各國學生數學能力與國家指標的 HLM 分析

至於學生數學態度所能解釋學生數學能力變異的百分比為：

(70.225-62.797)/70.225=10.58%。

此外，在隨機效果中，τ

ˆ

₀₀＝34.833,

df

=40, χ ＝1455.399，達顯著水準，² 表示參加 PISA 之國家在數學能力上有顯著差異，此與隨機效果單因子變異數分 析模式的結論一致。而τ ＝.008, ˆ₁₁

df

=40, χ ＝472.935，達顯著水準，表示各國² 家間數學觀點對數學能力的影響有顯著的不同；而 ˆτ ＝.014, ₂₂

df

=40, χ ＝² 885.897，達顯著水準，表示各國家間數學自信心對數學能力的影響有顯著的不 同；而ˆτ ＝.008, ₃₃

df

=40, χ ＝575.808，達顯著水準，表示各國家間數學想法對² 數學能力的影響有顯著的不同。

第三節 各國學生數學能力與國家指標的 HLM 分析

壹、以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項 的迴歸模式

在本模式中，其階層線性方程式如下：

ij j

ij

r

Y =

β₀

+

,

r

_ij

~ N

(0,σ²) 階層一

j 0 j 01 00 j

0 γ γ W u

β = + + 階層二

一、GDP

Y

ij是學生的數學能力，

W

_j則是 GDP，其結果如表 4-3-1 所示。

表 4-3-1 GDP 以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴 歸模式的結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

^p

值 數學能力之整體平均數(γ ) ₀₀ 10.693 .728 14.684 .000

GDP 對各國平均數學能力

之影響效果(γ ) ₀₁ .087 .023 3.731 .001 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 5.562 39 21666.302 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 70.225

從表 4-3-1 可以看出 GDP 對國家平均數學能力有顯著的影響，由於γ ＞0，₀₁ 所以可知 GDP 越高，該國平均數學能力越高，而所能解釋的百分比為：

(8.081-5.562)/ 8.081=31.17%。

然而，即使 GDP 已能解釋 31.17％之變異，但當除去 GDP 所能解釋的變異 量後，各國之平均數學能力仍然有顯著的差異(τ

^ˆ

₀₀=5.562,

df

=39, χ²=21666.302,

p

< .001)，此表示除了 GDP 之外，各國之平均數學能力的差異，尚待國家階層的 其他變項來解釋。

此外，內在組別相關係數ρ

ˆ =

τ

ˆ

₀₀

/(

τ

ˆ

₀₀

+

σ

ˆ

²

)

=5.562/(5.562+70.225)=7.34%，也 就是說加入國家變項 GDP 後，組間差異從 10.32%降低到 7.34%。

二、GCI

Y

ij是學生的數學能力，

W

_j則是 GCI，因為國家數為 38 個的緣故，所以隨機 效果的單因子變異數分析模式結果如表 4-3-2 所示。

表 4-3-2 38 個國家隨機效果的單因子變異數分析模式的結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

p

值 各國平均數學能力之平均數

) γ

( ₀₀ 12.646 .457 27.654 .000 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 8.149 37 34991.293 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 70.381

從表 4-3-2 由國家間變異(τ₀₀)及國家內變異(σ²)可以算出內在組別相關係數 ρ^ˆ：ρ

ˆ =

τ

ˆ

₀₀

/(

τ

ˆ

₀₀

+

σ

ˆ

²

)

=8.149(8.149+70.381)=10.38 %。

而以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式 的結果則如表 4-3-3 所示。

表 4-3-3 GCI 以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴 歸模式的結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

^p

值 數學能力之整體平均數(γ ) ₀₀ -2.177 3.251 -.670 .507 GCI 對各國平均數學能力之

影響效果(γ ) ₀₁ 3.047 .631 4.827 .000 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 4.832 36 16883.716 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 70.380

從表 4-3-3 可以看出 GCI 對國家平均數學能力有顯著的影響，由於γ ＞0，₀₁ 所以可知 GCI 越高，該國平均數學能力越高，而所能解釋的百分比為：

(8.149-4.832)/ 8.149=40.70%。

然而，即使 GCI 已能解釋 40.70％之變異，但當除去 GCI 所能解釋的變異量 後，各國之平均數學能力仍然有顯著的差異(τ

ˆ

₀₀=4.832,

df

=36, χ²=16883.716,

p

< .001)，此表示除了 GCI 之外，各國之平均數學能力的差異，尚待國家階層的 其他變項來解釋。

此外，內在組別相關係數ρ

ˆ =

τ

ˆ

₀₀

/(

τ

ˆ

₀₀

+

σ

ˆ

²

)

=4.832/(4.832+70.381)=6.42%，也 就是說加入國家變項 GCI 後，組間差異從 10.38%降低到 6.42%。

三、NRI

Y

ij是學生的數學能力，

W

_j則是 NRI，其結果如表 4-3-4 所示。

表 4-3-4 NRI 以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴 歸模式的結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

