對各國而言，學生數學想法是有效解釋數學能力的變項。因為γ ＞0，所以可以知道，學生之數學想法若傾向正面，則數學能力越高，10 若傾向負面，則數學能力越低。至於學生數學想法能解釋學生數學能力變異的百 分比為：(70.225-66.609)/70.225=5.15 %。
此外，在隨機效果中，τ
ˆ
00＝7.229,df
=40, χ ＝30515.082，達顯著水準，2 表示參加 PISA 之國家在數學能力上有顯著差異，此與隨機效果單因子變異數分 析模式的結論一致。四、數學態度
上述是以個別變項來看，如果以全體的個人背景變項「數學態度」來看，
由於X 有三個的緣故，將階層線性方程式擴展如下： ij
Yij = β0j +β1jX1ij +β2jX2ij +β3jX3ij +rij ,
r
ij~ N
(0,σ2) 階層一j 0 00 j
0 γ u
β = + 階層二
10
1 =γ
β j 階層二
20
2 =γ
β j 階層二
30
3 =γ
β j 階層二
Y
ij是學生的數學能力，X1ij指的是學生數學觀點、X2ij指的是學生數學自信 心、X3ij指的是學生數學想法。其結果如表 4-2-5 所示。表 4-2-5 數學態度隨機效果單因子共變數分析模式的結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤
SE t
值p
值 各國平均數學能力的平均值(γ ) 00 13.717 1.193 11.502 .000 各國學生數學觀點對數學
能力影響的平均數(γ ) 10 .148 .016 9.132 .000 各國學生數學自信心對數
學能力影響的平均數(γ ) 20 - .534 .030 -17.975 .000 各國學生數學想法對數學
能力影響的平均數(γ ) 30 .204 .015 13.892 .000 隨機效果 變異數 自由度
df
卡方值χ2p
值 階層二之隨機效果(u
0j) 5.458 40 21939.705 .000階層一之隨機效果(r ) ij 63.327
從表 4-2-5 可得知各國學生數學觀點、數學自信心以及數學想法對數學能力 平均影響之
p
值均達顯著水準，亦即對各國而言，學生數學觀點、數學自信心以 及數學想法皆是有效解釋數學能力的變項。因為γ ＞0、10 γ ＜0、20 γ ＞0，所以可以知道： 30
(一) 學生之數學觀點若傾向負面，則數學能力越高，若傾向正面，則數學能力越 低；
低；
表 4-2-6 數學觀點隨機係數之迴歸模式的結果摘要表(續)
階層二之隨機效果(
u
1j) .014 40 1108.571 .000 階層一之隨機效果(r ) ij 69.438從表 4-2-6 可得知各國學生數學觀點對數學能力平均影響之
p
值達顯著水 準，亦即對各國而言，學生數學觀點是有效解釋數學能力的變項，此與隨機效果 單因子共變數分析模式的結果一致。因為γ ＜0，所以可以知道，學生之數學觀點若傾向正面，則數學能力越高，10 若傾向負面，則數學能力越低。至於學生數學觀點能解釋學生數學能力變異的百 分比為：(70.225-69.438)/70.225=1.12%。
此外，在隨機效果中，τ
ˆ
00＝21.089,df
=40, χ ＝5246.019，達顯著水準，2 表示參加 PISA 之國家在數學能力上有顯著差異，此與隨機效果單因子變異數分 析模式的結論一致。而τ ＝.014, ˆ11df
=40, χ ＝1108.571，達顯著水準，表示各國2 家間數學觀點對數學能力的影響有顯著的不同。二、數學自信心
Y
ij是學生的數學能力，X 則是學生自信心，則可得如表 4-2-7 所示之結果。 ij 表 4-2-7 數學自信心隨機係數之迴歸模式的結果摘要表固定效果 係數 估計標準誤
SE t
值p
值 各國平均數學能力的平均值(γ ) 00 22.860 .666 34.319 .000 各國學生數學自信心對數
