研究動機

本研究旨在探討國小四年級學童在整數四則運算問題中對於「使用括號併式 記錄乘除兩步驟問題」的學習表現。研究者以 ACT-R 理論之生成規則分析傳統 教學法中教師手冊的解題歷程，以瞭解學童學習困難的原因。分析中發現，解題 時須先以整體單位量觀點來解決「括號在後之乘除兩步驟併式問題」，並且須以 圖示來輔助理解問題中的單位量、單位數及全體各為何，才能進一步列出併式。

圖示表徵教學中，先以積木輔助單位量乘以單位數等於全體之觀念的建立，再以 圖示表徵輔助抽象問題的轉譯。本研究希望藉由教學歷程及評量瞭解圖示表徵教 學對四年級學童使用括號併式記錄乘除兩步驟問題的影響。本章將說明研究動機 與研究目的，並針對本研究之特定名詞加以定義。

第一節 研究動機

解題能力的培養是數學教學中的重要課題，國民中小學九年一貫課程綱要數 學學習領域以「學習應用問題的解決方法」為教學總目標之一，並明訂第二階段 (四至五年級)的學習階段目標為：能熟練非負整數的四則與混合計算（教育部，

民 92）。所以，非負整數的加減乘除四則運算應用問題在國小教材內容中占有相 當重要的份量。其中，四年級的「四則運算兩步驟併式記錄問題」在國小數學五 大主題之「數與量」主題中佔有相當重要的地位，因為它是加、減、乘、除兩步 驟（不含併式）問題的延續，也銜接三步驟及多步驟問題。併式記錄在「代數」

主題上的應用更為重要，因為解題時，須先以未知數列出併式紀錄，再用等量公 理來解決，求出答案。所以，併式記錄為代數學習的前置經驗，因此「併式記錄 兩步驟問題」的學習實為重要。

國外學者 De Corten 與 Verschaffel（1993）認為「兩步驟文字題」是許多教 師感到難教與大多學生感到難學的主題。研究者在教學現場中發現，學童在二、

三年級先學會解決兩步驟問題（不含併式），並在四年級進入併式記法。在教材 內容中，兩步驟問題併式記錄題型共分為「加減併式」、「乘除併式」與「加減乘 除混合併式」等三大類型。而進行兩步驟問題併式記錄時，須依題意或解題策略，

列出括號在前及括號在後等兩種併式形式。而進行四則混合運算時，我們建立了

「先記的先算」及「有括號的先算」之約定，亦即，(A-B)-C 即為 A-B-C 之義，

表示先算的在前；而A-(B-C) 表示先算的在後。進一步分析「先算在前」與「先 算在後」的解題差異時，發現「先算的在前」這一類型的題目在教學上及學生解 題上較無問題，因為先算的列式在前，後算的即列式在後。在題目理解或問題轉 譯後，依解決步驟依序列出算式記錄，並無順序顛倒問題。另一方面，依照有括 號要先算的約定，表示括號內的數要先算；換句話說，解決兩步驟併式記錄問題 時，先算的部份若在列式之後部則要加上括號，以表示列式之後部為先算的部 份。傳統的教學法為：在題目理解或問題轉譯後，找出題意中「先算部份」，並 用括號標出先算部份，再用直接代入的方法代入「後算部分」，如： A－（B－C），

（B－C）表示 B－C 先算。

在併式記錄兩步驟問題的教學上，部分題目解題會藉由線段圖呈現，以協助 學童理解題意，進而分析出「先算什麼」、「後算什麼」，以成功的列出併式記錄。

研究者在教學中及評量後發現「加減併式」、「乘除併式」與「加減乘除混合併式」

等先算在後的題型中，「加減併式」與「加減乘除混合併式」題型題目至多只為 一次單位量轉換，因此較易由題意分析出加、減、乘、除兩步驟問題中「先算什 麼」、「後算什麼」，並按步驟列出併式記錄，教材中也多以線段圖來輔助說明，

增加題意的理解。唯有「加減乘除混合併式」須強調先乘除後加減的四則運算約 定。但乘除兩步驟問題涉及二次單位量轉換，「括號在前之乘除併式」可依題意 依序列出兩步驟單位量轉換併式記錄，但在教導「括號在後之乘除併式」題型時，

發現解題存在問題，學童無法理解題目，順利產出併式。教材教學上以「先算為 何……」、「後算為何……」為教學技巧，但發現學童解題時，常列出數字及乘除 顛倒的算式與不知道如何使用括號的問題。在探究四則運算教學順序時，發現在 乘除併式記錄學習前，學生的學習經驗中將先算在後的括上括號，只有 A＋（B

＋C）、A＋（B－C）、A－（B＋C）及 A－（B－C）等四類題型，而教材中會藉 由線段圖將題目作不同轉譯，進而列出A＋（B＋C）＝A＋B＋C、A＋（B－C）

＝A＋B－C、A－（B＋C）＝A－B－C 及 A－（B－C）＝A－B＋C 等式，以理 解A＋（B＋C）＝A＋B＋C、A＋（B－C）＝A＋B－C、A－（B＋C）＝A－B

－C 及 A－（B－C）＝A－B＋C。此藉由線段圖將「加減併式」題目作不同轉譯，

進而列出括號在後的加減併式記錄，是非常適用的教學方法。研究者希望也能藉 由圖示將「乘除併式」題目作不同轉譯，進而列出括號在後的乘除併式記錄。

Cohen 與 Stover（1981）認為圖示是一種很好的外在表徵，解題時，教師 及學童可以利用畫圖方式來表示題目，有助於分析題目。美國數學教師協會

（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）也非常鼓勵教師使 用圖形來輔助教學發展學生數學概念的理解（NCTM , 2000）；因為使用圖示策略 進行教學，提供學童對題意的理解（阮慧津，民98）。林美惠（民 86）則從研究 中發現在文字題上附加圖畫，可以使數學問題更易理解，有助於分析題目。所以，

研究者想找出可以協助學童理解乘除兩步驟問題題意的圖示法，而乘除兩步驟問 題是乘除問題的延伸，國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域對於乘除法教 材的處理，也將乘除法看成單位量轉換的解題活動（教育部，民 92），故研究者 希望解題時以乘除法觀念，即從單位量轉換的觀點切入，再畫出以此觀點的圖 示，如此圖與概念相結合，才有助於理解題意。陳霈頡與楊德清（民94）也認為 在教學上，教師應該多引導學童適時利用表徵來解題，以發展有邏輯的解題策 略。研究者希望經由實際操作活動來理解圖像表徵，建立單位量乘以單位數等於

不同的轉譯，進而列出A×B×C＝A×（B×C）、A×B÷C＝A×（B÷C）、A÷B÷C＝A÷

（B×C）及 A÷B×C＝A÷（B÷C）等倂式，以理解以上等式是相同的，以利熟練 整數四則混合計算。為達上述理解，能將文字題列出兩種併式記錄實為重要經驗 及能力。