圖示表徵教學

表徵是將事物以另一種形式來表示的歷程（張春興，民77）；也就是利用 表徵可以將想法以不同方式表現出來，作為想法的溝通工具。本節將依本研究 的研究內容探討數學表徵的方式及圖示表徵策略。

一、數學表徵方式

NCTM（1989）認為表徵也可作為溝通數學想法的工具，也建議學習者多利用 表徵來瞭解的數學觀念和關係，這也是將數學概念運用到情境問題的重要關鍵。

表徵可以作為數學運思的材料，簡化解題過程（蔣治邦，民93）是大家都認同的 觀點。如 Dufour-Janvier 與 Belanger（1987）就發現以圖示做為表徵的過程中，

學童會去思考該題目的類型及題目中的各項關係以釐清數字間的關係，進而列出 正確的算式。但並非全部的數學觀念與問題都可以用表徵方式呈現，也並非所有 的表徵都是適合該數學觀念與問題的。如 Lowrie 與 Kay（2001）研究中就發現若 畫的圖形不適合，也就無法解決數學問題。所以，想要以圖示表徵進行教學或以 圖示表徵進行解題的人來說，數學表徵的呈現方式非常重要。

Lesh 與 Post（1987）認為數學概念可以由圖畫、文字符號、口語符號、實物 情境、具體操作物等五種不同形式來表徵數學，而且發現表徵可以降低題目的難 度（Lesh ＆ Post 1987）；基於此觀點，教師應多鼓勵學童在無法解題時，多採 畫圖解題策略，以適當的表徵，引導出正確的解題。而教學者在解題教學發生困 難或問題概念太抽象時，也可以表徵方式呈現問題或概念，讓學童更易瞭解教師 所要表達的；如此，也就是以表徵作為想法的溝通方式，增進想法的傳遞。

以下為Lesh 與 Post（1987）所提出的五種不同的數學表徵類型及其說明如 下：

(一)生活情境：利用實物來解釋問題的情境。

(二)操作模型：如積木、圓形分數板等教具，這些具體物要配合數學概念，

才能使之具有意義。

(三)圖 形：如面積圖、數線圖、排列模型等。

(四)口語符號：如二分之一、一點二等。

(五)文字符號：數學算式或數學符號，如5×3＝15。

圖2-2-1

數學概念的五種表徵方式

資料來源：林秀燕(2005)。以圖示策略融入低年級教學對改變類及比較類加減法 文字題之學習成效（未出版之博碩士論文）（頁23）。國立屏東教育大學，屏東縣。

以上五種表徵中，有二種是可操作的模型和圖像，另外三種是使用文字符 號、口述語言及生活情境來呈現作為概念模型。這五種表徵方式都是數學概念學 習時的表徵方式，如教材中多以現實生活情境來連結概念，而教學中一定會以文 字符號及口語符號來表徵數學概念，雖然操作模型及圖像不一定會被教學者或學

圖 形

口語符號 生活情境

操作模型 文字符號

習者使用，但九年一貫課程綱要提出使用排列模型於乘除法教學，以讓學童增進 推理能力（教育部，民92），所以操作模型及圖像是適用於乘除法教學的。

Lesh 與 Post（1987）的研究中也指出不能將其中一種表徵形式轉化為另一 種表徵形式的學童，也不能解決數學問題及理解計算；所以，以上五種對數學學 習者來說缺一不可。基於此，研究者認為應多鼓勵教師在教學中多使用操作模型 及圖像加強概念表徵間的轉換會促進學童對概念的理解，並加強概念意義的建 立。進一步，由學童在不同表徵方式中自由轉譯的程度，可看出其對概念意義的 掌握；即學童能自由的轉譯各種作為溝通的表徵形式，有利於學童問題解決能力 及數學學習。

二、圖示表徵策略

解題策略是指解題者尋找答案的途徑和方法（林香、張英傑，民 93），所以 選擇正確的策略才能達到問題解決的目標。圖示表徵策略是指使用畫圖來尋找答 案的的方法，所以要達到問題解決的目標就必須畫出正確且適合的圖示。如 Mayer(1987）就認為解題者如何進行圖像表徵，產生了什麼圖畫對解題是否成功 都有關鍵的影響（引自林清山譯，民 79，頁 234)。

Hegarty 與 Kozhevnikov（1999）也曾指出，圖畫表徵時只須表徵重要部分，

正確的圖畫表徵才有助於解題的成功，若過於描繪細節，可能會干擾解題方向。

所以，進行圖式策略解題教學時，教師應先確認何種圖畫表徵較恰當，並詳細講 解圖畫表徵如何運用在整個解題過程。圖示表徵策略包含兩種形式，ㄧ種是教材 中附加圖示輔助學童理解，如 Cohen 與 Stover（1981)就提出在文字題上附加圖 畫，可以使數學問題更易理解而提高學童解題成功率；另一種是由學童畫圖解 題，但林香與張英傑（民93）認為圖畫表徵的技巧是須要指導，所以畫出正確且 適合的圖示教師也要指導學童畫出正確的圖。