學能力影響的平均數(γ ) 10 - .619 .020 -31.031 .000 隨機效果 變異數 自由度
df
卡方值χ2p
值 階層二之隨機效果(u
0j) 18.432 40 5263.629 .000 階層二之隨機效果(u
1j) .016 40 1449.462 .000表 4-2-7 數學自信心隨機係數之迴歸模式的結果摘要表(續) 階層一之隨機效果(r ) ij 63.348
從表 4-2-7 可得知各國學生數學自信心對數學能力平均影響之
p
值達顯著水 準，亦即對各國而言，學生數學自信心是有效解釋數學能力的變項。因為γ ＜0，所以可以知道，學生對數學越有自信心，則數學能力越高，若10 越沒有自信心，則數學能力越低。至於學生數學自信心能解釋學生數學能力變異 的百分比為：(70.225-63.348)/70.225=9.79 %。
此外，在隨機效果中，τ
ˆ
00＝18.432,df
=40, χ ＝5263.629，達顯著水準，2 表示參加 PISA 之國家在數學能力上有顯著差異，此與隨機效果單因子變異數分 析模式的結論一致。而τ ＝.016, ˆ11df
=40, χ ＝1449.462，達顯著水準，表示各國2 家間數學自信心對數學能力的影響有顯著的不同。三、數學想法
Y
ij是學生的數學能力，X 則是學生想法，則可得如表 4-2-8 所示之結果。 ij 表 4-2-8 數學想法隨機係數之迴歸模式的結果摘要表固定效果 係數 估計標準誤
SE t
值p
值 各國平均數學能力的平均值(γ ) 00 4.381 .453 9.668 .000 各國學生數學想法對數學
能力影響的平均數(γ ) 10 .338 .015 21.931 .000 隨機效果 變異數 自由度
df
卡方值χ2p
值 階層二之隨機效果(u
0j) 8.322 40 1596.185 .000 階層二之隨機效果(u
1j) .010 40 1034.655 .000階層一之隨機效果(r ) ij 66.348
從表 4-2-8 可得知各國學生數學想法對數學能力平均影響之
p
值達顯著水表 4-2-9 數學態度隨機係數之迴歸模式的結果摘要表
固定效果 係數 估計標準誤
SE t
值p
值 各國平均數學能力的平均值(γ ) 00 14.050 .932 15.077 .000 各國學生數學觀點對數學
能力影響的平均數(γ ) 10 .142 .014 9.885 .000 各國學生數學自信心對數
學能力影響的平均數(γ ) 20 - .539 .019 -28.039 .000 各國學生數學想法對數學
能力影響的平均數(γ ) 30 .197 .015 13.506 .000 隨機效果 變異數 自由度
df
卡方值χ2p
值 階層二之隨機效果(u
0j) 34.833 40 1455.399 .000 階層二之隨機效果(u
1j) .008 40 472.935 .000 階層二之隨機效果(u2j) .014 40 885.897 .000 階層二之隨機效果(u3j) .008 40 575.808 .000階層一之隨機效果(r ) ij 62.797
從表 4-2-9 可得知各國學生數學觀點、數學自信心以及數學想法對數學能力 平均影響之
p
值均達顯著水準，亦即對各國而言，學生數學觀點、數學自信心以 及數學想法皆是有效解釋數學能力的變項。因為γ ＞0、10 γ ＜0、20 γ ＞0，所以可以知道： 30
(一)學生之數學觀點若傾向負面，則數學能力越高，若傾向正面，則數學能力越 低；
(二)學生對數學越有自信心，則數學能力越高，若越沒有自信心，則數學能力越 低；
(三)學生之數學想法若傾向正面，則數學能力越高，若傾向負面，則數學能力越 低。
至於學生數學態度所能解釋學生數學能力變異的百分比為：
(70.225-62.797)/70.225=10.58%。
此外，在隨機效果中，τ