^p

值 數學能力之整體平均數(γ ) ₀₀ .222 2.657 .083 .934 NRI 對各國平均數學能力之

影響效果(γ ) ₀₁ 2.887 .582 4.962 .000 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 4.519 36 15817.780 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 70.381

從表 4-3-4 可以看出 NRI 對國家平均數學能力有顯著的影響，由於γ ＞0，₀₁ 所以可知 NRI 越高，該國平均數學能力越高，而所能解釋的百分比為：

(8.149-4.519)/ 8.149=44.55%。

然而，即使 NRI 已能解釋 44.55％之變異，但當除去 NRI 所能解釋的變異量 後，各國之平均數學能力仍然有顯著的差異(τ

^ˆ

₀₀=4.519,

df

=36, χ²=15817.780,

p

< .001)，此表示除了 NRI 之外，各國之平均數學能力的差異，尚待國家階層的 其他變項來解釋。

此外，內在組別相關係數ρ

ˆ =

τ

ˆ

₀₀

/(

τ

ˆ

₀₀

+

σ

ˆ

²

)

=4.519/(4.519+70.381)=6.03%，也 就是說加入國家變項 NRI 後，組間差異從 10.38%降低到 6.03%。

四、EI

Y

ij是學生的數學能力，

W

_j則是 EI，其結果如表 4-3-5 所示。

表 4-3-5 EI 以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸 模式的結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

^p

值 數學能力之整體平均數(γ ) -20.491 ₀₀ 5.118 -4.004 .000 EI 對各國平均數學能力之影

響效果(γ ) ₀₁ 35.144 5.233 6.716 .000 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 3.976 36 11675.936 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 70.381

從表 4-3-5 可以看出 EI 對國家平均數學能力有顯著的影響，由於γ ＞0，所₀₁ 以可知 EI 越高，該國平均數學能力越高，而所能解釋的百分比為：

(8.149-3.976)/ 8.149=51.21%。

然而，即使 EI 已能解釋 51.21％之變異，但當除去 EI 所能解釋的變異量後，

各 國 之 平 均 數 學 能 力 仍 然 有 顯 著 的 差 異 (τ

^ˆ

₀₀ =3.976,

df

=36, χ² =11675.936,

p

< .001)，此表示除了 EI 之外，各國之平均數學能力的差異，尚待國家階層的其 他變項來解釋。

此外，內在組別相關係數ρ

ˆ =

τ

ˆ

₀₀

/(

τ

ˆ

₀₀

+

σ

ˆ

²

)

=3.976/(3.976+70.381)=5.35%，也 就是說加入國家變項 EI 後，組間差異從 10.38%降低到 5.35%。

五、班級規模

Y

ij是學生的數學能力，

W

_j則是 EI，因為國家數為 27 個的緣故，所以隨機效

果的單因子變異數分析模式結果如表 4-3-6 所示。

表 4-3-6 27 個國家隨機效果的單因子變異數分析模式的結果摘要表 固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

p

值 各國平均數學能力之平均數

) γ

( ₀₀ 12.426 .520 23.890 .000 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 7.574 26 22601.837 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 69.905

從表 4-3-6 由國家間變異(τ₀₀)及國家內變異(σ²)可以算出內在組別相關係數 ρ^ˆ：ρ

ˆ =

τ

ˆ

₀₀

/(

τ

ˆ

₀₀

+

σ

ˆ

²

)

=7.574(7.574+69.905)=9.78 %。

而其以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模 式的結果則如表 4-3-7 所示。

表 4-3-7 班級規模以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項 的迴歸模式的結果摘要表

固定效果 係數 估計標準誤

SE t

值

p

值 數學能力之整體平均數(γ ) ₀₀ 18.232 2.334 7.813 .000 班級規模對各國平均數學能

力之影響效果(γ ) ₀₁ - .230 .105 -2.187 .038 隨機效果 變異數 自由度

df

卡方值χ²

p

值 階層二之隨機效果(

u

_0j) 6.103 25 15993.925 .000

階層一之隨機效果(r ) _ij 69.905

從表 4-3-7 可以看出班級規模對國家平均數學能力有顯著的影響，由於γ ＜₀₁ 0，所以可知班級規模越小，該國平均數學能力越高，而所能解釋的百分比為：

(7.574-6.103)/ 7.574=19.42%。

然而，即使班級規模已能解釋 19.42％之變異，但當除去班級規模所能解釋 的變異量後，各國之平均數學能力仍然有顯著的差異(τ

ˆ

₀₀=6.103,

df

=25, χ²= 15993.925,

p

< .001)，此表示除了班級規模之外，各國之平均數學能力的差異，

尚待國家階層的其他變項來解釋。

此外，內在組別相關係數ρ

ˆ =

τ

ˆ

₀₀

/(

τ

ˆ

₀₀

+

σ

ˆ

²

)

=6.103/(6.103+69.905)=8.03%，也 就是說加入國家變項班級規模後，組間差異從 9.78%降低到 8.03%。

第四節 各國學生數學能力、數學態度與國家指標的

在文檔中 階層觀點下的PISA 2003國際性評量資料庫之數學能力探討 (頁 70-76)