在學習整數運算時，學童必須瞭解運算的意義，當學童在解決文字題時，會 在文字表徵及符號表徵間進行轉換，如果此時加入圖形表徵，則是建立運算意義 最好的方法。另一方面，表徵的過程如果正確，正確的算式就能被列出來；所以 教師應該教導學生如何分析問題，找出題目中的重要訊息，以利形成問題表徵（涂 金堂、林佳蓉，民89）。Dufour-Janvier 與 Belanger（1987）認為圖畫表徵可以 引導出正確的解題，陳霈頡與楊德清（民94）也認為數學表徵和解題思考是相輔 相成的；所以，在教學上教師應引導並鼓勵學童善用表徵，才能培養有邏輯的解 題策略。教師也應鼓勵學生採用一些表徵工具，例如：使用線段圖或畫表格的方 式來幫助問題的表徵。

林淑菁（民 92）研究圖示教學策略對於國小資源班學生學習正整數乘除文字 題的影響中發現，圖示教學具有提升學童理解題意、選擇適當運算符號及列出正 確算式的功能，也發現乘除文字題所附的圖示對學童具有不錯的遷移作用。所 以，選擇符合乘除概念的圖示，必能輔助學童轉譯乘除問題的能力，進行增加乘 除關係之思考推理能力。教育部（民92）也建議教師使用排列模型於乘、除法教 學，排列模型可以增進概念理解及解題理解，也能增進推理能力。而一般教學只 對乘、除法概念簡略說明後，就列出一系列問題，讓學童練習解題，而忽略可以 在課程中運用模型與學童討論題目、思考推理，建立更穩固的乘、除法概念。另 外，乘、除法為互逆關係，所以若將乘法問題與除法問題並列呈現，更能理解其 互逆關係。不過，使用概念模型來思考數學問題，必須先理解概念模型所代表的 概念；也就是必須先有概念，才能結合概念和模型，如果沒有概念，模型並不具 任何意義。（陳鉪逸等人，民 99）

乘法和除法教學時，可以使用圖示做為概念模型，如圖2-2-2 乘法、除法模

國內研究中，多探討引入線段圖教學對解題的影響。如吳昭容（民 79）探 討圖示對於五年級學童解決多步驟問題的影響，發現在加減多步驟問題旁附加一 個表徵題意的線圖可以提高解題的正確率。而蔣治邦（民89）也將線段圖融入部 份及全體關係的問題中，透過線段圖了解問題中的部份及全體關係。周筱亭、黃 敏晃（民91) 則將線段圖使用於起始量、改變量或結果量未知等三類型題目中，

發現的線段圖可增進學童的加減互逆概念。研究者也發現線段圖也常使用在時間 問題的計算上，由線段圖可以很容易看出開始時刻、結束時刻及經過時間，將時 間概念表達的很清楚，這就是該圖示的好處。

圖畫表徵對於數學學習是很重要的，以上相關研究也都認為圖畫表徵對於數 學解題是有幫助的，而以何種圖像作為乘除兩步驟併式記錄問題的表徵，對解題 是否成功，是否提升解題能力有非常重要的影響。本研究為探究使用括號併式記 錄乘除兩步驟問題，解題時須要對問題有整體的瞭解，黃俊銘(民 99)提出將數學 問題以圖形呈現後，可以使數學問題以整體結構性呈現，此即為本研究解題時第 一步驟，也是最重要的步驟，所以本研究試圖以圖畫表徵來理解問題，進而解題。

Larkin 與 Simon（1987）也認為圖畫表徵可以輔助知覺的推理，而圖畫表徵的推 理方式比符號表徵的推理容易，而且適當的外在表徵有助於內在表徵的形成

（Shepard,1978），也就是當你使用圖畫來解決問題時，會在心理產生心像，當 練習後，下次解題時，即使不畫圖解題，腦海裡也會產生這個圖畫來輔助思考，

這是就是圖示教學的好處。所以，研究者希望將題意用圖示表現出來，提供一個 思考的模式，讓孩子們會去思考題目的類型及題目中的各項關係，獲得完整概念 的學習。

第三節 ACT-R 理論的生成規則

從教育心理學觀點，教學是教導學生學習知識，也就是教導學生如何求知。

ACT-R(Adaptive Control of Thought, Rational)由認知心理學家安德森(John R.

Anderson,1993)等人建立，強調將複雜問題簡單化，並認為不論數學或科學知識 都需要艱苦學習才能獲得，而每個知識技能都須要經過多次的練習才能穩固建立 (Anderson, 1996)。複雜問題簡單化正式解決複雜數學問題所須具備的能力，所以 本節探討 ACT-R 理論，以利分析使用括號併式記乘除兩步驟問題的生成規則。

一、 知識的分類

認知心理學以人類如何求知的觀點為立論基礎，認為必須先了解人類怎麼獲 得知識，才能知道如何教導人類學習。這說明教師在教導學童解題時，應先分析 瞭解問題如何解決，概念原理為何，解題步驟為何，如此才能教導學童如何進行 解題。而學習的產生是由內在心理運作及思維活動決定的，布魯納的發現學習及

認知心理學以人類如何求知的觀點為立論基礎，認為必須先了解人類怎麼獲 得知識，才能知道如何教導人類學習。這說明教師在教導學童解題時，應先分析 瞭解問題如何解決，概念原理為何，解題步驟為何，如此才能教導學童如何進行 解題。而學習的產生是由內在心理運作及思維活動決定的，布魯納的發現學習及